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1、海淀区2022-2023学年第一学期期末练习高三数学2023.01一.选择题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .己知集合 II 1,II J,则AD3=（）A.-2,3 B,0,3 C.（0,+8）D.-2,+oo）【答案】D【解析】【分析】利用并集的定义可求得集合A u B.【详解】因为集合4 =%卜2 x 0 ,因此，AUB=-2,4W）.故选：D.2 .在复平面内，复数 一对应 点 位 于（）2-zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算化简复数，从而根据对应点的坐标得到结果
2、.1 2+i 2+i 2 1 .详 解 T 7-（2-Z）（2 +Z）-5 +5Z二对应点坐标为：.对应的点位于第一象限本题正确选项：A【点睛】本题考查复数对应的复平面的点的问题，关键是能够通过复数的除法运算化简复数，属于基础题.3.已知 函 数/（力=4一：一1,在下列区间中，包含/（x）零点的区间是（）C.（1,2）D.（2,3）【答案】D【解析】【分析】先判断出函数在定义域上连续且单调递增，计算出端点值，利用零点存在性定理得到答案.【详解】/（力=-1-1定义域为（0,+8）,在定义域上连续且单调递增,其 中 小/（2）=V 2 o,/（i）=V i-i-i o,由零点存在性定理可得：包
3、含f（x）零点的区间为（2,3）.故选：D无 ！4 .已知a =lg 5,Z?=s i n；y,c =2 3,贝（I （）A.abc B.bacC.b C a D.acb【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可/【详解】因为lg J IU lg 5 lg l0 ,所 以;a l,TT TT I因为s i n s i n,所以b l，因此匕 a c,故选：B5.若圆2%2。）,+/=。截直线了2 +1 =（）所得弦长为2,则。=（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】分析可知直线x 2 y +l=0过圆心，由此可求得实数
4、。的值.【详解】圆的标准方程为（x-l）2+（y-a）2=l,圆心为C（l,a）,圆的半径为r =l，因为若圆f+V 一 2%2缈+a?=0截直线x -2 y +1 =。所得弦长为2 ,所以，直线x-2 y+l=0过圆心C,则1-2。+1=0,解得a =l.故选：C.6 .己知 风 为等差数列，q=3,%+%=T0-若数列 也 满足2=。“+。+1（=1,2,）,记 0“的前项和为S“，则S g=（）A.-3 2 B.-8 0 C.-1 92 D.-2 2 4【答案】B【解析】【分析】求出等差数列%的通项公式，可求得数列 a的通项公式，推导出数列 仇 为等差数列，再利用等差数列的求和公式可求出
5、S,的值.【详解】设等差数列 a,的公差为d,则%+。6=2%=-1 0,所以，=-5,.d=%彳 =-2 ,:.a“=q +（-1）4 =3-2（-1）=-2+5,所以，bn=c in+a“+|=Ln+5 2（+1）+5 =4n+8,则2+Ld=T（+l）+8 （T+8）=4,所以，数列出 为等差数列,因此，S&=4 x（4 2 4）=8 0.故选：B7 .某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲、乙两组，每组3个班，则 高 一（1）班、高 一（2）班恰好都在甲组的概率是（）1111A.B.-C.-D.一3 4 5 6【答案】C【解析】【分析】利用组合数的概念结合古典
