《2016届高考数学大一轮复习第八章解析几何同步练习文.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016届高考数学大一轮复习第八章解析几何同步练习文.pdf（126页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、【数学导航】2 0 1 6 届高考数学大一轮复习第八章解析几何同步练习文第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程重 温 教 材感悟方法考 点：分类整合辨 明 易 读条分缕析最新L理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握确定直线位置的几何要素.3.掌握直线方程的几种形式(点斜式，两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.N o J整知识 取知识精华1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线，与 X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正方向与直线,向上方向之间所成的角。叫做直线/的倾斜角；规定：当直线，与 X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0;范围：直线的倾
2、斜角。的取侑范围是 0,).(2)直线的斜率定义：当 直 线/的 倾 斜 角 aW 方时，其 倾 斜 角。的正切值t a n。叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母女表示，即 4=t a n。；斜率公式：经过两点8(刘，)，P人xi,国片&)的直线的斜率公式为4=更二4X2 X2.直线方程的五种形式3.线段的中点坐标公式名称儿何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率尸3.*+b与 X轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y=4(x照)两点式过两点y-y x-x y2y x-x与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距-+7=1a b不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=Q(#+#0)所有
3、直线若 点 凡 K的坐标分别为（小，（如 ，线 段 4 白的中点 的坐标为（X,。，则矛1 +必x=2 ，此公式为线段户出的中点坐标公式.尸 一No.2整方法 启迪发散思维1 .明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于X 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于X、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.2 .求直线方程的一般方法（1）直接法：根据E知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.（2）待定系数法，具体步骤为：设所求直线方程的某种形式；由条件建立所求参数的方程（组）；解这个方程（组）求
4、出参数：把参数的值代入所设直线方程.考点自测 一立足夯基提能1 .判断下面结论是否正确（请在括号中打“J ”或“X ”）（1）根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.（）（2）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.（）（3）直线的倾斜角越大，其斜率就越大.（）（4）直线的斜率为t a n a,则其倾斜角为。.（）（5）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.（）（6）经过定点/（0,6）的 直 线 都 可 以 用 方 程 表 示.（）（7）不经过原点的直线都可以用一X+V=1 表 示.（）a b（8）经过任意两个不同的点PKx ,力），2（如的直线都可以用方程（了一%）（助一外=（x 为）（
5、及一）表 示.（）答案：V （2）X （3）X （4）X （5）X （6）X （7）X （8）42.过点欣一2,勿），M/4）的直线的斜率等于1,则小的值为（）A.1B.4C.1 或 3 D.1 或 4解析：.:2 三中1，：k1 答案：A3.直线mx-y+a=O(a 为常数)的倾斜角为()A.30 B,60C.150 D.120解析：山直 线 方 程 得 尸 所 以 斜 率 4=4，设倾斜角为a,所 以 t an a 二木,又因为0。c z 18 0,所 以。=60 .答案：B4.已知直线/的倾斜角。满 足 3s i n /=c os a,且它在x 轴上的截距为2,则直线1的方程是.解析：由
