高考理科数学全国卷Ⅲ理数.pdf

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1、2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)第 1页（共 14 页）2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为 2019 年高考理科数学全国卷理数(附参

2、考答案和详解)的全部内容。2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)第 2页（共 14 页）绝密启用前 6 月 7 日 15：0017:00 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷)数学（理工农医类)总分：150 分 考试时间:120 分钟 祝考试顺利 注意事项:1、本试卷分第 I 卷(选择题）和第 II 卷（非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。2、选择题的作答:选出每小题答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效.3、填空题和解

3、答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。4、考试结束后,将本试卷和答题卡一并上交。第 I 卷 一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（2019 全国卷理）已知集合 1,0,1,2 A，2|1 B x x,则A B（)A。1,0,1 B。0,1 C.1,1 D.0,1,2【解析】因为 2|1|1 1 B x x x x，又 1,0,1,2 A，所以A B 1,0,1.故选 A.【答案】A 2.(2019 全国卷理)若(1 i)2i z,则z(）A.1 i B.1 i C

4、。1 i D.1 i【解析】由(1 i)2i z，得2i 2i(1 i)2i(1 i)i(1 i)1 i1 i(1 i)(1 i)2z.故选 D【答案】D 3.（2019 全国卷理)西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生,其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A。0.5 B.0.6 C。0.7 D。0.8 2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)第

5、 3页（共 14 页）【解析】设调查的 100 位学生中阅读过西游记的学生人数为 x，则80 60 90 x，解得70 x，所以该校阅读过西游记的学生人数与该校总人数的比值的估计值为700.7100,故选C.【答案】C 4。(2019 全国卷理)2 4(1 2)(1)x x 的展开式中 3x的系数为（）A。12 B.16 C。20 D.24【解析】2 4(1 2)(1)x x 的展开式中 3x的系数为 3 14 41 C 2C 12。故选 A.【答案】A 5。（2019 全 国 卷 理）已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 na的 前4项 和 为15,且5 3 13 4 a a

6、a，则3a（)A.16 B.8 C.4 D.2【解析】设正数的等比数列 na的公比为q，则12 31 1 1 14 21 1 1150,3 40 aa a q a q a qa q q aqa 解得 11,2,aq 所以 23 14 a a q 故选 C.【答案】C 6。(2019 全国卷理)已知曲线e lnxy a x x 在点(1,e)a处的切线方程为2 y x b，则()A。e a，1 b B。e a，1 b C。1e a，1 b D.1e a，1 b【解析】e ln 1xy a x，1|e 1xk y a，所以切线方程为e(e 1)(1)y a a x,即(e 1)1 y a x。又因

7、为切线方程为2 y x b，所以e 1 21ab，即 1e a，1 b.故选 D.【答案】D 7。（2019 全国卷理）函数322 2x xxy在 6,6 的图象大致为（)A.B.2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)第 4页（共 14 页）C.D。【解析】因为32(),6,62 2x xxy f x x，所以3 32()2()()2 2 2 2x x x xx xf x f x,所以()f x是奇函数，排除选项 C.当4 x 时，34 42 4 128(7,8)12 21616y，排除选项 A，D.故选 B.【答案】B 8.(2019 全国卷理）如图，点N为正方形ABCD的中

8、心,ECD 为正三角形，平面ECD ABCD 平面,M是线段ED的中点，则（）A.BM EN，且直线BM，EN是相交直线 B。BM EN，且直线BM，EN是相交直线 C。BM EN，且直线BM，EN是异面直线 D。BM EN，且直线BM,EN是异面直线【解析】取 CD的中点 O，连接 EO，ON。由ECD 是正三角形,平面 ECD 平面 ABCD,知 EO 平面 ABCD,所以 EO CD,EO ON。又 N是正方形 ABCD 的中心，所以 ON CD.以 CD的中点 O为原点，ON方向为 x 正方向建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设2 AD，则(0,0,3)E，(0,1,0)N,1 3,0

