《2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、试卷第 1 页，总 4 页绝密启用前2020 届北京市海淀区高三上学期期中数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx 题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、单选题1已知集合10Ax x，|Bx xa，若ABRU，则实数a的值可以为（）A2B1C 0D22下列函数值中，在区间(0,)上不是单调函数的是（）AyxB2yx=CyxxD1yx3已知等差数列na的前n项和为nS，若33Sa，且30a，则43SS（）A1B53C83D34不等式11x成立
2、的一个充分不必要条件是（）A102xB1xC01xD0 x5如图，角以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为35，则sin()2的值为（）试卷第 2 页，总 4 页A35-B35C45D456在四边形ABCD中，/ABCD，设(,)ACABADRuuu ruuu ru uu r.若32，则=CDABuuu ruu u r（）A13B12C1D27已知函数32()2f xxxxk.若存在实数0 x，使得00()()fxf x成立，则实数k的取值范围是（）A 1,)B(,1C0,)D(,08设集合A是集合*N的子集，对于*iN，定义1,()0,iiAAiA，给出下列三个结论：存
3、在*N的两个不同子集,A B，使得任意*iN都满足()0iABI且()1iABU；任取*N的两个不同子集,A B，对任意*iN都有()iABI()iA g()iB；任取*N的两个不同子集,A B，对任意*iN都有()iABU()+iA()iB；其中，所有正确结论的序号是（）ABCD第 II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题9已知向量1,2,(3,)abtrr，且/abrr，则t_ 试卷第 3 页，总 4 页10函数()6f xxx的零点个数是_11已知数列na的前n项和为2lognSn，则1a_，5678aaaa_12如图，网格纸上小正方形的边长为1.从,A B
4、 C D四点中任取两个点作为向量br的始点和终点，则a br r的最大值为 _13 已知数列na的通项公式为lnnan，若存在pR，使得napn对任意*nN都成立，则p的取值范围为_14已知函数()2sin,()2cosf xx g xx，其中0，,A B C是这两个函数图像的交点，且不共线.当1时，ABC面积的最小值为_；若存在ABC是等腰直角三角形，则的最小值为 _.评卷人得分三、解答题15 已知数列na为各项均未正数的等比数列，nS为其n前项和，23a，3436aa.1求数列na的通项公式；2若121nS，求n的最大值.16已知函数3()=2sincos()32f xxx.1求函数()f
5、 x 的最小正周期；2若()0f xm对0,2x恒成立，求实数m的取值范围.17已知函数321()3fxaxxbxc，曲线()yf x在(0,(0)f处的切线方程为1yx1求,b c的值；试卷第 4 页，总 4 页2若函数()f x 存在极大值，求a的取值范围.18在ABC中，7,5,8abc.1求sin A的值；2若点P为射线AB上的一个动点（与点A不重合），设APkPC.求k的取值范围；直接写出一个k的值，满足：存在两个不同位置的点P，使得APkPC.19已知函数ln()xxf xe=.1判断函数()f x 在区间(0)1，上的单调性，并说明理由；2求证：1()2f x.20已知集合*MN
6、，且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素a b c d,，使得abcd，则称集合M是“关联的”，并称集合,a b c d是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”.1分别判断集合2,4,6,8,10和集合1 2,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；2已知集合12345,a aaa a是“关联的”，且任取集合,ija aM，总存在M的关联子集A，使得,ija aA.若12345aaaaa，求证：12345,a aa aa是等差数列；3集合M是“独立的”，求证：存在xM，使得294nnx.答案第 1 页，
7、总 18 页参考答案1D【解析】【分析】由题意可得|1 Ax x，根据ABRU，即可得出1a，从而求出结果【详解】|,1|Ax xBx xaQ，且ABRU，1a，a的值可以为2故选：D【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算2D【解析】【分析】结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断【详解】由一次函数的性质可知，yx在区间(0,)上单调递增；由二次函数的性质可知，2yx=在区间(0,)上单调递增；由幂函数的性质可知，yxx在区间(0,)上单调递增；结合一次函数的性质可知，1yx在0,1上单调递减，在1,上单调递增故选：D【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于
