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1、2021-2022学年广西玉林市高二上学期期末模拟考试数学(理)试题一、单选题1.命题“V x 2,2 x-4 N 0”的否定是（）A.Vx 2,2x-4 2,2x-4 0C.Hr0 2,2 x0-4 2,2 x0-4 2,2X0-4 =2/的准线方程是（）A.4x+l=0 B.4y+l=0 C.8x+l=0 D.8y+l=0【答案】D【分析】根据抛物线的定义，将抛物线化成标准式，即可求出其准线方程.【详解】解：y=2x2；.p=；,则该抛物线y=2V 的准线方程是 =-=-：,即8y+l=0.42 o故选：D【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，属于基础题.6.执行下面的程序框图，
2、若输入的A=l,则输出的A 的 值 为（）A.7 B.-17 C.31 D.-65【答案】C【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】A =l,忆=1；A =5,k=1-A =l,k-3；A =l,k=4；A =3 1,%=5.结束，输出答案3 1故选C【点睛】本题考查了程序框图，根据程序框图依次计算是一种常用的方法，需要同学们熟练掌握.7.某校选取2 0 人参加网络安全知识竞赛（总 分 1 0 0 分），对这2 0 人的成绩x 和人数），进行统计分析,得下表数据：X 0,6 0)6 0,7 0)7 0,8 0)8 0,9 0)9 0,1 0 0 y15932若X N 8 0,记为优秀.现
3、从成绩优秀的学生中随机抽取2人，则恰有1 人成绩落在 9 0,1 0 0 内的概率为（）A.-B.C.-D.g5 5 6 2【答案】B【分析】结合题意，运用概率知识即可求出结果.【详解】由题意可知X 2 8 0 的人数为5人，其中8 0 V x 9 0 的人数为3人，9 0 V x 1 0 0 的人数为2人,C C 3则从中随机抽取2人，恰 有 1 人在9 0 V x 2 2因为点尸是C。的中点，所以 DF CD u b H c,2 4 4 2贝 ij EF=ED+DF=-a +-/?+-c.4 4 2故选：D.9.甲，乙两位同学最近5 次的数学测试成绩的茎叶图如图所示，分别用x 和 y 表示
4、甲、乙两位同学数学测试成绩的平均分，则（）9 89 7 6 4 9A.工C.x v y甲 乙83 6 8。B.x=yD.x 和 y 的大小与a 有关【答案】A【分析】分别计算出甲、乙的总分，然后进行比较，即可判断其平均分的大小.【详解】甲的总分：8 9 +9 4 +9 6+9 7 +9 9 =4 7 5乙抛去最后一次的分：8 8+9 3+9 6+9 8 =3 7 54 7 5 -3 7 5 =1 0 0所以无论。为多少，都不会大于1 0 0,所以甲的总分大于乙的总分，又两个的成绩次数一样，都为5次，所以甲的平均分大于乙的平均分，从而,故 选:A1 0.已知命题P：若直线/与抛物线C 有且仅有一
5、个公共点，则直线/与抛物线C 相切，命题4：若,5 ,2ym+则 方 程 方=1 表示椭圆.下列命题是真命题的是A.p v(r)B.(-.p)A(7 C.P M D.(/)人(p)【答案】B【解析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题P 为假;当机5 时，,+1 机-3(),命题。为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物不相切，可得命题。是假命题，当相5 时，m-3 0,2 2方程 一+上=1 表示椭圆m-3 团 +1命题4 是真命题，则()A q 是真命题.故选:B.【点睛】本题考查
6、复合命题真假的判断，属于基础题.1 1.己知椭圆E：(+1=1 的左、右焦点分别为1，B，定点A(l,4),点 p是椭圆E 上的动点，则|/科+归用的最大值是()A.7 B.1 0【答案】CC.1 7D.1 9【分析】计 算 忸 用=疹 不=5,利用|P4|+|P用=1 2+|网-归 段 V 1 2+|A 闾得到答案.【详解】由题意可得玛（4,0）,则 宣 段=在 彳=5.|以一|闾 4|伍|=5.因为点尸在椭圆E 上,所以|尸制+|尸词=2 4 =1 2 所以归凰=1 2-归用故|网+俨耳|=1 2+|母-|%|4 1 7.当A F2 P共线且P 在A F2延长线上时取等号.故选：C【点睛】
