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1、海淀区20222023学年第一学期期末练习高三数学2023.01一选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用并集的定义可求得集合.【详解】因为集合，因此，.故选：D.2. 在复平面内，复数对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算化简复数，从而根据对应点的坐标得到结果.【详解】对应点坐标为：对应的点位于第一象限本题正确选项：【点睛】本题考查复数对应的复平面的点的问题，关键是能够通过复数的除法运算化简
2、复数，属于基础题.3. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断出函数在定义域上连续且单调递增，计算出端点值，利用零点存在性定理得到答案.【详解】定义域为，在定义域上连续且单调递增，其中，由零点存在性定理可得：包含零点的区间为.故选：D4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可/【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，因此，故选：B5. 若圆截直线所得弦长为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析可知直线过圆心
3、，由此可求得实数的值.【详解】圆的标准方程为，圆心为，圆的半径为，因为若圆截直线所得弦长为，所以，直线过圆心，则，解得.故选：C.6. 已知为等差数列，.若数列满足，记的前项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出等差数列的通项公式，可求得数列的通项公式，推导出数列为等差数列，再利用等差数列的求和公式可求出的值.【详解】设等差数列的公差为，则，所以，所以，则，所以，数列为等差数列，因此，.故选：B7. 某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲乙两组，每组3个班，则高一（1）班高一（2）班恰好都在甲组的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案
4、】C【解析】【分析】利用组合数的概念结合古典概型即可求解.【详解】由题意得, 把全年级6个班分为甲乙两组共有种方法，高一（1）班高一（2）班恰好都在甲组共有种方法，所以高一（1）班高一（2）班恰好都在甲组的概率是，故选:C.8. 设、是两个不同的平面，直线，则“对内的任意直线，都有”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用线面垂直的定义、面面垂直的判定定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为、是两个不同的平面，直线，若对内的任意直线，都有，根据线面垂直的定义可知，所以，“对内的任意直
5、线，都有”“”；若，因为，对内的任意直线，与的位置关系不确定，所以，“对内的任意直线，都有”“”.因此，“对内的任意直线，都有”是“”的充分而不必要条件.故选：A.9. 已知函数在区间上的最大值为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据在取最大值，可判断要么在的单调减区间上，要么满足左端点到对称轴不小于右端点，即可得，进而可求的最小值.【详解】的周期为，的单调递增区间为,单调递减区间为，当取最大值，故可知，当时，即，,在单调递减，显然满足最大值为，当时，要使是最大值，则需满足，综上可知当,时，在取最大值，在,单调递减，故当时，取最小值，且最小值为，故选：D10
6、. 在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件求出椭圆的长半轴长和短半轴长，由此可求，再求离心率，再求圆柱侧面展开图的底边边长，由此可得正弦型函数的周期.
7、【详解】设截口椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距长为，因为圆柱的底面直径为2，所以，故，因为椭圆截面与底面的夹角为，所以，所以，所以，所以，所以，观察图4知，正弦型函数的最小正周期为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长，所以.故选：B.二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 抛物线y2=2x的焦点坐标为_【答案】（，0）【解析】【详解】试题分析：焦点在x轴的正半轴上，且p=1，利用焦点为（，0），写出焦点坐标解：抛物线y2=2x的焦点在x轴的正半轴上，且p=1，=，故焦点坐标为（，0），故答案（，0）考点：抛物线的简单性质12. 在的展开式中，的系数为_.【答案】【解析】
8、【分析】利用二项式定理得到的展开通项，从而求得的系数.【详解】因为的展开通项为，令，得，此时，所以的系数为.故答案为：.13. 如图，在正三棱柱中，是棱上一点，则三棱锥的体积为_.【答案】【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理确定三棱锥的高，再用椎体体积公式求解即可.【详解】取中点为,连接，因为为正三角形，所以，又因为平面，平面，所以,且平面，所以平面，,即到平面的距离为，又因为,平面,平面,所以平面，又因为是棱上一点，所以到平面的距离为,所以故答案为: .14. 设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上.则的渐近线方程是_；的取值范围是_.【答案】 . . 【解析】【分析】根据双曲线的标准方
9、程与渐近线方程的关系可写出双曲线的渐近线方程；求出的取值范围，可得出，结合余弦函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】在双曲线中，则，所以，双曲线的渐近线方程为，直线的倾斜角为，由题意可知，则，所以，.故答案为：；.15. 已知函数，.给出下列四个结论：当时，函数有最小值；，使得函数在区间上单调递增；，使得函数没有最小值；，使得方程有两个根且两根之和小于.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断的正误.【详解】对于，当时，则，由可得，由可得或，此时
10、，函数的增区间为、，减区间为，当或时，当时，故函数在处取得最小值，对；对于，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，所以，则，由可得，构造函数，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，故当时，则，即在上单调递减，则，解得，对；对于，因为函数在上单调递增，所以，存在，使得，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，所以，对任意的实数，函数有最小值，错；对于， 令，不妨令，即取，由可知，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，则，所以，存在，使得，此时函数的零点之和为，对.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单
