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1、 人教版九年级上册全书教案第二十一章：二次根式教材内容1 .本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式.2 .本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章 反比例正函数、第十八章 勾股定理及其应用等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标1.知识与技能(1)理解二次根式的概念.(2)崛五(a2 0)是一个非负数，(五)2=a(a2 0),册=a(a，0).(3)掌 握 五 *y/b ab(a2 0,b2 0),yab=J a -J b；yja _ ae,b o),聆呼(a2 0,b 0).(4)了解最简二次
2、根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.2.过程与方法(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念的内涵进行分析，得出儿个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，并运用规定进行计算.(3)利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.3.情 感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生:利用规定
3、准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点1.二次根式（a2 0）的内涵.4 a（a2 0）是-个非负数；（6 ）2=a（a O）；V 7=a （aN O）及其运用.2 .二次根式乘除法的规定及其运用.3 .最简二次根式的概念.4 .二次根式的加减运算.教学难点1 .对 五（a2 0）是一个非负数的理解；对等式（G）2=a（a2 0）及“=a（a O）的理解及应用.2 .二次根式的乘法、除法的条件限制.3 .利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.教学关键1 .潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能
4、力，突出重点，突破难点.2 .培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神.单元课时划分本单元教学时间约需1 1 课时，具体分配如下：2 1.1 二次根式 3 课时2 1.2 二次根式的乘法 3 课时2 1.3 二次根式的加减 3 课时教学活动、习题课、小结 2 课时21.1二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并 利 用 石（a2 0）的意义解答具体题目.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.教学重难点关键1 .重点：形 如 五（a2 0）的式子叫做二次根式的概念；2.难点与关键：利用“G （a 2 0）”
5、解决具体问题.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问 题 1：已知反比例函数y=3,那么它的图象在第一象限横、纵坐标相X等 的 点 的 坐 标 是.问 题2：如图，在直角三角形A BC中，AC=3,BC=1,ZC=90,那么AB边的长是.问题3：甲射击6 次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S 2,那么S=.老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即 x=y,所以X2=3.因为点在第一象限，所以x=G，所以所求点的坐标（6，G）.问题2：由勾股定理得AB=W问题3：由方差的概念得5=代二、探索新知很明显6、如、都是一些正数的算术平方根.像这
6、样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如正（a2 0）的式子叫做二次根式，“一”称为二次根号.（学生活动）议一议:1.-1 有算术平方根吗？2.0的算术平方根是多少？3.当 a 0)、V 5、痣、-亚、一J、J x +y(x 0,y 2 0).x +y分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：肥、J 7 (x 0)、瓜 -6、(x 2 0，yo);不是二次根式的有：石、!、痣、一.x x+y例 2.当x是多少时，病 二 1 在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3
7、x-l2 0,J 3 x-1 才能有意义.解：由3 x-1 2 0,得：X 2 13当时:J 3 x-1 在实数范围内有意义.3三、巩固练习教材P练习1、2、3.四、应用拓展例 3.当x是多少时，j 2 x +3 +在实数范围内有意义?x +1分析：要使行 行+匚 在实数范围内有意义，必须同时满足后西中X +1的20和一1 中的x+1 W 0.尤+1解：依题意，得42 x +3 0X +1 H 0由得：X，/2由得：x W-1当x 2-士且x W-1 时，J 2 X +3+I在实数范围内有意义.2 x +l例 4 已知y=V T 7 +GN+5,求土的值.（答案:2）y 若 而 T +病 斤=