6、 3s i n a=c os a,得 t a n。二直 线，的斜率为9.又 直 线/在 x 轴上JO的截距为2,.直线/与x 轴的交点为(2,0),.直线/的方程为y 0=；(x 2),即 x 3y-2=0.答案：x-3 y-2=05.经过两点”(1,2),M 3,4)的 直 线 方 程 为.1/,I 2 Y-1解析：经 过 两 点/1,-2),M-3,4)的 直 线 方 程 为 缶=,即 3x+2y+l=4十 2 3-10.答案：3%+2y+l=0题 组 集 训 典例引领考 向:分 层 突 破创新体验-洞晓规律考向一直线的倾斜角与斜率自主练透型1.若经过两点/l(4,2y+l),8(2,3)
7、的直线的倾斜角为 斗，则 y 等于()A.-1 B.3C.0 D.2&,-3-2 7-1 3 n解析：由 k=t an -=1.乙一4 4得一4 2y=2,/.y=-3.答案：B2.(2015 青岛模拟)若动 0,则过点/(0,一力与 0)的直线掰的倾斜角的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _17b 0 g解析：k=-Of又倾斜角的取值范围为 0,冗)，故直线图的倾斜角的取1 b值范围为(，口).归纳1.在解决斜率或倾斜角的取值范围问题时，应先考虑斜率是否存在或倾斜角是否为:这一特殊情形.2.求倾斜角。的取值范围的一般步骤是：求 出 斜 率 仁 t an a的取值范围；利用三角函数的单调性
8、，借助图象，数形结合，确定倾斜角。的取值范围.考向二直线的方程分层深化型例DM 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(一4,0),倾斜角的正弦值为 善;(2)直线过点(一3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.解析：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为。，则 s i n a=(0 a.y+l=-（jr-l）,B P 3x+4y+l=0.综上可知，所求直线的方程为户1 或 3x+4y+l=0.拓展练 着眼于迁移运用3.（2014 湖南长沙一模）过点（1,3）作 直 线/,若经过点（劣0）和（0,垃,且 d N*,be
9、N*,则可作出的直线，的条数为（）A.1B.2C.3D.41 3解析：由题意得一+N=1 1）（83）=3,a ba=2又 a N*,A e N*,故有两个解，.6=6日=4,b=4.或答案：B归纳在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.考向三直线方程的综合利用互动讲练型例及M直线/过点尸（1,4）,分别交X 轴的正半轴和y 轴的正半轴于4 8两
10、 点,。为坐标原点，当|力|+|比I 最小时，求/的方程.解析：依题意，的斜率存在，且斜率为负，设直线1的斜率为k,则直线/的方程为y-4=A(%-l)U0).令 尸0,可得彳i1，o)；令x=0,可得6(0,4心.OA-OB=(1胃+(4-衣)=5 一 (衣+胃=5+(一 4+g 25+4=9.4当且仅当一发=-且k8(A0).,当且仅当7=一4且AVO,k即4=-1时，|必 I阳I取最小值.这时/的方程为x+y5=0.ffl 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，般是利用直线方程中的筋y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.(2)与
11、方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.归纳考 题：分级冲关A级 基 础 训 练1.在等腰三角形4如中，A O=A B,点0(0,0),4(1,3),点8在x轴的正半轴上，则直线 股 的 方 程 为()A.y-l=3(x-3)B./-1 =-3(*3)C.y3=3(x1)D.y3 3(x1)解析：因为4a站 所以直线四的斜率与直线加的斜率互为相反数，所以服=一心=一 3,所 以 直 线 的 点 斜 式 方 程 为：-3=-3（x l）.答案：D2 .（2 014 山西太原质检）设 直 线/与 x 轴的交点是只
12、 且倾斜角为a,若将此直线绕点一按逆时针方向旋转4 5 ,得到直线的倾斜角为。+4 5 ,则（）A.0 W a W 180 B.0 W。135 C.0 W a 180 D.0 t z 135 解析：,|o0 W 。a+41580 1,80.A O a 135 .,.选 D.答案：D3.已知直线人a x+y 2 a=0 在 x 轴和y 轴上的截距相等，则 a的值是（）A.1B.-1C.-2 或一1 D.-2 或 1解析：由 题 意 可 知.当 户 0 时，y=a+2.当 y=0 时，x=竺匕，a+2=a+2,a解 得a 2或a=1.答案：D4 .直线+如-1=0 在 y 轴上的截距是一1,而且它
