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1、石 景 山 区 20222023学 年 第 一 学 期 高 三 期 末 试 卷 数 学 本 试 卷 共 7 页，满 分 为 150分，考 试 时 间 为 120分 钟。请 务 必 将 答 案 答 在 答 题 卡 上,在 试 卷 上 作 答 无 效。考 试 结 束 后，将 答 题 卡 交 回。第 一 部 分(选 择 题 共 40分)一、选 择 题 共 10小 题，每 小 题 4 分，共 40分。在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项。(1)已 知 集 合/=-1,0,1,2,8=x|x 区 1,则/CIB 等 于(A)-1,0,1(B)0,1,
2、2(C)0,1(D)1,2(2)在 复 平 面 内，复 数 z=t a 对 应 的 点 位 于 i(A)第 一 象 限(B)第 二 象 限(C)第 三 象 限(D)第 四 象 限(3)若(2+X)+。/+。2才 2+。3工 3+%工 4,则 为=(A)10(B)20(C)40(D)80(4)已 知 直 线/:x+2y-3=0与 圆 C:x2+y2-4x=0 交 于 4 8 两 点，则 线 段 力 8 的 垂 直 平 分 线 方 程 为(A)2x-y-4=0(B)2x+y-4=0(C)x-2y-2=0(D)2x-y-2=0高 三 数 学 试 卷 第 1页(共 7页)(5)已 知 直 线 加，与
3、平 面 a,/7,/,满 足 a_L尸，a H/3=m,_La,n u y,则 下 列 判 断 一 定 正 确 的 是(A)m II y,a Ly(B)nil p,cr/(C)P H Y a Ly(D)m _L，a_Ly(6)已 知 函 数/(x)=sin2x+/Jcos2x,则 下 列 命 题 正 确 的 是(A)x)的 图 象 关 于 直 线 x=g 对 称(B)f(x)的 图 象 关 于 点(二,0)对 称 6(C)“X)的 最 小 正 周 期 为 兀，且 在 0,己 上 为 增 函 数(D)八 刀 的 图 象 向 右 平 移 三 个 单 位 得 到 一 个 偶 函 数 的 图 象(7)
4、已 知 数 列%是 q 0 的 无 穷 等 比 数 列，则“*为 递 增 数 列”是“Vk 2 且 上 e N,ak q”的(A)充 分 而 不 必 要 条 件(B)必 要 而 不 充 分 条 件(C)充 分 必 要 条 件(D)既 不 充 分 也 不 必 要 条 件(8)中 国 茶 文 化 博 大 精 深.茶 水 口 感 与 茶 叶 类 型 和 水 的 温 度 有 关.经 验 表 明，某 种 绿 茶 用 85 的 水 泡 制，再 等 到 茶 水 温 度 降 至 60 时 饮 用，可 以 产 生 最 佳 口 感.已 知 室 内 的 温 度 为 25,设 茶 水 温 度 从 85 开 始，经 过
5、 x分 钟 后 的 温 度 为 y 与 x 的 函 数 关 系 式 近 似 表 示 为 丁=60 x0.923、+2 5,那 么 在 25 室 温 下，由 此 估 计，刚 泡 好 的 茶 水 大 约 需 要 放 置 多 少 分 钟 才 能 达 到 最 佳 口 感(参 考 数 据：In 0.923-0.08,In 12-ln7 0.54)(A)8(B)7(C)6(D)5高 三 数 学 试 卷 第 2页(共 7页)(9)已 知 少 是 抛 物 线 C:y2=2px(0O)的 焦 点，过 点 加(2,1)的 直 线/与 抛 物 线 C 交 于 4 8 两 点，M 为 线 段 的 中 点，若|E4|+
6、|尸 8|=5,则 p 的 值 为(A)-(B)12(C)2(D)3(10)在 矩 形/8 C D 中，/2=1,4)=2,动 点 P 在 以 点 C 为 圆 心 且 与 5。相 切 的 圆 上.若=+A6,则 2+的 最 大 值 为(A)2(B)亚(C)2夜(D)3第 二 部 分(非 选 择 题 共 110分)二、填 空 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 25分。(11)函 数/(x)=yl4-x2+-的 定 义 域 为.X(12)首 项 为 1的 等 比 数 列 但“中，4q,2 g,%成 等 差 数 列，则 公 比 4=.(13)已 知 双 曲 线 如 2+=的 一 个 顶 点
