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1、二次函数综合题2022年温州数学中考一模汇编1.在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为y=ax2+2bx+2b-a(a*0).(1)当 x=-l 时，求 y 的值；将抛物线向左平移2 个单位后，恰经过点(-1,0),求b的值.2.如图所示，已知抛物线y=ax2(a*0)与 一 次 函 数y=kx+b的图象相交于4(-1,一 1),5(2,-4)两点，点P是抛物线上不与A,B重合的一个动点，点 Q 是 y 轴上的一个动点.(1)请直接写出a,k,b的值及关于x 的不等式ax?依-2 的解集；(2)当 点P在直线A B上方时，请 求 出&P A B面积的最大值并求出此时点P的坐标；(3)是否存在以P
2、,Q,A,B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P,Q 的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，平行四边形A B CD位于直角坐标系中，4B=2,点 0(0,1),以 点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经 过x轴正半轴上的点A,B,C E Lx轴于点E.(1)求 点 4,B,C的坐标；(2)将该抛物线向上平移m个单位恰好经过点D,且这时新抛物线交x 轴于点M,N.求M N的长；点P是新抛物线对称轴上一动点，将 线 段A P绕 点A顺时针旋转60。得A Q,则OQ的最小值为(直接写出答案即可).4.如图，抛物线 y=ax2+bx+5(a*0)交直线 y=kx+n(k 0)于 4(1
3、,1),B两点，交y轴 于 点C,直 线 A B 交 y 轴于点D.已知该抛物线的对称轴为直线x=|(1)求 a,b的值；(2)记 直 线A B与抛物线的对称轴的交点为E,连 接 C E,C B.若 CEB的面积为y,求k,n的值.5.如图，在平面直角坐标系中，抛 物 线y=ax2+bx+3与y轴交于点力，与 x轴交于点B和点 C(3,0),且图象过0(2,3),连 接A D,点P是线段A D上一个动点，过 点 P 作 y轴平行线分别交抛物线和x轴于点E,F,连 接A E,过 点F作FG/AE交A D的延长线于点G.求抛物线的解析式；(2)若 t a n G=；,求 点E的坐标；4(3)当 A
4、FG是直角三角形时，求D G的长度.6 .已知如图，抛 物 线 y =/2+3+4交 x轴 于 4 c 两点，点。是 x轴上方抛物线上的点，以 4,D 为顶点按逆时针方向作正方形ADEF.V(1)(2)求 点 A 的坐标和抛物线的对称轴的表达式；当 点 F 落在对称轴上时，求出点D的坐标；连 接0 D交E F于 点G,记。力 和E F交于点H,当 A F H 的面积是四边形A D E H面积的源,则鬻.（直接写出答案）7.已知如图，抛 物 线y=+*+4 交 x 轴于 A,C 两点，点。是 x轴上方抛物线上的点，以 4。为顶点按逆时针方向作正方形ADEF.（1）求 点A的坐标和抛物线的对称轴的
5、表达式；当 点F落在对称轴上时，求出点D的坐标；连 接0 D交E F于 点G,记。4和E F交 于 点H,当 A F H的面积是四边形A D E H面积 的；时，则 拜 也=一.（直接写出答案）7SAOAD8.如图，抛 物 线 丫 =一 3+4%1与y轴交于点C,C D/X轴交抛物线于另一点D,A B/x轴交抛物线于点A,B,点 4 在 点B的左侧，且两点均在第一象限，BH 1 CD于 点 H.设 点A的横坐标为m.当m=1 时，求A B的长；(2)若 AH=&(C H -D H),求 m 的值.9.如图，在平面直角坐标系x O y中，抛物线y=-|x2+bx+c与 x 轴交于点4(一 3,0
