《2016届（新课标）高考数学（理）大一轮复习精品讲义：第八章解析几何.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016届（新课标）高考数学（理）大一轮复习精品讲义：第八章解析几何.pdf（148页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第八章解析几何*-H-第一X/直线的倾斜角与斜率、直线的方程课 前CL双基落实这样自检要比死记更有效基础盘查一直线的倾斜角与斜率（一）循纲忆知1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素（定点、斜率、倾斜角）.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.（二）小题查验1.判断正误（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率（）（2）过点M a,b）,N（b,a）（aWb）的直线的倾斜角是45。（）（3）倾斜角越大，斜率越大（）答案：（1）X（2）X（3）X2.（人 数 A 版教材习题改编）若过两点8（1,3的直线的斜率为1 2,则 m=答案：一23.直线
2、xcos a+-3y+20 的倾斜角的范围是解析：设直线的倾斜角为仇依题意知，k 亚k=-亍 cos acos a -1,1，攵 C坐即 tan 0 基础盘查二 直线的方程（一）循纲忆知掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）,了解斜截式与一次函数的关系.（二）小题查验1 .判断正误经过点P(x o,y o)的直线都可以用方程y 一为=的一刀0)表示()(2)经过任意两个不同的点尸|(X ,力)，2。2，%)的直线都可以用方程任一v1)(X 2 X )=(X一X|)(2 N 1)表示()(3)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离()(4)若直线在x轴
3、，y轴上的截距分别为机，则方程可记为5+：1()答案：(1)X (2)V (3)X (4)X2 .(人数A版教材习题改编)已知三角形的三个顶点4(-5,0),8(3,-3),C(0,2),贝 I BC边 上 中 线 所 在 的 直 线 方 程 为.答案：x+1 3 y+5=03 .过点M 3,4),且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等 的 直 线 的 方 程 为.4解析：若直线过原点，则攵=-14所以y =-升 即 4 x +3 y =0.若直线不过原点，设直线方程为 +2=L 即x +y =a则 Q=3 +(-4)=-1,所以直线的方程为x+y+1 =0.答案：4 x+3 y=0
4、或 x+y+l=0课 堂C1考点突破不同考点不同设计更高效考点一 直线的倾斜角与斜率1(基础送分型考点自主练透)必备知识1 .直线的倾斜角(1)定义：X轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角.(2)范 围:0,7 i).2 .直线的斜率7 T(1)定义：当直线/的倾斜角a#时，其倾斜角a的正切值ta n a叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母上表示，即左=ta n a.(2)范围：全体实数R.斜率公式：经过两点尸仙，川)，尸网)的直线的斜率公式为S L 自 提醒(1)任意一条直线都有倾斜角，但只有与x轴不垂直的直线才有斜率.(2)a=0时攵=0;a是锐角时k0;a是钝角时k兀一e为围
5、答案3.(2 01 5 沈阳联考)已知线段P0 两端点的坐标分别为P(1,1)和 0(2,2),若直线/：x+my+m=Q与线段尸。有交点，则实数机的取值范围是解析：如图所示，直线/:x +，y+z =0 过定点/(0,时,kQ A=kpA =_ 2,左=一三.一 呆 一 2 或一拉|.-1），当m W O1?解得 O v/wW/或-当机=0 时，直线/的方程为x =0,与线段尸。有交点.2 1实数m的取值范围为-答案：一 十 2 类题通法1 .求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率4=t a n a的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角a的取值范围