7、 为 尸(,o),且 渐 近 线 方 程 为、=2，则 实 数 tn=,n=.(14)在 四 棱 锥 尸-48。中，P 面/B C D,底 面/8CD是 正 方 形，PA=AB=2,则 此 四 棱 锥 的 外 接 球 的 半 径 为.(15)函 数/(x)=(x e R),给 出 下 列 四 个 结 论 l+|x|/(X)的 值 域 是(-1,1);任 意 看,X 2 C R 且 X产/，都 有/1立)二 八 乜)0;X X2 任 意 演，工 2(0,+8)且 X产 乙，都 有 小 吟&口/(气 红)；规 定 工(x)=x),Z,+1(x)=/(/,),其 中 e N,，则 工 其 中，所 有
8、 正 确 结 论 的 序 号 是.高 三 数 学 试 卷 第 3页(共 7页)三、解 答 题 共 6 小 题，共 85分。解 答 应 写 出 文 字 说 明，演 算 步 骤 或 证 明 过 程。(1 6)(本 小 题 13分)在 X 8 C中，从 条 件、条 件 这 两 个 条 件 中 选 择 一 个 作 为 己 知.(I)求 N C；(H)若 a+26=16,/8 C 的 面 积 为 8石，求 4 8 C的 周 长.条 件：2c cos C=a cos B+b cos X；条 件：2sin Jsin Ssin C=(s in2 A+sin2 B-sin 2C).注：如 果 选 择 条 件 和
9、 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.(1 7)(本 小 题 14分)如 图，在 四 棱 锥 尸-4 8 C Z)中，CO_L平 面 P 4D,尸 4。为 等 边 三 角 形，AD/BC,AD=CD=2BC=2,民 尸 分 别 为 棱 a),P 8的 中 点.(I)求 证：4E J平 面 尸 CO；(II)求 平 面 4 E F与 平 面 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值；(I I I)在 棱 P C上 是 否 存 在 点 G,使 得 Q G 平 面 ZE F?若 存 在，求 生 的 值；若 不 存 在，说 明 理 由.PCA高 三 数 学 试 卷 第 4页(共 7页
10、)（18）（本 小 题 13分）某 学 校 有 初 中 部 和 高 中 部 两 个 学 部，其 中 初 中 部 有 1800名 学 生.为 了 解 全 校 学 生 两 个 月 以 来 的 课 外 阅 读 时 间，学 校 采 用 分 层 抽 样 方 法，从 中 抽 取 了 100名 学 生 进 行 问 卷 调 查，将 样 本 中 的“初 中 学 生”和“高 中 学 生”按 学 生 的 课 外 阅 读 时 间（单 位：小 时）各 分 为 5 组：血 10）,10,20）,20,30）,30,40）,40,50，得 到 初 中 生 组 的 频 率 分 布 直 方 图（图 1）和 高 中 生 组 的
11、频 数 分 布 表（表 1）.图 1 初 中 生 组 表 1 高 中 生 组 分 组 区 间 频 数 0,10)210,20)1020,30)1430,40)1240,50 2（I）求 高 中 部 的 学 生 人 数 并 估 计 全 校 学 生 中 课 外 阅 读 时 间 在 30,40）小 时 内 的 总 人 数；（II）从 课 外 阅 读 时 间 不 足 10个 小 时 的 样 本 学 生 中 随 机 抽 取 3 人，记。为 3 人 中 初 中 生 的 人 数，求 g 的 分 布 列 和 数 学 期 望；（III）若 用 样 本 的 频 率 代 替 概 率，用 随 机 抽 样 的 方 法