8、0,求 a Z O M+b?。0 4的值.（答案:j五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1 .形 如&（a O）的式子叫做二次根式，“称为二次根号.2 .要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.六、布置作业1 .教 材 P 8 复习巩固1、综合应用5.2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第一课时作业设计一、选择题1.下列式子中，是二次根式的是（）A.-币 B.y/l C.yx D.x2.下列式子中，不是二次根式的是（）A.7 4 B.V 16 C.V 8 D.-X3 .已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）A.5 B.V 5 C.-D.以上皆不对5二
9、、填空题1.形如 的式子叫做二次根式.2.面积为a 的 正 方 形 的 边 长 为.3,负数 平方根.二、综合提高题1.工厂要制作一批体积为In?的产品包装盒，其高为0.2 m,按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2.当X是多少时，3 1 2+x 2在实数范围内有意义?X3.若二+G5有意义，贝1 肝=.4.使式子J-(X-5)2有意义的未知数x有()个.A.0 B.1 C.2 D.无数5.已知a、b为实数，且6 +2 jl 0-2 a =b+4,求a、b的值.第一课时作业设计答案：一、1.A 2,D 3.B二、1.4a(a O)2.4a 3.没有三、1.设底面边长为x,则02
10、x2=1,解答：x=J J.2.依题意得:2x+30 x w 02xwO.当且X W 时早+、2在实数范围内没有意义.4.B5.a=5,b=-42 1.1二次根式(2)第二课时教学内容1.8(a 20)是一个非负数;2.(ya)2=a (a 20).教学目标理 解 五(a 20)是一个非负数和(及)2=a (a O),并利用它们进行计算和化简.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出五(a 0)是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(五)2=a (a 20)；最后运用结论严谨解题.教学重难点关键1.重点：8(a 20)是一个非负数；(&)2=a (a 20)及其运用.2.难点、关
11、键：用分类思想的方法导出五(a 2 0)是一个非负数；用探究的方法导出(五)2=a (a 20).教学过程一、复习引入(学生活动)口答1.什么叫二次根式？2.当a 2 0 时，五叫什么？当a 0；(2)a2 0；(3)a2+2 a+l=(a+1)2 0；(4)4X2-1 2X+9=(2X)2-2 2 x-3+32=(2 x-3)2 0.所以上面的4题都可以运用(五)2=a (a 2 0)的重要结论解题.解(1)因为x 2 0,所以x+l 0(J x+l )2=x+l(2)V a2 0,/.(V o7)2=a2(3)V a2+2 a+l=(a+1)2又,:(a+1)2 2 o,.-.a a+l
12、O ,/.y/a2+2 a+l=a2+2 a+l(4)V 4X2-1 2X+9=(2X)2-2 2 x 3+32=(2 x-3)2又；(2 x-3)2 2。.,4X2-1 2X+9 0,/.(7 4X2-1 2X+9 )2=4 x2-1 2 x+9例 3 在实数范围内分解下列因式：(1)X2-3 (2)X4-4 (3)2X2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1.4 a(a 2 0)是一个非负数；2.(V a )2=a (a 2 0);反之:a=(V a )2(a O).六、布置作业1 .教材P 8复习巩固2.(1)、(2)P9 7.2 .选用课时作业设计.3 .课后作业：同步训练第二课
13、时作业设计一、选择题1.下列各式中后、岛、“2-1、y/a2+b2 J/+2 0、J 1 4 4 ，二次根式的个数是（）.A.4 B.3C.2D.12.数 a 没有算术平方根，则a 的取值范围是().A.a 0 B.a 2 0 C.a =4(3)V 2 5=V F=5 (4)J(3 =正=3三、巩固练习教 材P7练 习2.四、应用拓展例 2 填空：当a 2 0时，=；当a a,则a 可以是什么数？分析：.J/=a(a2 O),.要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“()2”中的数是正数，因为，当aWO时，正;曲 不，那么-a20.(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空
14、的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)匝口 7 7=|a|,而|a|要大于a,只有什么时候才能保证呢？a a,即使aa所以a 不存在；当a a,即使-aa,a 0 综上，a 2,化简 J(X-2)2 _J(1 2X)2.分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：J/=a(a 2 O)及其运用，同时理解当a 7()2-7?C.后 V a?=A/(-)2二、填空题1 .-V0.0004=.2 .若廊?是一个正整数，则正整数m的最小值是.三、综合提高题1 .先化简再求值：当a=9时，求 a+J l-2“+。2 的值,甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+J(j)2 =a+(1-a)=1；乙的解答
