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1、2021-2022学年湖南省长沙市开福区立信中学八年级（下）期末数学试卷（附答案与详细解析）一、选 择 题（每小题3 分，共计30分）1.（3 分）函数y=4x+1中自变量x的取值范围是（A.-1B.启 -1C.x -D.x D.A B=B C7.（3 分）正比例函数 =依（4#0）的图象在第二、四象限，则一次函数y=x+Z 的图象大致 是（）/彳,JLA.B.8.（3 分）随着网络的发展，某快递公司的业务增长迅速.完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件.假定每月增长率相 同.设为x.则可列方程为（）A.10 x+f=12.1 B.10（x+1）=12.1C.10（l+x）2
2、=12.1 D.10+10（1+x）=12,19.（3 分）关于x 的方程1=0有实数根，则 k 的取值范围是（）A.B.k W-a C.心一9 且上WO D.左 -9 且&/04 4 4 410.（3 分）如图所示为二次函数、=/+公+c（“W0）的图象，在下列选项中错误的是（）B.x l时，y 随 x 的增大而增大C.d+/?+c0D.方程 or2+x+c=0 的根是 xi=-1,12=3二、填 空 题（每 题 3 分，共 计 18分）11.（3 分）因式分解：c?-4=.12.（3 分）从-遥,0,皿,3.5这五个数中，随 机 抽 取 一 个,则 抽 到 无 理 数 的 概 率 为.21
3、3.（3 分）如图，矩形4 8 c o 中，AC,BD交于点O,M,N 分别为BC,0 c 的中点，若M N=3,则14.（3 分）将抛物线、=/向 上 平 移 3 个单位长度，再向右平移5 个单位长度，所得的抛物线为.15.(3分)已 知x i,*2是方程2?-5 x-3=0的两个根，则 上 _=.X1 x216.(3分)将二次函数y=-7+6 x-5在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，若 直 线 与 这 个 图 象 恰 好 有3个公共点，则。的三、解 答 题(共 9 个小题，第 17、18、19题每题6 分，第 20、21题每题8 分，第 22、23
4、题每题9 分，第 24、25题每题10分，共 72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6分)解一元二次方程：(1)x2-x -3=0(2)(x+3)2=2%+6.218.(6分)先化简，再求值：(1-2)/-4 x+4,其中彳=3.x+1 x+119.(6分)如图，四边形A 8C D是平行四边形，E、尸是对角线A C上的点，DE 8F1(1)求证：A E D丝C FB；(2)求证：A FCE.2 0.(8分)已 知，如图，一次函数的图象经过点P (4,2)和8(0,-2),与x轴交于点A.(1)求一次函数的解析式；(2)在x轴上存在一点Q,且 A B Q的面积为6,求点。
5、的坐标.2 1.(8分)为 推 进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A,B,C,。四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图.请根据统计图解答下列问题：(1)参加征文比赛的学生共有 人;(2)补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，表 示C等级的扇形的圆心角为,图中根=；(4)学校决定从本次比赛获得A等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知A等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生一名女生的概率.2 2.(9分)如 图，矩 形A B C D,延 长 至 点E,使。E=C ,
6、连接A C,A E,过 点C作CF/AE交A D的延长线于点F,连接EF.(1)求证：四边形A C FE是菱形；(2)连接 8 E,当 A C=4,ZACB=30 时，求 8E 的长.2 3.（9分）自带水杯已经成为人们良好的卫生习惯.某零售店准备销售一款保温水杯，每个水杯的进价为5 0元，物价部门规定其售价不低于进价，不高于进价的1.3倍.销售期间发现，日销售量y （个）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当销售单价是多少时，该零售店每天的利润为6 0 0元？（3）销售单价定为多少元时，该零售店每天的销售利润最大
7、，最大利润是多少元？2 4.（10分）已知），是x的函数，若函数图象上存在一点尸（a,b）,满足b-a=2,则称点P为函数图象上“梦幻点”.例如：直线y=2 x+l上存在的“梦幻点”P（1,3）.（1）求直线y弓x+3上 的“梦幻点”的坐标；（2）已 知 在 双 曲 线（AW 0）上存在两个“梦幻点”？且两个“梦幻点”之间的距离X为 我，求k的值.（3）若二次函数yq x 2 +（m-t+l）x+n+t的图象上存在唯一的梦幻点，且-时，的最小值为f,求/的值.2 5.（1 0分）如图，已知抛物线（。#0）经过A（-1,0）,C（0,2）,对称轴为直线x=l.x 2（1）求该抛物线的解析式；（2
