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1、第 1 页 共 19 页 2023 届北京市石景山区高三上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合1,0,1,2A，1Bx x，则AB等于（）A1,0,1 B0,1,2 C 0,1 D 1,2【答案】A【分析】解不等式求得集合B，由交集定义可得结果.【详解】111Bx xxx，1,0,1AB.故选：A.2在复平面内，复数12izi对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】D【分析】由题意可得：2zi，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：22122221iiiiziii，则复数 z 对应的点为2,1，位于第四象限.本题选择 D选项.【点睛】本题主要考查复数的
2、运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3已知52340145235(2)xaa xa xa xa xa x，则3a（）A10 B20 C40 D80【答案】C【分析】利用二项式定理求出答案即可.【详解】因为52340145235(2)xaa xa xa xa xa x 所以3235240aC 故选：C 4已知直线:230l xy与圆22:40C xyx交于 A，B 两点，则线段AB的垂直平分线方程为（）第 2 页 共 19 页 A240 xy B240 xy C220 xy D220 xy【答案】A【分析】根据互相垂直两直线斜率之间的关系、圆的几何性质进行
3、求解即可.【详解】由222240(2)4xyxxy，圆心坐标为(2,0)，由13:23022l xyyx，所以直线l的斜率为12，因此直线l的垂直垂直平分线的斜率为2，所以直线l的垂直垂直平分线方程为：02(2)240yxxy，故选：A 5已知直线,m n与平面,满足,m nn，则下列判断一定正确的是 A/,m B/,n C/,D,mn【答案】D【分析】根据n，利用线面垂直的性质证得nm，再结合面面垂直的判定定理，证得，即可得到答案.【详解】因为m，可得m，又因为n，所以nm，因为n，且n，所以.故选：D.6已知函数()sin 23cos2f xxx，则下列命题正确的是（）A()f x的图象关
4、于直线3x 对称 B()f x的图象关于点,06对称 C()f x最小正周期为，且作0,12上为增函数 D()f x的图象向右平移12个单位得到一个偶函数的图象【答案】C【分析】利用辅助角公式，结合正弦型函数的对称性、最小正周期公式、单调性、奇偶性逐一判断即可.【详解】()sin23cos22sin(2)3f xxxx，对于 A，因为2sin 22sin02333f，所以3x 不是函数图象的对称轴，所以 A错误，第 3 页 共 19 页 对于 B，因为22sin 22sin306633f，所以点(,0)6不是函数图象的对称中心，所以 B 错误，对于 C，()f x的最小正周期为 22，当2 2
5、2 Z232kxkk即 5Z1212kxkk时，()f x单调递增，所以()f x在0,12上单调增，所以 C 正确；把()f x的图象向右平移 12个单位得到函数2sin 22sin(2)1236yxx的图象，没有奇偶性，所以 D 错误，故选：C 7 已知数列 na是10a 的无穷等比数列，则“na为递增数列”是“2k 且*k N，1kaa”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据等比数列的单调性，结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：若 na为递增的等比数列，显然后面的项都比1a大，即2k 且*kN，1kaa，充
6、分性成立；反过来，若2k 且*kN，1kaa，即111ka qa（q为公比），因为10a，所以11kq，所以1q，从而可得 na为递增数列，必要性成立，所以“na为递增数列”是“2k 且*kN，1kaa”的充分必要条件.故选：C.8中国茶文化博大精深茶水口感与茶叶类型和水的温度有关经验表明，某种绿茶用85的水泡制，再等到茶水温度降至60时饮用，可以产生最佳口感已知室内的温度为25，设茶水温度从85开始，经过 x分钟后的温度为yy与 x的函数关系式近似表示为600.92325xy，那么在25室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：ln0.9230.08,ln
7、12ln70.54）（）A8 B7 C6 D5【答案】B【分析】根据题意带入数据，列出等量关系式，利用对数的运算性质化简即可求得.第 4 页 共 19 页【详解】由题意降至60时口感最佳，即60y，带入函数关系式即得6060 0.92325x，即70.92312x，两边同时取对数，得ln0.923ln7ln12x，所以ln7ln120.547ln0.9230.08x.故选：B 9已知 F是抛物线2:2(0)C ypx p的焦点，过点(2,1)M的直线 l与抛物线 C交于 A，B 两点，M为线段AB的中点，若|5FAFB，则 p的值为（）A12 B1 C2 D3【答案】B【分析】设出点A，B的坐
8、标，利用抛物线定义结合已知求出p，再借助斜率坐标公式计算作答.【详解】设1122(,),(,)A x yB xy，抛物线2:20C ypx p的准线为：2px ，因(2,1)M为线段AB的中点，则124xx，又124522ppFAFBxxp，解得1p，则抛物线 C的方程为：22yx，有221212,22yyxx，122yy，显然直线 l的斜率存在，所以直线l的斜率为1212221212122122yyyykyyxxyy.故选：B 10在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若AP=AB+AD，则+的最大值为 A3 B22 C5 D2【答案】A