6、概型即可求解.【详解】由题意得，把全年级6个班分为甲、乙两组共有C：C；=2 0种方法，高 一（1）班、高 一（2）班恰好都在甲组共有C；C；=4种方法，cc3 1所以高一（1）班、高 一（2）班恰好都在甲组的概率是涓渣=?，故选:C.8.设。、尸是两个不同的平面，直线mu a,则“对/?内的任意直线/,都有利/B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件是“a，”的()A.充分而不必要条件C.充分必要条件【答案】A【解析】【分析】利用线面垂直的定义、面面垂直的判定定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为a、是两个不同的平面，直线机u a,若对 内的任意直线/,都 有 机
7、根 据 线 面 垂 直 的 定 义 可 知 .加 u a ,:.al./3,所以，”对 内的任意直线/,都有加_L/”=ua L/3 ；若。，力，因为机u a,对 尸 内的任意直线/,加与/的位置关系不确定，所以，“对 内的任意直线/,都有加_U”中“。，尸”.因此，“对 内的任意直线/,都有加/”是“二，尸”的充分而不必要条件.故选：A.7 T9.已知函数x)=cos2x在 区 间t,t+(f e R)上的最大值为M(f),则(f)的最小值 为()A.B.一3 C.；D.-2 2 2 2【答案】D【解析】【分析】根 据/(%)在 =，取最大值，可 判 断t,t+(f e R)要么在x)的单调
8、减区间上，要么满足左端点到对称轴+E 不小于右端点，即可得左 兀 f 方+A兀，进而可求M的最小值.兀【详解】”x)=cos2x的周期为兀，/(x)=cos2x的单调递增区间为+E ,T tZeZ,单调递减区间为-+kJi,n+kn,k e Z兀兀当兀=/取最大值，故 可 知+-a万+E,兀+E ,当版+巴工+Z兀时，即E二+E,&e Zj（x）在t,t+（，R）单调3 2 6 3递减，显然满足最大值为M。），兀 7T当 E，一+而 +Z-+kn -=kit t +kn,keZ2 J 3 2）3综上可知当+E,keZ时，/（尤）在x =r取最大值M（。，M =2 co s 2 r在E w g+
9、E.Z e Z单调递减，故当f =+加 时，M取最小值,且最小值为一,2故选：D1 0.在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管它的制作方法如下：如图2,用一个与圆柱底面所成角为4 5的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为T，截口椭圆的离心率为e.若圆柱的底面直径为2,则（）A.T=2n,e=B.T=2n,e=2 2C.T=4n,e=D,T-4it,e=
10、2 2【答案】B【解析】【分析】由条件求出椭圆的长半轴长和短半轴长力，由此可求。力，再求离心率e,再求圆柱侧面展开图的底边边长，由此可得正弦型函数的周期.【详解】设截口椭圆的长半轴长为。，短 半 轴 长 为 半 焦 距 长 为 J因为圆柱的底面直径为2,所以2/?=8 =2,故6=1,因为椭圆截面与底面的夹角为4 5，所以N A O B =4 5，所以20 =Q B =Q 4cos 45=2a cos 45，所以a =JL 所以_ _ _ _ _ _ ,万c=yja2-h2=1，所以 e=j=,a y/2 2观察图4知，正弦型函数的最小正周期T为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长
11、，所以T=2兀x l=2?i.二.填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.抛物线y 2=2x的焦点坐标为【答案】曰，0).【解析】【详解】试题分析：焦点在x轴的正半轴上，且p=l,利 用焦点为(卷0),写出焦点坐标.解：抛物线y 2=2x的焦点在x轴的正半轴上，且p=l,.与 寺 故焦点坐标为 6，0),故答案 6，0).考点：抛物线的简单性质.一 的系数为【答案】-8【解析】【分析】利用二项式定理 得 到 的 展 开 通 项，从而求得灯 的系数.【详解】因为(x 2)的展开通项为+1=C b 4-1 2)=(2)*C 54-2R,令4-2%=2,得=1,HC T2=(-2)C4X2=-2
