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1、第一章集合与常用逻辑用语 不等式第 一 节 集 合 备考领航课程标准解读关联考点核心素养1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用1.集合的基本概念.2.集合间的基本关系.3.集合的
2、基本运算1.数学抽象.2.数学运算.3.逻辑推理重点准 逐点清 结论要牢记课前自修知识逐 点:凌 重点准逐点清重点一集合的有关概念1.集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性.2.元素与集合的两种关系：属于，记为且；不属于，记为生3.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.4.五个特定的集合集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或 N+ZR 提醒（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N 为自然数集（即非负整数集），包含0,而 N*或 N+的含义是一样的，表示正整数集,不包含0.逐点清x+y=l,1.（必 修 I 笫 4 页例2 改编）方程组1 的解集是（）（
3、x-y=lA.x=0,j=lc.(0,1)B.0,1D.(x,y)|x=0 或 y=lx=0解析：选 C解 方 程 组 得.只有一解且是一组数对，因此解集也只含有一个元口=1,素.A 和 B 都表示含有两个元素的集合，错误；C 是用列举法表示的正确的解集形式；D是用描述法表示的，但应该是（x,y）|x=O且 y=l.2.（男错题）已知集合4=似，|a|,a-2 ,若 2 G A,则实数a 的值为（）A.-2 B.2C.4D.2 或 4解析：选 A 若 a=2,则|a|=2,不符合集合中元素的互异性，则”W2;若|a|=2,则 a=2 或一2,可知a=2 舍去，而当。=一 2 时，a2=4,符合
4、题意;若 a-2=2,则 a=4,|a|=4,不符合集合中元素的互异性，则”一2K2.综上，可知a=-2.故选A.重点二集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A 中任意一个元素都是集合3 中的元素x A x BA U 8 或 归 a真子集集合A 是集合5 的子集，且集合8 中至少有一个元素不属于AA B,且xoAA 8 或 8 A相等集合4,B的元素完全相同A QB,BQAA=B空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集V x,通3 0GA0 提醒 空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，应时刻关注对于空集的讨论.逐点清3.（兴 修 1 第 12页 A 组 5 题改
5、编诺集合A=xGN|xW屈 ,a=2小,则下面结论中正确的是（）A.aUA B.a Q AC.aGA D.aA解析：选 D因为2啦不是自然数，所以mA.4.（易错题）已知集合A=x|xl，8=x|x a,若A Q B,则 实 数a的取值范围是解析：如图，在数轴上表示出A,氏因为A U 8,所以BAa 1 x答案：a|Wl重点三集合的基本运算 提醒 Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补集运算的常用方法，其中集合的并集集合的交集集合的补集符号表示AUBAAB若全集为U,则集合A的补集为CuA图形表示(3 0C O意义x|xG A,或 xC8x|xG4 且 xGBx|xG。，且通A性质A
6、 U 0=A；AUA=A；A U g=BUAAPI0=0；AAA=A；A H B=BrAA(JuA)=U；A n(tM)=0；CiXlu4)=a运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.逐点清5.(兴 修 1 第 12页 A 组 6 题改编)已知集合4=3 2*4,3=x|3 x-7 2 8-2 x ,则AU8=()A.x|3Wx4 B.x|x22C.x|2Wx4 D.x|2近xW3解析：选 B 解不等式3 x-7 2 8-2 x,可得x 2 3,因此集合8=x|x3 .由集合A=x|2这x v 4,可得 4 U 3=x|x 2 2 .故选 B.6.(2020全国卷U)已知集合 A=x|x
