《2022年北京市朝阳区高三一模数学试题及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年北京市朝阳区高三一模数学试题及答案.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题（理工类）2011.4 （考试时间120 分钟满分 150 分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题共 40 分）注意事项：1答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上.考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回. 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上. 一、选择题 ： 本大题共8小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1若集合2|,MyyxxR，|2, Ny yxxR，
2、则MNI等于（A）0,（B）(,)（C）（D）(2, 4)，( 1, 1) 2某校高三 一班有学生54 人，二班有学生42 人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（A）8，8 （B）10，6 （C）9，7 （D）12，4 3极坐标方程4cos化为直角坐标方程是（A）22(2)4xy（B）224xy（C）22(2)4xy（D）22(1)(1)4xy4已知na是由正数组成的等比数列，nS表示na的前n项的和若13a，24144a a，则10S的值是（A）511 （B） 1023 （C）1533 （ D）3069精品资料 - - - 欢迎下载 - -
3、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 5函数)2(cos2xy的单调增区间是（A）( , )2kkkZ（B）( , )2kkkZ（C）(2 , 2 )kkkZ（D）(2 , 2 2 )kkkZ6已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（A）612（B）33（C）64（D）2 337如图，双曲线的中心在坐标原点O，,A C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线
4、AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为 2，则BDF的余弦值是（A）77（B）5 77（C）714（D）5 7148定义区间( ,)a b， ,)a b，( ,a b， ,a b的长度均为dba，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)3, 5)U的长度(21)(53)3d. 用 x表示不超过x的最大整数，记 xxx，其中xR. 设( ) f xxx，( )1g xx，若用123,d dd分别表示不等式( )( )f xg x，方程( )( )f xg x，不等式( )( )f xg x解集区间的长度，则当02011x时，有（A）1231,2,2008ddd（B）1231,1
5、,2009ddd（C）1233,5,2003ddd（D）1232,3,2006ddd侧视图正视图1 俯视图x y O C B A F D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上. 9复数13iz，21iz，则12zz等于. 10在二项式6(2)x的展开式中，第四项的系数是. 11如右图，在三角形ABC中，D，E分别为BC，
6、AC的中点，F为AB上的点，且B4AAFuu u ruuu r. 若ADxAFyAEuu u ruu u ruu u r，则实数x，实数y. 12执行右图所示的程序框图，若输入5.2x，则输出y的值为13如下图，在圆内接四边形ABCD中, 对角线,ACBD相交于点E已知2 3BCCD，2AEEC，30CBDo，则CAB，AC的长是A B C D E F 开始输入 x是?i5输出y结束xy|2 |yx否0,0yi1ii精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - -
7、- - - - - 14对于各数互不相等的整数数组),(321niiii(n是不小于3 的正整数 )，对于任意的,1,2,3, p qnL，当qp时有qpii，则称pi，qi是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（ 2， 4，3，1）中的逆序数等于；若数组123( ,)niiiiL中的逆序数为n，则数组11( , )nniiiL中的逆序数为. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 （本小题满分13 分）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知3cos24C. （）求sinC；（）当2
8、ca，且3 7b时，求a. 16 （本小题满分13 分）如 图 ， 在 四 棱 锥PABCD中 ， 底 面ABCD为 直 角 梯 形 ， 且/ADBC，90ABCPAD，侧面PAD底面ABCD. 若12PAABBCAD.（）求证：CD平面PAC；（） 侧棱PA上是否存在点E，使得/BE平面PCD？若存在， 指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；（）求二面角APDC的余弦值 . 17 （本小题满分13 分）在某校教师趣味投篮比赛中, 比赛规则是 : 每场投 6 个球，至少投进4 个球且最后2 个球都投进者获奖；否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是23（）记教师甲在每场的6 次投球中投
9、进球的个数为X，求 X的分布列及数学期望；（）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（）已知教师乙在某场比赛中，6 个球中恰好投进了4 个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？A B P C D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 18 （本小题满分13 分）已知函数2( )ln20)f xaxax (. （）若曲线( )yfx在点(1,(1)Pf处的切线与直线2yx垂直，求