12、从 该 校 高 中 部 抽 取 10名 学 生 进 行 调 查，其 中 有 名 学 生 的 阅 读 时 间 在 30,40）的 概 率 为（4=0,1,2,10）,请 直 接 写 出“为 何 值 时 取 得 最 大 值.（结 论 不 要 求 证 明）高 三 数 学 试 卷 第 5页（共 7页）(19)(本 小 题 15分)已 知 函 数/(x)=aex-x,g(x)=x-alnx(tz e R).(I)若。=1,求 曲 线 y=/(x)在 点(0,7(0)处 的 切 线 方 程;(II)求 g(x)的 单 调 区 间；(III)若/(x)和 g(x)有 相 同 的 最 小 值,求。的 值.(2
13、0)(本 小 题 15分)已 知 椭 圆 C:1(a b 0)的 一 个 顶 点 为(0,也),焦 距 为 2.(I)求 椭 圆 C 的 方 程;(H)设 椭 圆 C 的 左、右 焦 点 分 别 为 耳，外，P 为 椭 圆 C 上 一 动 点，射 线 尸 片,”分 别 交 椭 圆 C 于 点 4 B,求 证：g+四 辽 为 定 值.M 不 BF2高 三 数 学 试 卷 第 6页(共 7页)(21)(本 小 题 15分)已 知 项 数 为 人/e N*,左 3)的 有 穷 数 列%满 足 如 下 两 个 性 质，则 称 数 列 册 具 有 性 质 P：1 W q a2 a3 ak；对 任 意 的
14、 i,7(l W i W _/),?与。产,.至 少 有 一 个 是 数 列%中 的 项.(I)分 别 判 断 数 列 1,2,4,16和 2,4,8,16是 否 具 有 性 质 产，并 说 明 理 由；(II)若 数 列%具 有 性 质 尸，求 证：4*=S 避 24 产：(111)若 数 列%具 有 性 质 尸，且 明 不 是 等 比 数 列，求 A 的 值.(考 生 务 必 将 答 案 答 在 答 题 卡 上，在 试 卷 上 作 答 无 效)高 三 数 学 试 卷 第 7页(共 7页)石 景 山 区 20222023学 年 第 一 学 期 高 三 期 末 数 学 试 卷 答 案 及 评
15、分 参 考 一、选 择 题（共 10小 题，每 小 题 4 分,共 4 0分）(1)A(2)D(3)C(4)A(5)D(6)C(7)C(8)B(9)B(10)D二、填 空 题（共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 2 5分）(11)-2,0)U(0,2(12)2(13)14(14)(1 5)三、解 答 题(共 6 小 题，共 8 5分)(1 6)(本 小 题 满 分 13分)解：(I)选 择 条 件 法 1：由 正 弦 定 理&=b=及 2ccosC=acosB+b c o s/,sin A sin B sin C得 2 sin C c o sC=sin A cos B+sin B cos
16、A所 以 2sin C cosC=sin(y4+B).所 以 2sinCcos C=sinC.因 为 所 以 sinCw O.Arfu cosC=.所 以 C=.6 分 2 3山 仝 昉 牛 拜+b2 c2 o a2+c2-b2 b2+c2-a27去 2：由 余 弓 玄 定 理：cosC=-，cosB=-，cos/4=-2ab lac 2bc及 2ccosC=acosB+bcosA，可 得 J+W2ah/+1-3+Jlac 2bc所 以=_,从 而 cosC=L2ah 2 2因 为 0/。无，所 以 C=工.36 分 高 三 数 学 答 案 第 1页（共 8页）选 择 条 件：由 正 弦 定
17、理 上 二 上 二 三 sin A sin 8 sinC及 2 sin 4 sin 5 sin C=V3(sin2 4-sin2 5-s in2 C)得 sin C=3(02+?-)lab2 2 2由 余 弦 定 理 c o s C=4 十 2ab可 得 sinC=V3 cos C,从 而 tan C=V3.TT因 为 0/。兀，所 以 C=-.3(I I)由/B C 的 面 积 为 8 v L 得,4 b s in C=8 626 分 又 因 为 C=色，所 以 必=323所 以 ab=32a+2b=6由 余 弦 定 理。2=/+b2-2 bcosC,W c=473所 以 的 周 长 为。+
