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1、 2019 届四川省成都市棠湖中学 高三上学期第一次月考数学（理）试题 数学 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题 1已知集合，则 A B C D 2已知向量a(1，1)，2a b(4，2)，则向量a，b 的夹角的余弦值为 A.310
2、10 B31010 C 22 D22 3 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩（如图），要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，就可以计算出两点的距离为 A B C D ,A B,A BBC50BCm105,45ABCBCA,A B50 2 m50 3 m25 2 m25 22m此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 4设,是两条不同的直线,是三个不同的平面有下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则 其中错误命题的序号是 A B C D 5的展开式中的常数项为 A B C 6 D 24 6函数21()logf xxx的零点所在区间 A1(0,)2 B
3、1(,1)2 C(1,2)D(2,3)7如图所示，在边长为 1 的正方形中任取一点，则点 恰好取自阴影部分的概率为 A B C D 8 等比数列中，公比，记（即表示数列的前 项之积），中值为正数的个数是 A B C D 9若是等差数列，首项公差，且,，则使数列的前 n 项和成立的最大自然数 n 是 A 4027 B 4026 C 4025 D 4024 10已知函数在 R 上是减函数，则 的取值范围是 A B C D 11定义在 上的函数若关于 的方程恰好有 5 个不同的实数解，则 A B C D 1 12 已知定义在 R 上的函数满足以下三个条件：对于任意的，都有；对于任意的函数的图象关于
4、y 轴对称，则下列结论中正确的是 A B C D 二、填空题 13点,P x y在不等式组2,2yxyxx 表示的平面区域内，则zxy的最大值为_ 14当函数取得最大值时，_.15由数字、组成无重复数字的五位数，其中奇数有_个 16对于三次函数，定义：设是函数 yf(x)的导数 y的导数，若方程0 有实数解 x0，则称点(x0，f(x0)为函数 yf(x)的“拐点”有同学发现“任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为_；计算=_ 三、解答题 17设函数（1）求的最小正周期（2）若函数与的图象关于直线对称，求当时的最
5、大值 18 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中 2 题的便可提交通过。已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响。（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成 2 题的概率分析比较两位考生的实验操作能力 19在如图所示的几何体中，平面,四边形为等腰梯形，（1）证明：；（2）求二面角的余弦值 20如图，已知抛物线 C 的顶点在原点，
6、焦点 F 在 轴上，抛物线上的点 A 到 F 的距离为 2，且 A 的横坐标为 1.过 A 点作抛物线 C 的两条动弦 AD、AE，且 AD、AE 的斜率满足 （1）求抛物线 C 的方程；（2）直线 DE 是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由.21已知函数（1）若曲线在点处的切线平行于 轴，求函数的单调区间；（2）试确定 的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。22已知直线，(为参数，为倾斜角).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的直角坐标方程为.（1）将曲线 的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）设点的直角坐
7、标为，直线与曲线 的交点为、，求的取值范围.2019 届四川省成都市棠湖中学 高三上学期第一次月考数学（理）试题 数学 答 案 参考答案 1 B【解析】【分析】根据补集的定义可知CAB 表示要求在集合A 中的x 不是矩形的情况，即得到集合B 的补集为内角不为直角的菱形【详解】由集合A=x|x 是菱形或矩形，B=x|x 是矩形，则CAB=x|x 是内角都不是直角的菱形 故答案为：B【点睛】本题主要考查集合的补集运算,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2 C【解析】由已知条件求得b(2，0)，所以cos a，b1 2 1 022a ba b22.3 A【解析】因为105,45ABCBC
8、A，所以18030BACABCBCA。由正弦定理可得sinsinABBCBCABAC，所以sinsin455050 2sinsin30BCAABBCcmBAC，故选 A 4 B【解析】【分析】根据平面平行的几何特征及直线关系的定义，可判断错误；根据线面平行的性质定理，线面垂直的第二判定定理及面面垂直的判定定理，可得正确；根据线面垂直的几何特征及面面平行的判定方法，可得正确；根据面面垂直的几何特征，及线面垂直的几何特征，可判断错误【详解】若，m，n，则 m 与 n 不相交，但可能平行也可能异面，故错误；若 m，m，由线面平行的性质定理可得：存在直线 b，使 ba，根据线面垂直的第二判定定理可得
9、b，再由面面平行的判定定理得：，故正确；若 n，n，则，又由 m，则 m，故正确；若，与 可能平行也可能相交（此时两平面交线与 垂直），当 时，若 m，则 m，但 与 相交时，若 m，则 m 与 一定不垂直，故错误；故答案为：B【点睛】(1)本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力(2)证明一个命题是真命题，需要证明，说明一个命题是假命题，可以通过举反例，要灵活选择.5D【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 0 求出 r，将 r 的值代入通项求出展开式的常数项【详解】二项展开式的通项为 Tr+1=（1）r24rC4rx42r,令