7、|l,xG Z,则 A D 8=()A.0 B.-3,-2,2,3)C.-2,0,2 D.-2,2解析：选 D 法一：因为 A=x|x|3,xSZ=x|-3xl,xGZ=x|xl 或 x -1,x G Z,所以 A D B=-2,2.故选 D.法二：A A B=x|l|x|3,xGZ=x-3x1 或 lx3,xGZ=_ 2,2.7.(必 修 1第 12页 A 组 10通改编)设全集为R,集合4=x|0 x2,8=x|x 2 l,则A n )=()A.x0 xWlB.x|0 xlC.x|Kx2 D.x|0 x2解析：选 B 因为集合 8=x|x,l,所以CR5=X|X 1 ,所以 A n(：RB
8、)=xOxl.记结论提速度 记结论1.子集的个数：若有限集A 中有个元素，则 A 的子集有2个，非空子集有2-1个，真子集有2一1 个.2.等价关系：A Q B=A A Q B i AU8=4 0 4 2 5.提速度1.集合yly=一始+6,x,ydN 的真子集的个数是()A.9B.8C.7D.6解析：选 C 当x=0 时，j=6;当x=l 时，j=5;当x=2 时，y=2;当x=3 时，y=-3.所以仔如=一/+6,x,yGN=2,5,6,共 3 个元素，故其真子集的个数为23-1 =7.故选C.2.已知集合4=1,2,B=x|m x-l=0,若 则 符 合 条 件 的 实 数 小 的 值
9、组成的集合为.解析：A B=B,：.BA.当m=0 时，8=0满足要求；当 时，则/n-l=0 或 2 m-l=0,解得,=1 或/n=l.综上，机e i,0,1答案：1，()，考点分.类.突破课堂讲练理 解 透 规 律 明 变化究其本1考 点-1集合的基本概念 基础自学过关 题组练透1.(2020全国卷IU)已知集合 4=(x,y)|x,yGN*,y x,B=(x,y)|x+y=8,则 ACIB中 元 素 的 个 数 为()A.2B.3C.4 D.6解析：选 C 由题意得，AC8=(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),所以A D 5 中元素的个数为 4.故选C.2.定义 P(DQ=
10、z卜 十+：，x&Pt yG。,已知 P=0,-2),Q=1,2,则尸0Q)A.1,-1 B.1,-1,0)C.1,-1,-1|D.-1,一：解析：选 C 由定义，当x=0 时，z=l,-2 _ 3当 X=-2 时，2=1-2+力 一=-1 或 2=2 _ 2-1=一不因此尸。0=1,1,-3.设5E R,集合1,a+b,“=(),务方,则万一0=()A.1 B.-1C.2 D.-2解析：选 C 因为1,a+b9。=卜，,。#0,所以+=0,则，=1,所以。=-1,b=l,所以ba=2.故选C.4.若集合A=XR|QX231+2=0中只有一个元素，则=()9 9A2B8C.0 D.0 或/解析
11、：选 D 若集合A 中只有一个元素，则方程 好2-3 +2=0 只有一个实根或有两2 Q个相等实根.当。=0 时，X=T,符合题意；当“W 0时，J=0,即 98 a=0,得。=鼻，故J O选 D.5.(2021陕西榆林三模)设集合A=x|3xl C i ,若 1WA且 2E A,则实数，的取值范围是()A.(2,5)B.2,5)C.(2,5 D.2,5解析：选 C .集合 A=x|3x-l/n,lGA 且 244,，3X1 1胆且 3X2 解得 2c.故选C.练后悟通与集合中元素有关的问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，
12、是数集、点集还是其他类型的集合；集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.1 9A：1集合的基本关系 师生共研过关 例 1 (1)(2021沈阳放学质监测)设全集U=R,则集合 M=0,l,2和 N=x|x-(x-2)4ogK=0的 关 系 可 表 示 为()(2)(20210川看闽中中学高三月考)已知集合4=*|-13,B=x m x()时，因为 A=x|lx）,B=x|x|2,则如图阴影部分所示的集合为（）A.x|-2x4 B.x|xW2 或 x24C.x|-2W x这-1 D.x|-1WXW2 解析(1)由
13、题意，得 4 U B=T,O,1,2,所以CM4UB)=-2 5 .故选 A.(2)CuA=x|-lW xW 4,5=x|-2W xW 2,记所求阴影部分所表示的集合为C,则C=(r)5=x|-1Q W 2.答案(1)A(2)D 解题技法集合基本运算的方法技巧法兔集西审药完豪友箕蒲定的茶祥，而窗裹而兔L 一：义域、值域，一元二次不等式的解集等I呵 枭 堀 元 案 满 定 府 秦 祥 擀 方 雇 最 示 尊 北，得由元赛信 盒|一：满足的最简条件，将集合清晰表示出来I性 算 前 用 交 集 最 舁 藕 定 义 泵 解，丸更前可应由薪而|求解|:或V enn图来直观解决考向2根据集合运算结果求参数