13、的倾斜角是直线第x 一尸 3#的倾斜角的2 倍，则（）A.A=y f 39 B=1 B.A B=-1C.A=B=-D.=一 4，B=1解析：将直线Ax+By =Q化成斜截式y=-1,-故排除 A,D.D又直线镉x y=3第的倾斜角.直线4 x+政-1=0 的倾斜角为2 a=W斜率一曰=t a n 等 =一#,DO；=一小,故选B.答案：B5.若直线过点一3,一|）且被圆/+/=2 5截得的弦长是8,则该直线的方程为（）A.3 x+4 y+1 5=0-3B.x=-3 或片=一C.x 3D.x=-3 或 3 x+4 y+1 5=0解析：若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得
14、y=4,故该直线被圆截得的弦长为8,满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为了+=3（x+3）,即 而 一y+3 4 5=0,因为该直线被圆截得的弦长为8,故半弦长为4.又圆的半3（_ 3-径 为5,则圆心（0,0）到 直 线 的 距 离 为 后 牙=而 口，解得衣=一彳，此时该直线的方程为 3 x+4 y+1 5=0.答案：D6 .已 知 礴0,则过点（1,1）的直线ax+3加y+2 a=0的斜率为一解析：.点（1,-1）在直线ax+3而y+2 a=0上，aa-3/z?+2 w=0,m=a于0,k=r.3 m 3答案：一;J7.直线x co s a+/y+2=0的倾斜角的范围是一解析：
15、设直线的倾斜角为0,依题意知，k=T-COS 0 ；又，G。，），.问 0,五 5兀TU 1 nH|5 n 、答案：，至U -8.设 点 71(-1,0),6(1,0),直 线2 x+y-b=Q与线段4 5 相交，则b的取值范围是解析：方为直线尸一2x+在 y 轴上的截距，如图，当直线y=-2 x+6 过点加一1,0)和 点 8(1,0)时，6 分别取得最小值和最大值.的取值范围是-2,2.答案：-2,2 9.已知直线过点A 3)和点8(1,而,且卬满足方程序一4/3=0,求该直线方程.解析：由题意，因为w满足方程勿 一4+3=0,贝 lj m=l或=3.若 m=l，则直线方程可写为J=，1O
16、 1Z即 2xy1=0；若加=3,则直线方程的斜率为0,直线方程可写为y=3.因此符合条件的直线方程为2 x-y-1 =0 或 尸 3.1 0.设直线/的方程为x+初一2叶 6=0,根据下列条件分别确定w的值：(1)直 线，的斜率为1;(2)直 线，在 x 轴上的截距为-3.解析：(1)因为直线/的斜率存在，所 以 肾 0,于是直线/的方程可化为尸一工不+/n2/n-6.1.-.山题忌得一一=1,解得勿=1.m m3(2)法一：令 尸 0,得X=2R6.由题意得2 k 6=-3,解得力=引.3法二：直 线1的方程可化为x=-my 2m6.山题意得2m6=-3,解得力=/B级 能 力 提 升1.
17、在同一平面直角坐标系中，直线九：w x+y+6=0和直线4：6 x+y+a=0 有可能是解析：直 线 4：a x+y+6=0 的斜率4i=a,在 y 轴上的截距为一6；直 线 A：bx+y+a=O的 斜 率%=-6,在 y轴上的截距为一&在选项A中 4的斜率一6 0,所以A不正确.同理可排除C、D.答案：B2.条直线经过点力(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为.解析：设所求直线的方程为乙+3=1,a b2 2.3(2,2)在直线上，.一+%=1.a b又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1,a|引=1.a6=1,-b 1由 可 得 ，c 或，c.、ab=2,ab=
18、-2q-2 Q-由 解 得 仁；或 仁-2.方程组无解故所求的直线方程为卷+孑=1或二7+3=1,即 x+2 y 2 =0 或2x+y+2 O为所求直线的方程.答案：x+2 y-2=0 或 2 x+y+2=03.已知直线1与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线1的方程：(1)过定点 4(-3,4)；(2)斜率为164解析：(D 设直线1的方程为y=4(x+3)+4,它在x 轴，y轴上的截距分别是一7 一3,3 4+4,由已知，得 3A+4卜 1-3)=6,9 Q解得4 =一可或左=一鼻.所以直线/的方程为2 x+3 y 6=0 或 8 x+3 y+1 2=0.(2)设 直