6、.2 .求倾斜角忖要注意斜率是否存在.考 点 二 直 线 的 方 程(重点保分型考点师生共研)必备知识1 .点斜式过点(x o，为)，斜率为左的直线方程为yyo=k(x x o).局限性：不含垂直于x轴的直线.2 .斜截式斜率为k,纵截距为b的直线方程为y=kx+b.局限性：不含垂直于x轴的直线.3 .两点式过两点(X”乃)，(X 2，V 2)(X 1 WX 2，乃 W_V 2)的口-线方程为 .y i-y X 2-x局限性：不含垂直于坐标轴的直线.4 .截距式在 x轴、y 轴上的截距分别为b Q WO,6 W0)的直线方程为?+*=l.局限性：不含垂直于坐标轴和过原点的直线.5 .一般式/x
7、+8 y+C=0(/+B2#0).提醒 当直线与x轴不垂直时，设直线的斜率为七则方程为y=当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为+x +6 =0.典题例析已知 N BC 的三个顶点分别为/(3,0),8(2,1),C(2,3),求：(1)8 C 边所在直线的方程；(2)2 C 边 上 中 线 所 在 直 线 的 方 程；(3)5 C 边的垂直平分线DE的方程.y-1 x-2解：(1)因为直线3c经过8(2,1)和 C(-2,3)两点，由两点式得BC的方程为丁f=二即 x +2 厂 4 =0.(2)设 8 c 边的中点。的坐标为(x,刃，2-2 1 +3贝 lx =y-=O,y =-=2
8、.8 C 边的中线4)过点4(-3,0),。(0,2)两点，由截距式得4。所在直线方程为三+5:1,J 乙即 2x _ 3y+6=0.(3)由(1)知，直线8 c 的斜率幺=-则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2=2.由(2)知，点。的坐标为(0,2).由点斜式得直线DE的方程为y-2 =2(x-0),即 2x-y+2=0.类题通法1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用.演练冲关求直线过点(5,10)且到原点的距离为5 的直线方程.解：当斜率不存在时，所求直线方程为x-5=0,适合题意；当斜率存在时，设斜率为左，
9、则所求直线方程为y-10=穆-5),kx-y +(10-5 k)=0.由点到直线的距离公式，得，阴=5,解得左=,.y j k+1 4故所求直线方程为3x-4夕+25=0.综上知，所求直线方程为x-5=0 或 3x-4y+25=0.考点三 直线方程的综合应用|(常考常新型考点-多角探明)多角探明直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式相结合，命题多为客观题，归纳起来常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数儿何意义相结合的问题.角度一：与基本不等式相结合的最值问题1.已 知 直 线/过 点 且 与 x 轴，y 轴的正半轴分别相交于/,8 两点，O 为坐标
10、原 点.求：(1)当|。/|+|08|取得最小值时，直线/的方程;当|版 取得最小值时，直线/的方程.解：设 Z(a,O),仇0,6)(a 0,b 0).设直线/的方程为二+十=1,则,+4=1,a D a b所以|O 4|+OB =a +h =(a +b)g +)=2 +宗+$2 +2 J 1 =4,当且仅当“a =6 =2”时取等号，此时直线/的方程为x+y-2 =0.(2)设直线/的斜率为k,贝 4 k 0,所以eA，+归/=2(当且仅当ev=/,2 )炉+/+2 YI 1 1即x=0时取等号)，所以e +#+2 2 4,故，=-j-三-玄当且仅当工=0时取等号).所er 1 e+2以当
11、x=0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0,；),切线的方程为)，-；=-0),即x+4 y-2 =0.该切线在x 轴上的截距为2,在y 轴上的截距为;，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S =TX2 X；=1.答 案:|类题通法1 .含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看 出“动中有定”.2 .求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.课 后C1演 练提能 针对高考灵活掌控更实效I一、选择题1.直线/：xsin3()o+ycos 150。+1=0 的斜率是()C.一小 D.一坐解析
12、：选 A设直线/的斜率为七贝sin 30。_事cos 150-32.在等腰三角形Z O 8中，点。(0,0),4 1,3),点 B 在 x 轴的正半轴上，则直线AB的 方 程 为()A.y-l=3(x-3)B.厂 1 =-3(L3)C.y-3=3(x-l)D.j-3=-3(x-l)解析：选 D因为AO=4 B,所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kA B=-kOA=-3,所以直线N 8 的点斜式方程为：-3 =-3(x-l).3.已知直线/：亦+y2。=0 在 x 轴和y 轴上的截距相等，则。的值是()A.1 B.-1C.一2 或一 1 D.-2 或 1解析：选 D 由题意可知a
