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1、板 块 二 函 数 大 招 一 抽 象 函 数 定 义 域 的 核 心 点 1、已 知/(X)的 定 义 域，求 复 合 函 数 的 定 义 域 若/(x)的 定 义 域 为 x e(a,b),求 出/g(x)中 a g(x)b 的 解 x 的 范 围，即 为/g(x)的 定 义 域。2、已 知 复 合 函 数/g(x)的 定 义 域，求/(x)的 定 义 域 若/g(x)的 定 义 域 为 x e(a,b),则 由 a x 6确 定 g(x)的 值 域 即 为/(x)的 定 义 域。3、已 知 复 合 函 数/g(x)的 定 义 域，求/(x)的 定 义 域 可 先 由/g(x)定 义 域
2、求 得/(x)的 定 义 域，再 由/(%)的 定 义 域 求 得 f h(x)的 定 义 域。4、已 知/(x)的 定 义 域，求 四 则 运 算 型 函 数 的 定 义 域 若 函 数 是 由 一 些 基 本 函 数 通 过 四 则 运 算 结 合 而 成 的，其 定 义 域 为 各 基 本 函 数 定 义 域 的 交 集，即 先 求 出 各 个 函 数 的 定 义 域，再 求 交 集。例 1、已 知 函 数/(x)的 定 义 域 为 则 函 数/(2 x-l)的 定 义 域 为()(I l f 11 1、A.(-3,-l C.0,D.,1【解 析】根 据 复 合 函 数 定 义 域 得
3、到，一 12X一 1 4 0,解 得 0 由 一 个 函 数 的 定 义 域 求 另 一 个 函 数 的 定 义 域，只 需 牢 记 一 点:x 是 自 变 量，它 的 取 值 范 围 才 是 定 义 域：(2),从 另 一 个 角 度 来 看，函 数/(x+1)可 视 为 函 数 歹=/()和 函 数=x+l 的 复 合，因 此 我 们 把 它 叫 做 复 函 复 合 函 数，函 数/(2 x-3)也 是 复 合 函 数：(3)、在 本 题 中，第 一 个 给 出 的 函 数/(x+1)起 着“立 规 矩”作 用:lWx+l 3,这 就 要 求 下 面 放 在 无 论 谁 放 在/后 面 括
4、 号 中，都 要 遵 循 这 个 范 围，不 能 越 雷 池 一 步，归 根 结 底，这 还 是/的 要 求，/是 函 数 的 主 宰 和 灵 魂，x 和 歹 只 是 体 现 了 的.例 3、已 知 函 数 y=/(x+l)定 义 域 是 2,3,则 y=/(x l)的 定 义 域 是()A.0,5 B.-l,4 C.-3,2 D.-2,3【答 案】A1【解 析】因 为 歹=/(x+l)的 定 义 域 是 2,3,即 x e 2,3,所 以 x+1,所 以 函 数/(x)的 定 义 域 为 一 1,4,由 一 1W X-1W 4得 0 4 x W 5,所 以 函 数 丁=/(x-l)的 定 义
5、 域 是 0,5,故 选 A.大 招 二 函 数 求 值 域 常 见 8 种 方 法 全 归 纳 方 法 一、分 离 常 教 陵 例 1、求 函 数=要，的 值 域 先 分 离 常 数 法：.3x+l 3(x-2)+7,7 y=-=-=3+-x 2 x 2 x-2.7。0,3+-。3,x 27x-21y=-的 值 域 为 川 y w H且 3.x-2方 法 二、判 别 式 法 例 2.求 函 数 y=f X的 值 域 x2-x+【解 析】注 意 到，这 个 函 数 定 义 域 为 R,这 类 函 数 在 求 值 域 时 使 用 判 别 式 法 比 较 方 便;整 理 函 数 得/俨 _+1)=
6、2 _,(1口 2 _(y _ l)x+y=0当=1时，方 程 无 解 当 时，所 求 函 数 的 值 域 需 要 使 得，方 程 有 解，要 求 A=(y-l)2-4 y(y-l)2 0,-3/+2 y+1 2 0,(y-l)(3 y+l)4 0,.注 意：当 y=l 时，函 数 不 再 是 关 于 x 的 二 次 方 程，且 方 程 无 解，所 以 夕=1不 是 函 数 的 值 域.所 以 在 y w l的 情 况 下 研 究 函 数 值 域，所 以 函 数 值 域 为 y e方 法 三、配 方 决 例 3、求 函 数 了=4*+4-2(2*+2-*)的 值 域【解 析】可 以 将 其 换
