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1、2021-2022学年河南省南阳市校高二下学期期中模拟考试数学（理）试题一、单选题1022 玉1.已知复数z=巴，则复数z的虚部为（）2+iA.-1 B.1 C.i D.i【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法与乘方运算化简复数z,即可判断；【详解】解:因为 F=i,i 2=l，=7 ,/=,所以 i的=4205+2=j 2=_ ,c 1 兀B.cos4 4D.0c r,i2022-3i-l-3 i(-l-3 i)(2-i)-2+i-6 i+3i2,所以 z=、F=K=(2+i)(2.i)=5J所以复数z 的虚部为-1;故选：A2.sin：的导数是()471)S 4D根据导数的运算公式，直接
2、计算即可TT TT.y=sin f,常数的导数为0,所以，y =(sinf)=04 4故选：D4【答案】【分析】【详解】3.已知。也 ：0,则2,幺的值a b cA.都大于1C.至多有一个不小于1B.都小于1D.至少有一个不小于1【答案】D【分析】先假设“=匕=以 这样可以排除A,B.再令“=1力=2,c=4,排除C 用反证法证明选项D 是正确的.【详解】解:令a=b=c,则&=：=2=1,排 除 A,B.a b c令 a =l,6=2,c =4,则 2 =2,幺=1,排除 C.a h c 4对于 D,假设,则万 a,c y,a c,a h c相加得。+万+c 1时在(O,+s)上是增函数;已
3、知y=log,(X2-2X)是对数函数，所以y=log?(V-2 x)在(0,+8)上是增函数”的结论是错误的,错误的原因是A.大前提错误 B.小前提错误 C.大小前提都错误 D.推理形式错误【答案】B【分析】三是应用三段论解决问题时.，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的.【详解】y=log2(d-2 x)并不是对数函数，而是对数函数与二次函数的复合，故小前提错误.故选：B5.J,2 x2sinx+Vl-x2()B.1C.|D.尹22【答案】A【分析】将原式化为J：2 x 2 sinmk+J：(V T?%，则利用定积分的几何意义和性质即可求出答
4、案.【详解】J(2 x2 sinx+J 1-X，,=J 2 x2sinj2/x+j ll-x2 Vr,因为y=2 x2 sin x是奇函数,所以 J：2/sin xdx=0;又%表示y=&二/与 X 轴所围部分的面积，即圆f+2 =1 面积的一半，所以肚=5，因此 J|(2/sinx+J l-x?肚=,故选:A.【点睛】本题考查了定积分的几何意义，考查了学生的计算能力，难度不大.6.在平面几何里，有勾股定理：”设“A B C 的两边A 8,8 c 互相垂直，则有|4 3+|A C=|B C|2,扩展到空间，类比平面几何的勾股定理，”设三棱锥A-3 CD的三个侧面A B C,ACD,谢两两互相垂
5、直，则 可 得（）A.|AB|2+|AC|2+|AD|2=|BC|2+|CD|2+|BD|2 B.|AB|2XACX|AD|2=|C|2X|CD|2X|BD|2C.S ABC+5 ACD+S ABD=S B C DD.S 4ABe X S&ACD X SA A PO=SBC D【答案】c【分析】斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面.【详解】由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：s2 ABC+s ACD+s ADB=s2 BCD,【点睛】本题考查从平面类比到空间，属于基本类比推理，考查空间几何等基础知识，考查运算求解能力、推