9、【详解】方法一：特殊值法 252,15xy 2512225xy,故选 A 方法二：解析法 如图所示，建立平面直角坐标系.第 5 页 共 19 页 设0,1,0,0,2,0,2,1,ABCDP x y,易得圆的半径25r，即圆 C 的方程是22425xy，,1,0,1,2,0APx yABAD，若满足APABAD，则21xy ，,12xy，所以12xy，设12xzy，即102xyz，点,P x y在圆22425xy上，所以圆心(2,0)到直线102xyz 的距离dr，即221514z，解得13z，所以z的最大值是 3，即的最大值是 3，故选 A.【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平
10、行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.二、填空题 11函数21()4f xxx的定义域为_【答案】2,00,2【分析】由题知2400 xx，再解不等式即可得答案.【详解】解：要使函数有意义，则2400 xx，解得22x 且0 x 第 6 页 共 19 页 所以，函数21()4f xxx的定义域为 2,00,2 故答案为：2,00,2 12等比数列 na中，14a，22a，3a成等差数列，若11a，则公比q _【答案】2【分析】由等差中项的性质以及等比数列的通
11、项列方程即可求解.【详解】因为14a，22a，3a成等差数列，所以23144aaa，可得211144a qqaa，因为10a，所以244qq，解得：2q，故答案为：2.13在四棱锥PABCD中，PA 面ABCD，底面ABCD是正方形，2PAAB，则此四棱锥的外接球的半径为_【答案】3【分析】将四棱锥 P-ABCD 补成正方体，求出正方体的对角线长，即可得外接球的半径.【详解】将四棱锥 P-ABCD 补成正方体如图：则此四棱锥的外接球即为正方体的外接球，正方体的对角线长为2222222 3，所以四棱锥的外接球的直径为2 3，因此四棱锥的外接球的半径为3 故答案为：3【点睛】关键点睛：利用割补法进
12、行求解是解题的关键.第 7 页 共 19 页 14函数()()1|xf xxxR，给出下列四个结论()f x的值域是(1,1)；任意12,x x R且12xx，都有 12120f xf xxx；任意12,(0,)x x 且12xx，都有 121222f xf xxxf；规定11()(),()()nnf xf xfxffx，其中nN，则1011212f 其中，所有正确结论的序号是_【答案】【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可；【详解】：当0 x 时，1()111xf xxx，当0 x 时，该函数单调递增，所以有 00f xf，当0 x 时，因为11()111011f
13、 xxx ，所以()10()1f xf x，因此当0 x 时，01f x；当0 x 时，1()111xf xxx，此时函数单调递增，所以有 00f xff x，1()(1)011f xf xx ，所以有 10f x，所以()f x的值域是(1,1)，故正确；：不妨设12xx，由 1212121200f xf xf xf xf xf xxx，所以该函数是实数集上的增函数，由可知：该函数在0 x 时，单调递增，且 01f x，当0 x 时，单调递增，且 10f x，所以该函数是实数集上的增函数，符合题意，故正确；：当任意12,(0,)x x 且12xx时，令121,3xx，121313524222
14、8f xf xff，122223xxff，显然5283，第 8 页 共 19 页 因此 121222f xf xxxf不成立，故不正确；：当0 x 时，()1xf xx，1()()1xf xf xx，211()()2111xxxfxff xxxx，3221()()412121xxxfxffxxxx，4341()()814141xxxfxffxxxx，于是有1()21nnxfxx，因此1099111112122251412212f，故不正确，故答案为：【点睛】关键点睛：利用分式型函数的性质是解题的关键.三、双空题 15已知双曲线221mxny的一个顶点为(1,0)P，且渐近线方程为2yx，则实数
15、m _，n _【答案】1 14#-0.25【分析】根据双曲线221mxny的一个顶点为(1,0)P，代入求得 m，再根据其渐近线方程为2yx 求解.【详解】解：因为方程221mxny表示双曲线，所以0mn，因为双曲线221mxny的一个顶点为(1,0)P，所以1m，则0n，第 9 页 共 19 页 又因为其渐近线方程为2yx，所以12mnn，解得14n ，故答案为：1，14 四、解答题 16在ABC中，从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知(1)求C；(2)若216,abABC的面积为8 3，求ABC的周长 条件：2 coscoscoscCaBbA；条件：2222sinsinsin3 sin
16、sinsinABCABC 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)3；(2)124 3.【分析】（1）若选：利用正弦定理进行求解即可；若选：利用正弦定理和余弦定理进行求解即可；（2）结合（1）的结论，根据三角形面积公式、余弦定理、三角形周长公式进行求解即可.【详解】（1）选：2 coscoscos2sincossincossincoscCaBbACCABBA 2sincossin()2sincossin()sinCCABCCCC，因为(0,)C，所以sin0C，因此有12cos1cos2CC，因为(0,)C，所以3C；选：由2222222sinsinsin3 sinsin