10、函数( )yfx的单调区间；（）若对于(0,)x都有( )2(1)f xa成立，试求a的取值范围；（）记( )( )()g xf xxbbR. 当1a时，函数( )g x在区间1,ee上有两个零点，求实数b的取值范围 . 19 （本小题满分14 分）已知( 2, 0)A，(2, 0)B为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且APB面积的最大值为2 3（）求椭圆C的方程及离心率；（）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明20 （本小题满分14 分）有n个 首 项 都 是1的 等 差 数 列
11、， 设第m个 数 列 的 第k项 为mka(,1,2,3, ,3)m kn nL，公差为md，并且123,nnnnnaaaaL成等差数列（）证明1122mdp dp d（3mn，12,pp是m的多项式），并求12pp的值；（）当121,3dd时，将数列md分组如下：123456789(), (,), (,),dddddddddL(每组数的个数构成等差数列)设前m组中所有数之和为4() (0)mmcc，求数列2mcmd的前n项和nS（）设N是不超过 20 的正整数，当nN时，对于（）中的nS，求使得不等式1(6)50nnSd成立的所有N的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -
12、- - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题答案（理工类）2011.4一、选择题 :题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案A C A D A B C B 二、填空题 : 题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案1+2i160 2 1 0.830o64232nn三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 15 （本小题满分13 分）解： （）由已知可得2312sin4C. 所以27sin8C. 因为在ABC中，sin0C，
13、所以14sin4C.6 分（）因为2ca，所以114sinsin28AC.因为ABC是锐角三角形，所以2cos4C，5 2cos8A. 所以sinsin()BACsincoscossinACAC1425 21484843 78. 由正弦定理可得：3 7sinsinaBA，所以14a. 13 分16 （本小题满分13 分）解法一：（）因为90PAD，所以PAAD. 又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PAD I底面ABCDAD，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - -
14、 - - - - - - - 所以PA底面ABCD. 而CD底面ABCD，所以PACD. 在底面ABCD中，因为90ABCBAD，12ABBCAD，所以22ACCDAD， 所以ACCD. 又因为PAACAI，所以CD平面PAC. 4 分（）在PA上存在中点E，使得/ /BE平面PCD，证明如下：设PD的中点是F，连结BE，EF，FC，则/EFAD，且12EFAD. 由已知90ABCBAD，所以/BCAD. 又12BCAD，所以/BCEF，且BCEF，所以四边形BEFC为平行四边形，所以/BECF. 因为BE平面PCD，CF平面PCD，所以/BE平面PCD. 8 分（）设G为AD中点，连结CG，
15、则CGAD. 又因为平面ABCD平面PAD，所以CG平面PAD. 过G作GHPD于H，连结CH，由三垂线定理可知CHPD. 所以GHC是二面角APDC的平面角 . 设2AD，则1PAABCGDG, 5DP. 在PAD中，GHDGPADP，所以15GH. 所以tan5CGGHCGH，6cos6GHC. 即二面角APDC的余弦值为66. 13 分E F A B P C D G H A B P C D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - -
16、解法二：因为90PAD，所以PAAD. 又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PAD I底面ABCDAD，所以PA底面ABCD. 又因为90BAD，所以AB，AD，AP两两垂直 . 分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图. 设2AD，则(0, 0, 0)A，(1, 0, 0)B，(1,1, 0)C，(0, 2, 0)D，(0, 0, 1)P. （）(0, 0, 1)APuuu r，(1,1, 0)ACuuu r，( 1, 1, 0)CDuuu r, 所以0AP CDuu u r u uu r，0AC CDu uu r uu u r，所以APCD，ACCD. 又因为APA
17、CAI， 所以CD平面PAC. 4 分（）设侧棱PA的中点是E， 则1(0, 0,)2E，1( 1, 0,)2BEuu u r. 设平面PCD的一个法向量是( ,)x y zn，则0,0.CDPDuuu ru uu rnn因为( 1, 1, 0)CDuu u r，(0, 2,1)PDuu u r，所以0,20.xyyz取1x，则(1, 1, 2)n. 所以1(1, 1, 2) ( 1, 0,)02BEuuu rn， 所以BEu uu rn. 因为BE平面PCD，所以BE P平面PCD. 8分（）由已知，AB平面PAD，所以(1, 0, 0)ABuu u r为平面PAD的一个法向量. 由（）知，
18、(1, 1, 2)n为平面PCD的一个法向量. 设二面角APDC的大小为，由图可知，为锐角，所以(1, 1, 2) (1, 0, 0)6cos66 1ABABuuu ruu u rnn. 即二面角APDC的余弦值为66. 13 分z y x A B P C D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 17 （本小题满分13 分）解： （） X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5， 6.依条件可知XB(6，23). 6621()33kk