8、）点G是直线B C上方抛物线上的动点，设G点的横坐标为m,试用含m的代数式表示G8C的面积，并求出GBC面积的最大值；(3)设R点是直线x=l上一动点，M为抛物线上的点，是否存在点M,使以点8、C、R、M为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点M坐标，不存在说明理由.2021-2022学年湖南省长沙市开福区立信中学八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（每小题3 分，共计30分）1.（3分）函数y=Nx+1中自变量x的取值范围是（）A.x-I B.x W -1 C.x -1 D.x -I【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式.根据
9、二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解.【解答】解：根据题意得：x+l 2 0,解得X2-1.故自变量x的取值范围是x N -1.故选：A.【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.2.（3分）一组数据1,2,2,3.下列说法正确的是（）A.众数是3 B.中位数是2 C.极差是3 D.平均数是3【分析】根据极差、众数、中位数及平均数的定义，结合各选项进行判断即可.【解答】解：A、众数为2,故本选项错误；B
10、、中位数是2,故本选项正确；C、极差为2,故本选项错误；D、平均数为2,故本选项错误；故选：B.【点评】本题考查了极差、中位数、平均数、众数的知识，掌握基本定义即可解答本题,难度一般.3.（3分）抛物线y=2 （x+3）?+5的顶点坐标是（）A.(3,5)B.(-3,5)C.(3,-5)D.(-3,-5)【分析】由抛物线的解析式可求得答案.【解答】解：y=2（x+3）2+5,.抛物线顶点坐标为（-3,5）,故 选:B.【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即 在 y=a（x-h）上中，对称轴为x=/z,顶点坐标为（h,k）.4.（3 分）“翻开数学书，恰好翻到第
11、16页”，这个事件是（）A.随机事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.确定事件【分析】根据随机事件的概念即可求解.【解答】解：“翻开数学书，恰好翻到第16页”确实有可能刚好翻到第16页，也有可能不是翻到第16页，故这个事件是随机事件.故选：A.【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.5.（3 分）下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（）A.对角线互相垂直B.对角线互相平分C.对角线长度相等D.一组对角
12、线平分一组对角【分析】利用正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质依次判断可求解.【解答】解：.菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直：矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；正方形具有菱形和矩形的性质，.菱形不具有的性质为：对角线相等，故选：C.【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，注意熟记定理是解此题的关键.6.（3分）如图，AE/DF,A E=D F,要使EAC丝 FO B,需要添加下列选项中的（）A.AB=CD B.EC=BF C.ZA=ZD D.AB=BC【分析】由条件可得N A=N。，结合AE=。凡则还需要一边或一角
13、，再结合选项可求得答案.【解答】-：AE/DF,：.ZA=ZD,：AE=DF,：.要使EAC丝 FQ B,还需要AC=BD,二当 AB=C。时，可得 A8+8C=BC+C，即 4 c=80,故选：A.【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.7.（3分）正比例函数y=fcr（ZWO）的图象在第二、四象限，则一次函数）=x+的图象大致 是（）【分析】根据正比例函数图象所经过的象限判定k 0,由此可以推知一次函数y=x+k的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限.【解答】解：.正比例函数y=fcr（无*0）的图象在第二、四象限，：.k-9且&r o D.人 -9
