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1、2023届四川省射洪中学校高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1.在复平面内，复数（1-万）不对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【分析】利用复数的运算以及几何意义进行求解判断.【详解】因为（l-2i）-，=2i-l,所以复数（1-2沙P在复平面对应的点为（-1,2）,故A,C,D错误.故选：B.2.命题“VxwR,e*+220”的否定是（）A.et,+20C.3-x（）e R,e+20 D.VxeR,e*+2co【答案】C【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接求解作答.【详解】命题“VxeR,e+22 0”是全称量词命题，其否定是
2、存在量词命题，所以命题“VXGR,e，+2Z0”的否定是：3x0 e R,e&+2 b a B.b c a C.abc D.b a c【答案】D【解析】利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系.J 1 1【详解】0 a=（g j =31,c=log3 =-log32 a c,故选：D【点睛】本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题.5.N|y|+1是In x cln y”成 立 的（）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合对数函数的性质求解作答.【详解】x=y=O,
3、满足不等式W|y|+1,而 Inx、Iny无意义，若I n x c ln y,则0 c x e y,必有所以“|x|y|+l”是ln x 0,而e+e 7。,因此f(x)0,D 不满足,C满足.故选：C8.如图放置的边长为1的正方形4BCD的顶点A、。分别在x轴、y轴正半轴上(含原点)上滑动，则 丽.反 的最大值是()A.1 B.&C.2 D.2&【答案】C【分析】令NOAT=。，由边长为1的 正 方 形 的 顶 点A、O分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B,C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可.【详解】解：如图令NOA=6,由于AO=1,故。4=cos6,O=sin6,jrTT
4、如图N 8 A X ,A B =,故/=c o s 6 +co s(5-，)=co se+sin0,7TyB-sin(-0)=co s 0,故 O B=(co s 0+sin 0,co s 0)同理可求得 C(sin 0,co s 0+sin 0),即 O C =(sin 8,co s 8 +sin 0),所以。月 0。=(co s0+sin 0yco s0)(sin0,co s0+sin0)=1 +sin 2 6所以当sin 2 6=l时，丽.玩 取得最大值为2,故选：C.4 +x9.已知 函 数=一,则不等式/(2 1-3)0时-，/(外=丁=1 +7 2-在。+9)上单调递减，而 2)=
5、2,于是得/(2犬_3)2 =/(|2彳_3|)2,解得x 3)2的 解 集 是 ,|11(|，+8).故选：D1 0.已知f(x)是定义在R上的奇函数，/(x+2)为偶函数，且当0 x 42时，/(%)=l o g,2x,则/(2 02 2)=()A.2 B.-2 C.-1 D.1【答案】B【分析】由/(x+2)为偶函数，结合/(x)为奇函数，可得/(x)以8为周期的函数，从而根据已知的解析式可求出/(2 02 2).【详解】因为“X)是定义在R上的奇函数，故可得=又x+2)为偶函数，所以有：x+2)=/(x+2),所以，有/(x+2)=_ x-2),即 x+4)=-x)所以/(x+8)=/
6、(x+4)=/(x),故以8 为周期，故./(2022)=252*8+6)=八 6)=/(-2)=-2).因为当0 1,b,且 lga=l-2 1 g b,则 log.2+1 0gz,4 的最小值为()A.10 B.9 C.91g2 D.81g2【答案】C【分析】由已知，可设log 2=m,log 4=，利用换底公式表示出Iga=皎，m3 6 =吧=垩 带 入 ga=l-21gb中，得到皿，的等量关系，然后利用“1”的代换借n n助基本不等式即可求解最值.【详解】由已知，令log“2=m=髻，log”4=粤，Iga b所以怆“=里2,3 6 =以=垩，代入lg“=l-21gb得：盛+强 2=1