6、理论证能力、归纳总结能力，属于基础题.7.用数学归纳法证明“不等式.+系+*吟 对 一切正整数恒成立，的第二步中，已经假设=%时不等式成立，推理=%+1成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是证明（）A.-03&+2 3k+3 3A:+4C.-一 03A+1 3k+3 3k+2【答案】B-1-03k+2 3Z+4 3Z+31 1 1-1-03A+2 3k+4 3A+3【分析】利用数学归纳法，结 合 =%和=%+1时，不等式左边增加的项来确定正确答案.【详解】时 左 边 比 时 左 边 增 加 了 七 六减少了 Q所 以证明-：-1-1-=-1-03A+2 3A+3 3Z+4 k+3Z+2
7、3 女+4 3k+3故选：B8.己知函数/(x)为 R 上的可导函数，其导函数为尸(x),且满足/(x)+/(x)l恒成立,0)=2 0 2 2,则不等式/(X)2 0 2 1 +1的解集为()A.(e,+co)B.(f e)C.(-8,0)D.(0,+8)【答案】D【分析】构造函数g(x)=e (x)-l,g(0)=/(0)-l=2021,已领已知条件判断其导数的正负，进而判断函数g(x)=e (x)-l 的单调性，将不等式/(“2 0 2 2+1 变形为e(x)-l 2 0 2 1,即g(x)g(0),即可得出答案.【详解】构造函数g(x)=e*(x)-l,g(0)=/(0)-l=2021
8、,则 g，(x)=e*(x)+r(x)-l 0,故 g(x)=e*(x)-l为 R 上的单调减函数，不等式 制 2 0 2 1 0+1,即 e，(x)-l 2 0 2 1,即 g(x)0,故选：D9.给出定义：设，(x)是函数y=F(x)的导函数，/(X)是函数/(X)的导函数，若方程(x)=0 有实数解 ,则称点(%,./(土 )为函数y=/(x)的“拐 点已知函数/(x)=4x+3sinx-4cosx的拐点是“(%/($),则点M()A.在直线y=-3x上 B.在直线y=3x上C.在直线y=-4 x 上 D.在直线y=4x上【答案】D【分析】求出尸(X),令/气)=0解 得:3sinx0=
9、4cosx0,从 而 得 到/&)=4%,即可得到答案.【详解】因为函数/(x)=4x+3sinx-4cosx,所以/(x)=4+3cosx+4sinx,所以f(x)=-3sinx+4cosx.由/(x()=-3sinxo+4cos玉)=0,得：3sinx0=4cosx0.所以 f (以=4%+3sinxa-4 c o s=4x0,所以点在直线y=4x上.故选：D10.设点P 是函数f(x)=2 e-r(0)x+r 图象上的任意一点，点 尸处切线的倾斜角为a,则角a的取值范围是()【答案】B【分析】在尸(X)中令X =O后可求r(o)=l,再根据导数的取值范围可得t a n。的范围，从而可得a
10、的取值范围.【详解】x)=2 e*r(0)x+尸 ，.r(x)=2 e*-r(o),.广(0)=2-尸(0),广(0)=1,卜)=2 6*-“广 ，./(x)=2eTT.点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为a,.t a n a -1.故选：B.【点睛】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属于基础题.1 1.若函数x)=l n x+a r2-2在区间CA.(-0 0,-2)B.【答案】D(分析】把题意转化为 一 在%性，即可求解.【详解】由f(x)=l n x+以J2可得：f因为函数x)=l n x +-2在区间仪,1jJ内存在单调递增区间，则实数
11、。的取值范围是()C.(-2,+o o)D.(-8,+o o)上有解，设g(x)=-利用导数判断单调(A-)=-+2 a v.X 内存在单调递增区间，)所以尸(幻0在x e(g l)上有解，即。一.在x e|设=由/(力=月3 0在 x e(；.所以 g ；g(x)g(j =-8.故选：D1 2.若函数f()=/-111+(忆11)有三个极值点，3,1)上有解.上恒成立，所以g(x)在单调递增,则k的取值范围是()A.(e,+8)B.(O,e)C.(e -I,+o o)D.(0,e 1)【答案】A【分析】把题意转化为函数/(x)=-l n x +x(e R)有三个极值点，即Z =E必有两个不等