7、 元 转 化 为 二 次 函 数，令/=2*+2，t 2,则/=2 2*+2-2口 2 7+2-2即 4X+4-1=Z2-2所 以 函 数 可 整 理 为：y=(t2-2)-2t=(t-l)2-3此 时，发 现 函 数 在 1,+oo)单 调 递 增，而 f 的 取 值 范 围 是 f 2 2(这 里 一 定 要 看 清，用 的 是/的 取 值 范 围，而 不 是 x 的 取 值 范 围)，所 以 当 f=2 时;函 数 取 到 最 小 值-2,所 以 函 数 值 域 为 y-2,+oo).2方 法?、代 数 换 元 法 例 4、求 函 数 y=2x+4jl-x 的 值 域【解 析】令,x=l
8、-t2,y=-2t2+4t+2=-2(/-1)2+4 0),因 为 x+,N 2、%=2,所 以 X+L 1 X V XX3 3y=-=1,0,1,1 4 2+1x+1X方 法 七、教 形 结 合 法 例 7(1)、求 函 数 y=的 值 域 cosx-2【解 析】函 数 可 看 为 两 点 连 线 的 斜 率，即 6(cos x,sin x),8(2,0),则=也 二 9,即 所 求 函 数，问 题 转 cosx-2化 为 求 k 的 取 值 范 围，借 助 图 形，我 们 可 以 看 到，当 直 线 与 单 位 圆 相 切 时，发 分 别 取 到 最 大 值 和 最 小 值 k,=tan3
9、0=,k,=tan 150=-,*1 3 2 3所 以，原 函 数 值 域 ye3-3-1,3例 7(2)、求 函 数 夕=7X2+4X+8+&-4 X+5 的 值 域【解 析】整 理 函 数 得，=7(X+2)2+4+7(X-2)2+1,这 时 观 察 函 数，用 一 般 方 法 不 是 很 好 继 续 进 行,但 我 们 发 现，根 号 下 的 形 式 比 较 像 两 点 间 的 距 离 公 式，所 以 我 们 可 以 改 造 一 下 函 数：y=J(x+2产+(0+2)2+J-2产+(0-1)2,这 时 我 们 可 以 把 函 数 看 成 坐 标 系 内 的 三 个 点 间 的 距 离
10、和，尸(x,0),4(-2,-2),5(2,1),即”|P*+1|通 过 观 察 图 像,这 时 所 求 的 目 标 就 很 明 显 了，当 P 处 于 4 8连 线 时，夕=|尸 川+1尸 8 1取 到 最 小 值：y=|AB=5,所 以|P/|+|P 8|2 5,即 函 数 值 域 为 y e 5,+).方 法 人、特 殊 的 数 有 界 性 法 e例 8、求 函 数=?r _1!的 值 域 ev+l【解 析】注 意 到 函 数 定 义 域 为 R,可 以 进 行 如 下 转 化，用 y 表 示 x,j(ev+l)=ex-l,ex(y-l)=-y-l.注 意 夕=1时 方 程 不 成 立，
11、所 以 y,可 将 y-1 除 到 等 式 右 边 得：e=3,因 为 e*0,即 匕 上 0,1 一 y 1-y解 得：大 招 三 函 数 单 调 性 判 定 标 志 函 数 单 调 性 的 标 志 条 件 设 司，x2 e a,h,X w 乙 那 么 4(X|_工 2)/(再)_/(工 2)0 0 J一，()0 O/(X)在 6切 上 是 增 函 数；再 一 x2(xj-)/(石)一/()o，(_Z-2)0/(x)在 a,b上 是 减 函 数.X一 防 教 单 调 性 的 运 算(1)增 函 数+增 函 数=增 函 数，减 函 数+减 函 数=减 函 数，增 函 数-减 函 数=增 函 数
12、，减 函 数-增 函 数=减 函 数；函 数-/(x)与 函 数/(X)的 单 调 性 相 反；(3)/0时，函 数/(x)与 一 L 的 单 调 性 相 反(/(X)H O);A,即“0 厕 当 e N*时，有()A./(-)/(-1)/(+1)B./(-!)/(-)/(+1)C./(+1)/(-)./(-1)D,/(n+1)/(-1)王 时，)/()O/(X)在 为 增 函 数，/(X)为 偶 函 数=/(x)在(0,+8为 减 函 数，而+1-10,/(+1)/()/(-1)=/(+1)/(-)0 恒 成 立，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是()A.(-oo,-3 B.-3,0)C
13、.(-oo,3 D.(0,35【解 析】由 题 意 分 析 可 知 条 件 等 价 于/(x)在 3,+00)上 单 调 递 增，又./(x)=x|x-a I，.当 a 4 0 时，结 论 显 然 成 立，当 a 0 时，则/(x)=,/(x)在 7 0,上 单 调 递 增，在 3 a 上 单 调 递 减，在-x+ax,x a v 2 J 2)(a,+8)上 单 调 递 增，.,.O c a 4 3,综 上，实 数 a 的 取 值 范 围 是(-8,3.例 4、已 知 函 数/(x)是 定 义 在 R 上 的 函 数，若 函 数 x+2016)为 偶 函 数，且 x)对 任 意 占，x2 e
