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1、 难点题型拔高练(四)1已知函数 f(x)mx1nln x(m0,0ne)在区间1，e内有唯一零点，则n2m1的取值范围为()A.e2e2e1，e21 B.2e1，e21 C.2e1，1 D 1，e21 解析：选 A f(x)mx2nxmnxx2，当 n0 时，f(x)mx20，当 0ne 时，令 f(x)0，则 xmn0，所以函数 f(x)在1，e上单调递减，由函数 f(x)在区间1，e内有唯一零点，得 f 1 0，f e 0，即 m10，me1n0，即 m10，meen0，或 f 1 0，f e 0，即 m10，meen0，又 m0,0ne，所以 m10，meen0，m0，0ne，(1)或
2、 m10，meen0，m0，0ne，(2)所以 m，n 满足的可行域如图(1)或图(2)中的阴影部分所示，则n2m1n 2m 1表示点(m，n)与点(1，2)所在直线的斜率，当 m，n 满足不等式组(1)时，n2m1的最大值在点(1，e)处取得，为e211e21，当 m，n 满足不等式组(2)时，n2m1的最小值在 A 点处取得，根据 meen0，ne，得 me2e，ne，所 以最小值为e2e2e1，故选 A.2已知 P 为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)右支上的任意一点，经过点 P 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别相交于 A，B 两点若点 A，B 分别位于第一、四象限，O 为
3、坐标原点，当 AP 12PB 时，AOB的面积为 2b，则双曲线 C 的实轴长为()A.329 B.169 C.89 D.49 解析：选 A 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由 AP 12PB，得(xx1，yy1)12(x2x，y2y)，则 x23x113x2，y23y113y2，所以23x113x22a223y113y22b21.易知点 A 在直线 ybax 上，点 B 在直线 ybax 上，则 y1bax1，y2bax2，所以23x113x22a22b3ax1b3ax22b21，即 b223x113x22a22b3ax1b3ax22a2b2，化简可得 a289x1x2
4、.由渐近线的对称性可得 sinAOBsin 2AOx2sinAOxcosAOxsin2AOxcos2AOx2tanAOxtan2AOx12baba212abb2a2，所以AOB 的面积为12|OA|OB|sinAOB12x21y21x22y22sinAOB 12 x21bax12 x22bax222abb2a2 x1x2 1ba2 1ba2abb2a2 98a2abb2a21ba2 98a2abb2a2b2a2a298ab2b，得 a169，所以双曲线 C 的实轴长为329.3已知数列an共 16 项，且 a11，a84.记关于 x 的函数 fn(x)13x3anx2(a2n1)x，nN*.若
5、 xan1(1n15)是函数 fn(x)的极值点，且曲线 yf8(x)在点(a16，f8(a16)处的切线的斜率为 15，则满足条件的数列an的个数为_ 解析：fn(x)x22anxa2n1x(an1)x(an1)，令 fn(x)0，得 xan1 或 xan1，所以 an1an1或 an1an1(1n15)，所以|an1an|1(1n15)，又 f8(x)x28x15，所以 a2168a161515，解得 a160 或 a168，当 a160 时，a8a1(a2a1)(a3a2)(a8a7)3，得 ai1ai(1i7，iN*)的值有 2 个为1,5 个为 1；由 a16a8(a9a8)(a10
6、a9)(a16a15)4，得 ai1ai(8i15，iN*)的值有 6 个为1,2 个为 1.所以此时数列an的个数为 C27C28588，同理可得当 a168 时，数列an的个数为 C27C28588.综上，数列an的个数为 2C27C281 176.答案：1 176 4已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，左顶点为 A，离心率为22，点 B 是椭圆上的动点，ABF1面积的最大值为212.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，线段 MN 的中垂线为 l.若直线 l与直线l 相交于点 P，与直线 x2
7、 相交于点 Q，求|PQ|MN|的最小值 解：(1)由已知得 eca22，即 a22c2.a2b2c2，bc.设 B 点的纵坐标为 y0(y00)，则 SABF112(ac)|y0|12(ac)b212，即(2bb)b 21，b1，a 2.椭圆 C 的方程为x22y21.(2)由(1)可知 F1(1,0)，由题意知直线 l 的斜率不为 0，故设直线 l：xmy1，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)，Q(2，yQ)联立，得 x22y22，xmy1，消去 x，得(m22)y22my10，此时 8(m21)0，y1y22mm22，y1y21m22.由弦长公式，得|MN|1m2|
8、y1y2|1m2 4m24m28m222 2m21m22.又 yPy1y22mm22，xPmyP12m22，|PQ|1m2|xP2|1m22m26m22，|PQ|MN|2m262 2 m2122m23m2122（m212m21）2，当且仅当m212m21，即 m 1 时等号成立，当 m 1，即直线 l 的斜率为 1 时，|PQ|MN|取得最小值 2.5已知函数 f(x)xln xax1，aR.(1)当 x0 时，若关于 x 的不等式 f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围；(2)当 nN*时，证明：n2n4(ln 2)2ln 322ln n1n2nn1.解：(1)由 f(x)0，得 xln x
9、ax10(x0)，即aln x1x恒成立，即aln x1xmin.令 F(x)ln x1x(x0)，则 F(x)1x1x2x1x2，函数 F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，函数 F(x)ln x1x的最小值为 F(1)1，a1，即 a1，a 的取值范围是1，)(2)证明：n2n4为数列1 n1n2的前 n 项和，nn1为数列1n n1的前 n 项和，只需证明1 n1n2ln n1n21n n1即可 由(1)知，当 a1 时，xln xx10，即 ln x11x，令 xn1n1，得 ln n1n1nn11n1，ln n1n21n121 n1n2.现证明ln n1n21n n1，即 2ln n1n1nn1n1nnn1 n1n nn1.(*)现证明 2ln xx1x(x1)，构造函数 G(x)x1x2ln x(x1)，则 G(x)11x22xx22x1x20，函数 G(x)在(1，)上是增函数，即 G(x)G(1)0，即 2ln xx1x成立 令 x n1n，则(*)式成立 综上，得1 n1n2ln n1n21n n1.对数列1 n1n2，ln n1n2，1n n1分别求前 n 项和，得n2n4(ln 2)2ln 322ln n1n2nn1.