18、6+。=12+4百.13分（17）（本 小 题 满 分 14分）解：（I）法 1：证 明：因 为 CD_L平 面 尸 4 0,/u 平 面 E4。，所 以 C d E.又 因 为 尸”。为 等 边 三 角 形，E 为 P D的 中 点，所 以 PD14E,因 为.所 以 平 面 尸 CZ）.5 分 法 2：由（II）建 系 可 知 高 三 数 学 答 案 第 2页（共 8页）D C=(0,2,0),Z)P=(l,0,V3)设 平 面 P C D 的 法 向 量，”=(a,b,c)令 a=#,则 c=-l,6=0,于 是,=(百,0,-1)AE=-m,BP A EHm2所 以/2,平 面 PCD
19、.5 分(H)取 的 中 点。，连 结 OP,OB,因 为 CO_L平 面 P4。，/u平 面 R 4 O,所 以 8 149.因 为 08 C D,所 以 08_L/。，OB LOP.因 为 以)为 等 边 三 角 形，所 以 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz.易 知 平 面 P A D 的 一 个 法 向 量 为=(0,2,0).高 三 数 学 答 案 第 3页(共 8页)-o OB n x/17cos=-=-17OBn所 以 平 面/E E 与 平 面 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 姮.17（III）假 设 线 段 P C 上 存 在 点 G,使 得。
20、G 平 面 且 10分 PG 设 声=4w0,l,则 尸 G=4PC,尸(0,0,扬,C(-l,2,0),D(-l,0,0),?C=(-1,2,-扬,则 G(-/l,22,百-V3Z)，D G=(1-A,22,百-73A),要 使 得。G 平 面 NEV,则。=2-22-22+6-62=0,4得 4=2.所 以 线 段 P C 上 存 在 点 G,5PG 4使 得。G 平 面 Z E F,=-.14分 PC 5（18）（本 小 题 满 分 13分）解：（1）由 频 数 分 布 表 可 得：初 中 生 组 抽 取 的 人 数 为 100-40=60.高 中 部 学 生 总 人 数 为 1800
21、x=1200.60由 频 率 分 布 直 方 图 可 得：抽 样 中 初 中 学 生 中 课 外 阅 读 时 间 在 30,40）小 时 内 的 人 数 为 60 x10（1-0.005-0.03-0.04-0.005）=12.抽 样 中 高 中 学 生 中 课 外 阅 读 时 间 在 30,40）小 时 内 的 人 数 为 12人.全 校 学 生 中 课 外 阅 读 时 间 在 30,40）小 时 内 的 总 人 数 为 12 12 X1800+X1200-720.4 分 60 40（II）由 频 率 分 布 直 方 图 和 频 数 分 布 表 可 知，样 本 学 生 中 课 外 阅 读 时
22、 间 不 足 10个 小 时 有 5 人，初 中 生 有 3 人 所 以 J 的 所 有 可 能 取 值 为 1,2,3.n C 3 吟、C 2 3 哈 C；1%=1）=营=谈%=2）=干=丁%5 r历 高 三 数 学 答 案 第 4页（共 8页）g 的 分 布 列 为:41 2 3P3io351T o3 3 1 9E=lx+2x-+3x=-.11 分 10 5 10 5(III)3.13 分(19)(本 小 题 满 分 15分)解：(I)a=l,因 为/(x)=eA x,所 以 八 x)=e T,/(0)=0.又 因 为/(0)=1,所 以 曲 线 y=/(x)在 点(0,/(0)处 的 切
23、 线 方 程 为 y=1.4 分(II)g(x)的 定 义 域 为(0,+8).若 a W 0,则 g0,所 以 g(x)在(0,+oo)上 单 调 递 增;若 a 0,g(x)=0 解 得 x=a.x G(0,a)时 gr(x)0,g(x)单 调 递 增 区 间(a,4-oo).综 上 可 知，当 W O 时 g(x)的 增 区 间 为(0,+8),无 减 区 间；当 a 0 时 g(x)的 减 区 间 为(0,a)增 区 间 为(凡+8).9 分(III)f(x)=aex-l,若 aWO,/(x)0,/(x)在(-co,1/)上 递 减，在(lnL+8)上 递 增.a a所 以 当 a 0