8、基础试题3C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出结果【详解】答案第 2 页，总 18 页设等差数列na的公差为d，33SaQ，且30a，11332adad，可得120ad111431114 342322823232332adaaSSaaad 故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4A【解析】【分析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件【详解】不等式11x的解集为0,1，则其一个充分不必要条件可以是10,2；故选：A【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断与应用，属于基础题5B【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函
9、数的定义，求得sin()2的值【详解】角以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为35，所以3cos5则sin()3cos52；故选：B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题6B【解析】答案第 3 页，总 18 页【分析】作出草图，过C作/CEAD，又/CDAB可得四边形AECD是平行四边形ACAEADuu u ruuu ru uu r，根据,ACABADRuu u ruuu ruu u r可得1,AEABu uu ruuu r，又32，可得12，据此即可得出结果【详解】如图所示，过C作/CEAD，又/CDAB四边形AECD是平行四边形ACAEADu uu r
10、uu u ruuu r，又,ACABADRuu u ru uu ruu u r1,AEABuuu ru uu r，又3122,，则1=2CDAEABABuuu ruuu ru uu r故选：B【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7A【解析】【分析】根据题意将存在实数0 x，使得00()()fxf x成立转化为00fxfx有根，再根据方程变形可得，原问题转化为22xxk有根，进而转化为22yxx与yk的图象有交点，根据数形结合即可求出结果【详解】答案第 4 页，总 18 页32()2f xxxxk且00()()f
11、xf x，323222xxxkxxxk（）整理得22xxk，原问题转化为22yxx与yk的图象有交点，画出22yxx的图象如下：当1x时，1y，由图可知，1k 故选：A【点睛】本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题8A【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0iiNA（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题【详解】对于*iN，定义1,()0,iiAAiA，对于，例如集合A是正奇数集合，B是正偶数集合，,*ABABNIU，01iiABABIU;，故正确；对于，若0iABI，则iABI，则 iA 且iB，或iB且iA，或iA且iB；0
12、iiAB；若1iABI，则iABI，则 iA 且iB；1iiAB；任取*N的两个不同子集,A B，对任意*iN都有iiABAi BI（）（）；正确，故答案第 5 页，总 18 页正确；对于，例如：12 32 3 412 3 4ABABU,，当2i时，1iABU（）；1,1iiAB；iiiABABU；故错误；所有正确结论的序号是：；故选：A【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题96【解析】【分析】直接利用向量的共线的充要条件求解即可【详解】由向量1,2,3,abxrr，若/abrr，可得236x 故答案为：6【点睛】本题考查平行向量坐标运算公式的应用，考查计算
13、能力101【解析】【分析】首先求出函数()f x 的定义域为|0 x x，将原问题转化为260 xx，解方程，即可得出()f x 的零点个数【详解】由题意可知()fx 的定义域为|0 x x，令()60f xxx，可得260 xx，解得2x（舍去）或3x，9x；所以函数()6f xxx的零点个数为1个故答案为：1【点睛】本题把二次函数与二次方程有机的结合来，由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，答案第 6 页，总 18 页就是确定函数的零点110 1【解析】【分析】直接利用数列的递推关系式11nnnSaSS12nn，求出数列的首项和5678aaaa的值【详解】数列na的前n项和为2log
14、nSn，则112log 10aS；又567884567822,log 8log 41aaaaSSaaaa；故答案为：0,1【点睛】本题考查了数列的数列的递推关系式11nnnSaSS12nn的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型123【解析】【分析】由图可知，要使a br r取到最大值，即要求向量br在向量ar上的投影最大，然后再根据图形即可求出结果【详解】由题意可知：则coscos,a baba bba br rrrrrrr r，所以要使a br r取到最大值，即要求向量br在向量ar上的投影最大，由图形可知：当向量bACruuu r时，向量br在向量ar上的投影最大
