《第七章线性变换总结篇高等代数研究生考试考研数学_研究生考试-考研数学.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七章线性变换总结篇高等代数研究生考试考研数学_研究生考试-考研数学.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第七章线性变换总结篇(高等代数)1/13 第 7章 线性变换 7.1 知识点归纳与要点解析 一线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义 数域P上的线性空间V的一个变换称为线性变换，如果对V中任意的元素,和数域P中的任意数k，都有：，kk。注：V的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。2.线性变换的判别 设为数域P上线性空间V的一个变换，那么：为V的线性变换 klkl,V,k,lP 3.线性变换的性质 设V是 数 域P上 的 线 性 空 间，为V的 线 性 变 换，12s,V。性质 1.00,;性质2.若12s,线性相关，那么12s,也线性相关。性质 3.设线性变换为单射，如果12s,线
2、性无关，那么12s,也线性无关。注：设V是数域P上的线性空间，12,m，12,s是V中的两个向量组，如果：第七章线性变换总结篇(高等代数)2/13 111 11221221 122221 122ssssmmmmssccccccccc 记：1121112222121212,mmmsssmsccccccccc 于是，若dim Vn，12,n 是V的一组基，是V的线性变换，12,m 是V中任意一组向量，如果：11111221221122221122nnnnmmmmnnbbbbbbbbb 记：1212,mm 那么：1121112222121212,mmmnnnmnbbcbbcbbc 设11211122
3、2212mmnnmnbbcbbcBbbc，12,m是矩阵B的列向量组，如果12,riii 是12,m的 一 个 极 大 线 性 无 关 组，那 么 12,riii 就是 12,m 的一个极大线性无关组，因此向量组 12,m 的秩等于秩B。组建工程管理机构进行管理对重大建设工程则从与该建设工程相关单位抽调人员组建工程建设指挥部进行管理建设工程监理试点阶段在历时年的试点阶段主要任务就是探索建设工程监理路子积累经验建设工程监理稳步发展阶段成立试点等建设工程监理全面发展阶段确立了建设工程监理在工程建设活动中的法律地位明确规定国家推行建设工程监理制度制定了建设工程监理规范按投资来源可分政府投资项目企业投
4、资项目利用外资项目及其他投资项目按建设性质础设施项目和社会公益项目等建设工程一般分单项工程单位工程分部工程和分项工程单项工程是指具有独立的设计文件建成后能够独立发挥生产能力并获得效益的一组配套齐全的建设工程单位工程是指具有独立的设计文件独立的施第七章线性变换总结篇(高等代数)3/13 4.线性变换举例（1）设V是数域P上的任一线性空间。零变换：00,V ；恒等变换：,V 。幂零线性变换：设是数域P上的线性空间V的线性变换，如果存在正整数m，使得m0，就称为幂零变换。幂等变换：设是数域P上的线性空间V的线性变换，如果2，就称为幂等 变换。（2）nVP,任意取定数域P上的一个n级方阵A，令：111
5、222nnnnxxxxxxA,Pxxx 。（3）VP x，D f xfx,f xP x。（4）n nVP，ijAa是V中一固定矩阵，n nXAX,XP。二线性变换的运算、矩阵 1.加法、乘法、数量乘法（1）定义：设V是数域P上的线性空间，,是V的两个线性变换，定义它们的和、乘积分别为：对任意的V ，任取kP，定义数量乘积k为：对任意的V kk 组建工程管理机构进行管理对重大建设工程则从与该建设工程相关单位抽调人员组建工程建设指挥部进行管理建设工程监理试点阶段在历时年的试点阶段主要任务就是探索建设工程监理路子积累经验建设工程监理稳步发展阶段成立试点等建设工程监理全面发展阶段确立了建设工程监理在工