14、且 4 4 4【分析】由于”的取值范围不能确定，故应分后=0和后W0两种情况进行解答：当出=0时得当Z W 0时根据()且k W O,求得&的取值范围.3【解答】解：当上=0时，3x7=0,解得XX3当时，此方程是一元二次方程，关于X的方程kx1+3x-1=0有实数根，A A=32-4X (-1)上 0,解得 k2 -2；4由得，上的取值范围是上-4故选：A.【点评】本题考查了根的判别式，能够分k=0和k O两种情况进行讨论是解决问题的关键.1 0.（3 分）如图所示为二次函数y=/+公+0（4#0）的图象，在下列选项中错误的是（）B.x l 时，随 x 的增大而增大C.a+b+c0D
15、.方程 a+f e v+c uO 的根是xi=-1,X 2=3【分析】由抛物线的开口方向判断。的符号，由抛物线与y 轴的交点得出c的值，根据开口方向及对称轴判断二次函数的增减性，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断.【解答】解：A、由 二 次 函 数 的 图 象 开 口 向 上 可 得 由 抛 物 线 与 y 轴交于x 轴下方可得 C 0,所以4c 0,对称轴为x=l,可知x l 时，y 随 x 的增大而增大，正确；C、把 x=l 代入yj,+f e r+c 得，y=a+h+c,由函数图象可以看出x=1 时二次函数的值为负，错误；D、由二次函数的图象与x 轴交点的横坐标是
16、-1 或 3,可知方程or?+心+c=。的根是xi=-1,X 2=3,正确.故选：C.【点评】由图象找出有关4,b,C的相关信息以及抛物线的交点坐标，会判断二次函数的增减性，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：ya+b+c,y a-b+c,然后根据图象判断其值.二、填 空 题（每题3 分，共 计 18分）1 1.（3 分）因式分解：“2-4=（a+2）（4-2）.【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可.【解答】解：a2-4=3 2）（a-2）.故答案为：（。+2）（-2）.【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键.1 2.（3分）从-遥，0,.1,n,3.5这五
17、个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率为225【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式即可得出结论.【解答】解：代，0,1,n,3.5这五个数中，无理数有2个，2.随机抽取一个，则抽到无理数的概率是2,5故答案为2.5【点评】此题主要考查了无理数的定义以及概率公式的应用，正确把握概率公式是解题关键.1 3.（3分）如图，矩形A 8 C。中，AC,B D 交于点、O,M,N分别为8 C,OC的中点，若【分析】根据中位线的性质求出3 0长度，再依据矩形的性质8 0=2 8 0进行求解.【解答】解：N分别为8 C、OC的中点，：.BO=2MN=6.:四 边 形 是 矩 形，：.BD=2BO2.故
18、答案为1 2.【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系.1 4.（3分）将抛物线y=一 向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为 尸（x-5）2+3.【分析】根 据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.【解答】解：将抛物线了=/向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为：y=（x-5）2+3.故答案为：y=（x-5）2+3.【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.15.（3 分）已知xi，也是方程谭-5-3=0 的两个根，则J。+_ L=2 L _.X1
19、x2 3【分析】根据根与系数的关系可得出xi+x2=S，xix2=-3,将其代入L+L=X l+x z2 2 xt x2 x1 X 2即可求出结论.【解答】解：X1，X2是方程2?-5 x-3=0 的两个根，.R Q Xl+XZ2=，-V1X2=,2 25_.1。1=X +X 2 2 5.X1 x2 xlx2 总 32故答案为：3【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-电，两根之积等于是解题a a的关键.16.（3 分）将二次函数），=-/+6 x-5 在 x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，若 直 线 与 这 个 图 象 恰 好 有 3