14、2016,+oo)(X1 x2),都 有/0,贝 必)x2-X1A./(2 0 1 9)/(2 0 14)/(2 0 17)B./(2 0 17)/(2 0 14)/(2 0 19)C./(2 0 1 4)/(2 0 17)/(2 0 1 9)D./(2019)/(2 0 1 7)/(2 0 1 4)【答 案】A【解 析】由 于 函 数/(x+2016)为 偶 函 数，故 函 数/(x)的 图 象 关 于 直 线 x=2016对 称，又 对 任 意 司，x2 G 2016,+ao)(x,x2),有)0,J.函 数/(x)在 2016,+8)上 单 调 递 减，/./(2 0 19)/(2 0
15、18)/(2 0 1 7),:函 数/(x)的 图 象 关 于 直 线 x=2016 对 称，A/(2014)=/(2 0 1 8),:./(2 0 1 9)/(2 0 1 4)/(2 0 1 7).故 选 A.例 5、已 知/(x)的 定 义 在(0,+8)的 函 数，对 任 意 两 个 不 相 等 的 正 数 项,叼，都 有 攵/(司)一 画/色)o,记/俨)/(0.32)3 0 2，b.0.32c=&2 叱 1,则()og25【答 案】C【解 析】设 0 西，由 电/(司)七/(2)看/(演)，即&1 念 1,故 函 数 幻 在(0,+8)上 单 调 递 减，又 因 为 log 2 C
16、3 2 10.32 0,所 以 C Q 6例 6、已 知 函 数 y=/(x+l)的 图 象 关 于 y 轴 对 称，且 函 数/(x)对 任 意 司，口，+)(为 工 巧)，有/一 仆)1)是 函 数 的 零 点，若 n 2-a,则/(%)的 值 满 足()X1 X2A./(xo)=0 B./(x0)0 D./(x0)的 符 号 不 确 定【答 案】C6【解 析】-：y=f(x+)的 图 象 关 于 y 轴 对 称，则 函 数 x)的 图 象 关 于 直 线 x=l 轴 对 称.又 因 为 函 数 x)对 任 意 冗 1，x2 G 1,+O O)(X1 x2),有(“)百)0,故 函 数/(
17、X)在 1,+8)上 单-x2 x2-x调 递 增，/(x)在(-8,1 上 单 调 递 减.又 是 函 数/(x)的 零 点，/(。)=0,可 得/(2-。)=0.，当、0 0,故 选 C.大 招 四 搞 定 分 段 函 数 的 单 调 性 必 教/。)=卜,在 R 上 单 调 增 速.，则/(X)满 足 两 个 条 件：f2(x),x a(1)/(x)在(-8,0 上 单 调 增 递 增(2)1(X)在(a,+oo)上 单 调 增 递 增 工(a)4 加 0).函 数，在 R 上 单 调 增 超 减，则/(x)满 足 两 性 个 条 件：f2(x x a(1)/(X)在(-8,a 上 单
18、调 增 递 减(2)f2(X)在(6 7,+oo)上 单 调 增 递 减,/j(a)/2(a)例 1、函 数 八 幻=卜 2-8依+3(、1)【答 案】-2 8【解 析】函 数/(x)=?L-8+3 a 1),在 x e R 内 单 调 递 减，需 满 足 三 个 条 件：0 a 1)7 2A x l1-81c6 f+c3 l,o gt tl,解 不 等 式 组 得 2 8例 2、已 知 函 数=满 足 对 任 意 占 W X 2,都 有 西 卜 2)0 x x2值 范 围 是()7l,x 0减 函 数，由 符 号 函 数 sgnx=(),x=0 知，sgng(x)=-l,x 0A.(0,1
19、B(0，；C.(0,3【答 案】B0 a l【解 析】由 题 可 知 在 R 上 单 调 递 减，所 以 3 0,选(0,4a 0例 3、已 知 符 号 函 数 s g n x h 0,x=0,/(x)是 R 上 的 增 函 数，g(x)=-/(a x)(a 1),则()-l,x 1,所 以 g(x)是 R 上 的 l,x 00,x=0=-s g n x.l,x 0例 4、已 知 函 数 x)=l：x+l，a 则“_ 2 3”是/(x)在 R 上 单 调 递 增”的()ax1+x+l,x 1A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.