6、)和 点B,与y轴交于点C(0,2).求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；(2)若 点E是 点C关于抛物线对称轴的对称点，求 tan/C E B 的值.10.如图，平行四边形A B CD与抛物线y=-x2+bx+c相交于点A,B,。，点C在抛物线的对称轴上，已知点6(-1,0),BC=4.(1)求抛物线的解析式；(2)求B D的函数表达式.11.如图，在平面直角坐标系x O y中，抛 物 线 y=-+bx+c 与x轴 相 交 于 原 点0和点8(4,0),点 4(3,m)在抛物线上.y,(1)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴;(2)求 tan/OAB 的值.12.如图，抛 物 线y
7、=ax2+bx(a 1)交x轴正半轴于点A,过 点P(l,z n)作直线PD l x轴于点D,交抛物线于点B,记 点B关于抛物线对称轴的对称点为C,连 接C B,C P.(1)用 含m的代数式表示B C的长.(2)连 接C 4 当 血 为何值时，C A 1 CP?过 点E(l,l)作EF 1 B D于 点E,交CP延长线于点F.当m 时，判断点F是否落在抛物线上，并说明理由；延 长E F交A C于 点G,在E G上取一点H,连 接C H,若C H=C G,且 P F E与 CH G的面积相等，则m的值是_ _ _ _.14.如图，y=-x2+mx +3(m 0)与y轴 交 于 点C,与x轴的正
8、半轴交于点K,过 点C作C B/X轴交抛物线于另一点8,点D在x轴的负半轴上，连 接B D 交 y轴于点A,若 AB=2AD.(1)用 含m的代数式表示B C的长；(2)当m=2时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由；过 点B作BE/y轴 交x轴于点F,延 长B F至E,使 得EF=B C,连 接D E交y轴于 点G,连 接4 E交x轴 于 点M,若 D O G的面积与 M F E的面积相等，求m的值.15.如图，抛物线y=x2+b x经过原点。，与x轴相交于点A(l,0).(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线上方构造一个平行四边形0 4 B C,使 点B在y轴上，点C在抛物线上，连接A
9、C.求直线A C的解析式.在抛物线的第一象限部分取点D,连 接0 D,交A C于 点E,若 A D E的 面 积 是 A O E面 积 的2倍，这样的点D是否存在？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.16.如 图1,抛 物 线y=a(x-3)2(a 0)与x轴相交于点M,与y轴相交于点A,过 点A作AB/x轴交抛物线于点B,交对称轴于点N,以A B为边向下作等边三角形ABC.求CN的长度；(2)当 a=3 时，求直线B C的解析式；(3)点D是抛物线B M段上的一任意点，连 接CD和B D,延 长B D交对称轴于E点.如 图 2,若 点A,C,D三点在一条直线上，当4CB D的面积是
10、4CD E的面积的2倍时，求 a 的值：如 图 3,若C D AB,当 黑=；时，请直接写出a的值.ME 217.如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与%轴交于点4(一 3,0)和 点 8(1,0).与y轴交于 点 C,顶点为D.(1)求顶点D的坐标.(用含a 的代数式表示)；若A A CD的面积为3.求抛物线的解析式；将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P,且PAB=LDAC,求平移后抛物线的解析式.答案1.【答案】(1)当 =1 时，y=a 2b+28Q=0.(2).将抛物线向左平移2 个单位后，恰经过点(-1,0),原抛物线经过(1,0).把(1,0)代入解析式可
11、得：0=a+2b+2 b-a,b=0.2.【答案】(1)a 1,k=1,b=2,关于 x 的不等式 ax2 2.(2)过 点 力 作 y 轴的平行线，过 点 8 作 轴的平行线，两者交于点C.,A(-1,-1),8(2,-4),。(一 1,-4),AC=BC=3,设 点 P 的横坐标为m,则 点 P 的纵坐标为-?n?.过 点 P 作 PO _L A C 于 D,作 PE 1 B C 于 E.则 D(1,-m2),E(m,-4)fPD=m+lf PE=-m2+4.SPB=S“PC+S&BPC ABC=-AC-PD+-B C -PE-AC-BC2 2 2=：x 3(TH+1)+x 3(-+4)-