20、 个公共点，则人的【分析】分类讨论直线y=x+b与抛物线y=-/+6x-5 相切，直线经过抛物线与x 轴交点，结合图象求解.【解答】解：当直线y=x+匕与抛物线y=-7+6 x-5 相切时满足题意,令-X2+6X-5=x+b,整理得-，+5x-5-b=0,A =52-4 X (-1)(-5 )=0,解得6=5,解得 x i =l,X 2=5,二抛物线与x轴交点坐标为(1,0),(5,0),当直线 经 过(1,0)时符合题意.将(1,0)代入 y=x+得 0=1+，解得b=-1,【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解.三、解 答 题(共9个小题，第1
21、7、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)1 7.(6分)解一元二次方程：(1)x1-x-3=0(2)(x+3)2=2X+6.【分析】(1)方程利用公式法求出解即可;（2）方程利用因式分解法求出解即可.【解答】解：（1）%2-X -3=0,这里 a=l,b=-1,c-3,.,=1+1 2=1 3,.x=l V i32_则 口=1赤,r 2=1-713.22（2）方程变形得：（x+3）2-2 （x+3）=0,分解因式得：（x+3）（x+3-2）=0,可得 x+3=0 或 x+l=0,
22、解得：x=-3,X2=-1.【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.21 8.（6分）先化简，再求值：（1-旦）-4x+4,其中犬=3.x+1 x+1【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值.2【解答】解：原式=（包_）+（x-2）x+1 x+1 x+1=x-2.x+1x+1（x-2）21当x=3时，【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键.1 9.（6分）如图，四边形A 8 C。是平行四边形，E、尸是对角线A C上的点，DE/BF.（1）求证：A A E D虑A C F B；（2）求证：AF=C
23、E.D【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AO=8C,A D/B C,从而得到在根据EB F得到N Q E F=/B F E,进一步得到NAE=N C F B,然后利用A4S证得全等三角形即可；(2)根据4EZ运CFB得到AE=C/，利用AE+EF=CF+EF证得结论即可.【解答】证明：(1)；四边形ABC。是平行四边形，：.AD=BC,AD/BC,；.NDAE=NBCF,JDE/BF,NDEF=NBFE,：.ZAED=ZCFB,在ADE和C2F中，Z A E D=Z C B F Z D A E=Z B C F A D=B C:.AAED沿/CFB(A4S)；(2):A A E gA C F
24、 B,：.AE=CF,：.AE+EF=CF+EF,B|J：AF=CE.【点评】考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定方法，解题的关键是了解平行四边形的对边及对角的性质，难度不大.20.(8 分)已 知，如图，一次函数的图象经过点P(4,2)和 8(0,-2),与 x 轴交于点A.(1)求一次函数的解析式；(2)在 x 轴上存在一点。，且AB。的面积为6,求点。的坐标.【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）设 点Q的坐标为（/,0）,先利用一次函数解析式确定A点坐标，再利用三角形面积公式得到工X|2|X 2=6,然后解方程求出，从而得到。点的坐标.2【解答】解：（1）设一次函数解
25、析式为把P （4,2）和B （0,-2）分别代入得14 k+b=2,解得Jk=l,lb=-2 lb=-2二一次函数解析式为y=x -2；（2）设点。的坐标为60）,当 y=0 时，x -2=0,解得 x=2,.点A的坐标为（2,0）的面积为6,2|X 2=6,解得 f=8 或 f=-4,2；.Q点的坐标为（-4,0）或（8,0）.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=H+6；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.也考查了一次函数的
26、性质.21.（8分）为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A,B,C,。四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图.请根据统计图解答下列问题：(1)参加征文比赛的学生共有 3 0 人:(2)补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，表示C 等级的扇形的圆心角为 144,图中?=30；(4)学校决定从本次比赛获得A 等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知A 等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生一名女生的概率.【分析】(1)从两个统计图可得，“A 组”的有3 人，占调查人