20、既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】B【解 析】函 数 卜=/+如+1在 1,内)上 单 调 递 增 增。-或 1，即 心-2；函 数 y=+X+1在(-8,1)上 单 调 递 增 增=。=0 或 a 解 得-670.2a 2又 当 x=l 时，X2+ax+=ax2+x+l,故/(x)在 R 上 单 调 递 增 增 的 充 要 条 件 是.从 而“-2WW0为“/。)在/?上 单 调 递 增 增”的 必 要 不 充 分 条 件.大 招 五 搞 定 复 合 函 数 的 单 调 性 复 合 曲 判 定 数 的 增 减 性 判 定：同 增 齐 减.设 复 合 函 判 定 数 y=fg(x
21、),A 是 y=/g(x)定 义 域 的 某 个 区 间，8 是=g(x)的 值 域：若 u=g(x)在 A 上 是 增(或 减)函 数，y=f(ii)在 B 上 也 是 增(或 减)函 数，则 函 数 y=/g(x)在 A 上 是 增 函 数;8 若 w=g(x)在/上 是 增(或 减)函 数，而 y=/(H)在 8 上 是 减(或 增)函 数，则 函 数 y=/g(x)在/上 是 减 函 数.若=g(x)y=f(u)则 尸/毒(初 增 函 数 增 函 数 增 函 数 减 函 数 减 函 数 增 函 数 增 函 数 减 函 数 减 函 数 减 函 数 增 函 数 减 函 数 例 1、若 y=
22、log(2-ax)在 0内 上 是 x 的 减 函 数，则。的 取 值 范 围 是【解 析】a(1,2)易 a 0 且 awl,2-ax0,：.a 1.综 上 ae(l,2)例 2、若 函 数 y=loga(l-ar)(a 0,”丰 1)在 区 间(0,2)上 是 单 调 增 函 数，则 常 数 a 的 取 值 范 围 是【答 案】0 a-2试 题 分 析：本 题 考 查 复 合 函 数 的 单 调 性，设 y=log“f,当 0。g“(l-ax)(a0,aRl)在 区 间(0,2)上 是 单 调 增 函 数，所 以 要 求 2=a,X 0 a 1.则 0 l 时，y=10gli t 在(0,
23、+oo)上 为 增 函 数，f=1-ax-oo,|a 2 2 v a)上 为 减 函 数，则 y=k)g“(l-ax)在(-co,：)上 为 减 函 数，不 合 题 意；例 3、若 函 数/(X)=log.1 2 一 批+3“-6)在 2,+8)上 是 增 函 数，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是【解 析】D 设 w=-ax+3a-6,因 为 外 函 数 y=logq 是 单 调 函 数，故 内 函 数=工 2一 0+34-6在 2,+8)a上 单 增，应 有|巴 42,解 得 2 0例 4、已 知 Q 0,工 1,若 函 数/(工)=1084(办 2一，在 3,4 是 增 函 数，则
24、a 的 取 值 范 围 是 9【解 析】g(x)X r 对 称 轴 是 当 人 4，6 1a 1=al.当 一 4 时,2ag(3)0O a 0.g(4)0【答 案】(1,+00)大 招 六 常 见 奇 偶 函 数 模 型 总 结 一 些 重 要 类 型 的 奇 偶 模 型 总 结 函 数(1)函 数/(x)=a*是 奇 函 数，函 数/(x)=/+-*是 偶 函 数；(2)函 数/(幻=丈 二 巴 二=噌 二 1(40且。*1)是 奇 函 数；ax+ax a+1(3)函 数/(x)=loga-或 者/(x)=kg“上 H(a 0 且 a/1)是 奇 函 数：1+x 1-x(4)函 数/(x)
25、=log”Klx2+1 xj(a 0 且 a r 1)是 奇 函 数.例 1、设 函 数 f(x)=ln(l+x)-ln(l-x),则/(x)是()A.奇 函 数，且 在(0,1)上 是 增 函 数 B.奇 函 数，且 在(0,1)上 是 减 函 数 C.偶 函 数，且 在(0,1)上 是 增 函 数 D.偶 函 数，且 在(0,1)上 是 减 函 数【解 析】“X)定 义 域 为(-1,1),关 于 原 点 对 称，X V/(-x)=ln(l-x)-ln(l+x)=-/(x),/(x)为 奇 函 数,显 然，f(x)在(0,1)上 单 调 递 增,故 选 A.例 2、函 数;/=/怆 江 2