12、x 3 x 3=-m2+-m +3.2 23 W 1,*-V 0,T H =-；3、=一,-lV 77lV 2,2 2x(4)2当 7n=1 时，SLA P B的值最大.二当 m g 时，一而=_1,SM P8=-|m2+|m +3=3京即 A P A B 面积的最大值为3 1,此时点P 的坐标为8 2 4/P 的坐标为(-3,-9)或(3,-9)或(1,-1),Q 的坐标为：2(0,-1 2)或(0,-6)或(0,-4).【解析】(1)把 2(1,1)代入 y=ax2 中，可得：a=-1；把 4(一 1,一 1),8(2,-4)代入 y=kx+b 中，可得:-k +b=-1,2k+b=-4,
13、解得:k=-1,b=-2,a =-1,k=1,b=2,关 于x的不等式ax2 kx-2的解集是x 2.存在三组符合条件的点.当 以P,Q,A,B为顶点的四边形是平行四边形时，:AP=B Q,AQ=BP,2 4(-1,-1),B(2,-4),可得坐标如下：P,的横坐标为-3,代入二次函数表达式，解得：P (-3,-9),解 得 E=1b=2.抛物线解析式为y=x2+2%+3.(2)设点 F(m,0),则 P(m,3),E(m,m2+2m 4-3),FG/AE,Z.G =Z-EAP,AP=m,EP=-m2+2m,_JL_ _,.,L AC EP-m2+2m 3在 R t A E P 中，ta n
14、Z j E T I P =-=-，AP m 45:，m =(3)若 A A F G 为直角三角形，则 4PAF+NPGF=90。.设点 F(m,0),则 P(m,3),E(m,m2+2m 4-3),-AE/FG.LEAP=Z.G,LEAP+LFAP=90,A P E s ppA,蔡=景则广甘，解 得 m 智 或。（舍去）:嗯4，贝 噜=吟 匕 解 得 PG=6.1 11.DG=PG-PD=6=2 26.【答案】(1)当 y=0 时，(%2+%+4=0,解得：x1=1,打=5,点 A 的坐标为(5,0),v y=-X2+y X +4=|(x 2)2 4-y,抛物线的对称轴的表达式为直线 =2.(
15、2)过 点。作 D M J_x 轴于点M,过 点 F 作 F N，轴于点N,如 图 1 所示.v 四边形A D E F为正方形，AF=DA,Z.FAD=90.(FAN+/-DAM=90,Z.ADM+Z-DAM=90,乙FAN=4ADM.在A F N 和 L D A M 中，ZANF=L.DMA,乙 FAN=Z.ADM,AF=DA,N g ZMM(AAS),AN=DM.当 点 F 落在对称轴上时，AN=5-2 =3,DM=3.当 y=3 时，-g%2+%+4=3,解得：x1=4-V H4+V212/2 当点尸落在对称轴上时，点D的 坐 标 为(手,。)或(手，9400【解析】(3)过 点。作 O
16、 P _L x轴 于 点P,则 U D P =4 H A F,如 图 2 所示.A F H的面积是四边形A D E H面积的HF=-EF,AH=JHF2+AF2=AF,4 4r r 4 rl HF 1ta n zH y lF =AF 4设 点D的坐标为(x,：/+X+4),rn il.,A c n 小P 5 4 1贝tanZ.ADP=4 c 16=一 DP-父+畀4 4整理，得：x2 9x 4-20=0,解得：%i=4,小=5,经检验，石=4 是原分式方程的解且符合题意，X2=5 是原分式方程的增根，舍去,点D的坐标为(4,4),.AD=J(4-5尸 +(4-0产=V17,A4 Ht l =V
17、17 A.F =17,4 4OH O A-A H4v G H/DA,O G H s A ODA,.SAOGHSODA7.【答案】(1)当 y=0 时，-(/+募 +4=0,解得：=1,%2 5,点A的坐标为(5,0).v y=+y x +4=-2)2+y,.抛物线的对称轴的表达式为直线 =2.(2)过 点。作OM_L%轴于点M,过 点F作F N l x轴于点N,如 图1所示.四边形A D E F为正方形，AF=DA,Z.FAD=90.乙FAN+Z.DAM=90,/.ADM+L D A M=90,乙FAN=/.ADM.Z A N F =/.DMA,在 b A F N 和4M 中，z.FAN=Z.