15、，即3cos,=10=310a bba br rrr r即a br r的最大值为3故答案为：3答案第 7 页，总 18 页【点睛】本题考查向量的数量积几何意义的应用，考查数形结合以及计算能力13ln 3,3【解析】【分析】根据题意，利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果【详解】数列na的通项公式为lnnan，若存在pR，使得napn对任意的*nN都成立，则maxln npn，设ln xfxx，则21lnxxxfxx，令21ln0 xfxx，解得xe，所以函数的单调增区间为0,e，函数的减区间为,e，所以函数在x
16、e时函数取最大值，由于nN，所以当3n时函数最大值为ln 33所以p的取值范围是ln 3,3故答案为：ln 3,3【点睛】本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型1422【解析】答案第 8 页，总 18 页【分析】利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积；利用等腰直角三角形的性质的应用求出的最小值【详解】函数()2sin,()2cosf xx g xx，其中0，,A B C是这两个函数图象的交点，当1时，()2sin,()2cosf xx g xx所以函数的交点间的距离为一个周期
17、2，高为22 22222所以：121 122ABCS如图所示：当1时，ABC面积的最小值为2；若存在ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则22222222，解得的最小值为2故答案为：2，2【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型15113nna；24【解析】【分析】（1）设等比数列na的公比为q，由2343,36aaa，可得123113,36.a qa qa q，即可答案第 9 页，总 18 页求出结果（2）3112131nnS，即可得出结论【详解】解:1在等比数列na中，设na公比为q.因为2343
18、,36aaa所以123113,36.a qa qa q所以23336qq.即2120qq.则3q或4q.因为0na，所以0q，所以3q.因为213aa q，所以11a.所以数列na的通项公式1113nnnaa q2在等比数列na中，因为()()1111nnaqSqq-=?-所以13131132nnnS因为121nS，所以1311212nnS.所以3243n.所以5n.答案第 10 页，总 18 页因为*nN.所以4n.即n的最大值为4.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题161；2(,1【解析】【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函
19、数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期（2）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果【详解】解:1因为32sincos32fxxx32sincos cossinsin332xxx1332sincossin222xxx23sincos3 sin2xxx13sin2cos222xxsin 23x所以fx的最小正周期为22T2“0fxm对0,2x恒成立”等价于“max0fxm”因为0,2x答案第 11页，总 18 页所以42,333x当232x，即12x时fx的最大值为112f.所以10m，所以实数m的取值范围为(,1.【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型
20、函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型17111bc；2(),00,1【解析】【分析】（1）求出函数的导数，结合切线方程得到关于,b c的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合二次函数，求出函数的单调区间，结合函数的存在极大值，确定a的范围即可【详解】解：122fxaxxb因为fx在点0,0f处的切线方程为1yx，所以0101ff解得11bc232113fxaxxx，当0a时，21fxxx不存在极大值，不符合题意.答案第 12 页，总 18 页当0a时，221fxaxx.令2210axx.(i)当440aV，即1a时，不符合题意.(i
21、i)当440aV，即01a时，方程2210axx有两个不相等的实数根.设方程两个根为12,x x，且12xx.,x fxfx的变化如表所示:x1,x1x12,x x2x2,xfx00fxZ极大值极小值Z所以1fx为极大值.当0a时，440aV恒成立.设方程两个根为12,x x，且12xx.,x fxfx的变化如表所示:x1,x1x12,x x2x2,xfx00fx极大值Z极小值所以，2fx为极大值.综上，若函数fx存在极大值，a的取值范围为(),00,1.【点睛】答案第 13 页，总 18 页本题考查了切线方程问题，导数在函数的单调性和极值问题中的应用，考查分类讨论思想，转化思想等数学思想，是
22、一道综合题18132；22 30,3；答案不唯一，取值在区间2 31,3上均正确【解析】【分析】（1）利用余弦定理的应用求出A的余弦值，进一步求出正弦值；（2）直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出k的取值范围；根据共线的条件求出在区间2 31,3上即可【详解】解:1在ABCV中，7,5,8,abc根据余弦定理2222bcacosAbc所以2225871cos25 82A因为0,A，所以21cossinAA322在ABCV中，根据正弦定理，得sinsinCPAPAACPsinsin2 3sinsin3sin3APACPACPkACPPCA因为点P为射线AB上一动点，所以20,3ACR答案第