19、线/在 y 轴上的截距为6,则直线/的方程是它在x 轴上的截距是一6 6,由已知，得 1(66)引=6,*.b+1.，直 线1的方程为x6y+6=0或x Qy 6O.4.已知直线 1：Ax-y+l+2A=0(AR).(1)证明：直线/过定点；(2)若直线,不经过第四象限，求力的取值范围；(3)若 直 线/交x轴负半轴于点4交y轴正半轴于点6,。为坐标原点，设/施的面积 为S,求S的最小值及此时直线1的方程.解析：(1)证明：证法一：直线/的方程可化为尸发(x+2)+l,故无论A取何值，直线,总过定点(-2,1).证法二：设直线/过定点(刘，H)，贝II Ax。一为+1+24=0对任意ACR恒成
20、立，即(司+2)A%+1=0 恒成立，.荀+2=0,%+1=0,解得刖=-2,乃=1,故直线/总过定点(一2,1).(2)直 线1的方程为y=k x+2 k+,则直线1在y轴上的截距为2什1,件2 0,要使直线/不经过第四象限，则,、(1+2 杉 0,解得在的取值范围是 0，+8).I-4-2/S-(3)依题意，直 线1在x轴上的截距为一三d，在y轴 上 的 截 距 为1 +2A,K(1+2 4 n ,、一一 ,01,4(0,1+20又一二 0,：.k0.K故 5=1 OA OB=.X ,/(l+2 A)乙 Z K=、4 什1+4)g(4+4)=4,当且仅当44=；,即 /时，取等号.故S的最
21、小值为4,此时直线1的方程为L 2y+4=0.第二节两直线的位置关系重 温 教 材感悟方法考 点:分 类 整 合辨明易读-条分缕析最 新 饮 用 显1 .能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2 .能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3 .掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.No.1整知识 萃取知识精华1 .两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的 直 线1 1，其斜率分别为4,4,则 有 外40%=加 特别地,当直线4的斜率都不存在时，九与平行.(2)两条直线垂直如 果 两 条 直 线 入斜率存在，设为,k2,则1、工 人 依%
22、=-1,当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2 .两直线相交交点：直 线7 ：4 x+8 y+G =0和72：4 x+5 y+G =0的公共点的坐标与方程组A X-B y+C Q的解对应.相交o方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解；平行o方程组无解;重合o方程组有无数个解.3 .三种距离公式 点4(荀,防)、B(X2,间的距离:I AB Xt X2 阡%一1 点P(x”弘)到直线/：4 r+如+C=0的距离：4M 两 条 平 行 直 线/.：A x+B y+G =O与；2：+如+G =O(G 2 G)间的距离为d=I G -C INo.2整方法启迪发散思维常见的四大直线
23、系方程(1)过定点?(施，的直线系/(X X o)+8(y%)=0(才+/W 0),还可以表示为y H=A(x 加(斜率不存在时可视为x x o).(2)与直线A x+B y+C=O平行的直线系方程是Ax+By+m=0 (mR且.(3)与直线By+C0垂直的直线系方程是Bx Ay+m=0(/z/G R).(4)过直线7,：4x+6/+G=0与；2：4x+Ay+G=0的交点的直线系方程为A x+&y+G+4(4x+旦 y+C)=0(4 e R),但不包括 小考 点 自 测 一立足夯基提能1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“J ”或“X ”)(D 当直线么和心斜率都存在时.，一定有九=在=九1
24、 3 ()(2)如果两条直线4与 垂 直，则它们的斜率之积一定等于-1.()(3)已 知 直 线 九 4*+区/+。=0,；2：4矛+反y+G=0(4、笈、G、4、5、G为常数)，若直线7I72,则 44+6遂=0.()(4)点尸(眼 到直线产=在x+6 的 距 离 为 专(5+4)(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()答案：X (2)X (3)V (4)X (5)V2.已知 0：直 线/：x y 1 =0 与直线 A：x+a y 2=0 平行，Q：a=-1,贝 l l o 是。的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析：
25、由于直线L：x y-l=0 与直线A：x+a y 2=0 平行的充要条件是I X a 一(一1)Xl=0,即 a=-l.答案：A3.已知点P(1,1)与 点 0(3,5)关于直线/对称，则直线/的方程为()A.x y+1 0 B.x 一尸 0C.x+y 4 =0 D.x+y=0解析：线段图的中点坐标为(1,3),直线闻的斜率自=1,.直线/的斜率左=一1,直 线1的方程为x+y 4=0.答案：C4.直线4 x+3 y+C=0 与直线2 x 3 y+4=0 的交点在y 轴上，则 C 的值为.解析：因为两直线的交点在y 轴上，所以点0，在第一条直线上，所 以 C=-4.答案：一45.已知直线人的方