10、42r=0 得 r=2.所以展开式的常数项为 4C42=24.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查二项式展开式的通项和利用其求特定项，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)二项式通项公式：（）,它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第 项；其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；注意.6C【解析】试题分析：211(1)log 1 110,2122ff ，120ff，故函数21()logf xxx的零点所在区间为(1,2)考点：函数零点的判断 7C【解析】【分析】求出正方形 OABC 的面积，阴影部分由函数 y=x 与 y=围成，由定积
11、分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案【详解】根据题意，正方形 OABC 的面积为 11=1，而阴影部分由函数 y=x 与 y=围成，其面积为.则正方形 OABC 中任取一点 P，点 P 取自阴影部分的概率为 故答案为：【点睛】(1)本题主要考查几何概型的计算，考查定积分求面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)几何概型的解题步骤:首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件 构成的区域长度（角度
12、、弧长等），最后代公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.8B 【解析】【分析】等比数列an中 a10，公比 q0，故奇数项为正数，偶数项为负数，利用新定义，即可得到结论【详解】等比数列an中 a10，公比 q0，故奇数项为正数，偶数项为负数 110，100，90，80 故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查等比数列和新定义,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是读懂新定义理解新定义.9B【解析】【分析】根据题意得数列an是递减数列，再得出 a20130
13、，a20140，且 a2013+a20140，再由等差数列前 n 项和公式即可求出结论【详解】由题意得，数列an是递减数列，由 a2013（a2012+a2013）0，且 a2014（a2013+a2014）0 可得：a20130，a20140，且|a2013|a2014|，a2013+a20140；S4027=4027a20140，S4026=4026=2013（a2013+a2014）0；使数列an的前 n 项和 Sn0 成立的最大自然数 n 是 4026 故答案为：B【点睛】本题考查了等差数列的前 n 项和的应用问题，解题的关键是对递减数列的项的符号的判断问题，分清从哪一项开始为负值，并
14、判出正负相邻两项和的符号 10B 【解析】【分析】求出f（x）的导函数，由函数在R 上是减函数，得到导函数恒小于0，导函数为开口向下且与 x 轴最多有一个交点时，导函数值恒小于0，即a 小于0，根的判别式小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a 的取值范围【详解】由 f（x）=ax3+3x2 x+2，得到=3ax2+6x 1，因为函数在R 上是减函数，所以=3ax2+6x 10 恒成立，所以，由=36+12a0，解得a 3，则 a 的取值范围是（，3 故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查导数的性质和二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)
15、函数y=f(x)在区间（a,b）上单调递减，即在区间(a,b)上恒成立.11 C【解析】【分析】由题意，对于f2（x）+bf（x）+c=0 来说，f（x）最多只有2 解，又f（x）=lg|x 2|（x2），当 x 不等于2 时，x 最多四解，而题目要求5 解，即可推断f（2）为一解，结合函数的对称性，即可得到结论【详解】由题意，对于f2（x）+bf（x）+c=0 来说，f（x）最多只有2 解，又f（x）=lg|x 2|（x2），当 x 不等于2 时，x 最多四解，而题目要求5 解，即可推断f（2）为一解.的图象关于x=2 对称，x1+x2+x3+x4+x5=10 f（x1+x2+x3+x4+x
16、5）=f（10）=lg8 故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查函数的图像和性质,考查零点问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)处理零点问题常用的方法有方程法、图像法、方程+图像法.12A【解析】【分析】由可知函数 f（x）是周期 T=4 的周期函数；由可得函数 f（x）在0，2上单调递增；由可得函数 f（x）的图象关于直线 x=2 对称于是 f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）即可得出【详解】定义在 R 上的函数 y=f（x）满足以下三个条件：由对于任意的 xR，都有 f（x+4）=f（x），可知函数
17、 f（x）是周期 T=4 的周期函数；对于任意的 x1，x2R，且 0 x1x22，都有 f（x1）f（x2），可得函数 f（x）在0，2上单调递增；函数 y=f（x+2）的图象关于 y 轴对称，可得函数 f（x）的图象关于直线 x=2 对称 f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）f（0.5）f（1）f（1.5），f（4.5）f（7）f（6.5）故答案为：A【点睛】本题主要考查函数的图像和性质（单调性、周期性和对称性），意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.136【解析】试题分析：首先根据题意，作出可行域，可知在点2 4A，
18、处，目标函数zxy取到最大值 6 考点：简单的线性规划 14【解析】y=sinx-cosx=2sin(x-),x0,2),x-,),当 x-=,即 x=时,函数值最大为 2.1536【解析】【分析】由题意讨论各个位置上的数字情况，然后利用分布乘法计数原理进行计算【详解】先从 1,3 两个数里选一个数排在个位，有种排法；再从 2,4,1（3）三个数里选一个数排在万位，有种排法；最后剩下的 3 个数全排在中间 3 个位上有种排法，所以共有种排法.故答案为：36【点睛】(1)本题主要考查排列组合的综合应用，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合一般问题直接法、相邻问题捆绑法、