14、 例 3 (1)已知集合4=*旧3x0,B=1,a,且 A C S 有 4 个子集，则实数a 的取值范围是()A.(0,3)B.(0,1)U(1,3)C.(0,1)D.(-8,1)U(3,+8)(2)(2020全国卷 I)设集合 A=x*4W 0,5=x|2x+aW 0,且 AnB=x|-2W xW l,则=()A.-4 B.-2C.2 D.4 解析(1)因为4 C 5 有 4 个子集，所以AD中有2 个不同的元素，所以aW A,所以。23。0,解得0VaV3.又a W l,所以实数”的取值范围是(0,l)U(l,3).故选B.(2)法一：易知 4=x|-2Wx4 2,8=x x4 一:,因为
15、 A C 8=x|2 V，则（I）U 8=。,1,2卜 共 有 7 个元素.答案 B 解题技法集合新定义问题的求解思路（1）遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；（2）集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件.跟踪训练1.（2021全国统一考试模拟演练）已知M,N 均 为 R 的子集，且RM U N,则 M U&N）=（）A.。B.MC.N D.R解析：选 B 根据题意画出Venn图，因为M,N 均为R 的子集，且RMC N,所以RN=M,M
16、U（RN）=M,故选B.RX2.（2021成都市诊断性检测）已知集合4=-1,0,m,8=1,2.若、A U 3=-1,0,1,2 ,则实数，的值为（）A.-1 或 0 B.0 或 1C.-1 或 2 D.1 或 2解析：选 D 因为 A=1,0,m,B=1,2,0,1,2,所以?G(AU8),，不能等于A 中的其他元素，所以，”=1 或,=2.3.(2021武昌区高三调研)已知集合4=*旧一x-20,B=xa-2 x a,若 A 0 8=x|-l x 0,贝(J AU5=()A.(-1,2)B.(0,2)C.(-2,1)D.(-2,2)解析：选 D 由 x2x20 得一l x 2,即 4=x
17、l x 2,因为 8=x|a2xa,A n B=x|-l x 0,所以 a=0,所以 8=x|-2 x,a&P,b Q,若尸=一1,0,1 Q=-2,2,则集合N Q 中 元 素 的 个 数 是()A.2B.3C.4D.5解析：选 B 当a=0 时，无论Z（取何值，z=a X =0;当a=-1,b=2 时，z=j;当 a=-1,Z=2 时，z=I；当 a=l,=2 时，z=当 a=l,=2 时，z=；.故尸Q=0，T ，该集合中共有3 个元素 故选B.课时过关检测 A 级-基础达标1.已知集合4=（工，y）|x+y=l,B=x lx-y=l,则 4 r18 等于（）A.（1,0）B.（0,1）
18、C.1,0 D.0解析：选 D 因为集合A 中的元素为点集，集合8 中的元素为数集，所以两集合没有公共元素，所以A D 8=0.故选D.2.（2021贵州贵阳检测）设集合时=*小=1 1 1（*+3）,N=x|x 2 2,贝 lj（）A.M=N B.M NC.N M D.M CN=0解析：选 C 由x+3 0得 x -3,所以M=x|x -3,所以NUM.故选C.3.（2021昆明市三海一模）已知集合4=XCN|X2W 1,集 合 8=xW Z|-lW x3 ,则图中阴影部分表示的集合是（）A.1,3C.-1,2,3)B.(1,3D.-1,0,2,3解析：选 C 因为 A=XGN|X2W1=X
19、6 N|-1 WX1=0,1,8=XG Z|-1 WXW3=-1,0,1,2,3,图中阴影部分表示的集合为（CRA）D5,CR4=MXW 0且 xW l,所以（CRA）C 5=-1,2,3 .故选 C.4.（2021广州市阶段训练）已知集合4=0,1,2,3,B=x|x=n2-1,nSA）,P=A C 5,则 P 的子集共有（）A.2 个 B.4 个C.6 个 D.8 个解析：选 B 因为 3=xx=2-i,G A=-l,0,3,8,所以尸=4 0 8=0,3 ,所以P 的子集共有22=4（个）.故 选 B.5.调查了 100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对
