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1、正余弦定理（学案）一.解三角形的概念一般地，三角形的三个角A, B,。和它们的对边，4 c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.二.余弦定理1.定义：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍2.公式：4, 22 = a2+/-2ccos8, c2=届十/一2abeosC.3 .公式变形:片+廿一 c，2cos C= 2ah一 + 一一片6Z2 + c2-Z?2cosA= 2bc 9s B=正.4.使用条件：两边一角求边 三边求角（三边一角）三.正弦定理（大边对大角）1.定义在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等2公式二
2、熹三盛三房WE （该比值为该三角形外接圆的直径.） sin sin d sin -3 .使用条件：两角一边求边或角 两边一对应角求角.正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为m b, c,外接圆半径为凡 正弦定理有如下变形:(l) = 2RsinA, b=2RsinB, c=2Rsin C(边化角)(2)sinA=袅，sin B=, sin C=.(角化边) (3)。： b: c=sin A I sin B I sin C.abca+-+c“)sinsinsin Csin A + sin B+sin C四.三角形的面积公式1 .在ABC中，边BC, CA, A3上的高分别记为瓦，* 则CD
3、S=/=；S=：Q/?sin C=csin B=gbcsin A.知识简用题型一余弦定理【例1-1（2022.广东）在ABC中，角A, B,。所对的边分别为。，b, c,若亚,c = 2,2cosA = ,则b等于【答案】32Q【解析】根据余弦定理得/=+o2一2历cosA, gp5 = /72+4-2x/7x2x-,亦即从一1人一】=。，解得b = 3或人=-!（舍去）【例 1-2（2022河北）在 43c中，若 = 7） = 8,sinC = L 则。= 【答案】3或标【解析】因为。是三角形的内角，且sinC =浮，所以cosC = 土J1 sii?C = 土笔=j|.131 3当cosC
4、 =一时，由余弦定理得02=2+/一2cosC? = 72 +82 2x7x8x =9,贝ljc = 314141Q同理，当cosC = -五时，得。=衍故答案为:3或标.【例1-3（2022江西）在A3C中，角A, B, C的对边分别为q, b, c,若b = c = 2a,则cosB等于（?）1111A. B. -C. D.-8432【答案】B（JT+022+42 - 4/71【解析】因为方= c = 2%所以cos=+c=。+- 4=/故选：b 2ac2ax 2a4【例1-4（2022上海）在ABC中，角A?3?C所对边分别是？c,a2 b2-ab = c2,则。=*【答案】W【解析】a
5、2b2-ab = c2, .cosC=.+.=L。兀，。二个故答案为：g.lab233TT【例1-5（2022.湖南）在二A3C中，内角A, B,。所对的边分别为处b, c.若qc = 8,q + c = 7,B = q ,贝！Jb 二.【答案】57T【解析】由题知ac = 8,a + c = 7,B = Q ,由余弦定理=a2+c2 -2accosB , j J可得：从=储+。2一qc、= （ + c）2_3，c = 72_3x8=25,则 =5.故答案为：5.题型二正弦定理02/6【彳列2-11 （2022青海）在ABC中，角4B, C的对边分别为a, b, c,若sinA = a = 2
6、也,b = 3,则sin8= (?).b = 3,则sin8= (?).B.V24【答案】B【解析】因为sin A = !【解析】因为sin A = !a = 2也，b = 3 ,由正弦定理sin Ah3F得sin人妇&二I-立故选:sinB smB- 0 一 2四一 4B.B.【例2-2】 （2020河北）在乂3c中，已知 A = 60 ,。= 26/=2,则3= (?)A. 30 或150A. 30 或150B.60C. 30D. 60 或120【答案】C【解析】因为在中,【解析】因为在中,A = 60 ,a = 2a/3,b = 2 ,由正弦定理有：-=-， sin A sin B所以s
7、in 8 =所以sin 8 =Z?sin A 2 x sin 602Gp 解得3 = 30或150 ,又因为人可得4 方b =型,则角A的值是（?） 3A. 15B. 75C. 105D. 15 或75【答案】D一l 4a/3. 一 csin B【解析】3 = 45 , c = 2&，b = , - sinC =-3b2V2x4a/3 2，亍0 C0,所以sin3 =立，因为所以B =故答案为：.2I 2J33【例4-4】(2022.山东东营)在ABC中，a = bcosC+csinB 9则角8是【答案】v 4【解析】由Q = /?cosC + csinB,根据正弦定理得 sin4 = sin
8、BcosC+sinCsinB,即 sin(B + C) = sinBcosC+sinCcosB = sinBcosC+sinCsinBrr化简得 sin Ceos B = sin CsinB, MP tanB = 1, 8e(0,兀),B =【例4-5(2022江苏)在43c中，内角Aa。的对边分别为。也。，若V2cosC(6/cosB+/?cos) + c = 0,则角 C 的大小为.3兀【答案】一4【解析】丁夜cosC(accs3+bcosA)+ c = 0由正弦定理有：V2cosC(sin AcosB + sin BcosA) + sinC = 0V2cosCsin(A + B) + sinC = 0 立cosCsinC + sinC = O绚。，cosC +?，cg 与。彳故答案为： 【例4-6(2022新疆)已知。、b、c分别为的内角A、B、。所对的边，若满足( + /? C)(Q + b + C)= Qb,则角C的大小为【答案】120【解析】由，则所以，则，又所以.【例4-7】（2022全国高一课时练习）在中，内角4 B, C的对边分别为m b, c,若，则B的值为【答案】或【解析】根据余弦定理可知，代入，可得，即，因为，所以或