17、sin2sin3ABCABCabCbca 222sinsin3costan323baCCCCabc，因为(0,)C，所以3C；（2）因为ABC的面积为8 3，第 10 页 共 19 页 所以有113sin8 38 332222abCabab，而216ab，解得：4,8ba，由余弦定理可知：2212cos64162 8 44 332cabab ，所以ABC的周长为844 3124 3.17 如图，在四棱锥P-ABCD中，CD平面PAD，PAD为等边三角形，ADBC，22ADCDBC，E，F 分别为棱 PD，PB的中点.(1)求证 AE平面 PCD；(2)求平面 AEF 与平面 PAD 所成锐二面
18、角的余弦值；(3)在棱 PC 上是否存在点 G，使得 DG平面 AEF？若存在，求PGPC的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)1717；(3)存在，45.【分析】（1）根据CD 平面PAD得到CDAE，根据PAD为等边三角形，得到AEPD，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角即可；（3）设,2,3PGPC，得到1,2,33DGDPPG，然后利用空间向量和DG平面AEF列方程，解得即可.【详解】（1）CD 平面PAD，AE 平面PAD，CDAE，PAD为等边三角形，E为PD中点，AEPD，CDPDD，CD 平面PCD，PD
19、 平面PCD，第 11 页 共 19 页 AE平面PCD.（2）取AD中点O，连接OP，OB，CD 平面PAD，CD 平面ABCD，AD 平面PAD，平面PAD 平面ABCD，CDAD，O为AD中点，PAD为等边三角形，POAD，2ADOD，平面PAD 平面ABCDAD，PO平面PAD，PO平面ABCD，22ADODBC，ADBC，四边形OBCD为平行四边形，ADOB，如图，以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，1,0,0A，13,0,22E，30,1,2F，33,0,22AE，31,1,2AF,CD 平面PAD，0,1,0m 可以作为平面PAD的一个法向量，设平
20、面AEF的法向量为,nx y z，则 33022302AE nxzAF nxyz ，令1x，则12y ，3z，11,32n，所以1172cos,171134m n，所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为1717.（3）1,0,0D，1,2,0C，0,0,3P，1,2,3PC ，1,0,3DP 第 12 页 共 19 页 设,2,3PGPC，则1,2,33DGDPPG，DG平面AEF，1330DG n，解得4=5，所以在棱PC上存在点C使DG平面AEF，此时45PGPC.18某学校有初中部和高中部两个学部，其中初中部有 1800 名学生为了解全校学生两个月以来的课外阅读时间，学校采用分
21、层抽样方法，从中抽取了 100 名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为 5 组：0,10),10,20),20,30),30,40),40,50，得到初中生组的频率分布直方图（图 1）和高中生组的频数分布表（表 1）表 1 高中生组 分组区间 频数 0,10 2 10,20 10 20,30 14 30,40 12 40,50 2 (1)求高中部的学生人数并估计全校学生中课外阅读时间在30,40小时内的总人数；第 13 页 共 19 页(2)从课外阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 3 人，记为 3 人中初中生的人数，求的分
22、布列和数学期望；(3)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该校高中部抽取 10 名学生进行调查，其中有 k名学生的阅读时间在30,40的概率为0,1,2,0(,1)kP k，请直接写出 k为何值时kP取得最大值（结论不要求证明）【答案】(1)高中部的学生人数为1200人，估计全校学生中课外阅读时间在30,40小时内的总人数为720人；(2)的分布列见解析，1.8E；(3)3k.【分析】（1）根据频率分布直方图和频数分布表，结合分层抽样的定义进行求解即可；（2）根据古典型概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可；（3）根据二项分布的性质进行求解即可.【详解】（1）100 名学生中高中生有2
23、 101412240人，初中生有1004060人，设高中部的学生人数为x，则有401200180060 xx，设 100 名学生中初中生在30,40小时内的人数为y，则有0.005 100.03 100.04 10100.005 10112(1004010yy），100 名学生中高中生在30,40小时内的人数为12人，因此全校学生中课外阅读时间在30,40小时内的总人数估计为：1212120018007204010040；（2）课外阅读时间不足 10 个小时的样本中，初中学生人数为0.005 10 603人，高中学生人数为2人，所以1,2,3，因此有123235CC3(1)C10P，21323
24、5CC3(2)C5P，3335C1(3)C10P，所以的分布列如下：P 1 2 3 第 14 页 共 19 页 310 35 110 的数学期望为 3311231.810510E ；（3）由（1）高中部的学生人数为1200，其中阅读时间在30,40的人数为121200=36040，所以每个人被抽到30,40内的概率为360=0.31200，因此1010C0.3(1 0.3)kkkkP，假设kP为最大项，则有10119+1101010111111010C0.3(1 0.3)C0.3(1 0.3)C0.3(1 0.3)C0.3(1 0.3)kkkkkkkkkkkkkkkkPPPP，解得：2.33.