20、于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（）A.最多人数是55 B.最少人数是55C.最少人数是75 D.最多人数是80解析：选 B 设 100名携带药品出国的旅游者组成全集/,其中带感冒药的人组成集合A,带胃药的人组成集合B.又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为X,则 x G 0,2 0,以上两种药都带的人数为y.根据题意列出Venn图，如图所示，由图可知，x+7 5+8 0-j=100.y=55+x.：0 x0,.RN=ylyW0,.M=RN.故C 正确，A、B、D 错误.9.设全集 S=1,2,3,4,且 4=*仁5仅 25*+机=(),若1 5=2,3,则机=.解析：因为
21、 S=1,2,3,4,CsA=2,3,所以 A=1,4,即 1,4 是方程*25*+?=0 的两根，由根与系数的关系可得,=1X 4=4.答案：410.已知集合 A=x|(x-l)(x-3)0,8=x2x4,贝 U AD8=,AU 3=,(CRA)UB=.解析：由已知得 A=xlx3,B=x2x4,所以 An3=x2x3,AU5=xlx2.答案：(2,3)(1,4)(-8,1U(2,+)11.已知集合0=1 ,集合4=-5,2,5=(1,4),则下图中阴影部分所表示的集合为解析：；4=-5,2,8=(1,4),.uB=x|xW l或 x N 4 ,则题图中阴影部分所表示的集合为(M)nA=x|
22、-5W xW l.答案：x|5WxWl1 2.已知集合A=xB=xx 2 m 1,且 A G IRB,则，”的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _解析：依题意，A=R8=X|X2 2 L 1,又所以2,一1 4，解得 故，”的最大值为*答案：13B 级综合应用13.(2021福州市适应性考试)已知集合4=(*,J)|2X+J=0,8=(x,j)|x+/n j+l=0 .若 A C 5=0,则实数，=()A.1 212BC2D.2解析：选 C 因为A n s=。，所以直线2 x+y=0 与直线X+/HJ+1=0平行，所以机=故选c.1 4.已知集合4=*2=，4X2,8=x|aW xW a+l
23、,若 AU8=4,则实数。的取值范围为()A.(一8,-3 U 2,+8)B.-1,2C.-2,1 D.2,+8)解析：选 C 集合4=*卜=#4-*2=划一2=、4 2 ,因为4 U B=A,所以8UA.伍2 一2,又 B#。，所以有J ,所以一2WaWl.故选C.匕+142,15.对于任意两集合 A,B,定义 4-8=x|xG A 且 H 3,A*B=(A-B)D(B-A),记A=UlyNO,B=xly=lg(9-x2),贝!|8 4=,A*B=.解析：由题意，得人二投。,B=x|-3 x 3,所以 A-5=xlxN 3,B-A=x|-3 x 0.因此 A*8=x|x3 U x|-3 x
24、0=x|-3 x 0,则 B=第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 备考领航课程标准解读关联考点核心素养1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定1.充分条件与必要条件的判定.2.充分条件、必要条件的探求应用.3.全称命题与特称命题1.逻辑推理2.数学抽象重点准 逐点清 结论要牢记课前自修知识 重点准逐点清重 点 一 充 分 条 件、必要条件与充要条件的概念若 P今g,则。是。的充分条件,是的必要条件p是q的充分不必要条件p 0 q 且 q Q pp是q的必要不充分条件*q 且 q=pP是q
25、的充要条件p 0 qP是q的既不充分也不必要条件p 弁g 且 q A p 提醒 注意区别A 是 8 的 充 分 不 必 要 条 件 且B令A）与A的充分不必要条件是8（5=A且 A 5）两者的不同.逐点清1.（选 修 2-1 第 1（）页练习2 题改编）x=3”是“*2+3*=0 的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选 C 由/+3*=0,解得x=3 或 x=0,则 当 x=3 时一定有/+3 丫=0”,反之不一定成立，所 以“*=一 3”是“如+3*=0 的充分不必要条件.2.（2020天津病号）设 a d R,贝！是“层 优，的（）A.充
