高考理科数学二轮复习讲义一第五讲导数的应用.pdf

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1、第 五 讲 导 数 的 应 用(一)考 情 分 析 明 确 方 向 V 讲 练 结 合 年 份 卷 别 考 查 角 度 及 命 题 位 置 命 题 分 析 及 学 科 素 养 2018I卷 函 数 的 奇 偶 性 应 用 及 切 线 方 程 求 法 不 5命 题 分 析(1)高 考 对 导 数 的 几 何 意 义 的 考 查，多 在 选 择、填 空 题 中 出 现，难 度 较 小，有 时 出 现 在 解 答 题 第 一 问.(2)高 考 重 点 考 查 导 数 的 应 用，即 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性、极 值、最 值 问 题，多 在 选 择、填 空 的 后 几 题 中 出

2、 现，难 度 中 等.有 时 出 现 在 解 答 题 第 一 问.学 科 素 养 导 数 的 应 用 主 要 是 通 过 利 用 导 数 研 究 单 调 性 解 决 最 值、不 等 式、函 数 零 点 等 问 题，着 重 考 查 逻 辑 推 理 与 数 学 运 算 这 两 大 核 心 素 养 与 分 析 问 题 解 决 问 题 的 能 力.n 卷 切 线 方 程 求 法 1 仃 in卷 切 线 方 程 求 法 2017I 卷 利 用 导 数 求 三 棱 锥 的 体 积 1 1卷 函 数 图 象 的 极 小 值 求 法 Tu2016I卷 利 用 导 数 研 究 函 数 的 图 象 和 性 质 利

3、 用 导 数 研 究 函 数 零 点、不 等 式 证 明 用 21H 卷 曲 线 的 切 线 方 程 利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性、证 明 不 等 式、求 函 数 的 最 值 问 题 丁 21ni卷 导 数 的 几 何 意 义、切 线 方 程 1 经 导 数 与 函 数、不 等 式 的 综 合 应 用 了 21考 点 一 导 数 的 运 算 及 几 何 意 义 授 课 提 示：对 应 学 生 用 书 第 11页 悟 通 方 法 结 论 1.导 数 的 几 何 意 义 函 数 7U)在 沏 处 的 导 数 是 曲 线 _/u)在 点 尸(即，人 冲)处 的 切 线 的 斜 率，

4、曲 线/X)在 点 p 处 的 切 线 的 斜 率 k=f(xo).相 应 的 切 线 方 程 为 y-/Uo)=/(xo(xxo).2.四 个 易 误 导 数 公 式(1)(sin x)=c o sx；(2)(cos x)=sinx；(3)()=o ln a(a0)；(4)(log-A.|n a(0,且。声 1).全 练 快 速 解 答 1.若 直 线 尸 是 曲 线 y=2 1 n x+l的 一 条 切 线，则 实 数 a 的 值 为()A.e-B.2 e-2C.eT D.2e*2解 析：依 题 意，设 直 线 y=a c与 曲 线 y=21n x+1 的 切 点 的 横 坐 标 为 沏，

5、则 有 y 伏=刈=不，于 是 有 2 i 飞=na=-|_0,又 录 a)=十 二,则/0)=T+=/+与 2,当 且 仅 当=/?时 取 等 号，所 以 切 线 斜 率 的 最 小 值 X Cl O Cl u CL为 2.答 案：2类 题 通 法,-求 曲 线 y=/(x)的 切 线 方 程 的 3 种 类 型 及 方 法(1)已 知 切 点 尸(xo,州)，求 切 线 方 程 求 出 切 线 的 斜 率/(xo),由 点 斜 式 写 出 方 程；(2)已 知 切 线 的 斜 率 比 求 切 线 方 程 设 切 点 P(xo,yo),通 过 方 程 k=/(xo)解 得 xo,再 由 点