23、14 页，总 18 页所以k的取值范围为2 30,3答案不唯一.取值在区间2 31,3上均正确.【点睛】本题主要考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型191单调递增，理由见解析；2证明见解析【解析】【分析】（1）因为0,1x，对()f x 求导，可证0fx恒成立，即可证明结果；（2）证明“12fx”等价于证明“max12fx”求()f x 的最大值即可证明【详解】1函数fx在区间0,1上是单调递增函数.理由如下:由xlnxfxe，得1xlnxxfxe因为0,1x，所以11,ln0 xx.因此10lnxx.又因为0 xe，所以0fx恒成
24、立.所以fx在区间0,1上是单调递增函数.2证明“12fx”等价于证明“max12fx”由题意可得，(0,)x.答案第 15 页，总 18 页因为1xlnxxfxe令1lnxxg x，则2110gxxx.所以()g x在0,上单调递减因为1110,10gg ee，所以存在唯一实数0 x，使得00g x，其中01,xe.x00,x0 x0,xfx0fxZ极大值,x fxfx的变化如表所示:所以0fx为函数fx的极大值.因为函数fx在(0,)有唯一的极大值.所以00maxlnoxxfxfxe因为001lnxx，所以000max0ln1oxxxfxfxex e因为01,xe所以0max01112xf
25、xx ee所以12fx【点睛】答案第 16 页，总 18 页本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，以及利用导数求函数极值与最值，熟练掌握导数的相关性质是解题的关键，本题属于综合题2012,4,6,8,10是关联的，关联子集有2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，；1,2,3,5,8是独立的；2证明见解析；3证明见解析【解析】【分析】（1）根据题中所给的新定义，即可求解；（2）根据题意，12345,Aa a aa，21345,Aa a a a，31245,Aa aa a，41235,Aa aa a，51234,Aa aa a，进而利用反证法求解；（3）不妨设集合12,(),5nMa
26、aan，*,1,2,.,iaNin，且12.naaa.记*,1,ijTt taaij jN，进而利用反证法求解；【详解】解:12,4,6,8,10是“关联的”关联子集有2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，;1,2,3,5,8是“独立的”2记集合M的含有四个元素的集合分别为:12345,Aa a a a，21345,Aa a a a，31245,Aa a aa，41235,Aa aa a，51234,Aa aa a.所以，M至多有5个“关联子集”.若21345,Aa a a a为“关联子集”，则12345,Aa a aa不是“关联子集”，否则12aa同理可得若21345,Aa a a
27、 a为“关联子集”，则34,AA不是“关联子集”.所以集合M没有同时含有元素25,aa的“关联子集”，与已知矛盾.所以21345,Aa a aa一定不是“关联子集”答案第 17 页，总 18 页同理41235,Aa a a a一定不是“关联子集”.所以集合M的“关联子集”至多为135,AAA.若1A不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素35,a a的“关联子集”，与已知矛盾；若3A不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素15,a a的“关联子集”，与已知矛盾；若5A不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素13,a a的“关联子集”，与已知矛盾；所以135,AAA都是“关联子集”所
28、以有2534aaaa，即5432aaaa1524aaaa，即5421aaaa.1423aaaa，即4321=aaaa，所以54433221aaaaaaaa.所以12345,a aaa a是等差数列.3不妨设集合12,(),5nMa aan，*,1,2,.,iaNin，且12.naaa.记*,1,ijTt taaij jN.因为集合M是“独立的”的，所以容易知道T中恰好有212nn nC个元素.假设结论错误，即不存在xM，使得294nnx所以任取xM，294nnx，因为*xN，所以284nnx所以22228881134422ijnnnnnnnnaa所以任取tT，232nnt任取,123tT t，
29、答案第 18 页，总 18 页所以23,4,32nnT，且T中含有212nn nC个元素.(i)若3T，则必有121,2aa成立.因为5n，所以一定有121nnaaaa成立.所以12nnaa.所以22218822442nnnnnnnnaa*232,2nnTtttN，284nnan，21824nnan所以4T，所以33a，113naaaan有矛盾，(ii)若3T，23,4,32nnT而T中含有212nn nC个元素，所以*243,2nnTtttN所以284nnan，21814nnan因为4T，所以121,3aa.因为222nnT，所以2222nnnnaa所以22824nnan所以123naaaan，矛盾.所以命题成立.【点睛】本题属于新定义题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，不等式缩放法，排列组合，本题属于难题.