15、为：原式=a+J(l-a)?=a+(a-1)=2 a-l=1 7.两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.2 .若|1 995-a|+V a-2 0 0 0 =a,求 a-1 995 2 的值.(提示：先由a-2 0 0 0 N O,步惭1 995-a 的值是正数还是负数，去掉绝对值)3 .若-3 W xW 2 时，试化简|x-2|+7 U +3)2+VX2-1 0X+2 5 O答案：一、1.C 2.A二、1.-0.0 2 2.5三、L 甲甲没有先判定ba是正数还是负数2.由已知得 a-2 0 0 0 2 0,a 2 0 0 0所以 a T 995+J a-2 0 0 0 =a,J a-2
16、0 0 0 =1 995,a-2 0 0 0=1 9952,所以 a T 995 2=2 0 0 0.3.1 0-x21.2二次根式的乘除第一课时教学内容4a yfb 4ab(a20,b20),y/ab=y/a fb(a20,b 2 0)及其运用.教学目标理 解 五,4b yab(a20,b，0),4ab=fa,b(aBO,b20),并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导 出&布=窥(a20,b O)并运用它进行计算；利用逆向思维，得 出 痴=&-4b(aO,b O)并运用它进行解题和化简.教学重难点关键重点：4a-4 b=4 a b(a20,b20),4ab=4a 8(a20,b
17、O)及它们的运用.难点：发现规律，导出,b=-Jab(a20,b，0).关键：要讲清册(aO,b、0），并验证你的结论.答案：一、1.B 2.C 3.A 4.D二、1.1376 2.12s三、1.设：底面正方形铁桶的底面边长为x,贝 4x2x 10=30X30X20,x2=30X30X2,x=130 x30 X V2=305/2.21.2 二次根式的乘除第二课时教学内容yfa _ a不=行(a20,b 0),反过来a _a(a20,b 0)及利用它们进行计算和化简.教学目标理解(a0,b0)喊号(a20,b0)及利用它们进行运利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思
18、维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.教学重难点关键1.重点：理解臣=甘(a20,b0),a _4a(a20,b 0)及利用它们进行计算和化简.2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.2 .填空(1)屈一9(2)1 64(3)历一(4)1 6规律:V 1 69 V 1 61 6 ；7 3 6叵.33 6 V 1 641 6V 3 6V 8 13.利用计算器计算填空:*亚忑=，(2)，(3)，(4)耳=币一二规 律:市B巨4；V 312 V 23 ；忑叵V 75 ；V87每组推荐一名学生上台阐
19、述运算结果.（老师点评）二、探索新知刚）同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：亨=聆（aNO,b0）,下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.例1.计算：（1）黑分析：上 面4小题利用 小R心也噂*=聆（a20,b0）便可直接得出答案.解普Y 得 卜4毋例2.化 简：后，分析：直接利用,9g:医=即=屈=囱 乂=2 6卡耳 =2=V8=222）、户 （3）（4）p H IV 9a2 764y2 169y2口=里（a R,b0）就可以达到化简之目的.解 5=#=下6 4 V 6 4 -T5x1 6 9 y三、巩固练习教
20、材P14练习1.四、应用拓展例3.已知 归 =2 ,且x为偶数，求(1+x)上 斗 4 的值.V-6 4x6 V x2-lN b Jb因此得到9-x 2 0且x-60,即6 0 f r 0 x66 0)和4号(a 2 0,b0)及其运用.六、布置作业1.教材 PI5 习题 2 1.2 2、7、8、9.2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第二课时作业设计一、选择题的 结 果 是（）C.7 2D.2.阅读下列运算过程：1 _ _ 且 _ 2 _ _ 2 也=2 7 5V 3 -x V 3 3 小一非又非一 5数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”,那么，化简2的 结 果 是（
21、）.A.2 B.6 C.二、填空题-V 6 D.V 631 .分 母 有 理 化：-7=-；Q)I =-:3 V 2 V 1 22 7 5=-2.已知x=3,y=4,z=5,那么J五+的 最 后 结 果 是三、综合提高题1.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为百：1,现用直径为3Acm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2.计算(1)J L .(-1 区)4-区m V 2/W3 m v m3 v 2 m3匡(3评)V 2 6 2 V a2答案：一、1.A 2.C一 i 小 6 0、6 c、而&一、1.(1)；(2);(3)f=一6 6 2 V 5 ：