26、 的 图 象()x+2A.关 于 x 轴 对 称 B.关 于 原 点 对 称 C.关 于 直 线 j，=x 对 称 D.关 于 y 轴 对 称【答 案】B【解 析】.夕=/咆 1 2,；.其 定 义 域 为(-00,_2)11(2,+8),；./(-)=/吆 七 匚=-2吆 二 2=-/口),x+2 x 2 x+2 函 数 为 奇 函 数，函 数 的 图 象 关 于 原 点 对 称，故 选：B例 3、若 函 数/(x)=xln1+为 偶 函 数，贝!Ja=【解 析】由 题 意 可 知 函 数 y=+是 奇 函 数，所 以 ln(x+f)+hi卜 x+Ja+x，)=0,即 In(a+%2)=口
27、q=o,解 得 a=.10大 招 七 奇 函 数 特 性 秒 题 奇 国 数 的 特 性/(X)为 奇 函 数 o/(-x)=-f(x)o/(-x)+/(x)=0;若 奇 函 数 f(x)的 定 义 域 包 含 0,则/(0)=0.是 奇 函 数 的 周 期 函 数 的 半 周 期 是 零 点.证 明：设 函 数/(x)的 一 个 周 期 是 7,得/0=/(1 7 卜 0 一/图，所 以/图=，即 欲 证 结 论 成 立.例 1、函 数/()=炮。+/为 奇 函 数，则 实 数。=【答 案】1【解 析】因 为/(x)为 奇 函 数 且 0)有 意 义，所 以/(0)=lg(a+2)=0,即
28、a+2=l,所 以 a=-l例 2、是 否 存 在 实 数 a 使 函 数/(x)=a-为 奇 函 数？2*+1【答 案】a=l【解 析】由 奇 函 数 的 性 质，可 得 0)=1=0,a=.还 可 验 证 当 时：当。=1时，f(x)+f(-x)=O,即/(x)是 奇 函 数.所 以 存 在 实 数 a=1使 函 数/(x)为 奇 函 数.例 3、设/(X)为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，当 x20时，/(x)=2+2x+b g 为 常 数)，则-1)=().A.3【答 案】D.B.1 C.-1 D.-3【解 析】因 为/(x)为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，所 以 有/(
29、0)=2+2x0+b=0,解 得 6=7,所 以 当 诊 0时,f(x)=22+2x-,即/(-l)=/(l)=-(2i+2xl-l)=-3,故 选 D.例 4、定 义 在 R 上 的 函 数/(x)既 是 奇 函 数，又 是 周 期 函 数，T 是 它 的 一 个 周 期，若 将 方 程/(x)=0 在 闭 区 间-7,7 上 的 根 的 个 数 记 为 n,则“可 能 为()A.0 B.1【答 案】D.【解 析】可 证/(J。；/图 图 所 以/图=。所 以 由 奇 函 数 的 性 质，可 得/(7)=/(0)=0=f(-T)=/(卜/仁 卜 得 方 程/(x)=0 在 闭 区 间-7，C
30、上 有 根 x=0，+-,T.211大 招 八 偶 函 数 特 性 秒 题 偶 舀 教 的 特 性 若 函 数 是 偶 函 数，则/Q XD=/(X)(X G)恒 成 立；若 偶 函 偶/(x)在 x=0 处 可 导,则 1(0)=0；若 偶 函 数/(x)的 定 义 域 是。(可 得。关 于 原 点 对 称)，4 8 是 数 集。的 关 于 原 点 对 称 的 两 个 子 集，则 函 数 在 数 集 4 8 上 的 值 域 相 同.证 明(1)当 x 4 0 且 x e D 时，f(|x|)=f(-JT)=f(x);当 x0 且 xe)时，y(k|)=/(x).所 以 欲 证 结 论 成 立
31、.由 题 设，可 得/(O)=lim/(,)/()7*x/W-/(O)/(-x)-/(O)/(-x)-/(0)八 卜/)j(0)=lim-lim 1-:一 hm-!-=-hm-x-0-X-x-0*X-10+X，ro t所 以/(0)=/(0)J(0)=0(3)由 偶 函 数/(x)的 图 象 关 于 y 轴 对 称，立 得 欲 证 结 论 成 立.例 1、已 知 偶 函 数/(x)在 区 间 0,+o。)单 调 递 增，则 满 足/(2 x-l)的 x 的 取 值 范 围 是()【答 案】A【解 析】因 为/,(X)是 偶 函 数，由 题 意 可 得：/(2x l)=/(|2x l|),；2x