12、 x4x2=-8x2,所以炉的系数为一8.故答案为：-8.13.如 图，在正三棱柱A B C-A A G中，P是棱8片上一点，AB=A4,=2,则三棱锥P-A C C的体积为.【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理确定三棱锥的高，再用椎体体积公式求解即可.取A C中点为0,连接。B,因为.A8C为正三角形，所以08LAC,又 因 为 平 面ABC,QBu平面ABC,所以 44,J_ OB,且 A41 n AC=A,AA,AC u 平面 A C ClAl,所以08_L平面ACGA,O B=万=百，即B到平面ACC,A,的距离为O B =C，又因为 8耳/A4,B BX(Z 平面 ACG4,Ad
13、u 平面 ACC,A,所以8 8 /平面ACC；%,又因为P是棱8片上一点，所以P到平面ACGA的距离为0 8 =6，所以3=卜5岫 乂0 8 =半故答案为：巫.314.设。为原点，双曲线C:f 21=1的右焦点为尸，点 在。的右支上.则。的渐近线30 P 0 F方程是；的取值范围是.【答案】.y =氐.（1,2【解析】【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程的关系可写出双曲线C的渐近线方程；求出O P O F,结合余弦函数的基本性质O P O F可求得一 胸 一 的取值范围.【详解】在双曲线。中，a =l,b=6 c=yja2+b2=2-则/（2,0），所以，双曲线C的渐近线方程为丁=2%=
14、6X，a直线y =6%的倾斜角为三，由题意可知0。尸,。尸 方，则1 cos 1,O P O F所以,=|O F|cos OP,O F=2 cos e(1,2故答案为：y=5/3x ：(1,2.15.已知函数/(力=幺-2x+2f,g(x)=e T.给出下列四个结论：当f=0时，函数y =/(x)g(x)有最小值；士 e R ,使得函数y =/(x)g(x)在区间 1,+8)上单调递增；士 e R,使得函数y =/(x)+g(x)没有最小值；3r eR.使得方程/(x)+g(x)=0有两个根且两根之和小于2.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】【分析】利用函数的最值
15、与单调性的关系可判断的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断的正误；取/=-1，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断的正误.【详解】对 于 ,当f=0时,y =/(x)(x)=(x2-2 x)e 则 y 2)e ,由了 0可得 血 0可得夜，此时，函数y =(x2-2 x)e*的增区间为卜8,&)、(V 2,+o o),减区间为(血,血)，当x2时，y =(2-2 x)e 0 ,当0 c x 2时，y-(x2-2 x)e 0,所以，函数(x)在 1,+8)上单调递增，所以，&(x)=e*-x+l N M l)=e 0,则x-e 1 -e vO，由 y =(Y -2)/+2 r(e
16、，x+1)2 0 可得2 d。一 沙,-eA-x+1构造函数p(x)=，其中x l，则（士-4 +2）（e+旷（e-+1）2令q(x)=f 4+g 2e,其中 x 2 1,则 g(x)=2(x e)*0,所以，函数仪x)在 1,”)上单调递减，故当时,q(x)“(l)=l-2 e 0,则p(x)0,即 p(x)在 1,+8)上单调递减，/./7(x)m)x=p(l)=l.则2r21,解得对；对于，y=/(x)+g(x)=x2-2x+eA+/,/=2x-2+e-v,因为函数y=2x-2+e”在 R 上单调递增，=-1 0,所以，存在不(0,1),使得y=0,当xx()时，/x()时，/0,此时函
17、数y=x2-2x+e*+f单调递增，所以，对任意的实数，函数,=1一2%+1+，有最小值，错：对于，令 x)=x 2-2 x+e+t,不妨令(0)=l+r=0,即取1=一1,由可知，函数(x)=x 2-2 x+e-l在(-8,Xo)上单调递减，在(天,+8)上单调递增，因为天(0,1),则/)1 0,所以，存在玉 毛,2),使得(药)=0,此时函数”(x)的零点之和为+0=%=g(x)的图象的交点问题.三、解答题共6小题，共8 5分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知函数“、皿 +3刈 夕 卜 已 用 五 点 法 画/在 区 间 一 刍 野 上的 乙)1Z 1Z图象时，取点列表