26、分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 A 由a2 a得a l或 a l得a2 a,则“al是 出。”的充分不必要条件,故选A.重点二全称命题和特称命题1.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等V存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等3_2.全称命题和特称命题3.全称命题与特称命题的否定称形全称命题特称命题语言表示对 M 中任意一个x,有 p（x）成立M中存在元素x o,使 p（xo）成立符号表示VxGA/,p(x)ExpEAf,p(xo)全称命题PVxG Mtp(x)全称量词变为存在量词它的否定rp：m g
27、E M jp Q o）对结论进行否定特称命题P三斯6 M,p G o）存在量词变为全称量词它 的 否 定!V x e A/(x)对结论进行否定全称命题的否定是特称命遮特称命题的否定是全称命题 提醒 对没有量词的命题要结合命题的含义加上量词，再改变量词.逐点清3.（选 修 2-1 第 27页习题A 组 3 蔻改编）命 题“V xW R,好+工2 0”的否定是（A.3XOGR,蝠+XOWO B.3x（）GR,xJ+xoOC.VxGR,x2+x 0 D.WxGR,x2+x o D.VxGR,2x0)解析：选 C 当x=1 0 时，1g 1 0=1,则 A 为其命题；当x=0 时，sin 0=0,则
28、B 为真命题；当xWO时，/W 0,则 C 为假命题；由指数函数的性质知，VxWR,2、0,则 D 为真 命 题.故 选 C.5.(易错题)设命题p：正方形都是平行四边形，则为.解析：因为p 为全称命题，所 以 应 为 特 称 命 题，且对结论否定.奴辨p为“有的正方形不是平行四边形”.答案：有的正方形不是平行四边形 记结论提速度 记结论集合与充要条件设 p,g 成立的对象构成的集合分别为A,B.(1加 是 g 的充分不必要条件台A B；(2)。是 g 的必要不充分条件0 A 8；(3)p是q的充要条件台A=8.提速度“一IVxVO”是“*2+2*0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件
29、C,充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 A 由x2+2x0得一2x0,所以一IVxCO 是“*2+2 0”的充分而不必要条 件.故 选 A.,充分条件 必要条件的判定 师生共研过关 例 1 (1)(2021广东省七校联考)已知命题p：2X,命题g：log2Xlog,则命题p是命题q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)王安石在 游褒禅山记中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请 问“有志”是 到 达“奇伟、瑰怪，非常之观”的)A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不
30、充分条件 解析(1)由题意可得p:x 1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选 D 充分性：当 O V aV l时，今log滴V I,故充分性不成立.必要性：当logf lZl时，若 O V a V l,则O V b V a,故必要性不成立.综上，“b a”是“log/1的既不充分也不必要条件.故选D.2.若集合4=4-6*+5 0 ,B=x|x-a|l),贝 1 J%6(2,3)”是“BUA”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 A A=x|lVxV5,8=x|a1 VxV a+1.a 1
31、1,：B A,一 即 2W a44,V(2,3)2,4,“aG(2,3)”是“8G A”的充分不必要条件.师生共研过关1号点充分条件 必要条件的探求与应用 例 2 已知尸=*|*2 8x20W 0,非空集合 S=x|l若 xGP 是 x6 S 的必要条件，则m的 取 值 范 围 是.解析 由始一8*2 0 4 0,得一2WxW10,所以=x|一2xW10,由xC 尸是x C S 的必要条件，知 SUP.f lW1+?,则1m 2 2,所以 0 ”?W3.11+机10,所以当（）WmW3时，xG P 是 xG S 的必要条件，即所求，”的取值范围是 0,3.答案 0,3 对点变式1.（变设问）若