32、 1；,1 2所 以 一 x O o/(2)|X-1|2-1 x2例 3、设 函 数/(x)=ln(l+|x|)-法，则 使 得 4)次 级-1)成 立 的 x 的 取 值 范 围 是 12B.oo,；)u(l,+oo)【答 案】A.【解 析】易 知/(x)是 偶 函 数，且 当 生 0 时，和 是 增 函 数)，所 以 由 性 质 1,可 得 C.|1 D.|-0 0,-,+oc II 3 3)I 3)U)/(x)=ln(l+W)是 增 函 数(因 为 两 个 增 函 数 之/(x)/(2x-l)=/(x)/(2x-l|)o k|2x-l c例 4、已 知 函 数/(x)是 定 义 在 R
33、上 的 偶 函 数，且 在 区 间 0,C/(log2a)+/log ltz 2/(1),则 0 的 取 值 范 围 是()A.l,2 B.(o,1 c.1,2【答 案】C.【解 析】由 题 设 及 偶 函 数 性 质(1),可 得/(log2a)+/log,a 2/(1)/(log2 a)+/(-log2 2 7O/(log2a)/=log2a l1a2例 5、若/(力=1!卜 3+1)+6 是 偶 函 数，则=_3【答 案】2【解 析】由 题 设 及 偶 函 数 性 质(2),可 得、(3eix)3 3f 3=J/+a=+a=0,a=(e+1 兀。2 2例 6、若 函 数/)=山 卜+小
34、7+/)为 偶 函 数，则。=【答 案】1.【解 析】由 题 设 及 偶 函 数 性 质(2),可 得.尸(x)=(ln(x+Ja+x?)+x nx+yja+x2 j*j=In|2x-l-%1+8)上 单 调 递 增.若 实 数。满 足 D.(O,2a)=2/(logaa)2/(l)=0,4=113大 招 九 奇 函 数 特 性 深 度 拓 展 音 函 数 的 性 质 设/(功 是 奇 函 数.(1)/(x)在 两 个 对 称 的 区 间 上 单 调 性 相 同(2)若 g Cx)=/(x)+。，贝 U g(x)+g(-x)-2a;(3)若 函 数 F(x)有 最 大(小)值，则 函 数 f(
35、x)有 最 小(大)值，且 函 数 Hx)的 最 大 值 与 最 小 值 互 为 相 反 数.证 明：(1)在 恒 等 式/34/(幻 二 0 中，令 户 0 后，可 得/(0)=0.(2)可 得 g Or)+g(-x)=L/tx)+a+(-x)+Q=2.(3)这 里 只 证 明 结 论：若 函 数 Hx)有 最 大 值，则 函 数 Hx)有 最 小 值，且 函 数 Hx)的 最 大 值 与 最 小 值 互 为 相 反 数.设 函 数/Cr)的 定 义 域 是 O,得 Hr。G Z),Vx G D.f(x)f(x0).因 为 奇 函 数/(x)的 定 义 域。关 于 原 点 对 称，所 以 得
36、/(-x)-f(x)W/(x0),/(x)力/(x0)=/(-x0),-Xo D,所 以 函 数 Hx)有 最 小 值(为 一/(%),且 函 数/(X)的 最 大 值 与 最 小 值 互 为 相 反 数.例 1、函 数/(力=二 一 广：+1在 _一 叫 上 的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为【答 案】2.3 7 J-sinx+l,sinx【解 析/(X)=n-=1_M J,阴+1 洲+1qin 丫 可 得 8(元)=/(力 一 1=一 个 土 是 奇 函 数，且 函 数 g(x)在 一 切，仞 上 的 最 大 值、最 小 值 之 和 是 0,所 e+1以 函 数 火 X)在-7,划
37、 上 的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 2.fx-L 2丫+产+Qin V例 2、若 关 于 x 的 函 数/(x)=.土(，0)的 最 大 值 为,最 小 值 为 N,且 M+A M,则 实 数 t的 值 为【答 案】2，/tx1+2x+z2+sinx 2x+sinx 皿 2x+sinx【解 析】由 己 知 f(x)=-；-=/+-,而 函 数 y=；-x+t X+t X+t为 奇 函 数 又 函 数;(x)最 大 值 为 最 小 值 为 M 且 M+N=4,：.M-t=-(N-t),：.M+N=2t=4,：.t=2.14?009v+,+7007例 3、已 知 0,设 函 数/(x
38、)=2009、j+sinx(xw卜 乐)的 最 大 值 为 最 小 值 为 N,那 么 M+N=【答 案】40167009Y _i 7009A-1【解 析】/(X)=2008+-+sinx,注 意 到 津 二 都 为 奇 函 数，故 对 函 数 义 工)考)2009*+1 2009,+12009-1虑 构 造 新 函 数 g(x尸 200夕 一+sinx为 奇 函 数，而/(x)=2008+g(x),在 区 间-，a 上 由 奇 函 数 的 对 称 性 知 g(-x)+g(x)=0,故 A/+N=2008x2=4016yfi sin I x H I+2%2+x例 4、若 函 数 x)=-1 2