7、本题考查了椭圆线段的最值问题，利用1 Ml =1 2-归闾是解题的关键，意在考查学生的转化能力和计算能力.1 2.双曲线=1，（。0 乃 。）的左、右焦点分别为K，尸 2,渐近线分别为4,右，过点耳且与人a b垂直的直线/交4 于点P,交4 于点2,若 P Q =2 F R 则双曲线的离心率为（）A.41 B.石 C.2 D.3【答案】B【解析】记。为坐标原点，根据双曲线方程表示出左焦点打（-。,0）和两条渐近线方程4、/一 /：并将直线/与渐近线方程6,求出户的坐标，可知归用=可。4=.根据向量关系可知归 =2|尸制，则得伊。|=,|0 0|=必奇，再由余弦定理转化即可求解离心率.详解】记。
8、为坐标原点.由题意可得耳（-c，0）,不妨设l,：y=x,l2：y=x,则直线/：y=x+c）.aa2y=-（x+c）x=联立直线/与渐近线方程4，解得,c,b ab故由两点间距离公式可得归与=可。=a .因为P Q =2 耳尸，所以|尸。=2|尸制，所以|P Q|=,OQ=yJa2+4h2 c2+4 b 2 9b 2则在口 Q O 耳中，c o sZ Q O F.=-2 s/f储+4 铲9.因为t a n/Q O居=2,所以c o s/Q OF,=,a c所以由补角性质可得COS N Q O 耳+c o s /QOFZ=十 当 今 工 泌？+=。,2cya2+4b2 c整理得 c J 4 a
9、 2 c2+3/=O,则 e4 4e2+3 =0,解得 e=/3.故选：B.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质简单应用，直线与双曲线的位置关系应用，由余弦定理解三角形，齐次式法求双曲线渐近线方程，属于中档题.二、填空题13 .某校高一年级有8 00人，一次数学测试后，随机抽取了 100份试卷，其中及格的人数为7 0,则此 次 数 学 测 试 高 一 年 级 及 格 的 人 数 大 约 是.【答案】5 6 0【分析】由样本及格率估计总体合格人数即可.【详解】因为随机抽取了 100份试卷，其中及格的人数为7 0,故样本及格率为啬=7 0%,所以预测数学测试高一年级及格的人数大约是8 00*7 0%
10、=5 6 0人，故答案为：5 6 014 .已知双曲线C：-=l 的左、右焦点分别为百、鸟，点A在双曲线C 的左支上，且|A 周=12,16 4则|4 号=.【答案】2 0【解析】利用双曲线的定义可求出|A 6.【详解】A 在双曲线C 的左支上，由 双 曲 线 的 定 义 可 得 娟=2，记=8,因此，|伍|=|M|+8 =2 0.故答案为：2 0.【点睛】本题考查双曲线定义求焦半径，考查计算能力，属于基础题.15.在 区 间 上 随 机 取 一 个 数 x,则0 s in 2 x 4 3 的概率为_ _ _ _ _ _ _.L 4 4 J 2【答案】gjr Jr jr jr/0【解析】由x
11、w 得出2 x w ，利用正弦函数的性质得出不等式04 s in 2 x W 里的解集,_ 4 4 J _ 2 2 2再由几何概型概率公式求解即可.【详解】所有基本事件构成的区间长度为?-=571 71 7C 71当x e 时，2 一 万,万由04 s in 2 x 4 理，得2 x e 0,2 L 3.1-3-乃62c 71x e 0,6贝”=故答案为：【点睛】本题主要考查了利用几何概型概率公式求概率，属于基础题.16.已知抛物线C：V=2 p x(p 0)的焦点为尸，过点F 的直线/与抛物线C在第一象限交于点M,与抛物线C的准线交于点N,过点M 作抛物线C的准线的垂线，垂足为从若|M =2
12、|N F|,NH=6 4 5,则抛物线C的 标 准 方 程 是.【答案】丁=8x【分析】设M G，y),计算得到=*丫 2=-殍 根 据NH卜 国+母 =6由计算得到P =4 得到答案.【详解】设M Q M，4-/巴).因 为|财=2 即|,所 以|知 川=玉+勺 3 2，所以再=甲，又=亚P，则%:一 手.乙2.因为M H L N H,所以“-5,石 p),所以加川=石0 +率=66，则P =4故抛物线C的标准方程是/=8x.故答案为：V=8 x【点睛】本题考查了抛物线方程的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题1 7.某健康社团为调查居民的运动情况，统计了某小区1 0 0名居民