13、=0.当x=0 时，y=q+2.当 y=0 时，x=Jn6 7 +2-=a+2,a解得a =-2 或。=1.4.两 条 直 线 小:齐 1和/2：/六1在同一直角坐标系中的图象可以是()解析：选 A 取特殊值法或排除法，可知A 正确.5.(2 0 1 5哈尔滨模拟)函数歹=a s i n xb c o s x的一条对称轴为1=去 则直线/：a xh y+c=0的倾斜角为()A.4 5 B.6 0C.1 2 0D.1 3 5 解析：选D 由函数y=y(x)=a s i nx-加o s x的一条对称轴为x =:知，0)=启 即一 6。，直线/的斜率为-1,1.倾斜角为1 3 5。.6.(2 01
14、4安徽高考)过点尸(一方，一1)的直线/与圆？+丁=1有公共点，则直线/的倾斜角的取值范围是()，6 _B(0,Iq。，dD.0，In解析：选D 法一：如图，过点尸作圆的切线B h P B,切点为48.由题意知 O P =2,OA =,则 s i n a 所以 a =3 0,N 8E 4 =6 0.故直线/的倾斜角的取值范围是 o,W.选D.法二：设过点夕的直线方程为 =4(工+小)-1,则由直线和圆有公共点知卑=W 1,W+%解得0 W%小.故直线/的倾斜角的取值范围是 0,j .二、填空题7.若a b 0,且4(,0)，5(0,b),C(-2,-2)三点共线,则口的最小值为解析：根据/g,
15、0),8(0,b)确定直线的方程为/卡=1,又C(-2,-2)在该直线上，故2 -2丁丁 1，所以-2(6)=也 又3 0,故0,b 0,b 0,直 线/的 方 程 为 力 齐 1,所 始+1 L故两.网=_ 必.砺-1)-(-2,/-1)=2(-2)+f t -1 =2 a +/-5 =(2+磴+力5 号+常 2当且仅当a =b =3时取等号，此时直线/的方程为x+y-3 =0.1 2 .如图，射 线 0 4,。8 分别与x轴正半轴成4 5。和 3 0。角，过点 AP(1,0)作 直 线 分别交04,O B于 A,8 两点，当 48 的中点(7 恰好/P(10 1,l i落在直线y=5上时，
16、求直线AB的方程.解：由题意可得心=t a n 4 5。=1,kOB=t a n(1 80 -3 0)=-,所以直线/.:y =x,IOB：y=2X,设 4(加，m),B(一事n,n),所以N8 的中点由点C在直线y =夕 上，且 4P,8 三点共线得，勿?+1 m y 3 nJ 2 =2 2，-0 _-0-1 -y 3 n -1 解得m =小,所以小).又 P(l,0),所以 kA B=kAp=-=3 +产,3 +y li所以 I A B：y=2 (x-1)，即直线48 的方程为(3+5)x-2 y-3-小=0.第二节课 前C1双基落实这样自检要比死记更有效基础盘查一两直线平行与垂直(一)循
17、纲忆知能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.(二)小题查验1 .判断正误 当直线/1利b的斜率都存在时，一定有4 1=/2=/|/2()(2)如果两条直线人与6垂直，则它们的斜率之积一定等于一1()(3)已知直线/：/x+8(y+Ci=0,邑/2工+8少+。2=。(小，8”C”4,B 2,。2为常数)，若直线 则 442+囱8 2 =0()答案：X (2)X (3)V2.（人 数B版 教 材 习 题 改编）过 点（1,2）与 直 线2 x+y-1 0=0垂直的直线方程为答案：x-2 y+3 =0基础盘查二两直线的交点（一）循纲忆知能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（二）小题查
18、验1.判断正误（1 ）/,：y kX b,I 2：/2 当无 时，/|与，2 相交（）（2）过/i：/x+3 iy+G=0,/2：N 2 x+&y+C 2=0 的交点的直线方程为 A x+B y+C +/.（A 2 X+52y+C2）=0（；.G R）（）答案：J （2）X2.（人 数A版教材习题改编）经过两直线2 x+y-8=0与x-2 y+l=0的交点，且平行于直 线4 x-3 y-7=0的直线方程为.答案：4 x 3 y 6=0基 础 盘 查 三 距 离 公 式（一）循纲忆知掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.（二）小题查验1 .判断正误（1）点P Q o