9、,2 2M，(1,2,0)B，所以 2 2|1(3)2 EN，23 3|4 72 4BM，所以EN BM.连接 BD，BE，因为点 N是正方形 ABCD 的中心，所以点 N在 BD上，且BN DN，所以 BM，EN 是DBE 的中位线，所以 BM，EN必相交。故选 B。2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)第 5页（共 14 页）【答案】B 9。(2019 全国卷理）执行如图的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于（）A。4122 B.5122 C。6122 D。7122【解析】0.01，11,0,0 1 1,2x s s x x 不成立；1 11,2 4s x x

10、不成立;1 1 11,2 4 8s x x 不成立；1 1 1 11,2 4 8 16s x x 不成立；1 1 1 1 11,2 4 8 16 32s x x 不成立；1 1 1 1 1 11,2 4 8 16 32 64s x x 不成立；1 1 1 1 1 1 11,2 4 8 16 32 64 128s x x 成立，此时输出6122s，故选 C。2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)第 6页（共 14 页）【答案】C 10。（2019 全国卷理）双曲线C：2 214 2x y 的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO PF，则PFO 的面积为（）A

11、。3 24 B.3 22 C。2 2 D。3 2【解析】双曲线2 214 2x y 的右焦点坐标为坐标为(6,0)，一条渐近线的方程为22y x，不妨设点 P 在第一象限，由于|PO PF,则点 P 的横坐标为62，纵坐标为2 6 32 2 2，即 PFO的底边长为6，高为32，所以它的面积为1 3 3 262 2 4。故选 A。【答案】A 11。（2019 全国卷理）设()f x是定义域为R的偶函数,且在(0,)单调递减，则(）A.2 33 231log 2 24f f f B.2 33 231log 2 24f f f C。2 33 2312 2 log4f f f D。2 33 2312

12、 2 log4f f f【解析】因为()f x是定义域为 R的偶函数，所以3 3 31log(log 4)(log 4)4f f f，又因为2 33 23(log 4)1 2 2 0 f，且函数()f x在(0,)上单调递增减，所以2 33 2312 2 log4f f f，故选 C。【答案】C 12.(2019 全国卷理)设函数sin(0)5()x f x,已知()f x在0,2 有且仅有5个零点,下述四个结论：()f x在(0,2)有且仅有3个极大值点；()f x在(0,2)有且仅有2个极小值点；()f x在0,10 单调递增；的取值范围是12 29,5 10 其中所有正确结论的编号是（）

13、A。B。C.D.2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)第 7页（共 14 页）【解析】已知sin(0)5()x f x 在0,2 上有且仅有5个零点，如图，其图像的右端点的横坐标在区间,)a b上，此时()f x在(0,2)上有且仅有 3 个极大值点，()f x在(0,2)上可能有 2 或 3 个极小值点，所以正确，不正确；当0,2 x时，,25 5 5x，由()f x在0,2 上有且仅有5个零点可得 5 25 6，解得的取值范围是12 29,5 10，所以正确；当0,10 x 时，49 5 5 10 5 100 2x，所以()f x在0,10 单调递增，所以正确.故选 D.【

14、答案】D 第卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.13。（2019 全 国 卷 理）已 知a，b为 单 位 向 量，且0 a b,若2 5 c a b,则cos,a c【解析】由题意得22(2 5)2|5 2 2cos,3|2 5|1 4 5|2 5|a a b a a ba c|a|a b|a|a b。【答案】23 14。(2019 全 国 卷 理）记nS为 等 差 数 列 na的 前n项 和，10 a,2 13 a a，则105SS【解析】由10 a，2 13 a a，可得12 d a，所以10 1 110 910 1002S a d a，5 1 15 45 252S a d

15、a，所以 1054SS.【答案】4 2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)第 8页（共 14 页）15。(2019 全国卷理）设1F,2F为椭圆C:2 2136 20 x y 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若1 2MF F 为等腰三角形，则M的坐标为【解析】设1F为椭圆的左焦点,分析可知点 M在以1F为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆2 2(4)64 x y 上。因为点 M在椭圆2 2136 20 x y 上,所以联立方程可得2 22 213(4)6246 0 x yx y，解得315.xy，又因为点 M在第一象限，所以点 M的坐标为(3,15)。【答案】(3,15)16。

