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1、北京市朝阳区高三年级高考练 习数 学2020.4(考试 时 间!20分钟 满分150分)本试卷分为 选 择 题(共40分)和 非选 择 题(共110分)两部分考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选 择 题共40分)、选 择 题共10小题,每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选 项中,选出符合题目要求的项。(1)已知集合=1,3,5,5=xeZ|(x-l)(x-4)0)的图象上相邻两个最高点的距离为兀,则“=工”是“/(x)6的图象关于直线x =对称”的3(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也
2、不必要条件(9)已知函数/()=,一之+2 若关于x的 不 等 式 )2W在R上恒成立,则实数。的取值范2x-an X,x 1.2围为(A)(-8,2厶(C)0,2(D)0,2厶(10)如图，在正方体力3c4 AGA中,M ,N分别是棱8,8月的中点，点尸在对角线上运动.当 P A W的面积取得最小值时，点 尸的位置是(A)线段 的 三 等 分 点,且 靠 近 点 同(B)线段。4的中点(线段。4的三等分点，且靠近点C(D)线段。4的四等分点,且靠近点C(第10题图)高三数学试卷 第2页(共14页)第 二 部 分（非选择题 共 110分）二、填空题共5 小题,每小题5 分,共 25分。（11）
3、若复数2=二,则|=1 +1（12）已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长为，它的体积为6 2 -h-2-*|6 0),圆。:+=戸(为坐标原点),过点(0)且斜率为1 的直线与圆0交于点(1,2),与椭圆C的另个交点的横坐标为|.(I )求椭圆C 的方程和圆。的方程;(I I)过圆。上的动点P 作两条互相垂直的直线，若直线的斜率为打 二 )且与椭圆C 相切,试判断直线与椭圆C 的位置关系,并说明理由.高三数学试卷 第5页(共14页)（20）（本小题 1 5分）已知函数/G）=eJ:-.（I ）求曲线=八X）在点（0,/（）处的切线方程:（H）判断函数/（x）的零点的个数,并 说
4、明理由;（1 1 1）设是/（X）的个零 点,证明曲线=e X 在点（x0,e ）处的切线也是曲线=出x的切线.（21）（本小题 1 4 分）设数列吗,出，%（3）的各项均为正整数,且q V 。4见 若对任意 3,4,存在正整数i （1 W i V j k）使得%=+a.,则称数列A具有性质T.（I ）判断数列4 ：1,2,4,7 与数列:1,2,3,6是否具有性质；（只需写出结论）（H）若数列/具有性质 T,且q=1,%=2,=2 0 0,求的最小值；（I I I）=1,2,3,20 1 9,20 20 =S,U S2 U53 U S4 U 5S U S6,A=0（磔i,w 1,2,6,i.
5、求证;存 在 S,使得从E中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质 的数歹高三数学试卷 第6页（共14页）北京市朝阳区高三年级高考练习数学参考答案 2020.4第一部分(选 择 题 共 40分)、选 择 题(共 10小题,每 小题4 分,共 40分。在每小题列出的四个选 项中,选出符合题目要求的项)(1)C(2)D(3)A(4)B(5)B(6)D(7)C(8)A(9)C(10)B第二部分(非选 择 题共 110分)二、填空题(共 5 小题，每小题5 分,共 25分)(11)V2(12)5；4(13)15(14)100(1 5)三、解答题(共 6 小题,共 85分。解答应写出文字说明、演
6、算步骤或证明过程)(1 6)(本小题14分)解:(I)因为 sin/=acos(8一色)，=-)所以sin8sin/=sin/cos(8一二).6 sinZ sin 5 6又因为 sin 0,所以 sinB=cos(8一二),即 sinB 二 cos8+丄 sinB.6 2 2所以sin(3 )=0.又因为一 8 幺,所 以 3=0,所以8=.3 3 3 3 3(II)若选 6=7,则在。中,由余弦定理=/+0-2 CCOS8,得 -5 4-2 4=0,解得a=8 或a=-3 (舍).所 以 a=8.若选 C=.则sin/=sin(5+C)=sincos+cossin=-4 3 4 3 4 4