32、本例条件不变，问是否存在实数,，使 xG 尸 是 xG S 的充要条件.解：若 XGP是 x e s 的充要条件，则尸=S,l m=2,f/n=3,所 以,解得l+/7j=10,lm9,即不存在实数，使 xG P 是 xG S 的充要条件.2.（变条件）若本例中条件“若 xG 尸是xG S 的必要条件”变 为“若 尸 是 的 必 要 不充分条件”，其他条件不变，求实数机的取值范围.解：由例题知尸=x|-2W xW 10,P是 S的必要不充分条件，.S 是尸的必要不充分条件，:.S 且 sA p.,.-2,1 0 12,f lm10 1+/10.即，”的取值范围是 9,+）.解题技法根据充分、必
33、要条件求解参数范围的方法及注意点（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解；（2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.跟踪训练1.设集合4=*仅 -1,B=xx,贝！J “xG A 且送8”成立的充要条件是（）A.-l 1D.-1 X-1,B=XX 1 9 又且逐B,A-1 X 0,方 0成 立 的 一个必要不充分条件是()A.a+b 0 B.aft0C.ab D.f lt)解析：选 A 因为a0,b 0=a+
34、b 0,反之不成立，而由a0,b0不能推出“一/0,ah ,齐11.故选 A.1号点-1全称命题与特称命题 定向精析突破考 向 1含有量词的命题的真假判断 例 3(多选)(2021海南海口期中)下列关于二次函数j=(x-2)2-l 的说法正确的是()A.VxGR,j=(x-2)2-l lB.V a 1,3 x o R,y=(x()2)21V。C.VaV 1,SxoR,y=(xo2户 1=。D.三不 刈,(x i2)21=(x22)21 解析 对于二次函数y=(x 2)21,其图象开口向上，对称轴为直线x=2,最小值为一 1,所以V xR,J=(X-2)2-1 -1,所以 A 项错误；V a -
35、1,S xoe R,j=(x0-2)2IV%所 以 B 项正确；V aV 1,S x o R,y=(xo2产一1=Q不成立，所 以 C 项错误；2x1=5X 2,(xi2产一1=(必2产一1,所以D 项 正 确.故 选 B、D.答案 BD 解题技法全称命题与特称命题真假的判断方法判断全称命题“V xM,p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素占证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x=x o,使p(x。)成立即可.考向2含有量词的命题的否定 例 4 已知命题p：三 血&八 )=2ZX是增函数，则 。为()A.B mRf)=2一机工是减函数B.V/nG R,人
36、幻=2*，内是减函数C.x)=2一/7zx不是增函数D.V/nGR,Ax)=2x-m x 不是增函数 解析 由特称命题的否定可得 P为“VmGR,f x=2x-mx不是增函数”.故 选 答案 D 解题技法全称命题与特称命题的否定的步骤(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定.考向3根据全(特)称命题的真假求参数 例 5 已知命题 p：VxG 1,2,x2 o；命题 q：mxoGR,x6+2or()+2 a=0 成立.若命题p 和 g 都是真命题，则实数a 的 取 值 范 围 为.解析 因为p 是真命题，
37、所以a0B.V,/?GR,sin(a+)?)sin a+sin/?C.SxGR,x2-x+l=0D.3/?6R,sin(a+/)=cos a+cos解析：选 D 因为“2“一1=1-3 2 一(2 一 所 以 A 是假命题；当3=夕=0 时，有sin(a+/?)=sin a+sin/?,所以 B 是假命题；x2x+102-144,所以 C 是假命题；当1=夕=1 时，有 sin(a+)?)=cos a+cosp,所以D 是真命题.2.(2021河南 八市联名)若“V xd o,j ,tan x mn是真命题，则实数机的最小值为.解析：.函 数 =1211 x 在 o,1 上是增函数，.,.ym
38、axMtan =1.依题意知，m ym ax,即的最小值为1.答案：1微专题(一)核心素养逻辑推理突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类 型 一 形 如“对任意XI W A,都存在X 2G 8,使得g(X2)=/出)成立 典例 1 已知函数八%)=3/+2 丫 一?2a,g(x)=x若对任意 X1G 1,1,总存在必 0,2,使得/(xi)=g(X2)成立