6、斜 式 写 出 方 程；(3)已 知 切 线 上 一 点(非 切 点)，求 切 线 方 程 设 切 点 P(xo,州)，利 用 导 数 求 得 切 线 斜 率/(xo),再 由 斜 率 公 式 求 得 切 线 斜 率，列 方 程(组)解 得 X0,再 由 点 斜 式 或 两 点 式 写 出 方 程.考 点 二 讲 练 结 合 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 授 课 提 示：对 应 学 生 用 书 第 12页 悟 通 方 法 结 论 导 数 与 函 数 单 调 性 的 关 系（1（x）0是/）为 增 函 数 的 充 分 不 必 要 条 件，如 函 数 次 x）=V 在（-8,+8

7、）上 单 调 递 增，但/（x）o.（2（x）0 是 大 x）为 增 函 数 的 必 要 不 充 分 条 件，当 函 数 在 某 个 区 间 内 恒 有 f（x）=0 时,则 兀 v）为 常 数，函 数 不 具 有 单 调 性.典 例 卜（2017高 考 全 国 卷 I）（12分）已 知 函 数 叙 三 段 二 生 公.?（1）讨 论 7U）的 单 调 性；（2）若 Qx?20,求。的 取 值 范 围.?I学 审 题 条 件 信 息 想 到 方 法 注 意 什 么 信 息？：已 知 於）的 解 析 式 可 求 导 函 数/（X）（1）要 讨 论 函 数 的 单 调 性，必 须 先 求 出 函

8、数 定 义 域（2）对 于 含 参 数 的 问 题，要 根 据 不 同 情 况 对 参 数 进 行 分 类 讨 论 信 息?：人）20函 数 的 最 小 值 7U）m in20 规 范 解 答（1）函 数 式 X）的 定 义 域 为（-8,4-00）,.（1 分）f（x）=2e2vaexa2（2e+tz）（era）.若 a=0,则,/（x）=e2r在（一 8,+8）上 单 调 递 增.若 0,则 由/（x）=0,得 x=lna.当 x e（-8,m a）时，f（x）0;当 x（lna,+8）时，f（x）0.故 r）在（-8,In a）上 单 调 递 减，在（In“，+8）上 单 调 递 增.（

9、3 分）若 a 0,则 由/（x）=0,得 x=ln（一 彳）当 x G（8,In（9）时，/（x）0；当 x ln（一 额,+8）时，f（%）o；故 人 x）在（-8,ln（一 上 单 调 递 减，在+8）上 单 调 递 增.（6 分）（2）若 a=0,则 危）=/,所 以 y（x）o.（7 分）若 0,则 由（1）得，当 x=ln a 时，/（x）取 得 最 小 值，最 小 值 为 y（ln 4）=一 ln a.从 而 当 且 仅 当 一 次 m a 2 0,即 0 aWl时，“r）20.（9 分）若 0,则 由 得，当 x=ln（一 灯 时，7U）取 得 最 小 值，最 小 值 为 Xl

10、n（-2）=44-ln（-2）-从 而 当 且 仅 当/，一（一?2。，3即 一 2丐。0 时，7U）20.（11 分）综 上，a 的 取 值 范 围 是 2 e*1|.(1 2分)/类 题 通 法/-1.求 解 或 讨 论 函 数 单 调 性 有 关 问 题 的 解 题 策 略 讨 论 函 数 的 单 调 性 其 实 就 是 讨 论 不 等 式 的 解 集 的 情 况.大 多 数 情 况 下，这 类 问 题 可 以 归 结 为 一 个 含 有 参 数 的 一 元 二 次 不 等 式 的 解 集 的 讨 论：(1)在 能 够 通 过 因 式 分 解 求 出 不 等 式 对 应 方 程 的 根