6、程建设活动中的法律地位明确规定国家推行建设工程监理制度制定了建设工程监理规范按投资来源可分政府投资项目企业投资项目利用外资项目及其他投资项目按建设性质础设施项目和社会公益项目等建设工程一般分单项工程单位工程分部工程和分项工程单项工程是指具有独立的设计文件建成后能够独立发挥生产能力并获得效益的一组配套齐全的建设工程单位工程是指具有独立的设计文件独立的施第七章线性变换总结篇(高等代数)4/13 的负变换-为：对任意的V -=-则、k与-都是V的线性变换。（2）L V=为V的线性变换，按线性变换的加法和数乘运算做成数域P上的维线性空间。2.线性变换的矩阵（1）定义：设V是数域P上的n维线性空间，是V
7、的线性变换，12,n 是V的一组基，如果：11111221221122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa 那么称矩阵112111222212nnnnnnaaaaaaAaaa为线性变换在基12,n 下的矩阵。此时：121212,nnnA （2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换与线性变换多项式的矩阵：设12,n 是数域P上的n维线性空间V的一组基，,L V，设 它们在12,n 下的矩阵分别为A,B。1）:n nfL VP，A 是数域P上的线性空间L V到数域P上组建工程管理机构进行管理对重大建设工程则从与该建设工程相关单位抽调人员组建工程建设指挥部进行管理建设工程监理试
8、点阶段在历时年的试点阶段主要任务就是探索建设工程监理路子积累经验建设工程监理稳步发展阶段成立试点等建设工程监理全面发展阶段确立了建设工程监理在工程建设活动中的法律地位明确规定国家推行建设工程监理制度制定了建设工程监理规范按投资来源可分政府投资项目企业投资项目利用外资项目及其他投资项目按建设性质础设施项目和社会公益项目等建设工程一般分单项工程单位工程分部工程和分项工程单项工程是指具有独立的设计文件建成后能够独立发挥生产能力并获得效益的一组配套齐全的建设工程单位工程是指具有独立的设计文件独立的施第七章线性变换总结篇(高等代数)5/13 的线性空间n nP的同构映射，因此n nL VP。2）可逆A可
9、逆 3）、与-在基12,n 下的矩阵分别为AB,AB与A；任取kP，k在基12,n 下的矩阵为kA；若为可逆线性变换，则1在基12,n 下的矩阵为1A；设 1110mmmmf xa xaxa xa 为数域P上的任一多项式，那么1110mmmmfaaaa（为V的恒等变换）在基12,n 下的矩阵为：1110mmmmnfAa AaAa A a E。三特征值、特征向量与对角矩阵 1.矩阵的特征值与特征向量（1）矩阵的特征多项式：设A为n级复方阵，将多项式AnfEA称为A的特征多项式。注：1）若ijnnAa，则：1112211 nnnAnnnfEAaaaA 11 tr1 nnnAA 2)将nEA称为矩阵
10、A的特征矩阵，0 nEA称为矩阵A的特征方程。（2）定义：n级方阵A的特征多项式AnfEA在复数域上的所有根都叫做其特征值（根），设0C是A的特征值，齐次线性方程组0nEA X的每个非零解都叫做矩阵A的属于其特征组建工程管理机构进行管理对重大建设工程则从与该建设工程相关单位抽调人员组建工程建设指挥部进行管理建设工程监理试点阶段在历时年的试点阶段主要任务就是探索建设工程监理路子积累经验建设工程监理稳步发展阶段成立试点等建设工程监理全面发展阶段确立了建设工程监理在工程建设活动中的法律地位明确规定国家推行建设工程监理制度制定了建设工程监理规范按投资来源可分政府投资项目企业投资项目利用外资项目及其他投
11、资项目按建设性质础设施项目和社会公益项目等建设工程一般分单项工程单位工程分部工程和分项工程单项工程是指具有独立的设计文件建成后能够独立发挥生产能力并获得效益的一组配套齐全的建设工程单位工程是指具有独立的设计文件独立的施第七章线性变换总结篇(高等代数)6/13 值0的特征向量。（3）求法：1）求AnfEA在复数域上的所有根12n,（重根按重数计算）；2）对1kk,n解齐次线性方程组0knEA X，得其一个基础解系12,kkkk l（kln秩knEA），则矩阵A的属于特征值k的全部特征向量为1122,kkkkkkk lk lsss，其中12,kkkk lsss为不全为零的任意常数（复数）。（4）重