7、,t n n n m n因为。1,bl,LUloga24-logz,4=(w4-)xl=(7n+n)(4-)=51g2+(lg2+1g 2)m n n m2 51g 2+2、氏 患 2.lg2=5g2+41g2=9lg2.v n m当 且 仅 当 髻=甯 时，即a=b=();时等号成立.log“2+log4 的最小值为 91g2.故选：C.12.若存在。0,使得函数/。)=6 2阮 r 与g(x)=f -4ax-/?的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则匕的最大值为()A.-B.-7 C.7 D.73e2 6e2 6e2 3e2【答案】D【分析】设曲线y=f(x)与 y=g(x)的公共
8、点为(七,%),利用fM=gM解得%或3 a,又 毛 。，且 a 0,则 x 0=3 a.再由/(%)=g(%),得到分=-3/-6/M 3a(a0).设h(a)=b,再由导数求最值得答案.【详解】解：设曲线y =/(x)与y =g(x)的公共点为(看,%),fx)=,g(x)=2x-4a,X6/2工0-4Q=-,则 NJ-2cix()3 a 2 =0,解得/=-4或3 a ,又o ，且“0,贝 o=3 a.:/a)=g )，x；-4OY0-b=6crlnx ,b=-3a2-6a2ln3a(a 0).设 ha)=h,/.“(a)=-12 (1+ln3a),令(a)=。，得=B.,.当 0 a
9、0；3e当a -!时，/(a)0.3e.,力 的最大值为(*)=*.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值,属于中档题.二、填空题13.g 2 +l g 5 +sin(-f=.【答案】10.5【分析】利用对数运算及特殊角的三角函数值求解作答.(jr TT|【详解】I g 2 +l g 5 +sin -=lg10-sin-=l-=-.V o J o 2 2故答案为：x+y 0z=y 一3的最小值_.tn-j【答案】I【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用斜率的意义计算作答.x+y 0当直线/经过点A时，直线/的斜率最小，Zm j n=1 1 =1
10、.故答案为：1 5.函数 x)=si n 乃 x-l n|2 x-3|的 所 有 零 点 之 和 为.【答案】9【分析】根据给定条件，构造函数丫=加 a，y =l n|2 x-3|,作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.【详解】由/(x)=0 =si n 乃 x =l n|2 x 3|,y =siniuc9 y =l n|2 x-3|,显 然 尸 si n m:与 y =l n|2 x-3|的图象都关于直线x =对称，在同一坐标系内作出函数y =si n 7tr,y =l n|2 x-3|的图象，如图，观察图象知，函数y =si n 口，y =l n|2 x-3
11、|的图象有6 个公共点，其横坐标依次为王，马,不，七，入 5，工 6，3这 6 个点两两关于直线x =对称，有 +/=工 2+/=七+%4=3,则%+工 2 +七 +巧+%5 +尤 6=9,所以函数/(x)=si n n-l n|2 x-3|的所有零点之和为9.故答案为：91 6.设%,6 e R,若关于x的不等式l n x+x 4 Z(x+l)+b在(0,e)上恒成立，则 当 红工的最小值是.【答案】1-e-e+l【分析】令 x)=l n x+I(x+l),分析得出2 x),1m,分E、%1 两种情况讨论，可得出进而可得出2mz i-皿2,令k-k-t=k-o,利用导数求出函数g)=i-2的
12、最小值，即可得解.【详解】解：令 x)=l n x+x M x+l)，则对任意的x e(O,R)恒成立,所以,心/(必当 4 1 时，r(x)=g +l-X 0,函数/(x)在(0,一)上单调递增，函数“X)无最大值，不合乎题意；当%1 时，令/(x)=(),可得x =占，当0 x(),此时函数/(x)单调递增，当X 71T时，F(x)0,令g(f)=n：2,则=令g (r)=0,解得f =Le当0 r 1 时，g 时,当 f)0,此时函数g(r)单调递增，e所以，g(/L=gg)=l-e,因此，竺 昔 匚的最小值是l-e,故答案为：1-e【点睛】方法点睛：根据恒成立或有解求解参数的取值时，一