27、数的10%,可求出调查人数；(2)求 出“B 组”人数即可补全条形统计图；(3)“C 等级”人数占整 体 的 工，即占40%,因此圆心角占360的40%；30(4)用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“一男一女”的结果数，进而求出概率.【解答】解：330%=30(人)，故答案为：30,(2)B等级的人数为3 0-3-1 2-6=9(人)补全条形统计图如下图：人数t 12io|-943230BD等级（3）3 6 0 XJ2=1 4 4 ,9+3 0=3 0%,30故答案为：1 4 4 ,3 0；（4）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下:7!人女1女2里女1女1女2女1里女2女2女1女漠
28、男男女1里女2共有6种可能出现的结果，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4利 空所以p=A上；6 3【点评】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法.22.（9分）如图，矩 形A 8 C D,延 长 至 点E,使O E=C）,连 接A C,A E,过 点C作CF/AE交A D的延长线于点F,连接EF.（1）求证：四边形A C F E是菱形；（2）连接 B E,当 A C=4,Z A C B=3 0Q 时，求 B E 的长.【分析】（1）根据矩形的性质得到/A O C=90 ,求得A E=A C,E F=
29、C F,根据平行线的性质得到求得AEMEFMACMC F,于是得到结论；（2）由直角三角形的性质可求A B=2,B C=2 如,由勾股定理可求解.【解答】证明：（1）四边形A B C。是矩形，/.ZADC=90 ,.AFA.CE,又,：CD=DE,：.AE=AC,EF=CF,：.Z E A D=Z C A D,JAE/CF,.ZEADZAFC,：.Z C A D ZCFA,：.AC=CF,：.AE=EF=A C=C F,四边形A C尸E是菱形；（2）V A C=4,/A C B=3 0 ,ZABC=90,：.A B=AC=2,B C=A B=2 M，2：.C D=A B=2=D E,BE=CE
30、2+BC；2=V16+12=2 W -【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键.23.（9分）自带水杯已经成为人们良好的卫生习惯.某零售店准备销售一款保温水杯，每个水杯的进价为5 0元，物价部门规定其售价不低于进价，不高于进价的1.3倍.销售期间发现，日销售量y（个）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当销售单价是多少时，该零售店每天的利润为6 0 0元？（3）销售单价定为多少元时，该零售店每天的销售利润最大，最大利润是多少元？【分
31、析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=+b,用待定系数法求函数解析式并根据题意求出自变量的取值范围即可；（2）根据每个水杯的利润X销售量=6 0 0列出一元二次方程，解方程取在5 0 W x W 6 5范围内的值即可；（3）根据每个水杯的利润X销售量=利润列出函数解析式，并根据函数的性质求最值即可.【解答】解：(1)设 y 与 x之间的函数关系式为y=f c c+4根据题意得：5 5 k+b=7 0,I 6 0 k+b=6 0解得k=-2,l b=1 8 0*.y=-2 x+1 8 0,物价部门规定其售价不低于进价，不高于进价的1.3 倍，；.5 0 W x W 6 5,与 x之间的函数关系
32、式为y=-2+1 8 0 (5 0 W x W 6 5)；(2)根据题意得：(%-5 0)(-2 x+1 8 0)=6 0 0,整理得：/-1 4 0 x+4 8 0 0,得：x6 0 X28 0：5 0 W x W 6 5,；.x=6 0,答：当销售单价是6 0 元时，该零售店每天的利润为6 0 0 元；(3)设该零售店每天的利润为卬元，根据题意得：w=(x-5 0)(-2 x 4-1 8 0)=-2 7+2 8 0 X -9 0 0 0=-2 (%-7 0)2+8 0 0,2 0,5 0 W x W 6 5,.当x=6 5 时，w有最大值，最大值为7 5 0,答：销售单价定为6 5 元时，