19、，泗）到直线V=A x+b的距离为隼。)（2）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离（）（3）若 点Z,8关于直线/：y=f c r+6（k W 0）对称，则 直 线 的 斜 率 等 于 一且线段K的中点在直线/上（）答案：X J （3）72 .（北师大版教材习题改编）两平行直线3，2分别过4 1,0），8（0,5）,若/|与6的距离为5,则A与6的方程分别为6：，/2：.答案：夕=0或5*1 2/-5=0y=5 或 5 x 1 2 y+6 0=0%考点突破 不同考点不同设计更高效考 点 一 两 直 线 的 位 置关系|（基础送分型考点自主练透）课堂C 必备知识1 .判定两直线
20、平行的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若用=后，且6 1金电，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合.(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线 A：/x+B _ y+G=O,勿/2 x+B jy+C 2=0,小8 2-/2 8 1 =0，且 8 c 2 8 2 C|W 0.2 .判定两直线垂直的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若 什 后=一 1,则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0,则两直线也垂直.(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线小小x+8 y+G=0,公沙+C 2
21、=0,11 A.l2A 2+8 82=0.3 .求两条直线的交点对 于 直 线/i ：A i x+B i y +C i=0,/2：/2 x +&y+C 2 =0,它 们 的 交 点 可 由/X +O y求解.8 少+C 2=0 题组练透1.(2 01 5北京海淀区期末)已知直线/i：x+2 y-l=0与直线6/nx-y=0平行，则实数m的 取 值 为()A-2 B-2C.2 D.-2m 1解析：选A 因为直线八：x +2 y T=0与 直 线 勿z nx-y =0平行，所以丁=工-*0,解得 m =-故选A.2.(2 01 5浙江名校联考)已知直线 A：x+(a 2)y 2=-0,12：(。-
22、2就+砂一 1 =0,贝i j “a=一1 是 的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选A 若a=-l,则/1：x-3 y -2 =0,l2:-3 x-y -=0,显然两条直线垂直；若/1 1/2，贝”(。-2)+心-2)=0,-1 或。=2,因此，“a=-1”是 的充分不必要条件，故选A.3.(2 0 1 5浙江温州十校联考)过两直线2 x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3 x+y-1=0平行的直线方程为2 x-y-5=0,解析：联立 得交点尸(1,-3).x+y +2 =0,设过点尸且与直线3 x+y -1 =0平行的直线方程为3
23、 x+y +m =0,贝 弓 3 X 1 -3 +机=0,解得m=0.答案：3 x+y=0 类题通法1 .充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键，对于斜率都存在且不重合的两 条 直 线/|和 台 舟=3,人 工/2 用色=一1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.2 .两直线交点的求法求两直线交点坐标，就是解山两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.3 .常 见的三大直线系方程(1)与直线4 v+8 y+C=0 平行的直线系方程是4 v+8 y+/=0(w e R 且mWC).(2)与直线A x+B y+C=0垂直的直线系方程是B x-
24、A y+m=0(mG R).(3)过直线/|：小x+8 i y+G=0 与，2：N 2 x+8 i y+C 2=0 的交点的直线系方程为小x+S y+G+4/2 X+8 以+C 2)=0(%G R),但不包括 h考 点 二 距离问题(重点保分型考点师生共研)必备知识1 .两点间的距离公式平面上任意两点尸G 1，%)，P1(X 2,.)间的距离公式为|P 1 P 2 I=(X 2 X 1)2 +S 2 y I)2.2 .点 到直线的距离公式A x0-B y0+C R+不点、尸 o(x(),为)到直线/：4 v+B y lC 0的距离d3 .两平行直线间的距离公式IJ C 2 I两条平行直线4 c