13、般涉及分离参数法，分离参数后构造的新函数能直接求出最值进行求解，三、解答题1 7.已知A=x*4x+3V0,B=x|x-l|Vl（1）求集合A和B（2）求 AUB,AHB,【答案】A =X|1 4X4 3 ；B X|0 X 2（2）Au=1x|0 x 3；A c8=x|14x4 2【分析】（1）分别解两个不等式，即可得出答案；（2）根据交集和并集的运算即可得出答案.【详解】解：解不等式V-4x+340得1 4 x 4 3,所以A=x|14xV3,解不等式|x T|9得0 W2,所以8 3 0。42；解：AuB=x|0 x3,A c3=x|14x42.1 8.已知定义域为R的函数y（x）=*E|
14、为奇函数.求6的值；WfwR,/（产一2/）+/（2/一%）0恒成立，求女的取值范围.【答案】1（2）（不局【分析】（1）根据奇函数的性质和定义进行求解即可；（2）根据函数的单调性和奇偶性及一元二次函数的恒成立进行求解即可.【详解】因为“X）是定义在R上的奇函数，所以0）=0,则6=1 （经检验，b=l时x）为奇函数，满足题意）.（2）因为“X）是奇函数，所以不等式/（产-力）+/（2-&）0等价于f（t2-2t）-2 产+Z,即对任意的f e R 有3 r 2 r-&0 恒成立，从而对应方程的根的判别式4 =4 +1 2&0,解得氏所以k 的取值范围为卜8,-；）.1 9.从以下条件中任选一
15、个，补充在下面问题的横线中，并作答.si n2 8 =si n（A +C）；百 ac o sB =6 si n A ;S =苴 C的对边分4别为。，b,c,面积为S ,若匕=3,asi nA+c si nC =2 Z?si n8.求角B;（2）求AA B C 的周长.注：如果选多个条件分别作答，则按第一个解答记分.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）选条件分别利用正弦定理或面积公式求出8的三角函数值；（2）选条件，分别利用正弦定理和余弦定理求出心。的值，即可求得周长；【详解】选条件si n2 3 =si n（A+C）,2 si n Bcos B=sinB,又 Bw（O,乃）,
16、si nB xO17 1c o s B=-9 故 3 =2 3选条件,*-J3acos B=bsn A,由正弦定理得：百 si n A c o s B=si n B si n A，又 A（O,T T）,si nA wO：/3 c o s B =si n B ,即 tan 8 =G ,又 3（0,万），故8 =半选条件*.*S =ac f i S =-acsinB 94 2 e-acsnB=-a cf B P si n B=,2 4 2T T又5为锐角，故8 =.（2）根 据（1）的结果可得：B =yV si n A+c si n C =2 Z?si n B M f t=3 ,由正弦定理得：a2
17、+c2=2b2=1 8f又由余弦定理有：b1=cr+c2-2 t7 c c o s B,即3 2=1 8-2 ac c o s?=1 8-ac,：.ac=9,由解得：a=c =3,故 的 周 长 a+Z?+c =9.2 0.已知数列%是等差数列，5“是数列 q 的前 项和，4=5,5,=4 9.（1）求数列%的通项公式；（2）数列他,满 足%瓯=（一1）%用，求数列他,的前2 项和2【答案】（1）=2/7-1；（2）7；,=-2n+l【解析】（1）根据等差数列的性质S 2“T=（2-1 M,知 邑=74,即可求得&=7,结合条件%=5可求得公差4 =2,4=1,进而可求得;（2）根据条件2商
18、二=（一1）%向及S“=2求 得=（-1）（：+占），根据裂项相消法求和.【详解】解析：Q）因为S,=7%=49,所以4=7,而q=5,设数列 4的公差为d,则d=%二幺=2,2 d=1,4-3/.an=4 +2（-1）=2/t-l ；+%）=/,b=T）（2 +l）=心SS+l （+l）1/7 n+lj丁 ,1 1 1 1 1 1 1Ty=-1 +-+.+-2 2 3 3 4 2 2 +1_ l t 2n2n+l 2 n+l【点睛】关键点点睛：本题的关键是等差数列中基本量的计算问题，另外求数列 2 的前2n项和T2的求解时利用裂项相消的方法.2 1.已知函数f(x)=x(e*-a)-2 1
19、n x+2 1 n 2-2(a e R).(1)当a =2 时，若.f(x)的一条切线垂直于V 轴，证明：该切线为*轴.(2)若x)Z O,求a的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)(f,2 .【分析】(1)由题知 x)=x(e*-2)2 l n x+2 1 n 2 2(x 0),进而得/(x)=(x +l)卜,故设切点为(毛,/(%),则泊=：,即：l n x=l n 2-%，此时/(%)=(),进而得切线方程y=o.(/八2)q由g题,得 口 a 4,ex -2-1-n-x-2-1-n-2-+-2 对于x 八0 恒成，令人人，/(力 =8v-2-1-n-x-2-1-n-2-+-2-,