19、kP XkC(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k) X的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 6 P 1729127296072916072924072919272964729所以1(0 1 1 122603 16042405 1926 64)729EX=29164729.或因为 XB(6，23)，所以2643EX. 即 X的数学期望为4 5 分（）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则224156441212232( )()()()().3333381P ACC答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.8110 分（）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，则2444662( )5A AP BA
20、.即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25.显然2323258081，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等13 分18 （本小题满分13 分）解: (I) 直线2yx的斜率为 1. 函数( )f x的定义域为(0,)，因为22( )afxxx，所以22(1)111af，所以1a. 所以2( )ln2f xxx. 22( )xfxx. 由( )0fx解得2x；由( )0fx解得02x.所以( )f x的单调增区间是(2,),单调减区间是(0, 2). 4 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -
21、- - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - (II)2222( )aaxfxxxx，由( )0fx解得2xa；由( )0fx解得20 xa.所以( )f x在区间2(,)a上单调递增，在区间2(0,)a上单调递减 . 所以当2xa时，函数( )f x取得最小值，min2()yfa. 因为对于(0,)x都有( )2(1)f xa成立，所以2()2(1)faa即可. 则22ln22(1)2aaaa. 由2lnaaa解得20ae. 所以a的取值范围是2(0,)e. 8 分(III)依题得2( )ln2g xxxbx，则222( )xxgxx. 由( )0g
22、x解得1x；由( )0gx解得01x. 所以函数( )g x在区间(0, 1)为减函数，在区间(1,)为增函数 . 又因为函数( )g x在区间1,ee上有两个零点，所以1()0,( )0,(1)0. g eg eg解得211bee. 所以b的取值范围是2(1,1ee. 13 分19 （本小题满分14 分）解： （）由题意可设椭圆C的方程为22221(0)xyabab，( ,0)F c由题意知解得3b，1c故椭圆C的方程为22143xy，离心率为12 6 分222122 3,22,. a baabcOFEPDBAyx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢
23、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （）以BD为直径的圆与直线PF相切证明如下：由题意可设直线AP的方程为(2)yk x(0)k. 则点D坐标为(2, 4 )k，BD中点E的坐标为(2, 2 )k由22(2),143yk xxy得2222(34)1616120kxk xk设点P的坐标为00(,)xy，则2021612234kxk所以2026834kxk，00212(2)34kyk xk10 分因为点F坐标为(1, 0)，当12k时，点P的坐标为3(1,)2，点D的坐标为(2,2). 直线PFx轴，此时以BD
24、为直径的圆22(2)(1)1xy m与直线PF相切当12k时，则直线PF的斜率0204114PFykkxk. 所以直线PF的方程为24(1)14kyxk点E到直线PF的距离22222842141 4161(1 4)kkkkkdkk322228142|14|14|kkkkkk又因为| 4 |BDk，所以1|2dBD故以BD为直径的圆与直线PF相切综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切 14 分20 （本小题满分14 分）解： （）由题意知1(1)mnmand2121211(1)1(1)(1)()nnaandndndd，同理，3232(1)()nnaandd，4343(1)
25、()nnaandd，(1)1(1)()nnnnnnaandd精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 又因为123,nnnnnaaaaL成等差数列，所以2132(1)nnnnnnnnaaaaaaL. 故21321nnddddddL，即nd是公差为21dd的等差数列所以，12112(1)()(2)(1)mddmddm dmd令122,1pm pm，则1122mdp dp d，此时121pp 4 分（）当121,3dd时，*21 ()mdm
26、mN数列md分组如下：123456789(), (,), (,),dddddddddL按分组规律，第m组中有21m个奇数，所以第 1 组到第m组共有2135(21)mmL个奇数注意到前k个奇数的和为2135(21)kkL，所以前2m个奇数的和为224()mm. 即前m组中所有数之和为4m，所以44()mcm因为0mc，所以mcm，从而*2(21) 2 ()mcmmdmmN所以23411 23 25 27 2(23) 2(21) 2nnnSnnL. 234121 23 25 2(23) 2(21) 2nnnSnnL. 故234122 22 22 22 2(21) 2nnnSnL2312(2222
27、 )2(21) 2nnnL12(21)22(21) 221nnn1(32 )26nn. 所以1(23)26nnSn9 分（）由（）得*21 ()ndnnN，1(23)26nnSn* ()nN. 故不等式1(6)50nnSb就是1(23)250(21)nnn考虑函数1( )(23)250(21)nf nnn1(23)(250)100nn当1,2,3,4,5n时，都有( )0f n，即1(23)250(21)nnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 而(6)9(12850)1006020f，注意到当6n时，( )f n单调递增，故有( )0f n. 因此当6n时，1(23)250(21)nnn成立，即1(6)50nnSd成立所以,满足条件的所有正整数5,6,7,20NL14 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -