八年级数学上册勾股定理的逆定理培优题.pdf

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1、2021-2022学 年 八 年 级 数 学 上 册 尖 子 生 同 步 培 优 题 典【沪 教 版】专 题 19.10勾 股 定 理 的 逆 定 理 姓 名：班 级：得 分：注 意 事 项：本 试 卷 满 分 100分，试 题 共 24题，选 择 10道、填 空 8 道、解 答 6 道.答 卷 前，考 生 务 必 用 0.5毫 米 黑 色 签 字 笔 将 自 己 的 姓 名、班 级 等 信 息 填 写 在 试 卷 规 定 的 位 置.一、选 择 题（本 大 题 共 10小 题，每 小 题 3 分，共 30分）在 每 小 题 所 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题

2、目 要 求 的.1.（2020秋 上 海 期 末）在 a A B C 中，N A、N B、N C 的 对 应 边 分 别 是 6、c,下 列 条 件 中 不 能 说 明 AABC是 直 角 三 角 形 的 是（）A.b2=a2-?B.N C=N A+N BC.N A：ZB：ZC=3：4：5 D.a：b：c=5：12：13【分 析】利 用 宜 角 三 角 形 的 定 义 和 勾 股 定 理 的 逆 定 理 逐 项 判 断 即 可.【解 析】A、廿=2-，2,即 2=必+2,符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理，能 够 判 定 A8C为 直 角 三 角 形，不 符 合 题 意；B、N C=N A

3、+N B,此 时 N C 是 直 角，能 够 判 定 AABC 是 直 角 三 角 形，不 符 合 题 意；C、Z A：ZB：ZC=3：4：5,那 么 N4=45、N8=60、NC=75,A8C 不 是 直 角 三 角 形，符 合 题 意；。、132=52+122,符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理，能 够 判 定 A8C为 直 角 三 角 形，不 符 合 题 意.故 选：C.2.（2020秋 上 海 期 末）在 ABC中，AC=6,8c=8,48=10,平 分/8AC 交 B C 于 点。，那 么 点。到 A 8 的 距 离 是（）7A.4.8 B.4 C.3 D.-4【分 析】过 点

4、D 作 DE AB于 E,根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 得 出 AABC 是 直 角 三 角 形，根 据 角 平 分 线 上 的 点 到 角 的 两 边 距 离 相 等 可 得 CD=CE,再 利 用“HL”证 明 RtZVlC。和 RtZAED全 等，根 据 全 等 三 角 形 对 应 边 相 等 可 得 AE=AC,再 利 用 勾 股 定 理 列 式 求 出 48,然 后 求 出 BE,设 CD=OE=x,表 示 出 BQ,然 后 利 用 勾 股 定 理 列 出 方 程 求 解 即 可.解 析】如 图，过 点。作 DE AB于 E,在 ABC 中，AC=6,BC=8,A8=10,

5、/.62+82=102,.ABC是 直 角 三 角 形，ZC=90,平 分 N8AC,：.CD=ED,在 RtAACD 和 RtAAED 中,(AD=ADLCD=E D.RtAACDRtAA(HL),.E=AC=6,：.BE=AB-AE=O-6=4,设 C D=D E=x,则 BD=8-x,在 RtZ8DE 中，D*+BU=BD2,/+42=(8-x)2,解 得 x=3.故。E 的 长 为 3.故 选：C.3.（2020秋 浦 东 新 区 期 末）三 角 形 三 边 长 分 别 为 3,4,5 5,12,13 17,8,15 I,3,22.其 中 直 角 三 角 形 有（）A.1个 B.2 个

6、 C.3 个 D.4 个【分 析】由 勾 股 定 理 的 逆 定 理，只 要 验 证 两 小 边 的 平 方 和 等 于 最 长 边 的 平 方 即 可.【解 析】32+42=52,符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理，能 构 成 直 角 三 角 形；52+122=132,符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理，能 构 成 直 角 三 角 形；82+152=*2,符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理，能 构 成 直 角 三 角 形：+（2位 2=32,符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理，能 构 成 宜 角 三 角 形.故 选：D.4.（2019秋 浦 东 新 区 期 末）下 列 各 组

7、 数 据 是 线 段 长，其 中 不 能 作 为 直 角 三 角 形 的 三 边 长 的 是（)A.1,1,V2 B.1,V3 C.1,V3,2 D.V3,V5【分 析】根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理：如 果 三 角 形 有 两 边 的 平 方 和 等 于 第 三 边 的 平 方，那 么 这 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形.如 果 没 有 这 种 关 系，这 个 就 不 是 直 角 三 角 形.【解 析】A、正+12=（V2）2,符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理，故 能 作 为 直 角 三 角 形 的 三 边 长；B.12+（V2）2=3）2,符 合 勾 股 定 理 的

8、逆 定 理，故 能 作 为 直 角 三 角 形 的 三 边 长；C、仔+（遮）2=22,符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理，故 能 作 为 直 角 三 角 形 的 三 边 长；3、（V3）2+（V4）2片（V5）2,不 符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理，故 不 能 作 为 直 角 三 角 形 的 三 边 长.故 选：D.5.（2021春 蜀 山 区 校 级 期 中）下 列 条 件 中，不 能 判 定 AABC 为 直 角 三 角 形 的 是（）A.a：bx c=5：12：13B.NA：Z B：ZC=2：3：5C.a=9k,b=40k,c=4ik（左 0）D.a=32f fe=42,c

9、=52【分 析】利 用 直 角 三 角 形 的 定 义 和 勾 股 定 理 的 逆 定 理 逐 项 判 断 即 可.【解 析】A、因 为 a：b：c=5：12：13,设 a=5x,b=12x,c=13x,（5x）2+（12A-）（13x）2,故 448c是 直 角 三 角 形；B、Z A：Z B：Z C=2：3：5,且 NA+NB+NC=180,所 以 NC=180 x|=90,故 4ABC是 直 角 三 角 形；C、因 为（9k）2=（41&）2-（40%）2,故 ABC是 直 角 三 角 形；D、因 为（32）2=（52）2 一（42）2,故 ABC不 是 直 角 三 角 形.故 选：D.

10、6.（2021春 庐 阳 区 校 级 期 中）ABC的 三 边 为“，江 c且（”+b）（a-b）=/,则 该 三 角 形 是（）A.锐 角 三 角 形 B.以 c为 斜 边 的 直 角 三 角 形 C.以 为 斜 边 的 直 角 三 角 形 D.以“为 斜 边 的 直 角 三 角 形【分 析】由 题 意 可 知：）+廿=2,此 三 角 形 三 边 关 系 符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理.【解 析】由 题 意，a2-b2=c2,.b2+c2=（r,此 三 角 形 三 边 关 系 符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理，所 以 此 三 角 形 是 以。为 斜 边 的 直 角 三 角 形.

11、故 选：D.7.(2021春 路 南 区 校 级 月 考)已 知 a,6,c 分 别 为 a A B C 的 三 边 长，则 符 合 下 列 条 件 的 ABC中，直 角 三 角 形 有()1 1 1(1)b=j c=(2)“2=(b+c)(6-c)；(3)ZA：Z B：N C=3：4：5；(4)a=7,b=24,c25；(5)a=2,匕=2,c=4.A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个【分 析】根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 以 及 三 角 形 的 内 角 和 定 理 进 行 逐 项 分 析 解 答 即 可.【解 析】由 a 1 b=1,c=颉 得，力 庐 小，故 4BC不

12、 是 直 角 三 角 形；(2)由“2=(b+c)(b-c)可 得，a2+c2=b2,故 ABC 是 直 角 三 角 形；(3)由 N A：Z B：ZC=3：4：5 可 得，Z C=180 X w=75 Vl2+22=(V5)2,.a2+bz=c2-,.ABC是 直 角 三 角 形，三 角 形 的 面 积 为：|xlX2=b故 选：B.9.（2020秋 会 宁 县 期 末）满 足 下 列 条 件 的 ABC,不 是 直 角 三 角 形 的 是（）A.f B.a：b：c=5：12：13C.Z A：N B：N C=3：4：5 D./C=N A-N B【分 析】根 据 三 角 形 的 内 角 和 定

13、 理 和 勾 股 定 理 逆 定 理 对 各 选 项 分 析 判 断 利 用 排 除 法 求 解.【解 析】A、由 廿 2=。2,可 得：廿=，2+”2,是 直 角 三 角 形，故 本 选 项 错 误；B、由 a：b：c=5：12：13,可 得（5x）2+（12x）2=（13x）2,是 直 角 三 角 形，故 本 选 项 错 误；C、由 N A：Z B：Z C=3：4：5,可 得：NC=75,不 是 直 角 三 角 形，故 选 项 正 确；D、由 N C=N A-N 2,可 得/A=90,是 直 角 三 角 形，故 本 选 项 错 误；故 选：C.10.（2021春 武 昌 区 期 中）在 学

14、 习“勾 股 数”的 知 识 时，爱 动 脑 的 小 明 发 现 了 一 组 有 规 律 的 勾 股 数，并 将 它 们 记 录 在 如 下 的 表 格 中.则 当”=2 4 时，H e 的 值 为（）a 6 8 10 12 14 b 8 15 24 35 48 c 10 17 26 37 50A.250 B.288 C.300 D.574【分 析】先 根 据 表 中 的 数 据 得 出 规 律，根 据 规 律 求 出 6、。的 值，再 求 出 答 案 即 可.【解 析】从 表 中 可 知：。依 次 为 6,8,10,12.14,16,18,20,22,24,，即 24=2X（10+2）,人

15、依 次 为 8,15,24,35,48,；即 当。=24 时,Z=122-1=143,c 依 次 为 为,17,26,37,50,?即 当 a=24 时,c=122+l=145,所 以 当”=24 时，b+c=143+145=288,故 选：B.二.填 空 题（共 8 小 题）11.（2019秋 兰 考 县 期 末）有 一 个 三 角 形 的 两 边 长 是 4 和 5,要 使 这 个 三 角 形 成 为 直 角 三 角 形，则 第 三 边 长 为 3 或 W T.【分 析】因 为 没 有 指 明 哪 个 是 斜 边，所 以 分 两 种 情 况 进 行 分 析.【解 析】当 第 三 边 为 斜

16、 边 时，第 三 边=T F=V41；当 边 长 为 5 的 边 为 斜 边 时，第 三 边=府 二 不=3.12.（2018秋 奉 贤 区 期 末）如 果 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 1,2,再，那 么 这 个 三 角 形 最 大 边 上 的 中 线 长 是 1.【分 析】首 先 根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 可 判 定 此 三 角 形 是 直 角 三 角 形，则 最 大 边 上 的 中 线 即 为 斜 边 上 的 中 线，然 后 根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半，从 而 得 出 结 果.【解 析】v 12+（V 3）2=4

17、=2 2,三 边 长 分 别 为 1,2,旧 的.角 形 是 直 角 三 角 形，最 大 边 是 斜 边 为 2.二 最 大 边 上 的 中 线 长 为 1.故 答 案 为：1.13.（2020 秋 温 江 区 校 级 月 考）如 图，四 边 形 ABC。中，Z C=9 0,4 0=1 3,AB=2V14,BC=9,DC=1 2,则 四 边 形 ABCD的 面 积 为 1 3 m+54.【分 析】连 接 BD，利 用 勾 股 定 理 计 算 出 8。长，再 利 用 勾 股 定 理 逆 定 理 证 明 A 8D是 直 角 三 角 形，且/4=9 0,然 后 再 求 四 边 形 A 8C D的 面

18、 枳 即 可.【解 析】连 接 BQ,V Z C=9 0,BC=9,DC=12,BD=y/BC2+CD2=V81+144=V225=15,A B2+AD2=（2V14）2+132=56+169=225=）B2,.ABO是 直 角 三 角 形，且 N A=90,四 边 形 ABCD 的 面 积 为：-ABAD+iC B-C D 1 X2V14 X13+1 x9X 12=13x/14+54,2 2 2 I14.（2021 春 黄 石 期 末）如 图，已 知 NAC=90,AD=Sm,CD=6m,BC=24m,A B=2 6 m,则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 96m2.D【分 析】先

19、根 据 勾 股 定 理 求 出 A C的 长，再 根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 判 断 出 A C B为 直 角 三 角 形，再 根 据 1 15 阴 影=/CX B C-与 4。X C 即 可 得 出 结 论.【解 析】在 RtZAOC中，：CD=6m,AD=Sm,ZA D C=90,8c=24/w,AB=26m,：.AC2=A D1+CD2=82+62=100,：.A C=0 m,（取 正 值）.在 ABC 中，,.AC2+BC2=K）2+242=676,4=2 6 2=676.：.AC2+HC2=AH2,.4 C 8为 直 角 三 角 形，NACB=90.S 阴 需=工 CX

20、B C-A D X C D=|x lO X 2 4-1 x 8*6=96（z2）.故 答 案 是：96,15.（2020春 扎 兰 屯 市 期 末）若 A B C的 三 边 长 分 别 是 1、或、V 3,则 最 长 边 上 的 中 线 长 为 后.【分 析】先 根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 得 出 A BC是 直 角 三 角 形，再 根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 性 质 求 出 答 案 即 可。【解 析】V l2+（V2）2=（V 3）2,.A B C是 直 角 三 角 形，斜 边 的 长 度 是 百，最 长 边（斜 边）上 的 中 线 长 为 三 X V 3