39、 4)-的 最 大 值 为 M，最 小 值 为 N,则()I cos xA.M-N=4 B.M+N=4 C.M-N=2 D.M+N=2【答 案】D.【解 析】可 得/(x)=l+su】L 可 得 g(x)=/(x)T=+s i n x 是 奇 函 数,且 函 数 蛉)的 最 大 值、2x-4-COSX 2x+COSX最 小 值 分 别 是 M,m.由 奇 函 数 的 性 质(3),可 得(M-1)+(?-1)=0,M+m=2.(x+1+sin x例 5、设 函 数/(x)=-3j-的 最 大 值 为 M，最 小 值 为 加，则 M+/n=【答 案】2.村 生、_ _ 八 皿 1Kz 一，%2+
40、1+2.x+sinx,2x+sinx【答 案】首 先 整 理 一 下 函 数，将 具 分 离 常 数/(X)=-(-=1+7j 2x+sin Y可 以 发 现，函 数 在 局 部 的 地 方 为 奇 函 数，即 g(x)=Xx)-l=六 为 奇 函 数 X+1我 们 知 道，奇 函 数 的 图 象 关 于 原 点 对 称 则 假 设 g(X)=A/-l,g(x2)=m-l,其 中 玉=一 吃 所 以 有 g(xj=-g(x2),即 g(x)最 大 值、最 小 值 相 加 为 零 所 以 有 1+?1=0,BP M+m=2.(x+sin x例 6、已 知 函 数/(x)=j,其 导 函 数 记
41、为/(%),则 寅 2012)+/(2012)+15X-2012)-/(-2012)=【答 案】2.2r+sinx(2+cosx)(x2+1)-(2x+sinx)2x 解 析 由 己 知 得/(x)=1+,，则/(%)=-4-M-，厂+1(x2+l)，丫+sin Y令 g(x)=/(x)T=,显 然 g(x)为 奇 函 数，f(x)为 偶 函 数，x+：.7(2012)-/(-2012)=0,2012)+4-2012)=g(2012)+1+g(-2012)+1=2,；(2012)+/(2012)+负-2012)-/(-2012)=2.大 招 十 函 数 奇 偶 性 的 和 差 积 商 奇 偶
42、印 则 运 算 结 论 偶 函 数 偶 函 数 二 偶 函 数；奇 函 数 土 奇 函 数 二 奇 函 数；偶 函 数 X偶 函 数 二 偶 函 数：奇 函 数 X奇 函 数 二 偶 函 数；偶 函 数 X 奇 函 数 二 奇 函 数 例 1、设 函 数 尸(x)=(l+/j/(x)(x#)是 偶 函 数，且 不 恒 等 于 零，则 40()4 是 奇 函 数 8.是 偶 函 数 C.可 能 是 奇 函 数 也 可 能 是 偶 函 数 D 不 是 奇 函 数 也 不 是 偶 函 数 解：对 题 中 的 函 数 进 行 化 简：%)=卜+5 A，/(x)=f r*(x)()z-1J/十 12 Y
43、-1 2-Y-1 1-2 V令 以 x)=3F()，以“尸 7 7=77-7=；.g(x)是 奇 函 数.(x)是 偶 函 数，./(x)=ga)尸 a)为 奇 函 数.例 2、判 断 函 数/(x)=1 土 i+0且 a 丰 1)的 奇 偶 性.解：由 已 知 函 数 的 定 义 域：,优 一 1。0,在 0.16x x xax x-II-1-1-F X 0,./(x)=f(x),ax-2 优 一 1 2 a-1.Ax)为 偶 函 数.例 3、己 知 函 数-COSX,对 于 一 名?上 的 任 意 演,2，有 如 下 条 件：彳 X2：X；X；;N.其 中 能 使/(%)/卜 2)恒 成
44、立 的 条 件 序 号 是 答 案：因 为./(X)为 偶 函 数，且 当 xe(o，m,N=F 与 尸 一 cosx都 是 增 函 数，故/(X)在 上 单 调 递 增,在 上 单 调 递 减.当 三 之 闻 旧 时，有/(%)=/(kJ)/(同)=/()从 而 知 正 确.大 招 十 一 函 数 周 期 性 结 论 全 归 纳 结 论 1、/(x+a)=/(x+b)型：仆)的 周 期 为 归-|。证 明：府+)=加+6)=7(x)=Xx+/j-a)。例 1、定 义 在 R 上 的 函 数 加 0满 足 加 r+6)=Xx).当 一 3力 一 1时，Xx)=-(x+2)2,当 一 1 x3时