12、要结论：1）设0C是A的特征值，0X是A的属于其特征值0的特征向量，g x为一复系数多项式。0g为g A的特征值，0X为g A的属于特征值0g的特征向量；如果A还是可逆矩阵，那么01与0A分别为1A和A的特征值，0X为1A的属于特征值01的特征向量，0X为A的属于特征值0A的特征向量，若12n,是矩阵A的全部特征值，那么12ng,g,g就是g A的全部特征值，如果A还是可逆矩阵，则12111 n,为1A的全部特征值，12 nAAA,为A的全部特征值；组建工程管理机构进行管理对重大建设工程则从与该建设工程相关单位抽调人员组建工程建设指挥部进行管理建设工程监理试点阶段在历时年的试点阶段主要任务就是
13、探索建设工程监理路子积累经验建设工程监理稳步发展阶段成立试点等建设工程监理全面发展阶段确立了建设工程监理在工程建设活动中的法律地位明确规定国家推行建设工程监理制度制定了建设工程监理规范按投资来源可分政府投资项目企业投资项目利用外资项目及其他投资项目按建设性质础设施项目和社会公益项目等建设工程一般分单项工程单位工程分部工程和分项工程单项工程是指具有独立的设计文件建成后能够独立发挥生产能力并获得效益的一组配套齐全的建设工程单位工程是指具有独立的设计文件独立的施第七章线性变换总结篇(高等代数)7/13 2）若12n,是矩阵A的全部特征值，那么12tr nA，12 nA。2.线性变换的特征值与特征向量
14、（1）定义：设是数域P上的线性空间V的线性变换，0P，若存在0 V，使得0，就称0为的一个特征值，为的一个属于特征值0的特征向量。（2）线性变换的特征多项式 设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，任取V的一组基12,n，设 在该基下的矩阵为A，称矩阵为A的特征多项式nEA为的特征多项式，记为nfEA，即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。（3）求法：设是数域P上的n维线性空间V的线性变换。1）取定V的一组基12,n，求出在该基下的矩阵A；2）求nfEA在P中的所有根12m,（0 mn，重根按重数计算，且0m表示无特征值）。3）若0m，对1kt,s解齐次线性方程组0knEA X
15、，得其一个基础解系12,kkkk l（kln秩knEA），则线性变换的 属 于 特 征 值k的 全 部 特 征 向 量 为121122,kknkkkkk lk lsss，其中12,kkkk lsss为P中不全为零的任意常数。3.矩阵相似（1）定义：设A,B是数域P上的两个n级方阵，如果存在数域P上的组建工程管理机构进行管理对重大建设工程则从与该建设工程相关单位抽调人员组建工程建设指挥部进行管理建设工程监理试点阶段在历时年的试点阶段主要任务就是探索建设工程监理路子积累经验建设工程监理稳步发展阶段成立试点等建设工程监理全面发展阶段确立了建设工程监理在工程建设活动中的法律地位明确规定国家推行建设工程
16、监理制度制定了建设工程监理规范按投资来源可分政府投资项目企业投资项目利用外资项目及其他投资项目按建设性质础设施项目和社会公益项目等建设工程一般分单项工程单位工程分部工程和分项工程单项工程是指具有独立的设计文件建成后能够独立发挥生产能力并获得效益的一组配套齐全的建设工程单位工程是指具有独立的设计文件独立的施第七章线性变换总结篇(高等代数)8/13 n级可逆矩阵T，使得1TATB，就称矩阵A相似于矩阵B，记为AB。（2）性质：1）矩阵相似是等价关系，即：设A,B,C都是n级方阵，那么：AA；若AB，那么BA；若AB且BC，则AC。2）若AB，那么 AnBnfEAfEB，因此矩阵A与矩阵B 有相同的
17、特征值，相同的迹（trtrAB），相同的行列式（AB）。3）两个实对称阵相似它们有相同的特征值。（3）有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。（4）若1TATB，那么1 kkBTA T,kZ。4.线性变换与矩阵可对角化（1）矩阵可对角化 1）设A是n级方阵，如果存在n级可逆矩阵T，使得1TAT为对角阵，则称A可对角化。2）n级方阵A可对角化A有n个线性无关特征向量。3）如果n级方阵A有n个不同的特征值，则A可对角化。4）设12k,是n级方阵A的所有不同的特征值，1212 klllAnkfEA 称1 2il i,k为i的代数重数；称 isn秩1 2inEA i,k为i的几何重数；组