26、程为3 x+4 y 7=0,直线人的方程为6 x+8 y+l=0,则直线4与心的距离为.解析：直线Z 的方程为3*+4y7=0,直线右的方程为6 x+8 y+l=0,即 3x+4y1 2+7 3+5=0，二直线工与直线力的距离为 下 =.*,3答案：2题 组 集 训典例引领考 向：分层突破创新体验-洞晓规律考向一两条直线的平行与垂直自主练透型1.直 线/过 点（一1,2）且与直线2x3 y+4=0 垂直，则/的方程是（）A.3 x+2 y-l=0 B.3x+2y+7=0C.2x-3 y+5=0 1）.2A3y+8=02解析：直线2x3 y+4=0 的斜率是W，由直线/与直线2x3 y+4=0
27、垂直，可知直O线/的斜率是一 宗 又因直线/过点（一1,2）,由点斜式可得直线，的方程为y2=-（x+1）,即 3x+2y1 0.答案：A2.（2014 广东惠州二调）“a=l”是“直 线 小 ax+2y1=0 与直线人：x+（a+l）y+4=0 平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：若直线与人平行，则 a（a+l）2X 1=0,即 a=-2 或 a=l,所 以“a=l”是“直线上与直线人平行”的充分不必要条件.答案：A3.已知直线/的倾斜角为牛，直线人经过点力（3,2）,B（a,-1）,且人与/垂直，直线 A：2 x+6 y+l=0
28、 与直线入平行，则 a+A 等于（）A.4 B.2C.0D.23 113 T l 2 I 1解析：由题意知，/的倾斜角为一 ”=ta n T=-1,设乙的斜率为片，.=4 4 6-a3=-,人与/垂直，:.k k =l,d=0.2又,：k：2 x+by+l =0与人平行，.一1=1,:b=-2,：.a+b=-2.答案：B归纳两直线平行、垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行O两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线垂直O两直线的斜率之积等于一1.提醒 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况.(2)已知两直线的一般方程两直线方程4：4 x+8 y+G=0,&4 x+5 y+
29、C=0中系数4,笈，G,4,员，G与垂直、平行的关系：44+BBz=G=7 i J L 7 2；考向二两直线的交点分层深化型例D*求经过两直线4：x-2 y+4=0和心：x+y-2=0的交点只且与直线A：3%-4 y+5=0垂直的直线/的方程.x 2 y+4=0 ，J x=0,彳 马1 ，x+p 2=0 y=2即A 0,2).4V IL h,k)=-,解析：法一：由方程组，4,直线/的方程为y-2=一鼻 筋O即 4 x+3y-6=0.法二：.直线/过直线/和心的交点，.可设直线/的方程为x2 y+4+A (x+y-2)=0,即(1+4)x+3-2)y+4-2/=0./与A垂直，.,.3(1+4
30、)+(4)(4-2)=0,?.A =1 1,.直线/的方程为1 2 x+9 y 1 8=0,即 4 x+3y-6=0.U同类练着眼于触类旁通1.（2 0 1 4 浙江温州卜校联考）过两直线2 x y 5=o和 x+y+2=0的交点且与直线3 x+y-l=0 平 行 的 直 线 方 程 为.解析:联立，2x y5=0,x+y+20,得交点尸（1，-3）.设过点且与直线3 x+y-l=0 平行的直线方程为3 x+y+m=0,则 3*1-3+初=0,解得7 7 7=0.答案：3 x+尸 0变式练 着眼于举一反三2.过点尸（3,0）作一条直线/,使它被两直线/：2 x y 2=0 和 A x+y+3=
31、0 所截的线段力8以尸为中点，求此直线1的方程.解析：法一：设 直 线/的 方 程 为 尸 0”一3）,将此方程分别与h乙的方程联立，得2 x-y 2=0 得 1*+y+3=0.解之,得XA=3 k 2k-23k3和 X=RF 尸（3,0）是 线 段 的 中 点，由 为+刈=6 得3k2 3k3.了 +=6,解得 k=&K-L A 十 1故 直 线/的 方 程 为 尸 8 （x 3）,即 8 x-y 2 4=0.法二：设/i上的点力的坐标为（小，7 1）,亚 3,0）是线段4?的中点，则心上的点8的坐标为（6 一小，一巧），2 小y 2=0,6 X +y +3=0.解这个方程组，得1 1X l