22、2.姮3三、1.设：矩形房梁的宽为x (c m),得(百 X)2+x 2=(3 后)2,4 x 2=9 X 1 5,x=-V 1 5 (c m),2V 3 x ,x=/3 x2=-V 3 (c m2).42.(1)原 式=-3,叵 区 n r v 2?v 2?/H n3 /=2X-2 =-TX-7 n =大m m m m(m 0,n0)(a 0)V m-nix V s _ V 2则长为Gxcm,依题意,n /2 /2A/5 xn v 2 m n（2）原式=-2p m+）g.xV 2 6 r m+几 m-n J 浮=-V6a2 1.2二次根式的乘除（3）第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最
23、简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.重难点关键1 .k：最简二次根式的运用.2 .难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1.计 算（1）坐，（2）鸣，（3）必V 5 V 2 7 V 2 a老师点评：夕叵卷走,二 班V 5 5 V 2 7 3 而 a2.现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h.km,h2k m,那
24、 么 它 们 的 传 播 半 径 的 比 是.它们的比是二、探索新知观察上面计算题1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式.学生分组讨论，推 荐3 4个人到黑板上板书.老师点评：不是.例 L (1)例 2.如 图，在 R tZ A B C 中，Z C=9 0 ，A C=2.5 c m,B C=6 c m,求 A B 的长.解：因为 AB2=AC?+BC2所以 A B=j 2+6 21 3=6.5 (c
25、 m)2因此A B的长为6.5 c m.三、巩固练习教 材P”练 习2、3四、应用拓展例3.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：1 _ 1x(07)亚-1一石 JV 2 +1 (V 2 +1)(V 2-1)-2-1 ，=1 x(6-衣 =6-五=也_近V 3 +V 2 (V 3 +7 2)(7 3-V 2)3-2 一同理可得:V?+y?二6-6，.从计算结果中找出规律，并利用这 规律计算（4+7 +亍1+.1.）（V 2 0 0 2+1）的值.V 2 +1 V 3 +V 2 V 4+V 3 V 2 0 0 2+V 2 0 0 1分析：由题意可知，本题所给的是一组
26、分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的.解：原式=（后 T+百一行+4一 6+.+V 2 0 0 2-V 2 0 0 1 ）X （7 2 0 0 2 +1）=（2 0 0 2-1）（V 2 0 0 2+1）=2 0 0 2-1=2 0 0 1五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.六、布置作业1 .教材 P i 5 习题 2 1.2 3、7、1 0.2 .选用课时作业设计.3 .课后作业：同步训练第三课时作业设计一、选择题1 .如 果#（y 0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）.A.4（y 0）B.而（y 0）C.屋（y 0）D.以上都不对2 .把（a-
27、l）J-L 中根号外的（a-1）移入根号内得（）.V a-1A.y/c i B.y/l C l C.J q-1 D.y/l C l3.在下列各式中，化简正确的是（）A.J|=3 而 B.gNC.1 a4 b=a2 4 b D.A/X3-X24.化简二学的结果是()V27A 拒 R 2 C 娓 c 5A -D.C-U.-V,3y/3 3二、填空题1.化简J d +d j =.(x20)2.a 化 简 二 次 根 式 号 后 的 结 果 是.三、综合提高题1.已知a 为实数，化简：Q-a 旧，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：2.若 x、y 为实数,且丫=玄答案：
28、一、1.C 2.D 3.C 4.C.、1.x J x+y 2.yj ci-三、1.不正确，正确解答：-a30因为I 1 ，所以a0.a原式=J-a a2-a,J-p-=-4+”3+1,求际产7 的值.x+2-1a.y/a-a =ay/a=(l-a)T-a2.:x2-4 0 1/.x-4=0,.,.x-+2,但.,x+2W 0,/.x=2,y=4-x2 0 42 1.3二次根式的加减(1)第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法.先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.重难点关键1.重点：二次根式化
29、简为最简根式.2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式.(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是字母不变，系数相加减.二、探索新知学生活动：计算下列各式.(1)272+372(2)2次-3舟5次(3)77+277+379 7(4)3+-2 6+五老师点评：(1)如果我们把血当成x,不就转化为上面的问题吗？2亚+3收=(2+3)72=572(2)把我当成y；278-378+578=(2-3+5)次=4 况=8 0(3)把 甘