25、3k，因为0,1,2,10k，所以当3k 时，kP有最大值.19已知函数()e,()ln()xf xax g xxax aR(1)若1a，求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；(2)求()g x的单调区间；(3)若()f x和()g x有相同的最小值，求 a的值【答案】(1)1y (2)答案见解析；(3)1a 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，分0a 和0a 两种情况讨论求解即可；（3）结合（2）得min()()lng xg aaaa，求得min()1lnf xa，进而构造函数 1ln1h xxxx，研究其零点即可得答案.【详解】（1）解：因为1a，()ee
26、xxf xaxx，所以()e1xfx，所以0(0)e10f ，0(0)e01f，第 15 页 共 19 页 所以，曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程100yx，即1y （2）解：函数()ln()g xxax aR的定义域为0,，所以，()1axag xxx，所以，当0a 时，()0g x在0,上恒成立，函数()g x在0,上单调递增，当0a 时，0,xa时，()0g x，()g x单调递减；,xa时，()0g x，()g x单调递增，综上，当0a 时，增区间为0,，无减区间；当0a 时，减区间为0,a，增区间为,a.（3）解：由（2）知，当0a 时，()g x在0,a上单调递减，(
27、)g x在,a 单调递增.所以，min()()lng xg aaaa 因为()e1xfxa，()e10 xfxa 得1lnxa，所以，当1,lnxa 时，()0fx，()f x单调递减，当1ln,xa时，()0fx，()f x单调递增，所以，1lnmin11()(ln)eln1lnaf xfaaaa，因为()f x和()g x有相同的最小值，所以1nlnlaaaa，即01ln1aaa，令 1ln1h xxxx，11ln1lnxhxxxxx，令 1lnt xxx，22111xtxxxx，所以，当0,1x时，0tx，t x单调递减，当1,x时，0tx，t x单调递增，所以 110t xt，即 1l
28、n0h xxx，所以，h x在0,上单调递增，因为 11 1 ln1 1 10h ，所以，01ln1aaa 等价于1a 20已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个顶点为(0,3)，焦距为 2(1)求椭圆 C 的方程；第 16 页 共 19 页(2)设椭圆 C 的左、右焦点分别为12,F F，P 为椭圆 C 上一动点，射线12,PF PF分别交椭圆 C于点 A，B，求证：1212PFPFAFBF为定值【答案】(1)22143xy；(2)证明过程见解析.【分析】（1）根据椭圆的顶点和焦距定义进行求解即可；（2）利用转化法，结合一元二次方程根与系数的关系，分类讨论进行求解即可.【详解】（1）
29、因为椭圆2222:1(0)xyCabab的一个顶点为(0,3)，焦距为 2，所以223,2213 12bccabc ，所以椭圆的标准方程为22143xy；（2）根据椭圆的对称性，不妨设当直线1PF不存在斜率时，且000(,)(0)P xyy，12(1,0),(1,0)FF，把=1x代入22143xy中，得32y ，所以3(1,)2P，于是3(1,)2A ，33224PBk，直线2PF的方程为3(1)4yx，则有22114333(1)24xyxyyx ，或137914xy，因此139(,)714B，所以12123102119314PBPFPFyAFBFy ；由根据椭圆的对称性，不妨设当(2,0)
30、P 时，此时 A，B 两点重合，坐标为(2,0)，所以12121310313PFPFAFBF；当直线1PF存在斜率时，且000(,)(0)P xyy 时，设 1122,A x yB x y，由题意可知：120,0yy，直线1PF的方程为：1(0)xmym，与椭圆方程联立，得第 17 页 共 19 页 2222134690431xymymyxmy，因此有10102269,3434myyy ymm，设直线2PF的方程为：1(0)xnynmn，与椭圆方程联立，得2222134690431xynynyxny，因此有20202269,3434nyyy ynn ，显然有220034690mymy，2200