24、 时，/(x)min=l-ln=l+lntz.a由(II)知 当 a 0 时 g(x)min=a-alna.所 以 1+In a=a a In a.F(x)=x In x+In x-x+l(x 0),Fr(x)=In x+-,x高 三 数 学 答 案 第 5页(共 8页)令 H(x)=lnx+1,/,(x)=-v=-X X X XH(x)在(0,1)上 递 减,在(l,+oo)上 递 增.所 以 尸(x L n：=10 所 以 尸(X)在(0,+8)上 单 调 递 增，又 产(1)=0.故 a=1.15 分（20）（本 小 题 满 分 15分）解：（I）由 题 意 得 b=G,c=1.所 以
25、a?=b+c2=4.所 以 椭 圆 C 的 方 程 为 片+炉=L.5分 4 3（I I）当 点 尸 在 x 轴 上 时，由 对 称 性 不 妨 设 点 P（-2,0）,此 时，4 8 两 点 重 合,|P G国/引=1,|%|=|/*=3,故 也+四 1 g l BF2 3 当 点 P 不 在 X轴 上 时，由 对 称 性 不 妨 设 P（X1,必）（0）,A（x2,y2）,8（X3,乃），此 时 直 线 PF1的 方 程 为 x=y-1,必 联 立 4X|+1,X=-y-1,乂 f+y2 1T+T=1整 理 得 3(9)2+42 _ 幺 上 士 D y-9=0,必 必 贝|J yty2=-
26、9-9v,23 X|+1)2+4+61+3+2玉+5必 故=旦-.同 理 可 得 乃=二 2 玉+5 2xj+5故 陶+制 1223+5-2玉 3+5 130综 上 制+圜 为 定 值 且 定 值 为 印（21）（本 小 题 满 分 15分）15分 解：（I）1,2,4,16不 具 有 性 质 尸.高 三 数 学 答 案 第 6页（共 8页）因 为 一=8 和 16x2=32均 不 是 数 列 中 的 项，2所 以 不 具 有 性 质 P.2,4,8,16不 具 有 性 质 P.因 为 3=和 16x16=256均 不 是 数 列 中 的 项，16所 以 不 具 有 性 质 尸.4 分（II）
27、证 明：因 为 为 外 不 是 数 列 册 的 项，所 以=1 为 数 列*的 项，故 q=l.ak设 2 W i W k，则 q 1,所 以 q q 为 均 不 是 数 列*的 项，故”为 数 列 册 的 项.且 1=幺 人 刍 _ 竺%=外 ak ak-ak-2 a2 a因 为 1 W q 生 3,ak，所 以=q，刍=1，幺=即 ak 4-1 a2 为 k累 乘 一-=axa2 q,的 2以 所 以 为”=（%。2殁 了.9 分（III）当=3 时，由（II）知%=1,母=（%。2。3）2，即 由 二 出？，此 时 册 是 等 比 数 列.高 三 数 学 答 案 第 7页（共 8页）当
28、左=4 时，数 列 1,2,6,12具 有 性 质 P,但 该 数 列 不 是 等 比 数 列.下 面 证 明 当 5 时，数 列%是 等 比 数 列，由(II)知 q=1,=a,-=a2,=ak_l,=ak,ak ak-a2 a所 以 卬+(1 ak_xa2=ak,所 以 也 是 数 列%中 的 项%由 1=也 久=ak-ak-2 ak-3 a3 a3因 为 1 W%a2a3 以 _2所 以 生 L=q,幺，巴 3=a _3,ak-ak-2 ak-3 a3所 以 也=q.(lWiW%-3)ak-i因 为 kNS,%=q，也=0,故%L=a-ak-ak-2 a a2所 以 也=q(l W i W 左 1)ak-i 式 式 相 除 得 出=色 止，所 以 当 女 2 5 时，数 列%是 等 比 数 列，%综 上，A=4 满 足 题 意.15分（以 上 解 答 题，若 用 其 它 方 法，请 酌 情 给 分）高 三 数 学 答 案 第 8页（共 8页）