11、时，依 据 根 的 大 小 进 行 分 类 讨 论.(2)在 不 能 通 过 因 式 分 解 求 出 根 的 情 况 时，根 据 不 等 式 对 应 方 程 的 判 别 式 进 行 分 类 讨 论.2.讨 论 函 数 的 单 调 性 重 点 考 查 学 科 核 心 素 养 中 的 逻 辑 推 理 与 数 学 运 算，体 现 了 分 类 讨 论 思 想 及 分 析 问 题 解 决 问 题 的 能 力.练 通 即 学 即 用 1.己 知 兀 0=/+如+31nx在(1,+8)上 是 增 函 数，则 实 数。的 取 值 范 围 为()A.(-8,-2#B.eqB(-8,坐 C.-2 6,+8)D.-

12、5,+8)3 2+ctx+3解 析：由 题 意 得，(x)=2_r+：=-2 0 在(1,+8)上 恒 成 立，g(x)=2?+a x+3 2 0在(1,+8)上 恒 成 立，-太 1,./=层 一 24W0 或 4碎?沁,l.(a 4,，-2后 0)上 的 单 调 性;1 9 1(3)证 明：当。=一 1时，对 任 意 的 Q 0,都 有 f/U)+最 最 近 成 立.解 析：由 兀 v)=x(lnxa)(x，l),得/(x)=lnxa+1,因 为 对 任 意 实 数 b,直 线)，=一 式+人 与 函 数)的 图 象 都 不 相 切，所 以，(x)=ln%-a+lW 1,即 a K ln

13、x+2.而 函 数 y=ln x+2在 1,+8)上 单 调 递 增，所 以 In x+2 2 1 n 1+2=2,故 a2.(2)当 a=l 时，Ax)=x(ln x+1),f(x)=ln x+2,由/(x)=0 得 当 0小 时,在 t,点)上,f(x)0,因 此 7U)在 t,5)上 单 调 递 减，在(2，t+e 上 单 调 递 增.当 时，在 t,t+e 上，/(x)2 0恒 成 立，所 以 兀 0在 t,t+e 上 单 调 递 增.综 上 所 述，当 0 t+时，危)在 F)上 单 调 递 减，在(,t+e 上 单 调 递 增；当 t 2 点 时，於)在 t,t+e 上 单 调 递

14、 增.r 2(3)证 明：问 题 等 价 于 证 明 当 a=时，火 幻 晟 7?一 蔡 对 任 意 的 0恒 成 立.由(2)知 当。=1时，於)=jd n x+x在(0,)上 单 调 递 减，在+8)上 单 调 递 增,所 以./U)min=A-2)=2-Y 9 1 x设 g(x)=T7+T_72(0),则 g(x)=A+i c c c所 以 g(x)在(0,1)上 单 调 递 增，在(1,+8)上 单 调 递 减，g(X)m a x=g(D=一 从 而 当=一 1时，对 任 意 的 心 0,都 有 _/u)一 F，g(x)(等 号 不 同 时 取 到)，x 2所 以 人 x)去 一 了

15、成 立，V C1 2 1即 对 任 意 的 x 0,都 有；战)+/声 7成 立.考 点 三 讲 练 结 合 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值、最 值 授 课 提 示：对 应 学 生 用 书 第 12页 悟 通 方 法 结 论 1.若 在 xo附 近 左 侧/(x)0,右 侧/(x)0,则 1 xo)为 函 数 7U)的 极 大 值；若 在 次 附 近 左 侧/(x)o,则 於 0)为 函 数 y w 的 极 小 值.2.设 函 数)，=兀 0在 口，句 上 连 续，在 伍，加 内 可 导，则 凡 r)在 伍，句 上 必 有 最 大 值 和 最 小 值 且 在 极 值 点 或 端 点