30、当 成 z；币+2 币+亚 币=2 币 +2 币 +3 币=(1+2+3)77=677(4)垂 看为x,四 看 为 y.3A/3-2/3+V2=(3-2)6 +0=6 +0因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如 2行与魂表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的.(板书)372+78=372+272=5723 V 3+V 27=373+373=673所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.例 L 计算(1)V 8+V 18(2)V 16x+V 64 x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进
31、行合并.解(1)次+加=2 0+3 0=(2+3)72=572(2)y/l 6 x +y/6 4 x=4 y/x+8 yf x =(4+8)y/x=1 2 y/x例 2.计算(1)3 A-9(2)(V 4 8+V 20)+(V 12-V 5)解(1)3/一 9 小；+3/=126-3百+6 6=(12-3+6)6=1 5 6(2)(V 4 8+V 20)+(V 12-V 5)=74 8+V 20+V 12-V 5=4 6+212省 一 岳 6氐6三、巩固练习教材l练习1、2.四、应用拓展例 3.已知 4 x 2+y 2-4 x-6y+10=0,求(g x 57+y 2 十-川卜七)的值.分析：
32、本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-l)2+(y-3)2=0,即*=,，y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成2最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值.解：,:4 x2+y2-4 x-6y+10=0V 4 x2-4 x+l+y2-6y+9=0/.(2x-l)，(y-3)2=0/.x=,y=32原式+y2=2x y/x +yx y-x yx+5 yx y=x yx+6 yjx y当 x=-,y=3 时,2原式=1 x P +6 J l =旦 3a2 V 2 V 2 4五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简
33、二次根式进行合并.六、布置作业1.教材 习题 21.3 1、2,3、5.2.选作课时作业设计.3.课后作业：同步训练第一课时作业设计一、选择题1.以下二次根式：屈；匠;岛 厉 中，与道是同类二次根式的是（）.A.和 B.和 C.和 D.和2.下列各式：3-3+3=6 V 3；V 7=1；/2+V 6=V 8=2 y/2,；74=2 0,其中错误的有（）.A.3 个 B.2 个 C.1个 D.0 个二、填空题1.在 册、-V 75a 2 瓦、V 125 2 出/、3血工、中,与 岳3 3 a V 8是 同 类 二 次 根 式 的 有.2.计算二次根式5五-3后-7布+9 扬 的 最 后 结 果
34、是.三、综合提高题1.已知逐22.23 6,求（病-）-（旧+巫）的值.（结果精确到0.01）2.先化简，再求值.(6 x-+y/x y)-(4x$+，3 6 x y),其中 x=g ,y=27.答案：一、1.C 2.A二、1.-V 75 a 2 2.6折-2后3 a三、1.原式=4近 一|石-6-晟 石=(石 心/X 2.23 6 P o.4 52.原式=6d+3 m7-C 4 yx y)=(6+3-4-6)yx y-yf x y 9当 x=g ,y=27 时，原式=-)|27=-22 1.3 二次根式的加减(2)第二课时教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题.教学目标运用二次根式、化简
35、解应用题.通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题.重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤:第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固.二、探索新知例1.如图所示的R t a AB C中，NB=9 0,点P从点B开始沿B A边 以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿B C边 以2厘米/秒的速度向点C移动.问：儿秒后a P EQ 的面积为3 5 平方厘米？P Q 的距离
36、是多少厘米?（结果用最简二次根式表示）分析：设 x 秒后AP B Q 的面积为3 5 平方厘米，那么P B=x,B Q=2x,根据三角形面积公式就可以求出x的值.解：设 x后P B Q 的面积为3 5 平方厘米.则有 P B=x,B Q=2x依题意，得：-x 2x=3 52X2=3 5x=V 3 5所以 庖 秒 后 4 P B Q 的面积为3 5 平方厘米.P Q=y/P B2+B Q2=A/X2+4X2=V s?=5 x 3 5=5 币答：庄 秒 后 4 P B Q 的面积为3 5 平方厘米，P Q 的距离为5b厘米.例 2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）?分析：