39、，求实数”的取值范围.解/x)=3x2+2xa(a+2),则，(x)=6 x+2,由，(x)=O 得 x=-g.当 一；)时，f(x)0,所以 f(x)m m =a22a1.又由题意可知，/U)的值域是 一g,6 的子集，所以 一“2 24 一；一；，-1)W 6,解得实数a的取值范围是-2,0.点评 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数式x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a 的不等式组，求得参数的取值范围.类型二 形如“存在X1GA及 X 2G 3,使得兀n)=g(X2)成立”典例 2 已知函数八x)=2x,xG 0
40、,扛 函 数 g(x)=Ax2A+2,(A0,)(),若存在X1G(),当 及 必 电，使得/(Xl)=g(X2)成立，求实数#的取值范围.解 由题意，易得函数大X)的值域为 0,1,g(x)的值域为 224，2J,并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况，即2241或2*0,解得或所以，要使两个值域有公共部分，4的取值范围是:，1.点评 本类问题的实质是“两函数八x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用。U)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型三 形如“对任意X 1
41、G A,都存在X 2 G 8,使得Axi)g(X2)成立“4r i 典 例3已知函数A x)=x+j g(x)=2x+a9若4 共 引2,3,使得犬xi)Wg(M),则实数a的 取 值 范 围 是.解析 依题意知/U)maxg(X2)恒成立，则实数，的 取 值 范 围 是.解析：7(x)=x2-2 x+3=(x-l)2+2,当 xG l,4 时，/lx)min=/ll)=2,g(x)max=g(4)=2+m,则/(X)ming(X)max,即 22+,”,解得1cosA=1,cos A=|=A=60+JlX360,AGZ,所以“A=60”是“cosA=”的充分不必要条件.3.3 x 0,使 2
42、*+x-a W 0,则实数a 的取值范围是()A.(1,+)B.1,+0)C.(一8,1)D.(-8,1解析：选 B 3 x 0,使 2*+xaW O,等价于 a，(2*+x)min,设/(x)=2*+x,x0,+8),则函数人x)在0,+8)上是单调增函数,所以八%)利 o)=i,所以a 的取值范围是。泞.故选B.4.甲、乙、丙、丁四个人在一次比赛中只有一人得奖，在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.T：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是(A.甲 B.乙)C.丙 D.T解析：选 D 根据四人的回答，可将丙的回答作为突破口.（1）若丙的回答为假
43、，即乙的回答为真，故四人中只有乙说的与事实相符，推得得奖的为丙、丁，与 题 干“只有一人得奖”矛盾；（2）若丙回答为真，故四人中只有丙说的与事实相符，由此推得丁获奖.故选5.已知 p：x,jG R,x2+y2 2,q：x,jG R,|x|+|y|V2表示正方形48C。内部.可知p tg,q 告 p,故p 是g 的充分不必要条件.故选A.6.（多选）已知a,儿 c 是实数，下列结论正确的是（）A.ua2 b2n是aa bn的充分条件B.ua2 b2n是“。方”的必要条件C.ad bcz”是“a b”的充分条件D.ua bn是 a b”的既不充分也不必要条件解析：选 CD 对于A,当”=-5,3=
44、1 时，满足层,但是。儿所以充分性不成立；对于B,当a=l,5=2 时，满足a b,但是出儿2得,w o,则 有 成 立，即充分性成立，故正确；对 于 D,当。=-5,b=l时，网成立，但是a V b,所以充分性不成立，当a=l,6=2 时，满足a b,但是团 bn的既不充分也不必要条件.故选C、7.（多选）下列命题说法错误的是（）A.SxGR,eYOB.VxR,2x x2C.a+Q O 的充要条件是珠=-1D.若 x,j G R,且 x+y 2,则 x,y 中至少有一个大于1解析：选 ABC 根据指数函数的性质可得P 0,故 A 错误；x=2 时，2 产不成立，故 B 错误；当a=6=0 时