45、，fi.x)=x,则 川)+人 2)+火 2012尸()(4)335(5)338(Q1678(0)2012【答 案】B【解 析】由 Hx+6)=/(x),可 知 函 数 的 周 期 为 6,所 以 八 3)3)=1,大 一 2尸 大 4尸 0,八 一 1尸 次 5)=-1,火 0)=H6)=0,火 1尸 1,人 2)=2,所 以 在 一 个 周 期 内 有)+负 2)+.+寅 6尸 1+2-1+0-1+0=1,所 以,/(1)+./(2)+.+/(2012)=/(1)+./(2)+335x 1=335+3=338,选 B.结 论 2、/+a尸-/(%)型：/W 的 周 期 为 2。17证 明：
46、Xx+2a)=y(x+a)+a=-Xx+a)=-Ax)=7(x)例 2、已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 左)满 足 x+2)Mx)=。，且 当 xdO，2)时，大 x尸 3*-1,则 人 2015)的 值 为()A.2 B.O C.2 D.8【答 案】A【解 析】由 己 知，/(尤+2)=-/(x)，则/+4)=-/(x+2尸 危)，所 以/(x)是 周 期 为 4 的 周 期 函 数.所 以/(2015)=3)=火 1尸 一 2,选 A.例 3、函 数/)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，对 任 意 的 xGR,满 足 兀 什 1)+负 x尸 0,且 当 0 x=/(x)。/(
47、x)18例 5、定 义 在 R 上 的 奇 函 数 於)满 足/(x+2)=-,且 在(0,1)上 抬 尸 3*.则 _/(k)g3 54)=f x)23A-lC-lD.一 一 32【解 析】/(x+2)=-得 出/(X)的 周 期 为 4,/(log3 54)=/(log3 54-4)=-/(4-log3 54)=一 3呜 选 C结 论 5、/(x+a)=E 型：/(x)的 周 期 为 2 WJ X.)证 明：/(x+2a)=/(x+a)+a=l-/(x+a1 1-力 l+/(x+a)1-小)7(1例 6、定 义 在 R 上 的 函 数/(x)对 任 意 x G R,都 有/(x+2)J二,
48、J?,/(2)=-,则/(2016)等 于()4,1 t思 路：由/(x+2)=及/(2016)所 求 可 联 想 到 周 期 性，所 以 考 虑 J)/(x+4)=/(x+2)+2 1-/3l-/(x+2)l+/(x)l+/(x+2)J 1-=/(x),所 以/(x)是 周 期 为 4 的 周 期 函 l+/(x)1 数，故(2016)=火 4),而 由 已 知 可 得/(4)=号 目=一|=|,所 以 2016)=|。1+4答 案：D、1+/M/、结 论 6、/(x+a)=(型:/(x)的 周 期 为 2 W1 一/(x)证 明：小+2+川)+力 罟 隅 1+U(?1 l+/(x)-/(x
49、)1一/319/(x+4a)=/(x+2a)+2 a=f(x+2a)-=x)。x)例 7、已 知 函 数 人 x)满 足 负 1)=2,/(x+1=则 1)火 2)/3)义 2010)的 值 为 答 案：一 6解 析：由 已 知 易 推 出/(x)/(x+2)=-1,于 是 原 式=/(1)/(2户 2x(-3尸-6.例 8、已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 Xx)满 足/，(/x+l)、=-1+/7-3T-则 寅 X)必 有 一 周 期 为()A.2 B3 C.4解：令 x=x+l,再 次 使 用 递 推 式/(x+2)=D.51+1+小)l+/(x+l)=1-/(x)二 _ _ 11
50、-小+1)1+/3 一 河 1-/W将 原 递 推 式 代 入 上 式:根 据 上 面 复 习 的 公 式，直 接 可 以 得 到/(x+4)=/(x),即 原 函 数 是 周 期 函 数，且 周 期 T=4结 论 7、/(x+2a)=/(x+a)/(x)：/(x)的 周 期 为 T=6a证 明 尸 危)+,危+2。)令 x=x+a,再 次 使 用 递 推 式；/+2。)=/+。)+段+34)两 式 联 立 可 得：於 尸/(x+3a),再 令 x=x+3a,可 知 fix+3a)=fix+6a)所 以 贝 x+6a)=/(x)例 9、已 知 函 数 於)(xCR)满 足./(x+l)=/(x