33、该零售店每天的销售利润最大，最大利润是7 5 0 元.【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值.2 4.(1 0 分)已 知 y 是龙的函数，若函数图象上存在一点P (a,b)，满足6-a=2,则称点P为函数图象上“梦幻点例如：直线y=2 x+l 上存在的“梦幻点”P(1,3).(1)求直线y卷 x+3 上 的“梦幻点”的坐标；(2)已知在双曲线y*(k r 0)上存在两个“梦幻点”？且两个“梦幻点”之间的距离X为企,求 k的值.(3)若二次函数y xZ+G-t+D x+n+t 的图象上存在唯一的
34、梦幻点，且-2 W/n W 3时，的最小值为f,求f的值.【分析】(1)将梦幻点P(，6 7+2)代入解析式即可求解；(2)将梦幻点P(a,a+2)代入解析式求得a=-l V k+l-从而得出P(-1+V k 2(-1 -V k+1.1 -V k+1)再利用两点间距离公式建立方程求解即可；(3)把点P的坐标代入二次函数表达式，化简得：工2+(?-/)4+广2=0,由于图4象上存在唯一的梦幻点，故=(),得出=加2-2皿+尸-什2,该函数图象开口向上，对称轴为机=f,分 当 对 称 轴 是 当 对 称 轴 是-2,当对称轴是-2 加=r 尸2(-1-i-.两个“梦幻点”之间的距离为,.(-1+V
35、 i m)-(-1 2+(l+V k+1)-(1 -Vk l)F=(扬 2,解得：k=-l.4(3):点尸是二次函数了2 +0七+1卜+1 1+1;的图象上的梦幻点，4/.7+2=AZ Z2+(m-/+l)+/,4/.-L z2+(m-/)+/-2=0,4 图象上存在唯一的梦幻点，*=0,(m-t)2-4XAX(”+-2)=0,4*.n=n-2机什金-什2,该函数图象开口向上，对称轴为m=f,当对称轴是旭=f 2 3时，函数在机=3时，取得最小值,即：n=9 -6t+(t2-f+2)t,解得：t4+fs，t=4-yfs(舍去)；当 对 称 轴 是-2时，函数在相=-2时，取得最小值，即：n4+
36、4t+(?-r+2)t,(f+1)2=-5,此方程无解；当对称轴是-2 m=f 3时，函 数 在 时，取得最小值，即：n=t2-2?+(P-f+2)=t,解得：t=,综上所述，f的值为4+粕 或1.【点评】本题是二次函数综合题，属于新定义类题目，需要理解新定义，按要求逐次求解，该题涉及的字母多，一定要思路清晰，分清字母代表的含义细心求解.25.(1 0分)如 图，已知抛物线y=a?+6 x+c QW0)经过A(-1,0),C(0,2),对称轴为直线x二.x 2(1)求该抛物线的解析式；(2)点G是直线B C上方抛物线上的动点，设G点的横坐标为m,试用含m的代数式表示A G B C的面积，并求出
37、 G B C面积的最大值；(3)设R点是直线x=l上一动点，M为抛物线上的点，是否存在点M,使以点B、C、R、M为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点M坐标，不存在说明理由.【分析】(1)由A(-1,0),对称轴为直线x=3得B (4,0),设抛物线的表达式为:2y=a (x+1)(x-4),将 点C的坐标代入上式，即可求解；(2)由点3、C的坐标，可得直线B C的表达式,根据A G B C面积S=S&GHC+SAGHB=工GH2OB,即可求解；(3)分B C为平行四边形的边、B C为平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.【解答】解：(1)V A(-1,0),对称轴
38、为直线*=旦.2：.B(4,0),设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-4),将 点C的坐标代入上式并解得：。=-1,2故抛物线的表达式为：y=-(x+1)(x -4)=-k r2+-2v V+2；2 2 2(2)设直线B C的表达式为：尸s x+f,则(4 s+t=0,1 1=2J解得：s-y,t=2故直线BC的表达式为：y=-L+2,2：G点的横坐标为，小二 G 点 坐 标(n z,-n?+-m+2),2 2过G作G Hy轴，交直线8 c于点，2AG B C 的面积 S=SGHC+S&GHB=-GHOB=1.-X m2+ljn+2-(-X n+2)X 4=2 2 2 2 2-n+4m-
39、(m-2)2+4,V -l 0,.当?=2时，S的最大值为4,，/XGBC面积的最大值为4；(3)设点”的坐标为(.tn,)，=-L 2+3 +2,点R(i,6),点8、C的坐标分别2 2为：(4,0)、(0,2),点C向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点8,同样点M(/?)向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点R (M),即机 4=1,解得：机=-3或5,故点M的坐标为：(5,-3)或(-3,-7)；综上，存在，点M的坐标为(5,-3)或(-3,-7)或(3,2).【点评】本题是四边形综合题，考查的是二次函数的性质，一次函数的性质、面积的计算、平行四边形的性质等，数形结合、分类讨论并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.