18、ADM,AF =DAt/F N Z ZX4M(AAS),AN=DM.当 点F落在对称轴上时，AN=5-2 =3f .D M=3.当 y=3 时，一(/+募+4=3,解得：巧=手，X 2=手，当 点F落在对称轴上时，点D的 坐 标 为(手,。)或(手，。)京【解析】(3)过 点。作。Pl x轴于点P,则乙ADP=N H A F,如 图2所示.A F H的面积是四边形A D E H面积的也 HF=-EF,AH=/HF2+A F2=AF,44 tanZ-HAF=i.AF 4设 点D的坐标为(居一次+费工+4),贝ij tan乙4DP=若=4 =p整理，得：%2-9%+20=0,解得：匕=4,x2=5
19、,经检验，与=4是原分式方程的解且符合题意，X2=5是原分式方程的增根，舍去,.,点D的坐标为(4,4),AD=J(4 -5/+(4-0)2=V17,A UVi7 17 AH=AF=,4 43 OH=O A-A H =4 G H/D Af O G H s ODA,.山=(Y =丫=工SZODA OAJ ys J 4008.【答案】(1)v m=1,:.A的横坐标为1,代入 y x2+4%-1 得，y=2,4(1,2),把 y=2 代入 y=-x2 4-4%1 得，2=x2+4%1,解 得 匕=1,右=3,B(3,2),：.AB=3-1 =2.(2)-A B/x轴交抛物线于点力，B,B两点关于对
20、称轴对称，：.C H-D H=A B,:AH=y/l(C H -D H),AH=4 iA B,-AB=V 2AH 2.匕BAH=45,.AB=BH,由 A 在抛物线上，则设 A(m,-m2+4 m-l),则 F(-m2+5m,-m2+4TTI 1).对称轴h=42x(-1)?n+(-m2+5m)2:.整理得，m2 6m 4-4=0,解得，m=3+A/5 或 M=3 y/5,又V A点在对称轴左边,/.m 0),V 抛物线的对称轴为%=y,:.BC=m.(2)当 m=2 时，BC=2,y=x2+2x 4-3,:CB/x 轴，.,AOD ACB,DO.BC=ADiAB=1:2,DO=1,即 点。(
21、一 1,0),当=1 时，y=-(-l)2+2x(-1)+3=0,当m=2 时，点。落在抛物线上.(3)过 点 B 作 BE/y轴 交 x 轴于点F,延 长 B F 至 E,使得 点 E(m,-1),C(0,3),OD-,BC=OA:AC=AD.AB=1:2,OA=1,OD=-,2.(0,1),D(-y,0),设直线A E 表达式为y=kx+b,(b=l,-o=-k +bt,_ m+2b=lf 直 线 A E 表达式为y=与%+l,.点 M 坐 标 为 Q.o),设直线D E 表达式为y=a%+3将 D(-,E(m,)代入,EF*同理可得直线D E表达式为y=-i x-y,.点G坐标为(。,一
22、胃D O G的面积与A M F E 的面积相等，1mm lm/2m m 0,.m=0.4.1 5.【答案】(1)把 4(1,0)代 入y=x2+b x得 1+6=0,解 得b=-1,所以抛物线解析式为y=x2-x.(2)因为四边形O A B C为平行四边形，所以 BC =OA=1,BC/OA,所 以 C 点的横坐标为一1,当 x=-1 时，y=x2x=l (1)=2,则 6(1,2),设直线A C的解析式为y=mx+n(m 4 0),把 4(1,0),C(-1,2)代入得图解得 C-1-1,所以直线A C的解析式为y=+1；存在.分别作D M Lx轴 于M,E/V l x轴 于 N,如图，因