18、如下:X7 1-1 27 165兀1 22兀T1 1兀2/W010-10（1）直接写出/（X）的解析式及其单调递增区间；（2）在 中，/（B）=g,b =2百,a +c =6,求一ABC的面积.【答案】（1）/（x）=si n（2 x +kji-,kn+（Z:e Z）；2【解析】【分析】（1）根据“五点法”可得函数的解析式，根据正弦函数的性质即得:冗（2）由题可得8 =彳，然后根据余弦定理及三角形面积公式即得.3【小 问1详解】由题可知函数的最小正周期为兀，所以0 =生=2,7 1（Z e Z）；11 J I 7/根据“五点法”可得2 x +0 =彳，即0 =一，6 2 6所以/（x）=si
19、n（2 x +?）,J V I T T T由 2 E 2x+2lat+,A:G Z,可得 E x(0,0,0),5(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0),因 为 平 面PDC,所以D 4 =(1,0,0)为平面PZ W的一个法向量,设平面 D M B 的法向量，=(x,y,z),D B =(1,1,0),D M=(0,l,g),D B m =x+y=0所以 i ，令x =l,y =-l,z =2,D M =y +z =0I2所以加=(1,一1,2),D A m 1 R设二面角 P DM B 为 8,c s =w p =7 =N-,因为由图可知二面角P-DW 3为钝角，所以COS6=
20、-Y 5.6若选择：B D L B C,设 则 C )=2 a,B D =j Y+i,bc=7 a2+1，因为8DL8C,所以4+1 +储+1 =4 4 2解得。=i ,则 D(0,0,0),B(l,l,0),P(0,0,l),C(0,2,0),M(0,1,1),因为D 4，平面P D C,所以D A=(1,0,0)为平面P D M的一个法向量,设平面 D M B 的法向量加=(x,y,z),D B =(1,1,0),DM=(0,1,1),所以D B m =x+y=Q1 ,令x =l,y =-l,z =2 ,D M m-y+z =02所以？=(L 1,2),设二面角尸Z W B为8,cos=J
21、 _ _ V 6V 6 -6DA-mDAm因为由图可知二面角P-OW 3为钝角，所以c ose =Y5.61 8.”地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如 图1）,考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.十 频率瞩0.0 1-0.0 0 5 -O 3 7 5 4 2 5 4 7 5 5 2 5 亩产量（k g）图1明年冬小麦统一收购价格（单位：元/k g）假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.（1）试估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1 5 00元的概率；（2）设地区明年每亩冬小麦统-收
22、购总价为X元，求X的分布列和数学期望；（3）地区农科所研究发现，若每亩多投入1 25元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加5 0k g .从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.【答案】（1）0.1 5（2）分布列答案见解析，E（X）=1 24 2（3）建议农科所推广该项技术改良，理由见解析【解析】【分析】（1）计算出亩产量是5 00k g的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知随机变量X的可能取值有9 6 0、1 08 0、1 200、1 35 0、1 5 00,计算出随机变量X在不同取值下的概率，可