7、由正弦定理=,sin A sin Ca 5 班,曰 5A/3+5得 尸=,解 得。-V6+V2 V2 24 2高三数学试卷第7页(共14页)所以a=5苴+52.14分（17）（本小题14分）解:（I）因为四边形 CG 4是 正 方 形,所 以C C J AC.又因为平面A B C 平面ACC,At,平面8C !平面CG4=。,所以C C 平面8C.又因为8 1平面8C,所 以 C C,.（n）由（I）知,cc,AB,AAJiCC、,所以4AB.又A B=4,/C=AAy=2,B C=2 yfs 1所以+A C2=B C2.所以 C AB .如图,以 为原点,建立空间直角坐标系 一平.所以(0,
8、0,0),5(4,0,0),C(0,0,2),A,(0,2,0).则有力(2,0,1),C,(0,2,2),(4,1,0),平面e q的个法向量为“=（1,0,0）.设平面G的个法向量为丫=（x,y,z）,uuu又 A D=(2,0,1),UULUAC,=(0,2,2),由,uuur0,1 uuurv M g=0.2x+z=0,1 2 y+2 z-0.高三数学试卷 第8页（共14页）令 x=l,贝 z=-2,y-2.所以y二(1,2,-2).设二面角。“CC的平面角为 则|cosg|=网=丄=LI II v|1 3 3由题知I,二面角。广C为 锐角,所以其余弦值 为.(ill)平面G。与平面4
9、E不平行.理由如下:由(I I)知,平 面ZG。的一个法向量为判=(1,2,-2),&E=(4,-1,0),UUU所以4 E X=2 i 0,所以4 E与平面G。不平行.又因为平面遅,所以平面G。与平面AEF不平行.14分(1 8)(本小题14分)(I)由题意 知,80位患者中有76位用该 试 剂盒检 测次，结果为阳性.所以从该地区患者中随机选取一位，用该 试 剂盒检 测一 次,结果为阳性的概率估计 为76_ 2980 20(I I)由题意可知X8(,p),其中=3,/?=.X的所有可能的取值 为0,1,2,3.一 3 20 20 8000尸萤哈、爲3 20 20 8000P(X=3)=C；(
10、)x()=壘3 20 20 8000所以X的分布列为故X的数学期望E(X)=叩弋.X0123P180005780001083800068598000高三数学试卷第9页(共14页)（H I）此人患该疾病的概率未超过0.5.理由如下:由题意得,如果该地区所有人用该试剂盒检测次,那么结果为阳性的人数为9 9 0 0 0 X +1 0 0 0 X =9 9 0 +9 50 =1 9 4 0 ,其中患者人数为9 50 .1 0 0 20若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为*=0.5.1 9 4 0 1 9 4 0所以此人患该疾病的概率未超过0.5.1 4分（1 9）（本小题!4分）解:（I ）因
11、为圆。过点。,2）,所以圆。的方程为:X2+/=5.因为过点（0）且斜率为1的直线方程为y=x+b,又因为过点（1,2）,所以6=1.Q 0因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为（-1,-6,（一 号）2 （-）2所以V+亠 =員 解 得=4.a 1所以椭圆。的方程为j+4（I I）直线 与椭圆C相切.理由如下:设圆上动点。00）0 2）,所以+乂/=5.依题意,设直线:y-yQ=k（x-x0）.由 得（1 +4斤 ）厂+8左（）x +4（j，0 ）?-4 =0 .ykx+（y0-kx0）因为直线与椭圆C相切，所以 =Sk（y0-kx0-4（1 +4 k2）4（。）2 -4 =.所以1 +4=（
12、一 広 ）上所以（4一X（）2）4 2 +2%+（1 _ 2）=.因为X；+。2=5,所以4 。2=2一1.高三数学试卷 第10页（共14页）所以（常 1 2+2 0%+（1 ）=设直线:%=一；（x-,+4 =4,由 0,所 以/(x)在(-8,1)和(1,+8)上均单调递增.因为/(0)=2 0,/(-2)=e-2-1 0,/(：)=e 7 90，所以X)在 0,+8)上有唯一零点X 2.高三数学试卷 第11页(共14页)综上,./(X)有且仅有两个零点.(I I I)曲线=在点(,。)处的切线方程为y-e%=e (x x 0),即=/。+e.。,设曲线=l n x 在点值,为)处的切线斜
