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1、 难点题型拔高练(二)1已知 A，B，C，D 四点均在以点 O1为球心的球面上，且 ABACAD2 5，BCBD4 2，CD8.若球 O2在球 O1内且与平面 BCD 相切，则球 O2直径的最大值为()A1 B2 C4 D8 解析：选 D 由题意，得 BC2BD2CD2，所以 BCBD，所以BCD 为等腰直角三角形如图，设 CD 的中点为 O，则 O 为BCD 的外心，且外接圆半径 r4.连接AO，BO，因为 ACAD2 5，所以 AOCD，AO2，又 BO4，所以 AO2BO2AB2，所以 AOBO，所以 AO平面 BCD，所以球心 O1在直线 AO 上设球 O1的半径为 R，则有 r2OO
2、21R2，即 16(R2)2R2，解得 R5.当球O2直径最大时，球 O2与平面 BCD 相切，且与球 O1内切，此时 A，O，O1，O2四点共线，所以球 O2直径的最大值为 ROO18.2已知函数 f(x)(xa)33xa(a0)在1，b上的值域为22a,0，则 b 的取值范围是()A0,3 B0,2 C2,3 D(1,3 解析：选 A 由题意，得 f(x)3(xa)233(xa1)(xa1)由 f(x)0，得 xa1 或 xa1，所以当 a1xa1 时，f(x)0，当 xa1 时，f(x)0，所以函数 f(x)在(a1，a1)上单调递减，在(，a1)，(a1，)上单调递增又 f(a1)2a
3、2，f(a1)2a2.若 f(1)2a2，即(1a)33a2a2，则 a1，此时 f(x)(x1)33x1，且 f(x)4 时，x1 或x2；由 f(x)0，解得 x0 或 x3.因为函数 f(x)在1，b上的值域为 4,0，所以 0b3.若 f(1)2a2，因为 a0，所以 a11，要使函数 f(x)在1，b上的值域为22a,0，需 a1b，此时 a11，b，所以 f 1 2a2，f a1 0，即 1a33a2a2，2a20，无解综上所述，b 的取值范围是0,3 3在平面四边形 ABCD 中，AB1，AC 5，BDBC，BD2BC，则 AD 的最小值为_ 解析：设BAC，ABD(0，)，则A
4、BC 2.在ABC 中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22AB ACcos 62 5cos ，由正弦定理，得BCsin ACsin 2，即 BC5sin cos.在ABD 中，由余弦定理，得 AD2AB2DB22AB DBcos 14BC24BCcos 14(62 5cos )45sin cos cos 258 5cos 4 5sin 2520sin()（其中 sin 2 55，cos 55），所以当 sin()1，即 sin 55，cos 2 55时，AD2取得最小值 5，所以 AD 的最小值为 5.答案：5 4椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右顶点为 A，右焦点为 F，上、下顶点
5、分别是 B，C，|AB|7，直线CF 交线段 AB 于点 D，且|BD|2|DA|.(1)求 E 的标准方程；(2)是否存在直线 l，使得 l 交椭圆于 M，N 两点，且 F 恰是BMN 的垂心？若存在，求 l 的方程；若不存在，说明理由 解：(1)法一：由题意知 F(c,0)，A(a,0)，B(0，b)，C(0，b)，所以直线 AB 的方程为xayb1，直线 CF 的方程为xcyb1，由 xayb1，xcyb1得，xD2acac.因为|BD|2|DA|，所以BD 2DA，所以BD 23|BA|，得2acac23a，解得 a2c，所以 ba2c2 3c.因为|AB|7，即 a2b2 7，所以
6、7c 7，所以 c1，a2，b 3，所以椭圆 E 的标准方程为x24y231.法二：如图，设椭圆 E 的左焦点为 G，连接 BG，由椭圆的对称性得 BGCF，则|GF|FA|BD|DA|2，即|GF|2|FA|，由题意知 F(c,0)，则|GF|2c，|FA|ac，所以 2c2(ac)，得 a2c，所以 b a2c2 3c.因为|AB|7，即 a2b2 7，即 7c 7，所以 c1，a2，b 3，所以椭圆 E 的标准方程为x24y231.(2)假设存在直线 l，使得 F 是BMN 的垂心，连接 BF，并延长，连接 MF，并延长，如图，则 BFMN，MF BN.由(1)知，B(0，3)，F(1,
7、0)，所以直线 BF 的斜率 kBF 3，易知 l 的斜率存在，设为 k，则 kBF k1，所以 k33，设 l 的方程为 y33xm，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 y33xm，x24y231，消去 y 得 13x28 3mx12(m23)0，由 (8 3m)241312(m23)0 得，393m393.x1x28 3m13，x1x212 m2313.因为 MF BN，所以MF BN 0，因为MF(1x1，y1)，BN(x2，y2 3)，所以(1x1)x2y1(y2 3)0，即(1x1)x233x1m33x2m 333x1m 0，整理得133m(x1x2)43x1x2m2 3m0，所
8、以133m 8 3m134312 m2313m2 3m0，整理得 21m25 3m480，解得 m 3或 m16 321.当 m 3时，M 或 N 与 B 重合，不符合题意，舍去；当 m16 321时，满足393m393.所以存在直线 l，使得 F 是BMN 的垂心，l 的方程为 y33x16 321.5已知函数 f(x)(ax22ax1)ex2.(1)讨论 f(x)的单调区间；(2)若 a17，求证：当 x0 时，f(x)0，f(x)0，所以 f(x)的单调递增区间为(，)当 a0 时，(4a)24a(2a1)4a(2a1)，()当 a12时，0，令 u(x)0，得 x12a 2a2aa，x
9、22a 2a2aa，且 x10，f(x)0，当 x(x1，x2)时，u(x)0，f(x)0，所以 f(x)的单调递增区间为，2a2a2aa，2a 2a2aa，单调递减区间为2a 2a2aa，2a 2a2aa.()当 0a12时，0，所以u(x)0，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，)当 a0，令 u(x)0，得 x12a 2a2aa，x22a 2a2aa，且 x20，f(x)0，当 x(，x2)(x1，)时，u(x)0，f(x)12时，f(x)的单调递增区间为，2a2a2aa，2a 2a2aa，单调递减区间为2a 2a2aa，2a 2a2aa；当 0a12时，f(x)的单调递增区间为
10、(，)；当a0时，f(x)的 单 调 递 增 区 间 为2a 2a2aa，2a 2a2aa，单 调 递 减 区 间 为，2a2a2aa，2a 2a2aa，.(2)证明：f(x)(ax22ax1)ex2aex(x22x)ex2，令 (a)aex(x22x)ex2，显然当 x0 时，ex(x22x)0，所以当 a17时，(a)17ex x22x7ex2.所以要证当 x0 时，f(x)0，只需证当 x0 时，ex x22x7ex20，即证当 x0 时，ex(x22x7)140.令 g(x)ex(x22x7)14，则 g(x)ex(x24x5)(x1)(x5)ex，所以当 x(0,1)时，g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，所以当 x0 时，g(x)g(1)144e0，从而当 x0 时，f(x)0.