21、=,2 2故 答 案 为：乎“216.（2021春 广 州 校 级 期 中）如 图，在 A B C中，AB=12,8 c=13,A C=5,点。为 的 中 点，则 线 段 A D的 长 为 兰 zA【分 析】根 据 勾 股 定 理 逆 定 理 可 证 明 ABC是 直 角 三 角 形，再 根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 即 可 求 解.【解 析】52+122=132,:.AC2+AB2=BC1,.ABC是 直 角 三 角 形，NBAC=90,.。为 8 c 的 中 点，1 13：.AD=B C=号.13故 答 案 为：.17.（2 0 2 0秋

22、苏 州 期 末）如 图，正 方 形 网 格 中，每 一 小 格 的 边 长 为 1.网 格 内 有 B 4 8,则/抬 8+NPBA的 度 数 是 45.【分 析】延 长”到 C,使 A P=P C,连 接 B C,根 据 勾 股 定 理 求 出 A C=P C=8 C=6，根 据 等 腰 三 角 形 的 判 定 和 勾 股 定 理 的 逆 定 理 得 出 P C S是 等 腰 直 角 一 角 形，再 得 出 答 案 即 可.延 长 A P到 C,使 A P=P C,连 接 8C,A P=P C=V l2+22=V5,同 理 BC=V5,:BP=V l2+32=V10,:.PC=BC,P d+

23、B d=P炉,.PC B是 等 腰 直 角 三 角 形，:.NCPB=NCBP=45,：.ZPAB+Z PBA=Z CPB=45,故 答 案 为：45.18.如 图，在 四 边 形 ABC。中，点 E 为 4 8的 中 点，DE_LAB于 点 E,AB=6,DE=相,BC=,CD=713,则 四 边 形 ABC。的 面 积 为 4V3.【分 析】连 接 8 D,根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 得 出 8C。是 直 角 三 角 形，进 而 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 解 答 即 可.【解 析】连 接 班），:点 E 为 A8 的 中 点，OE_LA8 于 点 E,AB=6,D

24、E=V3,1：.EBAB=3,：.BD=JDE2+EB2=V3T9=273,V(2V3)2+l2=(V13)2,即 8 2+B4=CD2,.BCD是 直 角 三 角 形，且 NDBC=90,1 1 1 1二 四 边 形 ABCD 的 面 积=SM BD+SBCD=AB DF+|B C B D=1 x 6 x V 3+1 x 2 V 3 x l=473,故 答 案 为：4-/3.三、解 答 题（本 大 题 共 6 小 题，共 46分.解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤）19.（2020秋 福 田 区 校 级 期 末）如 图 所 示，在 四 边 形 ABD

25、C中，ZA=90,AB=9,AC=12,BD=8,CD=H.（1）连 接 B C,求 B C的 长；（2）判 断 BCD的 形 状，并 说 明 理 由.D【分 析】（I）直 接 利 用 勾 股 定 理 得 出 B C 的 长；（2）直 接 利 用 勾 股 定 理 逆 定 理 进 而 分 析 得 出 答 案.【解 析】VZA=90,：.BC=y/AB2+AC2=V92+122=15；（2）5CD是 直 角 三 角 形，理 由：VBC2=152=225,B2=82=64,C 2=*2=289,8c2+8D2=CD2=289,.BCD是 直 角 三 角 形.20.（2020 春 曾 都 区 期 末）

26、如 图，在 四 边 形 ABC。中，A8=3,8c=4,C=12,A=13,N8=90.（1）连 接 A C,求 证：ACO是 直 角 三 角 形；（2）求 ACO中 4。边 上 的 高.【分 析】（1）连 接 AC,先 根 据 勾 股 定 理 求 出 A C 的 长 度，再 根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 判 断 出 AC。的 形 状;（2）利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 求 解 即 可.【解 答】（I）证 明：连 接 4 C,在 RtABC中，A C2=AB2+BC2=32+42=25,.C=5,VCD=12,AQ=13,:.AC2+CD2=AD2,：.ZACD=90,.A