32、=31 6y.点?1 的坐标为1 1 1 6、T*T，由两点式可得/的方程为8 x y 2 4=0.拓展练着眼于迁移运用3.已知直线 7 i：2 x+3y+8 =0,72：x y 1=0,73：x+4 y+A+g=0,分别求满足下列条件的的值:(1)/,1 2,A相交于一点;(2)7,12,A围成三角形.解析:(1)直 线12人的方程联立得x y 1 O2 x+3y+8=0 x=解得，即 直 线 的 交 点 为2(1,-2).卜=一2又点夕在直线A上，所以一 1-2%+/=0,解得衣=一*(2)由(1)知衣中 一称2 4一32 0当 直 线 人 与 人4均相交时，有4+03解 得 比 万 且抬
33、 一1,1 3综 上 可 得 后 一亍 且且4 w1.归纳M 1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解山两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.2.求经过两直线交点的直线方程，利用直线系方程，会给解题带来方便.考向三距离问题互动讲练型例*已知4(4,-3),3(2,-1)和直线/：4 x+3y-2=0,在坐标平面内求一点只使|必|=|阳，且点尸到直线，的距离为2.解析：设点尸的坐标为(a,6).3(4,-3),8(2,-1),.线段4 6的中点步的坐标为(3,-2).3+1而 力 夕 的 斜 率 一=1,4 乙二线段46的垂直平分线方程为y+2 =x 3,即 X y 5=
34、0.,:点、P(a,6)在直线 x y-5=0 上，5=0.又点P(a,加到直线7：4x+3y 2=0的距离为2,.|4a+36 2|5即 4a+36一2=1 0,由联立可得a=l,d=42 7a=或,2 7 8、二所求点尸的坐标为(1，-4)或g-y j.跟 踪 训 练)已知直线h m x+8 y+n=0与A：2 x+在一1 =0互相平行，且八，A之间的距离为乖,求直线为的方程.解析：/1 /1 1,：.&W幺 m 17 2 7=4,加=4,U-2或 仁2.当m=4时，直线人的方程为4x+8 y+=0,把心的方程写成4x+8 y 2=0,二 十 黑：=/解得1 6+6 4=-2 2 或 7
35、7=1 8.故所求直线的方程为2 x+4y 1 1 =0或2 x+4y+9=0.(2)当B一4时,直线上的方程为4*一8 9一=0,4的方程为2 x 4y 1 =0,.|+二乖,解得刀=-1 8或=2 2.R 1 6+6 4 v故所求直线的方程为2L4P+9=0 或2 x 47-1 1=0.归纳狸 求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的形式；求两条平行线之间的距离时，可先把两平行线方程中X,y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可转化成点到直线距离求解.考向四对称问题互动讲练型例已知直线/：2 x-3y+l=0,点月(一已-2).求:点A关于直线1的对称点A 的坐标；
36、(2)直 线 热3X一2/一6=0关于直线/的对称直线的方程.解 析：(1)设 4 (x,。，由已知，y+2 2寸=一1，2义1匚3乂 巳 +1=0,(2)在 直 线m上取一点，如(2,0),则(2,0)关 于 直 线/的 对 称 点 必 在 直 线 加 上.设M的 对 称 点 为(a,吩，则d+2 Z?+02 X-y-3 X-卜 1 =0,b-0 2-x =-11 a 2 3Z 6 0）与直线/2：3=0之间的距离是乖，则加+=（）A.0B.1C.-1 D.2解析：二 直线上：x2y+=0（加0）与直线4：3=0之间的距离为小，.=2,勿=2(负值舍去).m+n O.答案：Ay35.(201
37、4 湖北八市联考)已知集合，Q x,y=3 ，/(x,力ax+2y+a=0,且 MCA-0,则 a=()A.-6 或一2 B.6C.2 或一6 D.-2解析：易知集合中的元素表示的是过3)点且斜率为3的直线上除3)点外的所有点，要使MCU-。，则，V中的元素表示的是斜率为3且不过(2,3)点的直线，或过(2,3)点且斜率不为3的直线，；.一楙=3或2 a+6+a=0,，a=6或a=-2.答案：A6.经 过 点?(-1,2)且 与 曲 线 尸3 f4x+2在点材(1,1)处的切线平行的直线方程为解析:y =6A4,二一|k i=2,.,.所求直线的方程为 y-2=2(x+l),H P 2.x-y
38、+4=0.答案：2xy+4=07.直线x+2y-3=0与直线ax+4y+6=0关于点J(l,0)对称，则b=.解析：法一：由题知，点4不在直线x+2y3=0上，二两直线平行，二=，*2-4,a=2.又点A到两直线距离相等，.|1-3|2+Z|乖 275二|什2|=4,.,”=-6 或 6=2.;点A不在直线x+2y3=0上，；.两直线不能重合，b 2.法二：在直线x+2广-3=0上任取两点A(1,1),2(3,0),则 凡 旦关于点/的对称点P,月 都在直线ax+4y+6=0上，.易知(1,-1),%(-1,0),a4+8=0,0)半径：r一般/+y+Dx+Ey+F=0圆心：V-9，方程(Z?