25、+垓+G=0与 否+/+。2=0 间的距离为d=提醒 在解题过程中，易忽略点到直线与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式，导致出现错解.特别是两平行直线间的距离公式中，两直线方程的一般式中的x,y的系数要对应相等.典题例析已知点尸(2,-1).(1)求过点P且与原点的距离为2的直线/的方程.(2)求过点P且与原点的距离最大的直线/的方程，最大距离是多少?(3)是否存在过点尸且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解：(1)过点P的直线/与原点的距离为2,而点尸的坐标为(2,-1),显然，过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时/的斜率不存在，其方程
26、为x =2.若斜率存在，设/的方程为y+1 =后。-2),即 Ax -y -2左-1=0.-?k-I I?由已知得L y亏=2,解得k=.4 炉 +1 4此时/的方程为3 x-4y-1 0 =0.综上，可得直线/的方程为x =2或3 x -e-1 0 =0.(2)作图可得过点尸与原点。的距离最大的直线是过点尸且与PO垂直的直线，如图.o由/_L O尸，得 k kop=-T,所以力=一 =2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即 2 x -y -5=0.所以直线2 x -y -5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最 大 距 离 为 国=小.(3)由(2)可知，过 点P不存在到原点的
27、距离超过小的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.类题通法解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.演练冲关已知/2是分别经过4 1,1)，8(0,-1)两点的两条平行直线,当一，2间的距离最大时,则直线/1的方程是.解析：当直线N8与/1，/2垂直时，/”/2间的距离最大.因为4(1,1),8(0,-1),所以 1 1 1 1kA B=-j _=2,所以两平行直线的斜率为k=-所以直线/i的 方 程 是1 =1),即 x +2-3 =0.答 案：x+2 y-3=0考 点 三 对 称问题(常考
28、常新型考点 多角探明)必备知识1.中心对称(1)点 关 于 点 对 称：若 点Mx”为)与N(x，V)关 于P(。，3对 称，则山中点坐标公式得x=2 a-X i，,进而求解.y=2 h-yx,(2)直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用人小 由 点斜式得到所求的直线方程.2.轴对称(1)点关于直线的对称若两点P ig,力)与尸2(x 2,力)关于直线/：Z x+B y+C=O对 称，则 线 段P/2的中点在对称 轴/上，且 连 接 的 直 线 垂 直 于 对 称 轴/，空)+X)+
29、c=o，可 得 到 点Pl关 于/对 称 的 点P 的坐标(应，乃)(其 中 N W O,X WM).特 别 地，若 直 线/：Ax+By+C=Q满 足 =|四,则 尸1 8,为)与P2(x2,及)坐标关系为/X +故2 +C=0,./2+8为+C=0.由方程组，(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一 是 已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.多角探明对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型.归纳起来常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称；(4)对称问题的应用.角度一：点关于点的对称
30、1.过点尸(0,1)作 直 线/使 它 被 直 线/i：2x+y 8=0和6：x 3 y+1 0=0截得的线段被点P平 分，求直线/的方程.解:设/与/的交点为4a8 -20,则由题意知，点A关于点P的对称点5(-a,2 a -6)在12上，代入6的方程得-4 -3(2。-6)+1 0 =0,解得a =4,即点4(4,0)在直线/上，所以由两点式得直线/的方程为x +旬-4 =0.角度二：点关于线对称2.己知直线/：2x 3 y+l=0,点/(一1,-2),求 点/关 于 直 线/的 对 称 点 的 坐 标.解：设 H(x,办再由已知得x-1 y-2 2X”-3*丁+1 =0,r 3 3x=-