27、C。是 直 角 三 角 形;（2）解：过 点 C 作 C”,A。于 点 儿 1 1则 SACD=JADXCH=|A C X CD,1 1X 1 3 X C/=4 X 5X 12,2 221.（2020秋 内 江 期 末）如 图，A A B C 中，B C 的 垂 直 平 分 线 Q E 分 别 交 AB、8c 于 点。、E,JI BD1-DA2=AC2.(1)求 证：ZA=90；(2)若 AB=8,AD：BD=3：5,求 AC 的 长.【分 析】（1）利 用 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 可 得 C=8）,然 后 利 用 勾 股 定 理 逆 定 理 可 得 结 论;（2）首 先 确

28、定 8 0 的 长，进 而 可 得 C O 的 长，再 利 用 勾 股 定 理 进 行 计 算 即 可.【解 答】（1）证 明：连 接 CD,的 垂 直 平 分 线 O E 分 别 交 A8、8c 于 点。、E,：.CD=DB,.BI）2-DA1=AC2,：.CD2-DAi=AC2,.CDADr+AC2,.4CO是 直 角 三 角 形，且 N4=90；(2)解：VAB=8,AD-.BD=3：5,，AD=3,BD=5,：.DC=5,：.AC=y/CD2-AD2=AC=Vl2+22=V5.BC=V22+42=2瓜,：(2V5)2+(V5)2=52,.A8C是 直 角 三 角 形；(2),?S&AB

29、C=1/1CBC=夕 2，x Vs x2V5=i x5h,2/?=2.23.（2019秋 普 宁 市 期 中）己 知：如 图，在 ABC中，。是 8 C的 中 点，D E L B C,垂 足 为。，交 A 8于 点 E,iL BE1-EA2=AC1.(1)求 证：/A=9 0；(2)若 A 8=8,fiC=1 0,求 AE 的 长.【分 析】（1）连 接 C E,由 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 可 求 得 B E=C E,再 结 合 条 件 可 求 得 E笳+A M C,可 证 得 结 论；（2）在 RtZBQE中 可 求 得 B E,则 可 求 得 C E,在 R tA B C中

30、，利 用 勾 股 定 理 结 合 已 知 条 件 可 得 到 关 于 A E的 方 程，可 求 得 4E.【解 答】（1）证 明：连 接 C E,如 图，：.CE=BE,：BE2-EA1=AC1,：.CE2-E/A C2,:.EA2+AC2=CE1,.,.ACE是 直 角 三 角 形，即 乙 4=90；(2)解：.48=8,8 c=10,：.AC=V102-82=6,设 在 Rt/XAEC 中，62+?=(8-x)27-4X=7：.A E的 长 为 一.424.（2021春 扎 兰 屯 市 期 末）如 图，在 A A B C中，BC=a,AC=b,A B=c,若/C 为 直 角，如 图 1,则

31、 有结 论：当 N C 为 锐 角(如 图 2)或 钝 角(如 图 3)时，请 你 完 成 下 列 探 究:(1)分 别 猜 想 N C 为 锐 角 或 钝 角 这 两 种 情 况 下 d+廿 与 c2的 大 小 关 系；(2)任 选(1)中 的 一 个 猜 想 进 行 证 明.(2)当 N C 为 锐 角 时，过 点 4 作 AZ)_LC2于 点。，设 CO=x,则 8D=a-x,利 用 4。2=/-/,同 时，ADc2-(4-x)2,即 可 证 明；当 N C 为 钝 角 时，过 点 A 作 B C 的 垂 线 交 B C 的 延 长 线 于 点 M,CM=y，则 8M=a+y,利 用 A

32、A/2=2 一/，同 时，AM2=C2-(a+y)2,即 可 证 明.【解 析】(1)猜 想：若/C 为 锐 角 时，(?+序,2,若/C 为 钝 角 时，02+必 2；(2)当 N C 为 锐 角 时-，次+户,证 明 如 下：如 图，过 点 A 作 A_LC8于 点,设 CO=x，则 8=a-x,在 直 角 三 角 形 AC。中，A2=62-/,在 直 角 三 角 形 AB。中，A Z)2=C2-(a-x)2,.b2-x1c1-(a-x)2,B|J c+trc1+lax,Va0,x 0,.,.a2+b2 c1,当 N C 为 钝 角 时，/+房 称,证 明 如 下：如 图，过 点 A 作 B C 的 垂 线 交 8 c 的 延 长 线 于 点 M,CM=y，则 BM=a+y,bJ P a B图 3在 直 角 三 角 形 ACM中，AM2=b2-y1,在 直 角 三 角 形 A 8M中，A M2=C2-Ca+y)2,.b2-y2=c2-(+y)2,即 足+?=2-2ayf 0,y 0,，tz2+/?2 c2.