16、 处 取 得.-+aln x.典 例(2018.高 考 全 国 卷 I)(12分)已 知 函 数 人 尤)=5 讨 论 一 工)的 单 调 性(1)若/(H)存 在 两 个 极 值 点 工 厂 电(2)，证 明：f(r)f(12)9-2-、Q乙 X-X 9 学 审 题 规 范 解 答 I(l)?(x)的 定 义 域 为(0,+8),条 件 信 息 想 到 方 法 注 意 什 么 信 息？：已 知 人 X)的 解 析 式 先 求 定 义 域，再 求 导 函 数，变 形(1)易 忽 视 定 义 域 求 法 及 参 数 对 单 调 性 的 影 响.(2)与 极 值 点 有 关 的 双 变 量 不 等

17、 式 证 明，要 明 确 消 元、构 造 法 信 息？：讨 论 单 调 性 参 数 分 类 标 准 的 确 立 及 用 导 数 判 断 单 调 性 方 法 信 息？：两 极 值 点 制、X 2 极 值 点 的 定 义 及 应 用 信 息？：双 变 量 不 等 式 的 证 明 双 变 量 不 等 式 证 明，利 用 极 值 点 消 元、构 造2x-a x+1（2 分）若“W 2,则？(x)WO,当 且 仅 当 a=2,x=l 时，？(x)=0,所 以？(x)在(0,+8)上 单 调 递 减.(4分)若。2,令？(x)=0,得 a c-4.x=-2-或 x=2.当 XG(O,+8)时，？,(x)0

18、.所 以？在(0,纥 吟 三|,(乎 三，+8)上 单 调 递 减，在 尸 甲，里 雪 三)上 单 调 递 增.(6 分)(2)证 明：由(1)知，？(x)存 在 两 个 极 值 点 当 且 仅 当 2.由 于？(X)的 两 个 极 值 点 汨，&满 足 X2 一 以+1=0,所 以 即 X2=l,不 妨 设 X1VX2,则 X21.(8分).1?xi?X2?1.In xj In X 2由 于-=1-=X X 2 XX2 X X 2In xi-In X 22-rciXX22+r21n X 21，勿 门 丹 I所 以-二。一 2 等 价 于 一 X2+21nx2Vo.X X 2 X2.(10 分

19、)设 函 数 g(x)=:一 x+21n x,由(1)知，g(x)在(0,+8)上 单 调 递 减.又 g(l)=0,从 而 当 干(1,+8)时，g(x)0.所 以 一 尤 2+21(1及 0,解 得 xl,令/(x)0,解 得 一 2xl,所 以 r)在(-8,2)上 单 调 递 增，在(一 2,1)上 单 调 递 减，在(1,+8)上 单 调 递 增，所 以 当 x=l 时，r)取 得 极 小 值，且 火 x)收 小 伍=/)=一 1.答 案：A2.(2018江 西 八 校 联 考)已 知 函 数 以)=x(1n尤 一 词 有 两 个 极 值 点，则 实 数“的 取 值 范 围 是()A

20、.(一 8,0)B10,2)C.(0,1)D.(0,+8)解 析：f U)=ln x2ar+l(x0),故，(x)在(0,+8)上 有 两 个 不 同 的 零 点，.,lnx+1令/(x)=0,则 2。=,In x+1,In JC仅 g(x)=-,则 g(x)=,；.g(x)在(0,1)上 单 调 递 增，在(1,+8)上 单 调 递 减，又 当 X-0 时，g(x)f 8,当 X f+8 时，g(x)f0,而 g(X)max=g(D=l,只 需 即 答 案：B3.(2018南 昌 模 拟)设 函 数/U)=lnx2以 2(%,GR).(1)讨 论 人 x)的 单 调 性；(2)若 4 x)有

21、 最 大 值 一 In 2,求 m+n 的 最 小 值.解 析：(1)函 数./U)的 定 义 域 为(0,+8),1 1 4WJTf(x)=-4nvc=-当 zW0时，/(x)0,.式)在(0,+8)上 单 调 递 增；当?0 时，令 f(x)0 得 0 x相,令/(x)需，在(0,需)上 单 调 递 增，在 碾,+8)上 单 调 递 减.由(1)知，当，0时，小)在(0,索)上 单 调 递 增，在(需，+8)上 单 调 递 减.,nn-I,-1,1,_._/Wmax=A%)=ln 翁 一 2加 布 一=-ln 2_Rn?_=_In 2,.，.=-gin fn-2 w+n=mln.1 1,.