12、于1的e x正实数根.利用导数求出&e,再验证其符合题意.【详解】f(x)*-l n x+x的定义域为(0,”)0悖 ).令r(“=o,显 然 是 方 程的一个根.由函数x)=-l n x+x(Z e R)有三个极值点，可知=厘必有两个不等于1的正实数根.ex令g(x)=?，(x 0),则 gx)=N x-1).令g(x)，有X 1;令g(x)()，有0 c x e.此时k =f 有两个根a、b,其中0 va vl l v6,X所以在(o,a)上，r(x)0,“X)单调递增；在(1回上,r(x)o,F(X)单调递增.所以/(X)有三个极值点，符合题意.故 A e.故选：A【点睛】导数的应用主要
13、有：(1)利用导函数几何意义求切线方程；(2)利用导数研究原函数的单调性，求极值(最值)；(3)利用导数求参数的取值范围；(4)利用导数研究函数的零点问题.二、填空题13.设复数 z,满足=1,同=2,Z|+z2=y/3-i,则卜一 zj=【答案】x/6【解析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出匕一2|的值.【详解】设 4,Z?在复平面中对应的向量为。4,0 Z 2 ,z,+Z z对应的向量为04,如下图所示：_12._ 0 2 1因为4+Z2=6-i，所以忆+Z z|=,3 +1 =2,所以c o s/O Z Z 3=-=-，1x 2 x 2
14、4又因为N O 4 Z 3 +N Z Q Z 2 =18 0。，所以c o s/Z Q Z?=-cosZOZ,Z3=-,所以,Z=OZ,2+07-2 O Z|.O Z 2-c o s Z Z.O Z,=1 +4 +1 =6,所 以,司=遥，又忖12|=4卜 后，故答案为：瓜.【点睛】结论点睛：复数的几何意义：(1)复数z=a+bi a,b&R)一.对应 角 平面内的点Z(a (a,6 e R)；(2)复数z=a+b i(a,b e R).对应 平面向量(9 7.14 .设7“是公比为q的等比数列%的前w 项积，则数列看，、,争是等比数列且其公比的值是二通过类比推理，可以得到结论：设 S,是公差
15、为 的等差数列%的前项和，则数歹I J S 6-S 3,$9 -M，几 是 等 差 数 列，且其公差为.【答案】9d【分析】由等比数列的性质可类比等差数列的性质，可根据等差数列的定义求出公差.【详解】通过类比推理，可以得到结论数列$6 -$3，Si，%-邑是等差数列，其公差为 S g-5 6-0 6 -S 3)=3 q+2 14-(3 4+12 d)=9 d.故答案为：9d.15 .已知函数/(x)=c o s x+e+e-，；x 2,则关于x的不等式“2x-l)2 v ev x e-v-c o s x-l=l-c o s x 0，所以函数g(x)在(0,+8)上单调递增,g(x)Ng(O)=
16、O,即r(x 0,故函数/(*)在(o,+8)上单调递增，又“X)为偶函数,所以函数/(X)在(-8,0)上的单调递减,所以不等式”2X 1)/(3+X)可转化为|2X1|3+M，BP 3X2-1 0X-8 0),且/(x)有三个零点，则实数a的取值范围是.J 3【答案】f,/【分析】求出一(X),令/(x)=0得。0、r(x)0据三次函数f(x)有三个零点得./网)=%+1 0,则有Q o 解得x W，令r(x)0 解得0 0+1 0 对 应 的 点 在 第 四 象 限 4+3、+2。解得：Z2对应的点在第二象限，I.3-x2 0 解得：综上得，实数x 的取值范围为(-2,-1)1 8.用数