20、X X进而研究函数M x)的单调性得当0 x x。，为增函数，且x；*=21n2,即*=2,进而得刈力“而=.与)=2 ,故。的取值范围是 S 2 .【详解】(1)证明：由题可知/(x)=x(e*2)2 1 n x+2 1 n 2-2(x 0),7贝 l /(x)=e*_ 2 +x e*=(x +1)es-2设切点为a j(为),则由尸 伉)=o 得 淖=：,2贝|J%=ln ,即 In=In 2-x0,工0(2、则有%)=玉-2 -2(l n 2-xo)+2 1 n 2-2 =O,X0 7所以所求切线为y=o,即为x 轴.(2)因为/(x)=x(-)-2 1 n x+2 1 rl 2-2 2
21、 0,其中x 0,ri.1 2 1 n x 2 I n 2 +2)十 八卜 一 为 一则-对于x 0 恒成,x令(/力x 二/r-2-1-n-x-2-1-n-2-+-2 ,则.z(司、二 e-2-(-2-1-n-x-2；-1-n-2-+-2)-x x-2 l n x+2 1 n 2即 hf(x=x2eA+2 1 n x-2 1 n 22令(x)=x 2 e*+2 1 n x-2 1 n 2,I J I i Jux)=(x2+2xex+-0,其中1 0,则 (%)=Yd +2 I n x -2 1 n 2 为(0,+功 的增函数，又因为l)=e-2 1 n 2 0,*)=4 一 41 n 2 0
22、,所以存在天 川，使得(%)=$2*+2 1 呻 2 1 1 1 2 =0,即g=2 吟，20 7?0 n而 x(：e%=2 1 n _=演)=_ I n _=l n _e 与，/%/%又由于火力=加为(0,+。)的增函数，2 2故/=l n ,即*=一,%又0%x0,(x)0,为增函数，所以hxx.n=M%)=e*_21nx0-21112+2=_2 1 n 2+2=j _ _-2 x0+2=2,“0%”0%)故。的取值范围是(3,2 .【点睛】本题考查导数的几何意义，独立参数解恒成立问题，考查运算求解能力，化归转化能力，是难题.本题第二问解题的关键将问题转化为a 0 恒成立，进而构造函数，研
23、究函数最小值，结合“隐零点”问题求解.2 2.已知曲线G，G 的参数方程为：C,：Y 5 4-co八s f)(6 为参数)，G：x=片t(/为、y =l +sm 0 y =V3?参 数).(1)将 G，G 参数方程化为普通方程；(2)若点尸是曲线C|上的动点，求P点到C2的距离的最小值.【答案】(1)G：(X 6+(y 1)2 =1,G：/x+y=0(2)1【分析】(1)曲线C 1 的参数方程消去参数出能求出G的普通方程；曲线C 2 的参数方程消去参数f，能求出C 2 的普通方程；(2)求出圆心G(百)到直线G 的距离为，P 点到G 的距离的最小值为d-厂.【详解】(1)已知曲线C 1 的参数
24、方程为：=6 +(。为参数)，化为普通方程为:y =1 +sin 9卜-司 +(y-l)2=1.x=-t曲线G 的参数方程(，为参数)，化为普通方程为：g x+y=O.所以圆 G：(x 百)2+(y i)2 =i,直线 G：瓜+y=().圆 G的圆心为G(向 卜所以圆心G(6,1)到直线g 的距离为d=匠=2，2圆的半径为1,所以P 点到C?的距离的最小值为2-1 =1.所以尸点到C?的距离的最小值为1.2 3.已知函数f(x)=|2 x-1+|x +l|.(1)求不等式f(x)2 3 的解集；(2)记函数/(x)的最小值为m，若。，b ,c均为正实数，且a +3 c =2?，求/+b2+c2
25、的最小值.【答案】3x 4-1或 x 2【分析】(1)将/(x)写为分段函数的形式，然后根据/(x)N 3,分别解不等式即可;3(2)由(1)得到?=耳，然后由。+3 c =2 利，利用柯西不等式求解.C 13x,x 2【详解】解：/(x)=|2 x-l|+|x+l|=-x+2,-l x l,3 x,x 3,3 x 3-x+2 3或，-3 x2 3x 一2或2或 x=-l 或X V-1,.不 等 式 的 解 集 为 1 或I N I.（2）由（1）知，/d=/（；）=，3m =,.a+2b+3c=2m=3,2由柯西不等式,得（储+从+。2 总+2 2a2+h2+c2 ,1 4b e 3当且仅当=：,即 =五，b二.4+从+02 的最小值为二+3）之（。+2b+3 c）2,Q,c =值时等号成立.