13、平均每天的运动时长（单位：小时），并根据统计数据分为 1,1.5）,1.5,2）,2,2.5）,2.5,3）,3,3.5）,3.5,4六个小组（所调查的居民平均每天运动时长均在 1,4内），得到频率分布直方图如图所示.时长（小时）（1）求出图中加的值，并估计这1 0 0名居民平均每天运动时长的平均值及中位数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）为了分析该小区居民平均每天的运动量与职业、年龄等的关系，该社团按小组用分层抽样的方法抽出2 0名居民进一步调查，试问在 152）时间段内应抽出多少人？【答案】（1）根=0.5,平均数为2.4小时，中位数为2.4小时（2）4 人【分析】（1
14、）根据频率分布直方图的性质可得小，再利用平均数与中位数的计算公式直接计算；（2）根据分层抽样等比例的性质直接计算.【详解】（1）由频率分布直方图可知（0.2+0.4+2 m+0.3+0.1）x 0.5 =l,解得：m=0.5,平均数：（1.2 5 x 0.2+1.7 5 *0.4+2.2 5 x 0.5 +2.7 5 x 0.5 +3.2 5 x 0.3+3.7 5 x 0.1）*0.5 =2.4小时；中位数：由（0.2+0.4）?0.5 0.3 0.5,得中位数在 2,2.5）内，设中位数为。，贝I J（0.2+0.4）x 0.5+（。-2）x 0.5 =0.5,解得：=2.4,即中位数为2
15、.4小时（2）由已知可得在 1.5,2）时间段内的频率为0 4x 0.5 =0.2,所以在 1 5 2）时间段内应抽出2 0 x 0.2=4人.1 8.已知p：函数 r)=(a-m)x 在 R上单调递减，q：关于x的方程x2-2 ar+/-1=。的两根都大 于 1.(1)当，=5时，是真命题，求 a 的取值范围；(2)若 p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求小的取值范围.【答案】(1)(5,6)；(2)m 2.【分析】(1)由，=5,得到火x)=(a-5)x,再根据指数函数的单调性求解；(2)先根据命题为真，化简命题p,q,然后根据?为真命题是夕 为真命题的充分不必要条件求解.【详解】(
16、1)因为m=5,所以式x)=(4-5)x因为是真命题，所以 0 a-5 l,解得5a6.故 a 的取值范围是(5,6)(2)若p是真命题，则解得，V a 2.因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，所以/n 2.1 9.已知抛物线C：y 2=2 p x(p 0)的焦点为尸，且抛物线C与直线y =2 x 的一个交点是M(,”,2).(1)求抛物线C的方程；(2)若直线/：y =x +(w*()与抛物线C交于A,8两点，且。4 _ L O3 (。为坐标原点)，求.【答案】(1)r=4%；(2)n=-4.2m=2【分析】(1)根据题意得到C ,，计算得到答案.2 pm=4(2)设A(x“x),8
17、 优,力)，联立方程利用韦达定理得到+必=4,乂必=4，根据04,08计算得到答案.(2【详解】(1)由 题 意 可 得 一 解得机=1,。=2.故抛物线。的方程是 2=4-2pm=4y 2 =4 九,整理得y-”+4 =0,y =x +则%+%=4,耳必=4”,从而为三=（-%）=2.2 1 6因为。4 J _ O 8,所以占龙2 +%必 =2+4 =0,又片0,所以 =一4.【点睛】本题考查了抛物线方程，韦达定理的应用是解题的关键，意在考查学生的计算能力.2 0.某校针对校食堂饭菜质量开展问卷调查，提供满意与不满意两种回答，调查结果如下表（单位:人）：学生高一高二高三满意5 0 06 0
18、08 0 0不满意3 0 02 0 04 0 0（1）求从所有参与调查的人中任选1 人是高三学生的概率；（2）从参与调查的高三学生中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求这两人对校食堂饭菜质量都满意的概率.3 2【答案】（1）y;（2）j【分析】（1）高三人数除以全校总人数即是所求概率；（2）采用分层抽样的6人中结果满意的4人，不满意的2人，分别求出基本事件总数和两人都是满意所包含的基本事件个数，即可得到概率.【详解】（1）由题意得该校学生总人数为5 0 0 +3 0 0 +6 0 0+2 0 0 +8 0 0+4 0 0 =2 8 0 0 人，则从所有参与调查的人中任选1 人