11、调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.16. 已知函数.用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下：0100（1）直接写出的解析式及其单调递增区间；（2）在中，求的面积.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据“五点法”可得函数的解析式，根据正弦函数的性质即得；（2
12、）由题可得，然后根据余弦定理及三角形面积公式即得.【小问1详解】由题可知函数的最小正周期为，所以，根据“五点法”可得，即，所以，由，可得，所以函数的单调递增区间为；【小问2详解】因为，又，所以，即，由余弦定理可得，所以，即，所以.17. 如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.条件：；条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值即可.【小问1详解】如图，取中点，连接,则有又因为
13、所以所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为平面平面所以且所以以为轴建系如图，若选择：，因为平面平面所以,所以,则，所以,则,因为平面，所以为平面的一个法向量，设平面的法向量，,所以，令，所以，设二面角为，因为由图可知二面角为钝角，所以.若选择：，设，则，,因为，所以解得，则,因为平面，所以为平面的一个法向量，设平面的法向量，,所以，令，所以，设二面角为，因为由图可知二面角为钝角，所以.18. 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.明年
14、冬小麦统一收购价格（单位：元）概率表1假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.（1）试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率；（2）设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望；（3）地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.【答案】（1） （2）分布列答案见解析， （3）建议农科所推广该项技术改良，理由见解析【解析】【分析】（1）计算出亩产量是的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知随机
15、变量的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；（3）设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则，设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，计算出增产的会产生增加的收益，与比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：由图可知，亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为【小问2详解】解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、，所以，随机变量的分布列如下表所示：.【小问3详解】解：建议农科所推广该项技术改良，设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则，设增产后的每亩动漫小麦总价格为元
16、，分析可知，所以，增产的会产生增加的收益为，故建议农科所推广该项技术改良.19. 已知函数.（1）判断0是否为的极小值点，并说明理由；（2）证明：.【答案】（1）0是的极小值点，理由见解析 （2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求的定义域，求导，得到，且时，时，故0是的极小值点；（2）对不等式变形得到，令，求导，得到其单调性，从而得到g(x)正负，故恒成立，结论得证.【小问1详解】0是的极小值点，理由如下：定义域为，其中，当时，故，当时，故，故在上单调递减，在上单调递增，故0是的极小值点；【小问2详解】等价于，即，令，则，当时，所以在上单调递增，又，故当时，当时，则恒成立，故.20. 已知
17、椭圆过点和.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点.若，求直线的方程.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）两个点代入解方程即可.(2)斜率不存在单独算出是否成立；斜率存在时把设出来与椭圆联立，韦达定理求出两根之和与两根之积用斜率来表示，然后用两个根表示，化简求值即可.【小问1详解】将点坐标代入椭圆的方程，得解得,所以椭圆的方程为：【小问2详解】若直线的斜率不存在，即直线为时，和重合，和点重合，分别为椭圆的上下顶点，此时，符合题意.若直线斜率存在，设直线的方程为，且，联立方程得，即或，所以直线的方程为，取得，同理可得由得，即，所以，即，即即，
18、因为，所以得，即，经检验符合题意，此时直线为综上所述，直线的方程为或.21. 对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素的个数为.（1）写出所有满足的数列；（2）对所有满足的数列，求的最小值；（3）对所有满足的数列，求的最大值.【答案】（1）1，2，1或3，1； （2）7； （3）511566.【解析】【分析】(1)由题意可直接列举出数列；(2)由题意可得，分、和分别求的最小值即可得答案；(3)由题意可得数列为的形式，设其中有项为2，有项为1，则有，所以，再利用二次函数的性质求的最大值即可.【小问1详解】解：当时，存在一组，满足，又因为的各项均为正整数，且，所以，即，且，当时，满
19、足条件的数列只能是：3,1；当时，满足条件的数列不存在；当时，满足条件的数列不存在；当时，满足条件的数列只有1，2，1；当时，满足条件的数列不存在；所以数列： 1，2，1或3,1；【小问2详解】解：由题意可知，所以，当时，应有数列中各项均不相同，此时有；当时，由于数列中各项必有不同的数，进而有.若，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时，不符合，所以；当时，同可得；综上所述，有，同时当为2，2，1，1，1时，所以的最小值为7；【小问3详解】解：存在大于1的项，否则此时有；,否则将拆分成个1后变大；当时，有，否则交换顺序后变为，进一步有，否则有，此时将改为，并在数列末尾添加一项1，此时变大；各项只能为2或1，否则由可得数列中有存在相邻的两项，设此时中有项为2，则将改为2，并在数列末尾添加一项1后，的值至少变为；由上可得数列为的形式，设其中有项为2，有项为1，则有，从而有，由二次函数的性质可得，当且仅当时，最大，为511566.【点睛】关键点睛：本题考查了有穷数列的前项和及满足集合中元素的个数，属于难点，在解答每一小问时，要紧扣还是一个正整数数列，进行逻辑推理，从而得出结论.