23、得出随机变量X的分布列，进而可求得E（x）的值：（3）设增产前每亩冬小麦产量为J k g,增产后每亩冬小麦产量为k g,则 =4+50,设增产后的每亩动漫小麦总价格为丫元，计算出增产的50kg会产生增加的收益，与125比较大小后可得出结论.【小 问1详解】解：由图可知，亩产量是400kg的概率约为0.005x50=0.25，亩产量是450kg的概率约为0.01x50=0.5,亩产量是500kg的概率约为0.005x50=0.25,估计”地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率为0.25x0.6=0.15【小问2详解】解：由题意可知，随机变量X的可能取值有：960、1080、1200、1
24、350、1500,P（X=960）=0.25x0.4=0.1,P（X=1080）=0.5x0.4=0.2,P（X=1200）=0.25 x 0.4+0.25 x0.6=0.25,尸（X=1350）=0.5x0.6=0.3,P（X=1500）=0.25 x 0.6=0.15,所以，随机变量X的分布列如下表所示：X9601080120013501500P0.10.20.250.30.15E（X）=960 x 0.1+1080 x 0.2+1200 x 0.25+1350 x 0.3+1500 x 0.15=1242.【小问3详解】解：建议农科所推广该项技术改良，设增产前每亩冬小麦产量为J k g,
25、增产后每亩冬小麦产量为 k g,则7 7 =J+5O,设增产后的每亩动漫小麦总价格为y元，分析可知E（Y）=E（X）+50 x（2.4x0.4+3x0.6）,所以，增产的50kg会产生增加的收益为50 x（2.4x0.4+3x0.6）=138 125,故建议农科所推广该项技术改良.19.已知函数/（x）=xln（x+l）.（1）判断0是否为/（x）的极小值点，并说明理由；（2）证明：+x2 2【答案】(1)0 是“X)的极小值点，理由见解析(2)证明过程见解析【解析】【分析】(1)求 x)=xl n(x+l)的定义域，求导，得到/()=(),且1,0)时，r(x)0,故 0 是 的 极 小 值
26、 点；(2)对不等式变形得到由+1)+/-%0,令 8(力=皿*+1)+3/一耳 1),X求导，得到其单调性，从而得到g(x)正负，故吧二恒成立，结论得证X【小问1 详解】0 是“X)的极小值点，理由如下：/(%)=如 1(兀 +1)定义域为(-1,+00),r(x)=l n(x+l)+忘，其中 r(0)=l n l +=0,当x e(1,0)时，l n(x+l)0,-0,故/(x)=l n(x+l)+0,-0,故 r(x)=l n(x+l)+-0,故 x)=j d n(x+l)在 x e(1,0)上单调递减，在xw(0,+)上单调递增，故。是/(X)的极小值点；【小问2 详解】今f(x1)上
27、1 尤+1 等 价人 T于-H一n(Sx+1)上1x+1,x2 2%2 2即n I n(x+1)-4 2 A?2 x0，X令 g(x)=l n(x+l)+g x 2 _ 1(1 一),1*2则 g (x)=一 +x l =一(%1),)x+l x+V)当x l 时，g (x)2 0,所以g(x)在 x-l上单调递增，又 g()=。,故当x0时，g(x)g(O)=O,当一1%0时，g(x)0恒成立，X故 2 1-L+i.X2 22 220.已知椭圆E：餐+方=1过点P(2,1)和Q(2C,0).(1)求椭圆的方程；(2)过点G(0,2)作直线/交椭圆E于不同的两点A 8,直线R4交V轴于点，直线
28、PB交y轴于点N.若|GMHGN|=2,求直线/的方程.2 2【答案】(1)+=18 2(2)y=x+2或 工=0【解析】【分析】(1)两个点尸(-2,1),。(2亚 代 入 解方程即可.(2)斜率不存在单独算出|GMHGN|=2是否成立；斜率存在时把/设出来与椭圆联立，韦达定理求出两根之和与两根之积用斜率人来表示，然后|GMHGN|用两个根表示，化简求值即可.【小 问1详解】,4 1 ,+T2=将点尸(2,1)0 2加,0)坐标代入椭圆E的方程，得 解得/=822=2,所 =Lla尤2 V2以椭圆的方程为：二+工=18 2【小问2详解】若直线/的斜率不存在，即直线/为x=0时，A和M重合，3