17、学归纳法证明l+g+g+/w g+（GN*）.【答案】证明见解析【分析】按数学归纳法证明命题的步骤直接证明即可.1 3【详解】当 =1时，左边=1+,=耳=右边，即当=1 时，原不等式成立，假设当F/e N*）时，原不等式成立，则当n=k+1时,f1 1 1 1 1 1 1 ,C k 1 1 /,、I+-*-*F-*7-7-K.H7 r 2）处的切线方程为5 x-2 y-4 =0.求 f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=/（X）上任一点处的切线与直线X=0和直线y=2X所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.2【答案】（l）/（x）=2 x-；x 证明见解析，定值为4.【分析】（1）根据切线
18、方程可得/（2）,根据切线斜率可得/（2）,列方程组求出八 人 即可;（2）设。（匹，几）为 y=/（x）上任一点，根据导数几何意义求出该点出切线方程，计算切线与x=0、V=2x所围成的三角形的面积即可得到结论.【详解】（1）将点（2,/（2）的坐标代入直线5 x-2 y-4 =0 的方程，得/（2）=3,V fx)=a x-,则/(x)=a+g,X X又直线5x_2y_4=0的斜率为g,于是尸 拉解得2)=2 a-5 =3。=2b=22故 f(%)=2x 一；x（2）设点尸（题，儿）为曲线y =f（x）上任意一点，2 2由知/）=2工一一，r（x）=2+,xx 2 2则 f（%）=2%-,/
19、,（x）=2+,X（）xoy=/（尤）在点P E，几）的切线方程为二（2+1）（“-工0）,（2 1 4即 y =2-1T 1-，I /4（4令x=o,得了=-一，从而得出切线与y轴的交点坐标为B O,一一,X。I xo）y=2x（=9联立 f.21 4,解得 一 广，y=2+x-y =4x（）玉）J “0从而切线与直线y =2犬的交点坐标为4（2毛,4毛）.曲线y =/（x）在点尸（4,几）处的切线与直线x =0、y =2x所围成的三角形的面积为5=1-,|2 x|=4.故曲线y =/（x）上任一点夕（通,九）处的切线与直线X =（）、y =2x所围成的三角形的面积为定值且此定值为4.20.
20、（1）已知 x 0,y 0 ,2 x+y=l,求证：（1+）1+一）w 25.（2）用分析法证明：对于任意a,b e（0,6时，ah-?5a-b.【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析【分析】（1）由题，利用2x+y =l,代入不等式左式得+生 宁），化简去括号，即可利用基本不等式证明；（2）由分析法定义，先两边同时平方，整理后得/廿3 6-3户+9 2 0,结合因式分解讨论参数范围，即可证明【详解】（1）证明：x 0,y 0,2 x+y=,“+竽户亨卜同收）=13+1 3 +2 回羽=25,y x y xAy 1 1当且仅当一=2，即x =；,y =:时，等号成立，y X 4 2+2 5
21、,即得证，（2）证明：要 证 版 3|2四a-4，即证（而一3）2之3（北一2,即证一6次?+9 3/+6劭-3b 2 0,即证-3乂-3）20 ,.,。6（）,司，；./_340,b2-3Q,函数A x)在区间(0,+向上单调递增；当a0时,若x扬,则 尸(乃 0,函数/5)单调递增；若0 x 疝，贝l J/(x)0,函数/)单调递减；函数A x)在区间(0,疝)上 单 调 递 减，在区间(疝,+0时，函数/(X)在区间(0,而)上 单 调 递 减，在 区 间(疝 上 单 调 递 增.(2)；g，(x)=3x 2-4 x =3尤(x-g),x e g,2 ,1 4 1 1 4 1，当时,g (x)0,g(x)在 区 间-,2单调递增，而=1,所以g(x)在 区 间p 2上的最大值是1.依题意，需要有当x e p 2时，对X x)2 1恒成立，即 +x l n x 2 1恒成立，亦即ao-dinx;X贝l J (x)=l-x-2 1 I n x ,显然/(1)二。，当工 g)时，1一%0，x l n x 0 ,即版幻在区间；)上单调递增：当 x e(l,2 时，1 x 0.h M 0 ,即%。)在区间(1,2 上单调递减;所以，当x =l时，函数M x)取得最大值(1)=1,故 此1,即实数。的取值范围是 1,y).