16、（2019 全国卷理）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体1 1 1 1-ABCD A B C D挖去四棱锥-O EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,F，G，H分别为所在棱的中点，6cm AB BC，14cm AA,3D打印所用原料密度为 30.9g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g【解析】由题知，挖去的四棱锥的是一个菱形，对角线长分别是 6 cm 和 4 cm，故 31 14 6 3 12(cm)3 2V 挖去的四棱锥.又 36 6 4 144(cm)V 长方体,所以模型的体积为 3144 12 132(cm)V V 长方体 挖去

17、的四棱锥,所以制作该模型所需原料的质量为132 0.9 118.8(g).【答案】118.8 三、解答题:本题共 70 分。17.(2019 全国卷理）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成 A,B 两组,每组100只，其中 A组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)第 9页（共 14 页）服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()P

18、C的估计值为0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)【解析】（1）由题得0.20 0.15 0.70.a 解得0.35.a 由0.05 0.15 1()1 0.70.b P C 解得0.10.b（2）由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为：0.15 2 0.20 3 0.30 4 0.20 5 0.10 6 0.05 7 4.05.乙离子残留百分比的平均值为:0.05 3 0.10 4 0.15 5 0.35 6 0.20 7 0.15 8 6.18.（2019 全 国 卷 理）ABC 的

19、 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a,b，c 已 知sin sin2A Ca b A(1)求B；(2）若ABC 为锐角三角形，且1 c，求ABC 面积的取值范围【解析】(1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin2A CA B A 因为sin 0 A，所以sin sin2A CB 由180 A B C，可得sin cos2 2A C B，故cos 2sin cos2 2 2B B B 因为cos 02B,故1sin2 2B，因此60 B（2)由题设及（1)知ABC 的面积34ABCS a 2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)第 10页（共 14 页）由正弦定理

20、得sin sin(120)3 1sin sin 2tan 2c A CaC C C 由于ABC 为锐角三角形,故0 90 A，0 90 C，由（1）知120 A C,所以30 90 C，故122a，从而3 38 2ABCS 因此，ABC 面积的取值范围是3 3,8 2 19.（2019 全国卷理）图1是由矩形ADEB，Rt ABC 和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1 AB，2 BE BF，60 FBC 将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG,如图2(1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且ABC BCGE 平面 平面；（2)求图2中的二面角-B CG A的大小【解析】（1）

21、由已知得AD BE，CG BE，所以AD CG，故AD，CG确定一个平面，从而A,C，G，D四点共面 由已知得AB BE,AB BC，故AB BCGE 平面 又因为AB ABC 平面，所以ABC BCGE 平面 平面(2）作EH BC，垂足为H 因为EH BCGE 平面，BCGE ABC 平面 平面，所以EH ABC 平面 由已知，菱形BCGE的边长为2，60 EBC，可求得1 BH，3 EH 以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H xyz，则(1,1,0)A，(1,0,0)C，(2,0,3)G，(1,0,3)CG，(2,1,0)AC 设平面ACGD的法向量为

22、(,)x y z n，则 2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)第 11页（共 14 页）0,0,CGAC nn即3 0,2 0.x zx y 所以可取(3,6,3)n 又平面BCGE的法向量可取为(0,1,0)m，所以3cos,|2 n mn mn m 因此二面角-B CG A的大小为30 20.（2019 全国卷理）已知函数 3 2()2 f x x ax b（1）讨论()f x的单调性；(2）是否存在a，b，使得()f x在区间0,1的最小值为1 且最大值为1?若存在，求出a,b的所有值；若不存在,说明理由(1）2()6 2 2(3)f x x ax x x a，令()0

23、 f x，得0 x 或3ax，若0 a，则当(,0),3ax 时，()0 f x;当0,3ax 时，()0 f x，故()f x在(,0),3a 单调递增，在0,3a 单调递减；若0 a，()f x在(,)单调递增；若0 a，则当,(0,)3ax 时，()0 f x；当,03ax 时,()0 f x，故()f x在,3a,(0,)单调递增，在,03a 单调递减（2)满足题设条件的a，b存在(i）当0 a 时,由（1）知，()f x在0,1单调递增，所以()f x在区间0,1的最小值为(0)f b，最大值为(1)2 f a b 此时a，b满足题设条件当且仅当1 b，2 1 a b,即0 a，1