45、，今殳有意义，故 C 错误；因 为“x+y 2,则 x,y 中至少有一个大于1”的逆否命题为“x,），都小于等于1,则 x+yW 2”，是真命题，所以原命题为真命题.故 选 A、B、C.8.（多选）设计如图所示的四个电路图，若 p：开关S 闭合，中 灯 泡 L 亮，则 p 是 g 的充要条件的电路图是（）产,二 个 厂 力)色A B C D解析：选 BD 由题知，电路图A 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，而灯泡L 亮开关S 不一定闭合，故 A 中p 是的充分不必要条件；电路图B 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，且灯泡 L 亮，则开关S 一定闭合，故 B 中p 是 g 的充要条件；电路图C 中，开关
46、S 闭合，灯泡L 不一定亮，灯泡L 亮则开关S 一定闭合，故 C 中p 是 g 的必要不充分条件；电路图D 中，开关S 闭合则灯泡L 亮，灯泡L 亮则一定有开关S 闭合，故 D 中p 是 g 的充要条件.故选B、D.9 .若 命 题p的 否 定 是“V xG(O,+8),x+l”，则 命 题p可写为解析：因为p 是p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可.答案：BxoG(O,+),A/X WXO+110.已知p(x)：x2+2 x-/n 0,若 p(l)是假命题，p(2)是真命题，则实数盟的取值范围为.解析：因为p(l)是假命题，所 以 1+2,”式0,解得机23.又p(2
47、)是真命题，所以4+4 一盟 0,解得/n8.故实数机的取值范围为 3,8).答案：3,8)11.已知p：1WXW2,q：(xa)(xa1)0,若 p 是 g 的充要条件，则实数a 的值为.解析：q:(xa)(xa1)0,f a=l,由p 是 g 的充要条件知|.a=l.a+l=2,答案：112.已知集合4=|-2V xa+2,3=x|xW 2 或 x 2 4 ,则 A D 5=。的充要条件是.a+2W 4,解析：4 0 5=0 0，、0 2 2 2答案：0 a 0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是()A.B.0m0 D.ml解析：选 C 若 不 等 式 x+”?0在 R 上恒成立，则
48、/=(1)2 4胆 0 在 R 上恒成立时，必有机 0,但当机 0时，不一定推出不等式在 R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是机().故选C.C 级迁移创新16.若八X)=/一2x,g(x)=ar+2(a0),VxiG 1,2,3x0G1,2,使 g(xi)=./(xo),则实数a 的 取 值 范 围 是.解析：由于函数g(x)在 定 义 域 内 是 任 意 取 值 的，且必存在x o G-L 2,使得g(xi)=/U ),因此问题等价于函数g(x)的值域是函数4x)值域的子集，函数/U)的值域是-1,3,因为a 0,所以函数g(x)的值域是2-a,2+2 a,则有2心 一 1 且 2+
49、2 a M 3,即 a 4，故实数a 的取值范围是(0,.答案：(0,1第三节不等关系与一元二次不等式 备考领航耄点准 逐点清 结论要牢记课程标准解读关联考点核心素养1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，会解一元二次不等式.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系1.比较两个数(式)的大小.2.不等式的性质及应用.3.一元二次不等式的解法.4.一元二次不等式恒成立问题1.逻辑推理.2.数学运算 重点准逐点清课前自修知识重点一不等关系1.两个实数比较大小的依据(1)4 方
50、台。一 方 0；(2)。=。台。-白=0；(3)a bg a-b b 0 b b,b c a c；(3)可加性：ab今a+cN+c,a b,cdO a+cN/+d；(4)可乘性：a b,c 0=ac bc；a b 0,c d 0=ac bd 可乘方：a b Q an bn(n ,n l)；可开方：a b 0=r a 跖(GN,”22).提醒(1)同向不等式可以相加，不能相减；(2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变.逐点清1.(兴修 5 第 75 页习题 B 组 1 题改编)若八*)=3*2x+1,g(x)=2 x2+x l,贝!g(x)的大小关系是