22、1 lx 1令 h(x)=x-n X-2(-V0),则 h(x)=1 一/=2工，/7。)在(0,3)上 单 调 递 减，在(3，+8)上 单 调 递 增,./?Wmin=/z(1)=1ln2,.m+n的 最 小 值 为 g n 2./课 后 训 练 提 升 能 力 练 技 巧：练 方 法 授 课 提 示：对 应 学 生 用 书 第 119页 一、选 择 题 1.曲 线 y=e*在 点(2,e?)处 的 切 线 与 坐 标 轴 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为()A.e2 B.2e2 C.e2 D.y解 析：由 题 意 可 得 y=ex,则 所 求 切 线 的 斜 率 4=e2,则

23、所 求 切 线 方 程 为 ye2=e2(x2).1e2即 j?=e2x-e2,/.S=20,解 得 0 x2,故 函 数 段)的 单 调 递 增 区 间 是(0,2 和(2,+).答 案：c5.函 数 於)在 定 义 域 R 内 可 导，若 於)=九 2x),且 当 工(8,1)时，(工 一(工)0,设=八 0),匕=/Q),c=A3),则“，b,c 的 大 小 关 系 为()A.abc B.cbaC.cab D.bco,所 以 函 数 八 元)在(一 8,i)上 是 单 调 递 增 函 数，所 以“=用)勺)=6,又 加)=火 2x),所 以 c=A3)=/(-l),所 以 c=y(-i)

24、/(o)=tj,所 以 cab,故 选 C.答 案：C6.已 知 函 数/OOnV+Bx29x+l,若 y(x)在 区 间 仅 2上 的 最 大 值 为 28,则 实 数 k 的 取 值 范 围 为()A.-3,+8)B.(-3,+8)C.(一 8,-3)D.(-8,-3解 析：由 题 意 知/(x)=3/+6x9,令(x)=0,解 得 x=l 或=3,所 以/(x),/x)随 x 的 变 化 情 况 如 下 表:_X(-8,-3)-3(-3,1)1(1,+又 八 3)=2 8,1)=-4,负 2)=3,兀 v)在 区 间 伙,2上 的 最 大 值 为 2 8,所 以 3.答 案：D7.已 知

25、 函 数 危 尸 争 一 年+词，若 x=2 是 函 数 段)的 唯 一 一 个 极 值 点，则 实 数%的 取 值 范 围 为()f(X)+00+於)极 大 值 极 小 值 A.(0,e B.0,eC.(一 8,e)D.0,e)._.f e-2九 e*(2 1、？J _ ex,.?x 1?eA.斛 析：/。)=?一 4 一?+力=p(x)设 g(x)=，则 g W=-p，则 g(x)在(0,1)上 单 调 递 减，在(1,+8)上 单 调 递 增.g a)在(0,+8)上 有 最 小 值，为 g(D=e,结 合 g(R)W 与 y=A的 图 象 可 知，要 满 足 题 意，只 需 ZWe.答

26、 案：A8.已 知 函 数 y(x)=ln x一 移(0)的 最 大 值 为 g()，则 使 g()一+2 0成 立 的 n 的 取 值 范 围 为(A.(0,1)B.(0,+8)c.(o,D+8)解 析：易 知 人 犬)的 定 义 域 为(0,+),f a)=：-a o,o),)当 XG(O,)时，f(%)0:当+8)时，f(x)o,所 以 八 X)在(0,力 上 单 调 递 增，在&,+8)上 单 调 递 减,所 以 兀 r)的 最 大 值 g()=0=In n 1.设()=g()-H+2=-I n 一+1.因 为/?()=：1 0,所 以/?()在(0,+8)上 单 调 递 减.又 为