19、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.162012【解析】【分析】由于 f（x）=，f（x）=3x23x+3，f（x）=6x3，由 f（x）=0 可求得 x=，f（）=1；设 P（x0，y0）为曲线上任意一点，由于函数，的对称中心为，故点 P 关于的对称点 P（1x0，2y0）也在曲线上，于是有f（1x0）=2y0从而可求值【详解】f（x）=，f（x）=3x23x+3，f（x）=6x3，由 f（x）=0 得 x=，f（）=+3 =1；它的对称中心为；设 P（x0，y0）为曲线上任意一点，曲线的对称中心为；点 P 关于的对称点 P（1
20、x0，2y0）也在曲线上，f（1x0）=2y0 f（x0）+f（1x0）=y0+（2y0）=2 故答案为：；2012【点睛】(1)本题主要考查对函数求导，考查函数的图像和性质（对称性），意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是推导出 f（x0）+f（1x0）=2，并利用它求值.17（1）8；（2）【解析】解：（）=5 分 故的最小正周期为 T=86 分()解法一：在的图象上任取一点，它关于的对称点.由题设条件，点在的图象上，从而=10 分 当时，因此在区间上的最大值为 13 分 解法二：因区间关于 x=1 的对称区间为，且与的图象关于 x=1 对称，故在上的最大值
21、为 在上的最大值10 分 由（）知，当时，因此在上的最大值为13 分 18（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先写出，的取值，再分别求其对应的概率，再列出分布列，根据数学期望的公式求解.(2)先求出，再比较得得解.【详解】（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，则 的取值分别为 1、2、3，的取值分别,0、1、2、3，所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：1 2 3 P 因为,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为：0 1 2 3 P （2）因为 所以 从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成 2 题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲
22、的实验操作能力较强。【点睛】(1)本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查二项分布和概率的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 次独立重复试验中这个事件发生的次数 是一个随机变量 如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在 次独立重复试验中这个事件恰好发生 次的概率是，（）正好是二项式的展开式的第项.所以记作，读作 服从二项分布，其中为参数.若 则 .19（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)先证明平面，再证明 ABCF.(2)以 A 为坐标原点，AB,AC,AE 分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二
23、面角的余弦值【详解】（1）由题知平面，平面，过点 A 作于，在中，,在中，且平面又平面 （2）以 A 为坐标原点，AB,AC,AE 分别为轴，建立空间直角坐标系，则 设为平面 BEF 的一个法向量，则令得，同理可求平面 DEF 的一个法向量，所以二面角的余弦值为.【点睛】(1)本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.（2）二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意
24、先通过观察二面角的大小选择“”号）20（1）；（2）过定点【解析】【分析】（1）根据已知求出 p=2 即得解.(2)设 DE 方程为 ，再根据得到，代入 DE 方程即得定点坐标.【详解】设抛物线方程为 C：，由其定义知，又，所以，易知，设，DE 方程为 把 DE 方程代入 C，并整理得，由及得，所以，代入 DE 方程得：，即 故直线 DE 过定点【点睛】(1)本题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查直线的定点问题，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有
25、两种方法.特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.21（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)根据曲线在点处的切线平行于 轴求得 a=0,再利用导数求函数的单调区间.(2)设,则过切点 P 的切线方程为,令,切线与曲线只有一个公共点 P只有一个根 ,再对函数求导，对 a 分类讨论，证明曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共
26、点.【详解】（1）由题意得：得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）设,则过切点 P 的切线方程为 令,则 切线与曲线只有一个公共点 P只有一个根 ,，且 （1）当时，得：当且仅当时，由 的任意性，不符合条件.（2）当时，令 当时，当且仅当时，在上单调递增 只有一个根 当时，得：，又 存在两个数使，得：又 存在使，与条件不符。当时，同理可证，与条件不符 从上得：当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点P.【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查直线与曲线的位置关系问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一 是转化为只有一个根，其二是时，对分类讨论，证明当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点 P.22（1）；（2）【解析】试题分析：（）将由代入，化简即可得到曲线 的极坐标方程；（）将 的参数方程代入，得，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理结合辅助角公式，由三角函数的有界性可得结果.试题解析：（）由及，得，即 所以曲线 的极坐标方程为（II）将 的参数方程代入，得,所以，又，所以，且,所以,由，得，所以.故的取值范围是.