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1、 难点题型拔高练(一)1过抛物线 y14x2的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在直线 y1 上，若ABC 为正三角形，则其边长为()A11 B12 C13 D14 解析：选 B 由题意可知，焦点 F(0,1)，易知过焦点 F 的直线的斜率存在且不为零，设为 k(k0)，则该直线方程为 ykx1(k0)，联立方程得 y14x2，ykx1，x24(kx1)，即 x24kx40，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x24k，x1x24，设线段 AB 的中点为 M，则 M(2k，2k21)，|AB|1k2 x1x224x1x2 1k216k216 4(1k2)，设 C(m，1
2、)，连接 MC，ABC 为等边三角形，kMC2k222km1k，m2k34k，点 C(m，1)到直线 ykx1 的距离|MC|km2|1k232|AB|，|km2|1k2324(1k2)，2k44k221k22 3(1k2)，1k2 3，k 2，|AB|4(1k2)12.2已知函数 f(x)2sin(x )(0,0)，f 8 2，f 20，且 f(x)在(0，)上单调下列说法正确的是()A 12 Bf 86 22 C函数 f(x)在，2上单调递增 D函数 f(x)的图象关于点34，0 中心对称 解析：选 C 由题意得函数 f(x)的最小正周期 T2，因为 f(x)在(0，)上单调，所以T2，得
3、 0 1.因为 f 8 2，f 20，所以 f(x)在(0，)上单调递减，又 0 ，0 1，所以 8 34，2 ，解得 23，23，所以 f(x)2sin23x23.选项 A 显然不正确 因为 f 82sin238232sin7126 22，所以 B 不正确 因为当 x2时，023x233，所以函数 f(x)在，2上单调递增，故 C 正确 因为 f 342sin2334232sin760，所以点34，0 不是函数 f(x)图象的对称中心，故 D 不正确 3 已知函数 f(x)x2x1x1，g(x)ln xx，若函数 yf(g(x)a 有三个不同的零点 x1，x2，x3(其中 x1x2x3)，则
4、 2g(x1)g(x2)g(x3)的取值范围为_ 解析：g(x)ln xx，g(x)1ln xx2.当 0 x0，g(x)单调递增；当xe 时，g(x)0，g(x)单调递减作出函数 g(x)的大致图象如图所示，令 g(x)t，由 f(t)at2t1t1a0，得关于 t 的一元二次方程 t2(a1)t1a0，又 f(g(x)a0 有三个根 x1，x2，x3，且 x1x2x3，结合 g(x)的图象可知关于t 的一元二次方程有两个不等实根，不妨设为 t1，t2，且 t1t2，则 0t11e，t21e或 t10t20，得 1a4.当 0t11e，t21e时，0t1t24，不符合题意，舍去t10t21e
5、，g(x1)t1，g(x2)g(x3)t2，2g(x1)g(x2)g(x3)2t12t22(t1t2)2(1a)令 1a，(t)t2(a1)t1at2t ，由 t10t21e可知，0 0，即 0，解得1ee2 b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且离心率为22，M 为椭圆上任意一点，当F1MF290 时，F1MF2的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知 A 是椭圆 C 上异于椭圆顶点的一点，连接并延长 AF1，AF2，分别与椭圆交于点 B，D，设直线BD 的斜率为 k1，直线 OA 的斜率为 k2(O 为坐标原点)，求证：k1 k2为定值 解：(1)设|MF1|r1，|MF2|r
6、2，由题意，得 eca22，r1r22a，r21r224c2，12r1 r21，a 2，c1，则 b2a2c21，椭圆 C 的方程为x22y21.(2)证明：易知直线 AF1，AF2的斜率均不为 0.设 B(x1，y1)，D(x2，y2)，当直线 AF1的斜率不存在时，不妨令 A1，22，则 B1，22，又 F1(1,0)，F2(1,0)，直线 AF2的方程为 y24(x1)，将其代入x22y21，整理可得 5x22x70，x275，y2210，则 D 75，210，直线 BD 的斜率 k12102275 126，直线 OA 的斜率 k222，k1 k2262216.当直线 AF2的斜率不存在
7、时，同理可得 k1 k216.当直线 AF1，AF2的斜率都存在且不为 0 时，设 A(x0，y0)，则 x0y00，则直线 AF1的方程为 yy0 x01(x1)，联立，得 yy0 x01 x1，x22y21，消去 y 可得，(x01)22y20 x24y20 x2y202(x01)20，又x202y201，2y202x20，(32x0)x22(2x20)x3x204x00，x1 x03x204x032x0，x13x0432x0，则 y1y0 x013x0432x01 y032x0，B 3x042x03，y02x03.直线 AF2的方程为 yy0 x01(x1)，同理可得 D3x042x03
8、，y02x03，直线 BD 的斜率 k1y02x03y02x033x042x033x042x034x0y012x2024x0y03x206，直线 OA 的斜率 k2y0 x0，k1 k2x0y03x206y0 x0y203x2061x2023x20616.综上，k1 k2为定值，且定值为16.5.已知函数 f(x)(xb)(exa)(b0)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为(e1)xeye10.(1)求 a，b；(2)若方程 f(x)m 有两个实数根 x1，x2，且 x1x2，证明：x2x11m 12e1e.解：(1)由题意得 f(1)0，所以 f(1)(1b)1ea 0，所以 a1e或
9、b1.又 f(x)(xb1)exa，所以 f(1)bea11e，若 a1e，则 b2e0 矛盾，故 a1，b1.(2)证明：由(1)可知 f(x)(x1)(ex1)，f(0)0，f(1)0，设曲线 yf(x)在点(1,0)处的切线方程为 yh(x)，则 h(x)1e1(x1)，令 F(x)f(x)h(x)，则 F(x)(x1)(ex1)1e1(x1)，F(x)(x2)ex1e，当 x2 时，F(x)(x2)ex1e1e2 时，设 G(x)F(x)(x2)ex1e，则 G(x)(x3)ex0，故函数 F(x)在(2，)上单调递增，又 F(1)0，所以当 x(，1)时，F(x)0，所以函数 F(x
10、)在区间(，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，故 F(x)F(1)0，所以 f(x)h(x)，所以 f(x1)h(x1)设 h(x)m 的根为 x1，则 x11me1e，又函数 h(x)单调递减，且 h(x1)f(x1)h(x1)，所以 x1x1，设曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 yt(x)，易得 t(x)x，令 T(x)f(x)t(x)(x1)(ex1)x，T(x)(x2)ex2，当 x2 时，T(x)(x2)ex222 时，设 H(x)T(x)(x2)ex2，则 H(x)(x3)ex0，故函数 T(x)在(2，)上单调递增，又 T(0)0，所以当 x(，0)时，T(x)0，所以函数 T(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，所以 T(x)T(0)0，所以 f(x)t(x)，所以 f(x2)t(x2)设 t(x)m 的根为 x2，则 x2m，又函数 t(x)单调递增，且 t(x2)f(x2)t(x2)，所以 x2x2.又 x1x1，所以 x2x1x2x1m1me1e1m 12e1e.