13、率为e 。,则=,=必=玉),即切点为所以曲线 =l n x 在点(l，_x。)处的切线方程为e y+x0=ex (x ),BP y=ex x-x0-1.evx +1因为X。是，(X)的个零点,所以=.所以。+e-v =ex(l-x0)=；(l-x0)=-l-x0.所以这两条切线重合.所以结论成立.1 5分(21)(本小题 1 4 分)解:(I )数列不具有性质T:数列A2具有性质T.(I I )由题可知 0 2=2,a 3V 2a 2=4,a 4 4 2a 3V 8,a8 2a7 a7 50,32 a6 25,1 6 a5 1 2.5,8 aA 6.25,4 a3 3.1 25.因为数列各项
14、均为正 整 数,所 以%=4.所以数列前三项为1,2,4.因为数列具有性质 ,%只可能为4,5,6,8 之一，而又因为82%26.25,所以%=8.同理,有 =1 6,=32,%=64,4 =1 28 .高三数学试卷 第12页(共14页)此时数列为!,2,4,8,16,32,64,128,200.但数列中不存在l i/9 使得200=%+%,所以该数列不具有性质 .所 以 2 10.当“=10 时,取 1,2,4,8,16,32,36,64,100,2 0 0.(构造数列不唯一)经 验 证，此数列具有性质.所以,的最小值 为10.(H I)反证法:假设 结 论不成立，即对任意E(i=l,2,6
15、)都有:若正整数4,6 e E，a b,则人猊.否则,存 在 S,满足:存在a b 使得b-a e S,，此时,从 中取出。,仇:当a b a时,。,a,b 是个具有性质T 的数列;当a=6-a时，a,a,6 是个具有性质的数列.(i)由题意可知，这6 个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个,不妨设此集合为国,从 中取出337个 数,记 为q,。337，且.%、令集合 N=-337-a,|z=1,2,336 G S-由假设,对任 意，=1,2,3 3 6,羯-4 所 以 M a S z U 同 U S N S sU S e.(i i)在$2,53,64,65,S6中至少有一个集合包含M
16、 中的至少68个元素，不妨设 这个集合为，从S2 n M 中取出68个 数,记 为4,62，,d 8，且,%令集合 N2=源,一a=1,2,67 a S 由假设8任S 2.对任意=1,2,68,存 在.el,2,336使得d=%37一%所以对任意,=1,2,，67,%一 也 =(“337-%8)-(“337%)=%.，由假设与.任 E,所以瓯一也任，,所 以 砥 任 B U S 2,所以M u 邑 U S qU&U S-高三数学试卷 第13页(共14页)(i i i)在S3,S4,Ss，$6中至少有一个集合包含M中的至少1 7个元素,不妨设 这个集合为$3，从S3 n/中取出1 7个 数,记
17、为,看，且 ，2 7.令集合 N3=C q=1,2,1 6 S.由假设 任S3.对任意=1,2,1 7 ,存在w 1,2,6 7 使得Q=妬-4.所以对任意，=1,2,16,q=(%-%,)-(%-)=,-%，同样,由 假设可得4-4,史S U S 2,所以q任E U S 2 U S 3,所以M aS aU S sU S f.(iv)类似 地,在s4,$5,&中至少有一个集合包含M中的至少6个元素,不妨设 这个集合为S4，从 邑 八 中 取 出6个 数,记 为4,4,且4Vd 2 6,则 M =6 -4=1,2,.-,5 1 1 5 6(V)同样,在Ss，S6中至少有一个集合包含N,中的至少3个元素,不妨设 这个集合为S$,从5 54中取出3个 数,记 为,0 2,0 3,且 0 2 0 3,同理可得=6 3-9,6 3-6 2 =$6.(v i)由假设可得 0 2 -q=3 -q)-L 一 0 2)。$6.同上可知0 2 -e S|U S2 U S3 U S4 U S5，而又因为e 2_ q e S,所以e2$6,矛盾.所以假设不成立.所 以 原 命 题 得证.1 4分高三数学试卷 第14页(共14页)