39、+-4/0)半径：同力+4-4 尸2.点与圆的位置关系点MA O,与 圆（xa）2+（y。）2=产的位置关系：若MA O,%）在圆外，则（刘一血2+（%一 若 （加，必）在圆上，则（一 a 若+（M L =产.（3）若 MA O,%）在圆内，则（xo a）2+（%一/上No.2整方法；启迪发散思维1 .待定系数法求圆的方程（1）若已知条件与圆心（a,6）和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值；（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的般方程，依据已知条件列出关于，E,尸的方程组，进而求出。，E,尸的值.2 .确定圆心位置的方法（1
40、）圆心在过切点且与切线垂直的直线上.（2）圆心在圆的任意弦的垂直平分线匕（3）两圆相切时，切点与两圆圆心共线.考点自测 立足夯基提能1.判断下面结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）（1）确定圆的几何要素是圆心与半径.（）(2)方 程 4 r 2+叼+夕+瓜+。+尸=()表示圆的充要条件是力=今()，8=0,4+一4 4 0.()若 点 以 xo,在圆片+/+x+/?=0外，则髭+/+()+旗+0.()答案：V (2)V (3)V2.方程/+/+4旌-2 y+5 zz?=0 表示圆的充要条件是()1-A.Z Z T 1C./2?4解析：由 +片-4 6=1 6 +4-2 0Z Z7 0,解
41、得ni 1 或 加 V),故 选 B.4答案：B3.若点(1,1)在圆(xa)2+(y+a)2=4 的内部，则实数a的取值范围是()A.-l a lB.0 a l 或 a 1 D.a=1解析：.点(1,1)在圆内，A (l-a)2+(l +a)2 0),则直线四的方程为LZ尸_.g|J b x+a y-a b 0,因为直线四和圆相切，所以圆心到直线四的距离d=-ab心,整理得“2才+-=a b,即 2 3+为=Q 6)224 a 6,所以助2 4,当且仅当a=6 时取等号，5L AB =y +l f=所以1的最小值为2啦，此 时 a=6,即a=b=2,切 线1的方程为5X+习V=1,即 x+y
42、-2 =0.归纳答案：x+y 2=0与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形 如 =皿 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题;X-a(2)形 如 t=ax+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.考向三与圆有关的轨迹问题互动讲练型例 已知圆岁+y=4上一定点4(2,0),以1,1)为圆内一点，P,。为圆上的动点.(1)求线段/尸中点的轨迹方程；若 NPBg9 0 ,求线段偌中点的轨迹方程.解析：(1)设 1 尸的中点为(y),由中点坐标公式可知，一点坐标为(2x 2,2y).因
43、为点在圆/+/=4上，所以(2A-2)2+(2力2=4.故线段/尸中点的轨迹方程为(x-l)2+/=l.设 掰 的 中 点 为N(x,y),在 R t 阳0 中，|网=|掰，设 0 为坐标原点，连接 颇 图略)，则ONLPQ,所以|如 2=|洲?+刈 2=|加 旺|威1 2,所以 x+y+(x 1)2+(y-1)=4.故线段尸。中点的轨迹方程为x +y x y l 0.跟踪训练)已知直角三角形1%的 斜 边 为 4?,且力(一1,0),8(3,0),求:(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边6 C 中点 的轨迹方程.解析：(1)设顶点C(x,y),因为且4 B,C 1 三点不共线，所 以
44、正 3且 丘-1.y y又 kAc x+r1-r,kf i c=x-39 且 RAC -1，所以W 士=-1，化简得/+7-2 x3 =0.X I k X o因此，直角顶点6 1 的轨迹方程为/+/2*3=0(反 3且 x#1).(2)设点,(x,。，点以刘，因为8(3,0),步是线段比的中点，由中点坐标公式得彳=且 x W l)，尸 次；。，于是有 A b=2x-3,y o=2y.由 知，点 C 在圆51)2+/=4(正 3且 x W l)上运动，将加，必代入该方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(X-2)2+/=1.因此动点 的轨迹方程为52尸+/=1 (*3且#1).归纳衽困求与圆有