31、丘解得，4卜=百，故/角度三：线关于线对称3 .在 角度二 的条件下，求直线机：3 x 2y 6=0 关于直线/的对称直线机的方程.解：在直线加上取一点，如 M(2,0),则 M 2,0)关于直线/的对称点M必在直线力 上.设对称点A/(a,b),则设直线m与直线/的交点为N,则得 M 岛 瑞)2 x-3 y+1=0,由J 3 x 2 y-6 =0,得 M 4,3).又；m 经过点N(4,3),.由两点式得直线a的方程为9x-46 y+1 0 2=0.角度四：对称问题的应用4 .已知光线从/(4,一2)点射出，到直线y=x上的8点后被直线y=x反射到y轴上的 C点，又被y轴反射，这时反射光线恰
32、好过点。(一 1,6),求 8c所在的直线方程.解：作出草图，如图所示，设/关 于 直 线 y =x的对称点为T,D 0 r i D，关于y轴的对称点为。，则 易 得(-2,-4),D (1,6).由入射角 N c等于反射角可得/D所在直线经过点B与 C.-*%，课 后Cv-6 x 1故BC所在的直线方程为L、,即 10 x-3y+8=0.-4-6 -2-1 /类题通法对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直
33、”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.通 练 提 能 针对高考灵活掌控更实效一、选择题1.与直线3x4 y+5=0 关于x 轴对称的直线方程为（）A.3x+4y+5=0 B.3x+4y-5=0C.3x+4y5=0 D.3x+4y+5=0解析：选 A 与直线3x-4y+5=0 关于x 轴对称的直线方程是女-4（-y）+5=0,即 3x+4y+5=0.2.已知平面内两点Z（l,2）,8（3,1）到直线/的距离分别是啦，邓 一 也 则满足条件的直线/的条数为（）A.1B.2C.3D.4解析：选 C由 题 知 满足题意的直线/在线段两侧各有1 条，又因为|/同=小，所以还有1 条为过线段A
34、B上 的 一 点 且 与 垂 直 的 直 线，故共3 条.3.（2015广元模拟）若直线/2 2y+/w=0（?0）与直线/2：%+3=0 之间的距离是由，则 m+n=（）A.0B.1C.-1 D.2解析：选 A.,直线八：x-2 y+m=0（加 0）与直线，2：x+沙-3=0 之间的距离为小，n =-2,=-2,加=2（负值舍去）.二.加+勿=0.4.（2015 济南模拟）“机=3”是“直线/】：2（加+1）工+（加一3+7 5团=0 与直线/2：（?3）x+2y5=0 垂直”的（）A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选 A 由/1I/2，得
35、 2（加+1）（%-3）+2（机-3）=0,，机=3 或，=-2.团=3是/Jb的充分不必要条件.5.（2015云南统考）已知4 B两点分别在两条互相垂直的直线2x y=0 和 x+皎=0 上,且 线 段 的 中 点 为 0,与，则线段48 的长为（）A.11B.10C.9D.8x-2 y=0,解析：选 B 依题意，=2,尸(0,5),设/(x,2x),5(-2 y,y),故J “贝 11/(4,8),2x+y =10,B(-4,2),A B=7(4+行 +(8-2 y=10.6.已知曲线苧一用1 与直线y=2x+,有两个交点，则，的取值范围是()A.(8,4)U(4,+0)B.(-4,4)C
36、.(-8,-3)U(3,+8)D.(3,3)解析：选 A 曲线与-与=1 的草图如图所示.由该曲线与直线y =2x +/%有两个交点,可得m 4或mkA F,即0o (4,+8).答案：(4,+8)三、解答题11.已知两条直线/1：o r 勿+4=0和，2：(a l)x+y+6=0,求满足下列条件的a,b的值：/山 2,且1过点(一3,-1)；(2)/|/2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.解：(1)由已知可得为的斜率存在，且4 2=1-4.若左2=0，贝 4 1-。=0，7=1.直线/|的斜率鬲必不存在，即 b =0.4又 过 点(-3,-1),/.-3 +4=0,即 =(矛盾).二.此种
37、情况不存在，.,后 力。即鬲，府都存在，.,%2=1-。，h=%1山2,.，左他=一1,即加一)=T.又/过点(-3,-1),/.-367+6+4=0.由联立，解得a=2,b =2.(2),4 的斜率存在,()/2，直线/1的斜率存在,k=攵 2，即 齐 1 一 a 又.坐标原点到这两条直线的距离相等，且八I I /2,4b 在歹轴上的截距互为相反数，即g=b，a =2,a =T,联立，解得 或 3b=-2,。S =2.、2 =2,6=-2 或。=,h =2.12.(2015东营模拟)设直线I的方程为(a+lM+y2-a=0 g e R).(1)若直线/在两坐标轴上的截距相等，求直线/的方程；