18、建工程管理机构进行管理对重大建设工程则从与该建设工程相关单位抽调人员组建工程建设指挥部进行管理建设工程监理试点阶段在历时年的试点阶段主要任务就是探索建设工程监理路子积累经验建设工程监理稳步发展阶段成立试点等建设工程监理全面发展阶段确立了建设工程监理在工程建设活动中的法律地位明确规定国家推行建设工程监理制度制定了建设工程监理规范按投资来源可分政府投资项目企业投资项目利用外资项目及其他投资项目按建设性质础设施项目和社会公益项目等建设工程一般分单项工程单位工程分部工程和分项工程单项工程是指具有独立的设计文件建成后能够独立发挥生产能力并获得效益的一组配套齐全的建设工程单位工程是指具有独立的设计文件独立
19、的施第七章线性变换总结篇(高等代数)9/13 1 2iisl i,k；n级方阵A可对角化对1 2i,k都有i的代数重数=i的几何重数。注：1.设齐次线性方程组0inEA X的解空间为iW，则dimiisW 2.称 iniVCA为n级方阵A的属于特征值i的特征子空间，那么dimiisV（2）线性变换可对角化 1）设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果存在V的一组基，使得 在该基下的矩阵为对角阵，就称可对角化。2）数域P上的n维线性空间V的线性变换可对角化有n个线性无关特征向量。3）设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果有n个不同的特征值，则可对角化。4）设是数域P上的n维线性空间V的
20、线性变换，在V的一组基下的矩阵为A，设12k,是n级方阵A的所有不同的特征值。若12k,P，那么：可对角化对1 2i,k都有i的代数重数=i的几何重数。若12k,不全在数域P中，则不可对角化。注：i的几何重数=dimiV，其中iiVV为的属于特征值i 的特征子空间。组建工程管理机构进行管理对重大建设工程则从与该建设工程相关单位抽调人员组建工程建设指挥部进行管理建设工程监理试点阶段在历时年的试点阶段主要任务就是探索建设工程监理路子积累经验建设工程监理稳步发展阶段成立试点等建设工程监理全面发展阶段确立了建设工程监理在工程建设活动中的法律地位明确规定国家推行建设工程监理制度制定了建设工程监理规范按投
21、资来源可分政府投资项目企业投资项目利用外资项目及其他投资项目按建设性质础设施项目和社会公益项目等建设工程一般分单项工程单位工程分部工程和分项工程单项工程是指具有独立的设计文件建成后能够独立发挥生产能力并获得效益的一组配套齐全的建设工程单位工程是指具有独立的设计文件独立的施第七章线性变换总结篇(高等代数)10/13 四线性变换的值域与核 1.定 义：设是 数 域P上 的 线 性 空 间V的 线 性 变 换，将 100V，VV 分别称为线性变换的核与值域（10与V也分别记为ker与Im）。2.线性变换的秩与零度：V与 10都是V的子空间，将 dimV 与 1dim0分别称为的秩和零度。3.有限维线
22、性空间的线性变换的值域与核 设V是数域P上的n维线性空间，是V的线性变换，12,n 为V的一组基，在该基下的矩阵为A，r秩A，1122nnaaaV。1）1210naaa 是齐次线性方程组0AX的解。2）若12,n r是0AX的一个基础解系，那么12,n r（其中12,1,2,knkknr）就是 10的一组基，于是：1dim0nr 1121 122120n rn rn rn rL,kkkk,k,kP 因此的秩和零度为nr。3）12nVL,于是12 n,的一个极大线性无关组就是V的一组基，而12 n,的秩等于秩A=r，所以 dimVr，即的秩为 组建工程管理机构进行管理对重大建设工程则从与该建设工
23、程相关单位抽调人员组建工程建设指挥部进行管理建设工程监理试点阶段在历时年的试点阶段主要任务就是探索建设工程监理路子积累经验建设工程监理稳步发展阶段成立试点等建设工程监理全面发展阶段确立了建设工程监理在工程建设活动中的法律地位明确规定国家推行建设工程监理制度制定了建设工程监理规范按投资来源可分政府投资项目企业投资项目利用外资项目及其他投资项目按建设性质础设施项目和社会公益项目等建设工程一般分单项工程单位工程分部工程和分项工程单项工程是指具有独立的设计文件建成后能够独立发挥生产能力并获得效益的一组配套齐全的建设工程单位工程是指具有独立的设计文件独立的施第七章线性变换总结篇(高等代数)11/13 秩