19、是高三学生的概率P=色 量&=5 .（2）依题意可得，从 调 查 结 果 为 满 意 的 高 三 学 生 中 应 抽 取 人，设为4，&,A,儿；从调查结果为不满意的高三学生中应抽取4 0 0 右，加=2 人，设为四，B2.从这6人中任意选取2人的所有基本事件有（A，4）,（A，&）,（A，Aj,（4山），（A，B2）,（A2.A,）,（4,A4）,（&,BJ（出为），（A H）,（4.&）,（4出），（4出），（用出）,共 1 5 种.设 A 表示事件“两人都满意”，则事件A包含的基本事件有（4,4）,（4,4）,（A，4）,区,4）,（4,4），（4,4）,共 6 种.故所求概率P（A）$
20、=|.【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件的个数，其中涉及分层抽样，考查概率与统计知识的综合应用.21.如图，在四棱锥中，底面4BCD是直角梯形，ZBAD=ZCDA=90,P A l A B C D,PA=AD=DC=1,AB=2.（1）证明：平面R4CL平面（2）求直线尸。与平面PBC的所成角的正弦值.【答案】（1）见 解 析（2）正【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）证明：由已知AC=0，BC=叵,AB=2,A AC2+BC2AB2,BC A.AC.又 必 _L平面ABC。，B C u 平面A8CZ
21、）,/.PA I B C,又 ACcP4=A,AC,PA u 平面 PAC/.BC1 平面 PAC.又 B C u 平面P8C平面PBC1平面PAC.（2）解：以AO所在直线为x 轴，A 8所在直线为y 轴，承所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz则 P(0,0,l),D(l,0,0),C(l,l,0),3(020)P D =（1,O,-1）,PC =（1,1,-1）,P8 =（O,2,-l）.设平面P 8 C 的一个法向量为 =（x,y,z）,则n-PB=O,J 2 y-z =0几 PC=0,x +y-z =O令 z =2,则 =（L 1,2）.设 与 平 面 P B C 所成的角为。
22、，；PD-n J 3则 s i n。=c o s （PD,）=r 1 =./|r a|?|6【点睛】本题主要考查了证明面面垂直，利用向量法求线面角，属于中档题.2 2.设椭圆C：5+5=1（。60）的左、右焦点分别为耳，工，下顶点为A,椭圆C 的离心率是B,A A 片鸟的面积是2（1）求椭圆C 的标准方程.（2）直线/与椭圆C 交于8,D两 点（异于A点），若直线A8与直线A3的斜率之和为1,证明：直线/恒过定点，并求出该定点的坐标.2【答案】（1）工+9=1；（2）证明见解析，（2,1）.【分析】（1）根据离心率和,耳 居的面积是省得到方程组，计算得到答案.（2）先排除斜率为0时的情况，设双
23、/必），（9,%）,联立方程组利用韦达定理得到乂+%=-孚 7，乂%=4,根据原B+原0 =1 化简得到f =2-m，代入直线方程得到答案.江+4.+4c _ V|a 22【详解】（I）由题意可得 儿=6 ,解得片=4,从=1,则椭圆C 的标准方程是工+9=1.c2=a2-b2 4（2）当直线/的斜率为0时，直线AB与直线AD关于y 轴对称，则直线A8与直线A。的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线/的斜率不为0.设 3（内,必），。优,内）,直线/的方程为=阳+，2=1联 立,4 +V-,整理得（+4 卜2+2 照y +/2-4 =0 x=my+tniI2mt t2-4则 X+%=一-=，%必=-1-7.m+4 +4因为直线A 5 与直线A O 的斜率之和为1,所以砥s+3/）=l，所 以 小 5+上=3+芸=2吁+（叫（空）：2 x x2 my1+1 my2+1 myy2+rnty+y2）+t将 X+%=F2mIt，%=一/一 4；代入上式，整理得心p+怎=；2.m +4 m+4 t+m2所以=1,即1 =2 机，t +m则直线/的方程为x=/y+2-m =/7 7（y T +2.故直线/恒过定点（2,1）.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线过定点问题，计算出f=2-m 是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.