24、b（ii）当3 a 时，由（1）知，()f x在0,1单调递减,所以()f x在区间0,1的最大值为(0)f b,最小值为(1)2 f a b 此时a，b满足题设条件当且仅当2 1 a b，1 b，即4 a,1 b(iii)当0 3 a 时，由（1)知，()f x在0,1的最小值为33 27a af b,最大值为b或2 a b 2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)第 12页（共 14 页）若3127ab,1 b,则 33 2 a，与0 3 a 矛盾 若3127ab，2 1 a b,则3 3 a 或3 3 a 或0 a,与0 3 a 矛盾 综上,当且仅当0 a，1 b 或4 a

25、,1 b 时，()f x在0,1的最小值为1,最大值为1 21.（2019 全国卷理）已知曲线C:22xy，D为直线12y 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B(1）证明:直线AB过定点;（2)若以50,2E 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积【解析】（1)设1,2D t，1 1(,)A x y，则 21 12 x y 由于y x，所以切线DA的斜率为1x，故11112yxx t 整理得1 12 2 1 0 tx y 设2 2(,)B x y，同理可得2 22 2 1 0 tx y 故直线AB的方程为2 2 1 0 tx y 所以直线AB过定点1

26、0,2（2）由（1）得直线AB的方程为12y tx 由21,22y txxy 可得 22 1 0 x tx 于是1 22 x x t，1 21 x x，21 2 1 2()1 2 1 y y t x x t，2 2 2 21 2 1 2 1 21 1()4 2(1)AB t x x t x x x x t 设1d，2d分别为点D，E到直线AB的距离，则 211 d t，2221dt 因此,四边形ADBE的面积 2 21 21()(3)12S AB d d t t 设M为线段AB的中点，则 21,2M t t 由于EM AB，而 2(,2)EM t t，AB与向量(1,)t平行,所以 2(2)0

27、 t t t,解得0 t 或1 t 2019 年高考理科数学全国卷理数(附参考答案和详解)第 13页（共 14 页）当0 t 时，3 S；当1 t 时，4 2 S 因此,四边形ADBE的面积为3或4 2 22.（2019 全国卷理)如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A，2,4B，32,4C,(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，1,2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程;（2）曲线M由1M，2M，3M构成,若点P在M上，且3 OP，求P的极坐标【解析】(1)由题设可得，弧AB，BC，CD所在圆的极坐标方

28、程分别为2cos，2sin，2cos 所以1M的极坐标方程为2cos 04，2M的极坐标方程为 32sin4 4，3M的极坐标方程为32cos 4（2）设(,)P，由题设及(1）知:若04，则2cos 3，解得6；若 34 4，则2sin 3，解得3 或23；若34，则2cos 3，解得56 综上,P的极坐标为3,6 或3,3 或23,3 或53,6 23。（2019全国卷理）设,x y z R,且1 x y z（1)求 2 2 2(1)(1)(1)x y z 的最小值；(2）若 2 2 21(2)(1)()3x y z a 成立,证明：3 a 或1 a 2019 年高考理科数学全国卷理数(附

29、参考答案和详解)第 14页（共 14 页）【解析】（1）由于2(1)(1)(1)x y z(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y y z z x 2 2 23(1)(1)(1),x y z 故由已知得 2 2 24(1)(1)(1)3x y z，当且仅当53x，13y，13z 时等号成立 所以 2 2 2(1)(1)(1)x y z 的最小值为43（2）由于 2(2)(1)()x y z a(2)(1)(1)()()(2)x y y z a z a x 2 2 23(2)(1)(),x y z a 故由已知得22 2 2(2)(2)(1)()3ax y z a，当且仅当43ax,13ay，2 23az时等号成立 因此 2 2 2(2)(1)()x y z a 的最小值为2(2)3a 由题设知2(2)13 3a，解得3 a 或1 a