23、为4 D E 的面积是A H O E 面积的2 倍，所以 DE=2OE,因为 EN/DM,所以 A O N E s AOMD,所 以 空=丝=竺=之DM OM OD 3设+则 D(3t,-3t+3).把 D(3t,-3t+3)代入 y -x 得 9t23t=-3t+3,解 得t =*2 =_ g(舍去)，所以点。的坐标为(V5,遍+3).1 6.【答案】(1)y a(%-3/，.抛物线的对称轴为直线%=3,点A与 点B关于直线%=3 对称，:.AB=6.v X A B C为等边三角形，AB=6,AC=6,Z.NAC=60.NC=AC,sin60=6 X y =3V3.(2)当 a=3 时，y=
24、3(x 37.把x=0代入得：y=27,二点B的坐标为(6,27).二点C的坐标为(3,27-3间.设直线B C的解析式为V=卜 彳+。，则P 0 613 k+o=27 3V3,解得：k=V3,b=27-6V3,直线B C的解析式为y=V3x+27-6 g.过点D作DF 1 M N,垂足为F,则 DF/NB.：DF/BN,:.DEFs BEN,.DF _ D E BN-BE :SC B D 2sAeDE，.DE _ 1.n,DF _ ED _ 1 BD 2 BN-BE 一 3DF=1,即D的坐标为(4,a),F(3,a),将=0代入抛物线的解析式得：y=9a,N(3,9a).CF=9a a 3
25、V3.乙CDF=60,CF=W DF,即 9 a-a-3V3=8a-3s/3=V3,解得：a=y.1 7.【答案】(1)抛物线 y=ax2 4-bx 4-c 与 x 轴交于点 4(一3,0)和点 B(l,0),抛物线解析式为y=a(x+3)(%1)=ax2+2ax 3a,v y=a(x+3)(%1)=a(x2+2%3)=a(%+l)2 4a,顶点D的坐标为(-l,-4 a).(2)如图，设A C与抛物线对称轴的交点为E.抛物线y=ax2+2ax-3 a与y轴交于点C,C点坐标为(0,-3a).设直线4 c的解析式为y=H+t,则 优”：。，解 得 仁 二 黑：直 线 A C 的解析式为y=-a
26、 x-3a,点E 的坐标为(一l,-2 a),DE=-4a (2a)=-2 a,SACD=SCDE+SMDE=5 x DE x OA=-x(-2Q)x 3=3a,-3 a=3,解 得 a-1,抛物线的解析式为y=-x2-2 x +3；(2)v y=-x2 2x+3,顶 点 D 的坐标为(-1,4),C(0,3),4(-3,0),/.AD2=(-1+3)2+(4-O)2=20,CD2=(-1-0)2+(4-3)2=2,AC2=(0 4-3)2+(3-0)2 =18,AD2=CD2+AC2.Z.ACD=90,tanzM C=二,AC q 18 3v Z-PAB=Z.DAC,PAB=tD A C=.
27、如图，设 y=-%2-2%+3=-（x+I）2+4 向右平移后的抛物线解析式为y=-（x+m）2+4,两条抛物线交于点P,直 线 4 P 与 y 轴交于点F.c A c O F O F 1 tanziPAB=-,0A 3 3OF=1,则 F 点的坐标为(0,1)或(0,-1).分两种情况：（i）如图，当 F 点的坐标为（0,1）时，易求直线A F 的解析式为y=gx+l,由解得广飞ly=-x2-2%+3,yi=,9“2=?2=（舍去）,2 P 点坐标为（!，）将 P 点 坐 标（|与）代 入 y=-（+瓶）2+4,得 芳=一（|+血）+4,解得=m2=1（舍去）,平移后抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4；（ii）如图，当 F 点的坐标为（0,-1）时，易求直线A F 的解析式为y=由,=一/一1,解得.ly=-x2-2%+3,-13一94-3-=xly l（舍去）,P点 坐 标 为（1 蓑），将 P点 坐 标 QJ代 入 y=（x+m）2+4,得 芳=（；+m）+4,解得 根1 =一弓，m2=1（舍去），平移后抛物线的解析式为y=-抵）2+4.综上可知，平移后抛物线的解析式为y=）2+4 或、=一 卜-3 丫+4.