29、和N点重合，分别为椭圆的上下顶点(0,夜)倒,一夜 此时|GM|.|GN|=(2-/卜(2+0)=2,符合题意.若直线/斜率存在，设直线A3的方程为丁 =依+2,4(3,)3(马,%)(力。一2且马。-2),联立方程y=kx+2x2 y2 得,(4Z?+i)%2+i6履+8=0,-F -=118 2 =(16人)2-32(4公+1)=32(4%2-1)0,二公；,即女3或女-16k 8,y,-2*+际 I.灯际原A=而，所以直线 的 方程为y=Q(x+2)+i,取尤=0得M Q-Z+1、%+2)(2(%T),同理可得N 0,一+1I%+2)由|GMHGN|=2得2 J T)+1|2(%T)+I
30、 2%+2|X24-2=2,即2(X 7)%+22(%-1),1尤2 +2=2,所以(2左一I?%+2%+2=2,即(2 1)+2 +6 4=2,即(I f84公+18-32k 4,+A+44公+1 4公+1(2 左 1)-1 2k-即2 .T，因为女 一，所以得7 n =1，即&=1，经检验符合题意，此时4左 2 8Z+3 2 2k-3直线/为y=x+2综上所述，直线/的方程为y=x+2或 =0.21.对于一个有穷正整数数列。，设其各项为4，4,各项和为S(Q),集合(zj)l%a”4 y 4 中元素的个数为T(Q).(1)写出所有满足5(。)=4,T(2)=1的数列Q；(2)对所有满足丁(
31、。)=6的数列Q,求S(Q)的最小值；(3)对所有满足S(Q)=2023的数列Q,求T(Q)的最大值.【答案】(1)1,2,1或3,1；(2)7；(3)511566.【解析】【分析】(1)由题意可直接列举出数列。；(2)由题意可得2 4,分 =4、=5和 2 6分别求5(。)的最小值即可得答案；由题意可得数列。为2,2 L,2,1,I L,1的形式，设其中有x项 为2,有V项 为1,则有2 x+y =2 0 2 3,所以T（。）=-2/+2 0 2 3%,再利用二次函数的性质求T（Q）的最大值即可.【小 问1详解】解：当丁（。）=1时，存在一组（），满足又 因 为 的 各 项 均 为 正 整
32、数，且S（Q）=4+6；2+L=4,所 以 为4,即 见4 3,且i N l,_/N 2,当i =l,/=2时，满足条件的数列。只能是：3,1；当i =1,/=3时，满足条件的数列Q不存在；当i =l,/3时，满足条件的数列。不存在；当i =2,/=3时，满足条件的数列。只 有1,2,1；当i =2,/3时，满足条件的数列。不存在；所以数列。：1,2,1或3,1；【小问2详解】解：由题意可知C：6,所以4,当=4时，应有数列中各项均不相同，此时有5（0）2 1 +2 +3+4 =1 0；当”=5时，由于数列中各项必有不同的数，进而有S（Q）N 6.若S（Q）=6,满足上述要求的数列中有四项为1
33、,一项为2,此时丁（。）4,不符合，所以 S（Q）2 7；当2 6时，同可得5（。）7；综上所述，有S（Q）2 7,同时当。为2,2,1,1,1时，S（Q）=7,所以S（。）的最小值为7；【小问3详解】解：存在大于1的项，否则此时有丁（。）=0；=1，否则将an拆分成。“个1后T（Q）变大；当r =l,2 L,1时，有 2。川,否则交换囚，4+1顺序后T（。）变为T（。）+1,进一步有 a,-a*G 0,1 ,否则有4Na*+2,此时将a,改为a,-1,并在数列末尾添加一项1,此时T（Q）变大；各项只能为2或1,否则由可得数列。中有存在相邻的两项4 =3,+1=2,设此时。中有x项为2,则将4改为2,并在数列末尾添加一项1后，T(Q)的值至少变为T(Q)+x+l-x=T(Q)+l；由上可得数列。为2,2,L,2,1,1L,1的形式，设其中有x项为2,有 项 为1,则有2x+y=2()23,从而有 丁(。)=孙=(2023-2x)x=-2X2+2023%,由二次函数的性质可得，当且仅当 _ 一时，7(。)最大，为51156 6.y=1011【点睛】关键点睛：本题考查了有穷数列的前项和及满足集合(i )|4 为,1 4,/中元素的个数，属于难点，在解答每一小问时，要紧扣。还是一个正整数数列，进行逻辑推理，从而得出结论.