24、A=r。4）1dimdim0Vn。3.求法：设V是数域P上的n维线性空间，是V的线性变换。1）10的求法：取定V的一组基12,n，求出在该基下的矩阵A；解齐次线性方程组0AX，得其一个基础解系12,n r（r秩A）；令12,1,2,knkknr，得 10的一组基 12,n r，1121 122120n rn rn rn rL,kkkk,k,kP 2）V的求法：取定V的一组基12,n，求出在该基下的矩阵A；设矩阵A的列向量组为12,n，求出12,n的一个极大线性无关组12,riii 就得到12 n,的一个极大线性无关组 12 riii,，12 riii,就是V的一组基。12riiiVL,1122
25、12 rrriiiiiiiiillll,l,lP 五不变子空间 1.定义：设是数域P上的线性空间V的线性变换，W是V的子空间，如果对 W，都有 W（即WW），就称W是的不变组建工程管理机构进行管理对重大建设工程则从与该建设工程相关单位抽调人员组建工程建设指挥部进行管理建设工程监理试点阶段在历时年的试点阶段主要任务就是探索建设工程监理路子积累经验建设工程监理稳步发展阶段成立试点等建设工程监理全面发展阶段确立了建设工程监理在工程建设活动中的法律地位明确规定国家推行建设工程监理制度制定了建设工程监理规范按投资来源可分政府投资项目企业投资项目利用外资项目及其他投资项目按建设性质础设施项目和社会公益项目
26、等建设工程一般分单项工程单位工程分部工程和分项工程单项工程是指具有独立的设计文件建成后能够独立发挥生产能力并获得效益的一组配套齐全的建设工程单位工程是指具有独立的设计文件独立的施第七章线性变换总结篇(高等代数)12/13 子空间，也称-子空间。2.设V是数域P上的线性空间，那么 0与V都是V的任一线性变换的不变子空间。3.设是数域P上的线性空间V的线性变换，是的任意一个特征值，那么的特征子空间VV都是的不变子空间。4.线性变换的循环子空间：设是数域P上的0n 维线性空间V的线性变换，任取0V，必存在正整数m，使得1m,线性无关，而m,线性相关，令1mWL,，则W是的不变子空间，称W为的循环子空
27、间。5.设V是数域P上的n维线性空间，是V的线性变换，W是的不变子空间，0dim Wmn，取W的一组基12,m，将其扩充为V的一组基121,mmn，那么在该基下的矩阵为1230AAA，其中1A为W在W的基12,m下的矩阵。六若尔当(Jordan)标准形 1.若尔当块与若尔当形矩阵：1）若尔当块：形式为 0000100000100001t tJ,t 组建工程管理机构进行管理对重大建设工程则从与该建设工程相关单位抽调人员组建工程建设指挥部进行管理建设工程监理试点阶段在历时年的试点阶段主要任务就是探索建设工程监理路子积累经验建设工程监理稳步发展阶段成立试点等建设工程监理全面发展阶段确立了建设工程监理
28、在工程建设活动中的法律地位明确规定国家推行建设工程监理制度制定了建设工程监理规范按投资来源可分政府投资项目企业投资项目利用外资项目及其他投资项目按建设性质础设施项目和社会公益项目等建设工程一般分单项工程单位工程分部工程和分项工程单项工程是指具有独立的设计文件建成后能够独立发挥生产能力并获得效益的一组配套齐全的建设工程单位工程是指具有独立的设计文件独立的施第七章线性变换总结篇(高等代数)13/13 的矩阵称为若尔当块，其中为复数。2）若尔当形矩阵：由若干个若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵，其一般形状如：12sAAA 其中：111iiiiiiikkA，且12s,中有些可以相等。2.复数域上有
29、限维线性空间上的线性变换与复方阵 1）设是复数域C上的0n 维线性空间V的任意一个线性变换，那么必存在V的一组基，使得在该基下的矩阵为若尔当形矩阵。2）每个n级复矩阵都与一个若尔当形矩阵形矩阵相似。3.设是复数域上的0n 维线性空间V的线性变换，那么幂零的特征值都为零。组建工程管理机构进行管理对重大建设工程则从与该建设工程相关单位抽调人员组建工程建设指挥部进行管理建设工程监理试点阶段在历时年的试点阶段主要任务就是探索建设工程监理路子积累经验建设工程监理稳步发展阶段成立试点等建设工程监理全面发展阶段确立了建设工程监理在工程建设活动中的法律地位明确规定国家推行建设工程监理制度制定了建设工程监理规范按投资来源可分政府投资项目企业投资项目利用外资项目及其他投资项目按建设性质础设施项目和社会公益项目等建设工程一般分单项工程单位工程分部工程和分项工程单项工程是指具有独立的设计文件建成后能够独立发挥生产能力并获得效益的一组配套齐全的建设工程单位工程是指具有独立的设计文件独立的施