45、关的轨迹问题的四种方法A级 基 础 训 练1.(20 1 4 四川成都外国语学校)已知圆G(x+l)2+(y 1 尸=1,圆 G与 圆 G关于直线XA.B.C.D.了1=0 对称，则圆C的 方 程 为().(x+2)+(7-2)Li.(x 2)-+(y+2)J=l.(x+2)2+(y+2)2=l.(X 2)2+(y 2产=1解析：(x+l)2+(y l)2=l 的圆心为(-1,1),它关于直线x-K-1=0 对称的点为(2,-2),对称后半径不变，所以圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=l.答案：B2.若曲线C：f+/+2a x-4 a y+5 a 2-4=0上所有的点均在第二象限内，则a
46、的取值范围为()A.(8,2)B.(8,1)C.(1,+8)D.(2,+0)解析：曲线。的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,则该方程表示圆心为(一&2a),半径等于2的圆.因为圆上的点均在第二象限，所以a 2.答案：D3.圆f+/4 x 4 y 1 0=0上的点到直线X+L14=0 的最大距离与最小距离的差是()A.3 0B.1 8C.6m D.5书解析：由 圆/+/4 1-4 7-1 0=0知圆心坐标为(2,2),半径为3m,则圆上的点到直线x+y-1 4=0的最大距离为-2卜/M.+3*=队,最小距离为2+金 川3 m=2啦，故最大距离与最小距离的差为6近答案：C4.已知二元二次
47、 方 程4/+夕+加+。+/=(),则，力=今0,H4Q0,是方程表不圆的()A.充分非必要条件C.充要条件B.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件解析:4=分0,取 力=。=4,D=2,E=2,F=时，满足 曰o4+/-4 Q 0,但 是4 7+4 y+2x+2y+l=0 不表示圆；方程1/+(/+_+了+1=0 表示圆，其中力=，=，g l,E=1,尸 =1,但不满足4。0.综上可知，选D.答案：D5.已知圆。关于y轴对称，经过点(1,0)且 被x轴分成两段弧长比为1 ：2,则 圆。的方程为()2解析：由已知圆心在y 轴上，且 被 x 轴所分劣弧所对圆心角为可人，设圆心(0,a),O半径
48、为r,J I则 八 in orco s=af 解得0 n2_4 ,I#即/-3 -3答案：c故圆C 的方程为f+Q土 里)2=*6.经过点(1,0),且圆心是两直线x=l 与 x+y=2 的交点的圆的方程为X 1解析:即所求圆的圆心坐标为(1,1),又山该圆过点(1,0),得其半径为1,故圆的方程为(x 一l)2+(y-l)2-l.答案：(%-l)2+(y-l)2=l7.已知两点水一2,0),6(0,2),点 C 是 圆 义+/2*=0 上任意一点，则 比 面积的最小值是解析:JAB：xy+2=0,圆心(1,0)到，的距离3则边上的高的最小值为充一 L故 和 面 积 的 最 小 值 是 3 2
49、位 义 仁 一1)=3 答案：3 一/8.已知圆x+y+2 r 4 y+a=0 关于直线 尸 成 轴 对 称，则己一6 的取值范围是解析：,圆的方程可化为(x+l)2+(y 2)2=5 一分,其圆心为(一1,2),且 5 a 0,即 a5.又圆关于直线y=2 x+6 成轴对称，.*.2=2+Z?,/.Z?=4.a b=a 4l.答案：(一8,1)9.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，求 与 x轴相交于前1,0)和 6(5,0)两点且半径为4 的圆的标准方程.解析：法一：设圆的标准方程为(x a)2+(y 6)2=5.因为点4 6 在圆上，所以可得到方程组：1-a 2+Q-b 2=5,仿=3,
50、2 2 解得 5a+0 b-=5,|.6=1.所以圆的标准方程是(x-3)2+(y l)2=5 或(x-3)2+(y+l)2=5.法二：由 4 8两点在圆上，那 么 线 段 是 圆 的 一 条 弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段4 8 的垂直平分线x=3 上，于是可以设圆心为。(3,6).又 AC=y 5,彳鼠3 1 。+:=乖.解 得 6=1 或 6=1.因此，所求圆的标准方程为(犬一3)2+3 1)2=5 或(“-3)2+(y+1 产=5.1 0.已知以点尸为圆心的圆经过点前一1,0)和 8(3,4),线 段 4 7 的垂直平分线交圆P于 点，和 且|切=4 枷.(1)求直线切的方程