31、34690nyny，当0mn时，两式相减得：02ymn，12000102121212PFPFyyy yy yAFBFyyy y，由102934y ym 和202934y yn 可知：22120122222818134344 3434mny y yy ymnmn，因此有22222221201202121299338)3434814 34344(9mnmnmPFPFy yy yAFBFy ynmnmn，因为02ymn，102634myym，所以126834mnym，因为02ymn，102934y ym，所以129342mnym，于是有2222268916912163310,342334mnmnmn
32、mnmnmnmmmn 所以有1222212164010810338)3312164()4(304010,343(34)39mnmnPFPFmnAFBFmnnmnnmmnm 当0mn时，则(0,3)P，把(0,3)P代入1(0)xmym中，得33m，即122933 33435yym 所以12000121213102233 35PFPFyyyAFBFyyy，综上所述：1212PFPFAFBF为定值103.第 18 页 共 19 页【点睛】关键点睛：把证明1212PFPFAFBF为定值转化为证明0012yyyy为定值是解题的关键.21已知项数为,3k kkN的有穷数列 na满足如下两个性质，则称数列
33、 na具有性质 P；1231kaaaa；对任意的i、1jijk，jiaa与jia a至少有一个是数列 na中的项(1)分别判断数列1、2、4、16和2、4、8、16是否具有性质P，并说明理由；(2)若数列 na具有性质P，求证：212kkkaa aa；(3)若数列 na具有性质P，且 na不是等比数列，求k的值【答案】(1)数列1、2、4、16不具有性质P，数列2、4、8、16不具有性质P，理由见解析(2)证明见解析(3)4k 【分析】（1）根据题中定义判断即可得出结论；（2）推导出11a，设2ik 且Ni，分析可知kiaa为数列 na中的项，根据不等式的性质可得出11211kkkkkkkaa
34、aaaaaaaa，可得出1kkaaa，21kkaaa，1kkaaa，利用累乘法可证得结论成立；（3）分析可知当3k 时，1a、2a、3a成等比数列；根据（1）可知4k 满足题意；讨论当5k 时，由（2）可知，101kik iaaika，当31ik 时，根据题中定义以及不等式的性质推导出1111kikiaaikaa，结合等比数列的定义可知5k 不成立，从而可得出k的值.【详解】（1）解：对于数列1、2、4、16，因为1681,2,4,162，2 16321,2,4,16，所以，数列1、2、4、16不具有性质P；对于数列2、4、8、16，当=i j时，31241234=12,4,6,8aaaaaa
35、aa，442,4,6,8a a，所以，数列2、4、8、16不具有性质P.（2）证明：因为1231kaaaa，因为kkkaa，则1kkaa为数列 na中的项，所以，11a，第 19 页 共 19 页 设2ik 且Ni，因为kika aa，则kia a不是数列 na中的项，所以，kiaa为数列 na中的项，因为11211kkkkkkkaaaaaaaaaa，所以，1kkaaa，21kkaaa，1kkaaa，上述等式全部相乘可得1212kkkkaa aaa aa，因此，212kkkaa aa.（3）解：当3k 时，由（2）可知11a，由题意可得32221aaaaa，这与数列 na是等比数列矛盾；当4k
36、 时，由（1）可知，数列1、2、4、8具有性质P；当5k 时，由（2）可知，101kik iaaika，当31ik 时，112kikkaaaaa，所以，1kiaa不是数列 na中的项，因为111212331kkkkkkkaaaaaaaaa，12321kkaaaa，所以，111kkaaa，122kkaaa，133kkaaa，所以，113kik iaaika，因为5k，所以，111kkaaa，122kkaaa，所以，111kkaaa，122kkaaa，所以，111kik iaaika，由可得1111kikiaaikaa，这与数列 na不是等比数列矛盾，不合题意.综上所述，4k.【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题的关键在于根据题中的定义结合不等式的性质进行推导，在求解第 3 问时，要充分利用题中定义结合不等式的基本性质进行推导，进而求解.