27、1)=0,所 以 当 0“人(1)=0,故 使 g()一+2 0成 立 的”的 取 值 范 围 为(0,1),故 选 A.答 案：A二、填 空 题 9.(2018 高 考 全 国 卷 II)曲 线 y=21n(x+1)在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为.2解 析：y=21n(x+l),=#y.令 x=0,得 y=2,由 切 线 的 几 何 意 义 得 切 线 斜 率 为 2,又 切 线 过 点(0,0),切 线 方 程 为 y=2x.答 案：y-2x10.(2016高 考 全 国 卷 川)已 知 4 x)为 偶 函 数，当 xWO时，/)=e r-i x,则 曲 线 丫=危)在 点(1

28、,2)处 的 切 线 方 程 是.解 析：设 x 0,则 一 x0 时，/(x)=ex-+l,：.f(l)=e1-,+l=H-l=2.曲 线 y=/(x)在 点(1,2)处 的 切 线 方 程 为 y-2=2(xl),即 2 x-y=0.答 案：2xy=011.(2018汰 原 二 模)若 函 数 加 尸 sin x+o r为 R 上 的 减 函 数，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是.解 析：(x)=c o s x+a,由 题 意 可 知，/(x)W 0对 任 意 的 x E R 都 成 立，1,故 实 数 a 的 取 值 范 围 是(一 8,1,答 案：(一 8,-1|12.(2018

29、 新 乡 一 模)设 X”及 是 函 数 的 两 个 极 值 点，若 汨 2令 2,则 实 数“的 取 值 范 围 是.解 析：由 题 意 得 了(x)=3f-4办+“2的 两 个 零 点 为，2满 足 XI22,所 以/(2)=12 8a+a20,解 得 2ao,y(x)为(-8,+8)上 的 增 函 数，所 以 函 数 人 x)无 极 值.当 tf0 时，令，(x)=0,得 e，=，即 x=lna.%(-,In a)时，/(x)0,所 以 y(x)在(-8,Ina)上 单 调 递 减，在(Ina,+8)上 单 调 递 增，故 式 x)在 x=lna处 取 得 极 小 值,且 极 小 值 为

30、 川 n a)=1n a,无 极 大 值.综 上，当 a W O 时，函 数,/(X)无 极 值；当 0时，在 x=ln a 处 取 得 极 小 值 In a,无 极 大 值.14.(2018 福 州 质 检)已 知 函 数 火 x)=Hnx+/ar(aeR).(1)若 x=3 是./(x)的 极 值 点，求,为 0的 单 调 区 间；(2)求 ga)=/(x)2r在 区 间 1,e 上 的 最 小 值 h(a).解 析：的 定 义 域 为(0,+8),2)r ax+ax因 为 x=3 是 犬 x)的 极 值 点，183a+a 2所 以，(3)=0=0,解 得 a=9,所 以/(x)=2?-9

31、x+9?2x-3?x-3?x X3.所 以 当 或 第 3时，f(x)0;3当 a3 时，/(x)0.所 以 於)的 单 调 递 增 区 间 为(0,|),(2)g(x)=ln 工+x2-ax-2%,(3,+8),单 调 递 减 区 间 为(I，3).则 g(x)=2far+a?2x-a?x 1?-：-2=-：-,X X令 g a)=o,得 或 x=i.当 匆 1,即 时，式)在 1,e 上 为 增 函 数，人(a)min=g(l)=-4-1；当 即 2v v2e时，g(x)在 1,上 为 减 函 数，在 g,e 上 为 增 函 数,(a)min=g(3=Hn 就-a;当 即 2 2 e 时，g(x)在 1,e 上 为 减 函 数，力 3)min=g(e)=(l e)+e2-2e.a 1,a2,an a2a,2t72e,?1e?tz+e22e,22e.