38、(2)若 A 1,直线/与 x、y 轴分别交于、N 两点，。为坐标原点，求OMV面积取最小值时，直线/的方程.解：(1)当直线/经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0,此时Q+2=0,解得。=-2,此时直线/的方程为-x+y=0,即x-y =0;当直线/不经过坐标原点，即 o H-2 且 a W-l 时，2+Q由直线在两坐标轴上的截距相等可得-77=2+a,a+1解得a=0,此时直线1的方程为x+y-2 =0.所以直线/的方程为x-y =0 或 x+y 2=0.(2)由直线方程可得朋(|言，0),N(0,2 +a),因为。-1,.1 2 +a、1 (。+1)+i f所以 SOMN=/X
39、 q +义(2+a)=gX 十14(1)+六+2 卜 时 2A+2 =2,当且仅当 0()答案：(1”(2)V (3)72 .(人数A版教材例题改编)已知圆心为C的圆过点工(1,1),8(2,-2)且圆心C在直线I t x-y+l=0 上，则圆的标准方程为.答 案:(x+3)2+(y+2)2=2 53 .(2 0 1 5 金华十校联考)已知圆C的半径为1,圆心在第一象限，与夕轴相切，与 x 轴相交于点4、B,且 4 8=小,则该圆的标准方程是.解析：依题可设圆C:(x-I)?+(y-牙=1(6 0),且 停 A*,可解得 .所以圆C的标准方程为(X-1)2 +Q-J2=.答案：(X-1)2+(
40、7-1)2=1基础盘 查 二 点与圆的位置关系(一)循纲忆知了解点与圆的位置关系(点在圆上、点在圆内、点在圆外).(二)小题查验1 .判断正误 若 点 M(x o,泗)在 圆/+/+瓜+砂+尸=0外，则 君+/+瓜()+砌 o+P O()(2)已知圆的方程为f+y 2-2 y=o,过点/(1,2)作 该 圆 的 切 线 只 有 一 条()答 案:(1)V (2)X2 .若点(1,1)在圆4)2 +8+0 2 =4的内部，则实数。的 取 值 范 围 是.解析：因为点(1,1)在圆(、-。)2 +e+。)2 =4的内部，所以(1-4+(1+a)2 4.即 故答案：(一 1,1)课 堂C考点突破不蚂
41、考点不同设计更高效考 点 一 圆 的 方 程(基础送分型考点自主练透)必备知识1.圆的标准方程(%)2=r2 其中(a,6)为圆心,r 为半径.2.圆的一般方程x+y+Dx+Ey+FO.当)2+E2-4QO时表示圆，其中(一号，一为圆心，为。2+万一4/为半径.8 =0,提醒 方程/f+g O+0 2+瓜+砂+尸=。表示圆的充要条件：L=C 0,D2+E2-4AF0.题组练透1.(2 0 1 5 潍 坊 一模)若圆C经过(1,0),(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A.(X 2)2+(y 2)2=3 B.(x-2)2+(y V 3)2=3C.(x-2)2+(y 2)2=4 D.(
42、%-2)2+0)2=4解析：选 D 因为圆C经过(1,0),(3,0)两点，所以圆心在直线x =2上，又圆与y轴相切，所以半径r =2,设圆心坐标为(2,Z),则(1-2)2 +/=4,/=3,h=4 3,选 D.2.(2 0 1 5 温州十校联考)已知抛物线G：f=2y的焦点为F,以F为圆心的圆C 2 交 G于 4 8两点，交 G 的准线于C,。两点，若四边形/8 C。是矩形，则圆C 2 的 方 程 为()AV+QL5B.x2+yC.x2+(y-l)2=12D.x2+(y-l)2=16解析：选 B 如图，连 接/C,BD,由抛物线的定义与性质可知圆 心 坐 标 为 F而FA =|F8|为 圆
43、 的 半 径 八 于是+2r),而A在抛物线上,r=2,故选 B.3.圆 C 通过不同的三点尸(左0),0(2,0),7?(0,1),已知圆C 在点P 处的切线斜率为1,则圆C 的方程为.解析：设 圆 C 的方程为f+Dr+切+尸=0,则&,2为x?+Dr+尸=0 的 两 才 艮，-k +2=D,2 k=F,即。=-(&+2),F=2 k,又圆过 R(0,l),故 1 +F=0.=-2 k 1.故所求圆的方程为 x2+y1-(k+2)x-(2 k+)y +2 k=Q,圆心坐标为(詈，铝),圆C 在点P 处的切线斜率为1,2 k+1-kc p=-1 =；一7,%=-3.2-k,-D=1,E =5
44、,F=-6.所求圆C 的方程为x2+j+x+5y-6=0.答案：x U J+x +Sy 6=0 类题通法解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是：如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程，则通常选择设圆的标准方程，否则选择设圆的般方程.考点二与圆有关的最值、范围问题1(常考常新型考点-多角探明)必备知识1.与圆的几何性质有关的最值(1)记。为圆心，圆外一点/到圆上距离最小为必。|一 r,最大为恒。|十 厂；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为d,直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d+r,最小距离为d-r；(4)过两定