37、此框架是由AB、B C、B D、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度.解：由勾股定理，得AB=y/A D2+B D2=V 42+22=回=2 也B C=y/B D2+C D2=22+l2=75所需钢材长度为AB+B C+AC+B D=275+75+5+2=375+7=3 X 2.24+7 13.7(m)答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材.三、巩固练习教 材P1 9练 习3四、应用拓展例3.若最简根式3。明 石 防 与根式血 2 一式+6从 是同类二次根式,求a、b的值.(同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式)分析：同类二次根式是指儿个二次根式化成最简二次
38、根式后，被开方数相同；事实上，根式，2 2一 +6从 不 是最简二次根式,因此把百店R彳化 简 成7 2 a-b+6 ,才由同类二次根式的定义得3a-b=2,2a-b+6=4 a+3b.解：首 先 把 根 式-弁+6/化为最简二次根式:-b+66-=b(2 a-1 +6)=I b ,4 2 a b+6,g ,口(4。+3Z?=2 一 /7 +6由题意得、，.3 a-b=2.1 2。+4=693 a-b=2/.a=l,b=l五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.六、布置作业1.教 材 风 习 题21.3 7.2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练作业设计一、选择题
39、1 .已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和 5,那么斜边的长应为（）.（结果用最简二次根式）A.5 7 2 B.屈 C.27 5 D.以上都不对2.小明想自己钉一个长与宽分别为30c m 和 20c m 的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米.（结果同最简二次根式表示）A.1 3V 1 O O B.V 1 3O O C.1 07 1 3 D.5 日二、填空题1 .某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2 倍，它的面积是1 6001!?,鱼塘的宽是 m.（结果用最简二次根式）2.已知等腰直角三角形的直角边的边长为 亚，那么这个等腰直角三角形的
40、周长是.（结果用最简二次根式）三、综合提高题1 .若最简二次根式2 J 3J -2 与 飞4/-1 0是同类二次根式,求m、n的3值.2.同学们，我们以前学过完全平方公式a 22a b+b?=（a 土b）2,你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如 3=（6 ）2,5=（6）2,你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（V 2-1）2=（V 2）2-2 1 A +12=2-2 7 2+1=3-27 2反之，3-27 2=2-27 2+1=（V 2-1）2.,.3-27 2=（后 T）2A 73-272=V2-1求 V 3+2V 2；(2
41、)“+2 6 ;(3)你会算吗?(4)若J a 2扬=&i 土册，则m、n 与a、b的关系是什么？并说明理由.答案：一、1.A 2.C二、1.207 2 2.2+2&一 1 仿%*1 3/_ 2=4 团 2_ i o ，=8 .=2 后n2-l =2 n2=3 =6g、/加 =2&T?=-2&m=27 2 w =-27 2所以 亡 或 广 或 l 或 r-n=/2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律.解(1)(V 6+V 8)X 7 3=7 6 X V 3+V 8 X 7 3=屈 +&=3行+2指解(4 7 6-3 7 2 )4-2 /2 =4 7 6
42、 4-2 V 2-3 7 2 4-2 7 2=2 7 3-2例 2.计算(1)(舟 6)(3-6)(2)(V 1 0+V 7 )(7 1 0-7 7)分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.解(1)(V 5+6)(3-6)=3 7 5-(V 5 )2+1 8-6 7 5=1 3-3 7 5(2)(V 1 0 +V 7 )(V 1 0-V 7 )=(V 1 0 )2-(V7)2=1 0-7=3三、巩固练习课本P 2。练习1、2.四、应用拓展例 3.已知三a=2-匕 巴，其中a、b是实数，且 a+b W O,a b化简并求值.y/X +y X J X +1 y
43、j X分析：由于(7T+4)(GT-4)=1,因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到X的值，代入化简得结果即可.解:(V x +1+V x)2(J x +l -yx)(J x+1 +yx)(V X +1 y/X)+(J X +1 +J )”(x +l)-x (x +l)-x=(x+1)+x-2 J x(x +1)+x+2 J x(x +1)=4 x+2.x-b 0 x-a.-=/-a bb (x-b)=2 a b-a (x-a)b x-b2=2 a b-a x+a2，(a+b)x=a2+2 a b+b2(a+b)x=(a+b)2V a+b Ox=a+b原式