45、点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.2.与圆上点(x,歹)有关的最值(1)形如=三 形 式 的 最 值 问 题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如=办+方形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x a)2 +(6)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.多角探明与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；距离型最值问题；(4)利用对称性求最值、范围等；(5)建立目标函数求最值问题.角度一：斜率型最值问题1.已知实数x,y满 足 方 程 +
46、/一 公+1=0.求)的最大值和最小值.解：原方程可化为(X-2)2+/=3,表示以(2,0)为圆心，小 为半径的圆.；的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，V所以设嚏=攵，即=云.如图所示，当直线y =A x 与圆相切时，斜率攵取最大值或最小值，此畤 罟 二小解得所以:的最大值为小，最小值为一小.I角度二：截距型最值问题2.在 角度一 条件下求y x的最大值和最小值.解：y-x 可看作是直线y =x +6 在y轴上的截距，如图所示，当直 t y线y =x +6与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值,此时冷”=.小，解得 b =-2 f 6.所以y-x的最大值为-2 +最小值为角度三：距离型最
47、值问题3 .在 角度一 条件下求d+丁 的最大值和最小值.解：如图所示，表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面 几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.,一又圆心到原点的距离为 x.(2-0)2+(0-0)2 =2,所以x2+y2的最大值是(2 +小 了=7+4小,x2+丁的最小值是(2 -小=7 -4y/3.角度四：利用对称性求范围4 .(2 0 1 4新课标全国卷U)设 点Mx o J)，若 在 圆O：f+y 2=i上存在点,使得=4 5。，则 的取值范围是()A.-1,1 1C.一 也，2 3回2 2 J解析：选A 当点的坐标为(1,1)时，圆上存在点N(l，0)
48、，使得NOW N=45。，所 以xo=1符合题意，故排除B,D;当点”的坐标为(啦，1)时，O M=过 点M作 圆。的一条切线 MV,连接 CW,则在 R t O M V 中，s i n Z O M N=冬 乎，则 N O A/W 0),则 直 线 的 方 程 为?+齐1,即6 x+-a b =0,因为直线N8和圆相切，所以圆心到直线Q8的距离d=匚建雪=也,h-即2(/+b2)=(a 6)2 2 4a b,所以a b 2 4,当且仅当a =b时取等号，又+b2=关N 2 6，所以|48|的最小值为2吸，此 时 =/,即“=6 =2,切线/的方程为=1,即x+y-2 =0.答案：x+y 2=0
49、 类题通法求解与圆有关的最值问题的两大规律1 .借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.2.建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的.考 点 三 与圆有关的轨迹问题|(重点保分型考点师生共研)必备知识1.求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先山条件判断轨迹图形，再由图形求方程.2 .常用求法：定义法(2)相关点代入法 提醒“轨迹”与“轨迹方程”的区别：“轨迹”是图形
50、，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.典题例析已知圆 2+/=4 上一定点仇1,1)为圆内一点，P,。为圆上的动点.(1)求线段/尸中点的轨迹方程；(2)若N P 8 0=9 O。，求线段尸0 中点的轨迹方程.解：(1)设 ZP的 中 点 为y),由中点坐标公式可知，尸点坐标为(2%-2,2 y).因为尸点在圆f+_/=4 上，所以(2 x-2)2 +(2 历2 =4.故线段/尸中点的轨迹方程为(X-1)2+/=1.(2)设 P0 的中点为M*，y)-在 R2P8 0 中,|P N|=|B N|.设。为坐标原点，连接O N,