44、=4 x+2=4 (a+b)+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.六、布置作业1 .教材已 习题2 1.3 1、8、9.2 .选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练作业设计一、选择题1 .（收-3而+2后）乂 后 的 值 是（）.A.73-3730 B.3730-V 33 3C.2廊 二 6 D.V 3-V 3O3 32.计 算（五 +J）（4-VT万）的 值 是（）.A.2 B.3 C.4 D.1二、填空题1.（-1+无）2的计算结果（用最简根式表示）是2 22.（1-2V 3）（1+273）-（273-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是.3.若 x=6T,则 x
45、?+2x+l=4.已知 a=3+2j i,b=3-2 0,则 a?b-a b 2=三、综合提高题1.Vio+Vu+Vis+VT2.化简（结果用最简二次根式表示）课外知识1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）.A.岳 与 必 B.横的与呀C.m u 与 S D.y/m +n 与 Y m +n2.互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2,同时它们的积是有理数，不含有二次根式:如 x+l-
46、+2%与 x+l +J x?+2 就是互为有理化因式;正 与 2也是互为有理化因式.练习：行+G的有理化因式是一x-J J 的有理化因式是-4 7 T-的 有 理 化 因 式 是.3.分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的.练习：把下列各式的分母有理化(1)-7=!；(2)1；(3)一 产 厂;(4)华士4噌.V 5-1 1 +2V 3 V 6-V 2 3V 3-4V 24.其它材料：如 果n是任意正整数，那么理由:nn+-n2-练习：填空=n3-n +nn2-l答案：一、1.A 2.D二、1.1-2.473-24 3.2 4.4垃2
47、三、1.序式=_ _ _ _ _ _ _ _ _6+近 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6+近 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1V2(V5+V7)+V3(V5+V7)&+G二一(A/2-y/s)=G-/22.原式=(X +1 +yj X 2+九)-+(X +1 yj X +X y0+1)2-(E+X?2(x +l)2+(尤2 +x)x 2 _ 2 x*l)(x +l +x)x+1 x+1=2(2x+l)V x=-7J =V 2+1 原式=2(272+3)=472+6.V 2-1二次根式复习课教学目标1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练
48、地化简含二次根式的式子；2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算.难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.教学过程设计一、复习1.请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件.指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式.2.二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的.把两个二次根式相除，先写成分式形式，即、跟+、回=奈，再运用二次根式的除法法则进行计算，计算,计算结果要把分母有理化.3.在二次根式的化
49、简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：a =（、2（a 0）;（2）|a|=7?.4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：(1)(V )2=a(a 0)-a =()2(a 0)；(2)b =V a *6(a)0,b 0)与石*/b =V a b(a O,b 0)；(喊呼(a。)与卡a b0)0,即x4 3；要使病”有意义，必须x-20,即x 3 2.所以使式子以-x+J x-2有意义的播为2 4K 3.(2)因为1 -当*=1 时，l-|x|=0,原式没有意义,所以当xW l 时,式子2x1 -有意义.(3)因 为 使 有 意 义 的 x值为x O,使W 及
50、有意义的源值为x 4 0,所以使、加+J-2x有意义的遥为x=0.(4)因 为 使 必 N 有意义的x取值为x+20,即x -2,而分母3 xr0,即x沪0,所以使式子q2 有意义的x取值为3 xxN-2 且 xW 0.例2己知m,n为实数，且 满 足犯9+R二士+4,求 6 m-3 n的值.分析：先根据已知条件求出m 与n的值，冉求多项式6 m-3 n的值.二次根式行二？与、星不有意义的条件分别是足川)。及9-不0,从中求得n的值，从而确定mH解因为 1 1 2-9 20,9-1?20,且 n-3 W 0,所以 1?=9 且 n 7 3,所以n=-3,m=Jr?-9+j 9-+4 4 2-=