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1、2 0 1 0 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(全 国 卷)文科数学(必修+选修)本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷 注意事项:1答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。3 第 I 卷共 12 小题,每小题 5
2、分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。参考公式:如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式 如果事件A、B相互独立,那么 其中 R表示球的半径()()()P A B P A P B g g 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是p,那么 334V R n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中 R表示球的半径 一、选择题(1)cos300(A)32(B)-12(C)12(D)32 1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】1cos300 cos 360 60 cos602(2)设全集 1,2,3,4,5 U,集
3、合 1,4 M,1,3,5 N,则 UN M A.1,3 B.1,5 C.3,5 D.4,5 2.C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】2,3,5UM,1,3,5 N,则 UN M 1,3,5 2,3,5=3,5(3)若变量,x y满足约束条件1,0,2 0,yx yx y 则2 z x y 的最大值为(A)4(B)3(C)2(D)1 3.B【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域(如右图),1 122 2z x y y x z,由图可知,当直线l经过点 A(1,-1)时,z 最大,且最大值为max1 2(1)3 z.
4、(4)已知各项均为正数的等比数列 na,1 2 3a a a=5,7 8 9a a a=10,则4 5 6a a a=(A)5 2(B)7(C)6(D)4 2 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识,着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知 31 2 3 1 3 2 2()5 a a a a a a a g,37 8 9 7 9 8 8()a a a a a a a g10,所以132 850 a a,所以13 3 364 5 6 4 6 5 5 2 8()()(50)5 2 a a a a a a a a a g(5)4 3(
5、1)(1)x x 的展开式 2x的系数是(A)-6(B)-3(C)0(D)3 5.A.【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是展开式的通项公式的灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数,同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】1 34 3 2 3 42 2(1)(1)1 4 6 4 1 3 3 x x x x x x x x x 2x的系数是-12+6=-6(6)直三棱柱1 1 1ABC A B C 中,若90 BAC,1AB AC AA,则异面直线 1BA与1AC所成的角等于(A)30(B)45(C)60(D)90 6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱
6、柱1 1 1ABC A B C 的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长 CA到 D,使得AD AC,则1 1ADAC为平行四边形,1DA B 就是异面直线 1BA与1AC所成的角,又三角形1A DB为等边三角形,0160 DA B(7)已知函数()|lg|f x x.若a b 且,()()f a f b,则a b 的取值范围是(A)(1,)(B)1,)(C)(2,)(D)2,)7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小题x A 0:2 0 l x y A A B C D A1 B1 C1 D1 O 时极易忽视 a 的取值范围,
7、而利用均值不等式求得 a+b=12 aa,从而错选 D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或1ba,所以 a+b=1aa 又 0ab,所以 0a1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+).【解析 2】由 0ab,且 f(a)=f(b)得:0 111abab,利用线性规划得:0 111xyxy,化为求z x y 的取值范围问题,z x y y x z,21 11 y yx x 过点 1,1时 z 最小为 2,(C)(2,)(8)已知1F、2F为双曲线 C:2 21 x y 的左、右焦点,点 P 在
8、C 上,1F P2F=060,则(A)2(B)4(C)6(D)8 8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理,考查转化的数学思想,通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析 1】.由余弦定理得 cos 1FP2F=2 2 21 2 1 21 2|2|PF PF F FPF PF 1 2|PF PF g4【解析 2】由焦点三角形面积公式得:1 2|PF PF g4(9)正方体ABCD-1 1 1 1A B C D中,1BB与平面1ACD所成角的余弦值为(A)23(B)33(C)23(D)63 9.D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点
9、到平面的距离的求法,利用等体积转化求出 D到平面 AC1D的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析 1】因为 BB1/DD1,所以B1B与平面 AC1D所成角和DD1与平面 AC1D所成角相等,设 DO 平 面AC1D,由 等 体 积 法 得1 1D ACD D ACDV V,即111 13 3ACD ACDS DO S DD.设 DD1=a,则 12 211 1 3 3sin 60(2)2 2 2 2ACDS AC AD a a og,21 12 2ACDS AD CD a g.所以1312333ACDACDS DD aDO aSa g,记 DD1与平面 AC1D所成角为
10、,则13sin3DODD,所以6cos3.【解析 2】设上下底面的中心分别为1,O O;1O O与平面AC1D所成角就是B1B与平面AC1D所成角,11 113 6cos 1/32O OO ODOD(10)设123log 2,ln 2,5 a b c 则(A)a b c(B)b c a(C)c a b(D)c b a 10.C【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析 1】a=3log2=21log 3,b=In2=21log e,而2 2log 3 log 1 e,所以 ab,c=125=15,而2 25
11、 2 log 4 log 3,所以 ca,综上 cab.【解 析 2】a=3log2=321log,b=ln2=21loge,32 21 log log 2e,32 21 1 112 log loge;c=121 1 1525 4,cab(11)已知圆O的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么PA PB uu u v uu u v的最小值为(A)4 2(B)3 2(C)4 2 2(D)3 2 2 11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析 1】如图所示:设
12、 PA=PB=x(0)x,APO=,则 APB=2,PO=21 x,21sin1 x,|cos 2 PA PB PA PB uu u v uu u v uu u v uu u v=2 2(1 2sin)x=P A B O 2 22(1)1x xx=4 221x xx,令PA PB y u u u v u u u v,则4 221x xyx,即4 2(1)0 x y x y,由2x是实数,所以 2(1)4 1()0 y y,26 1 0 y y,解 得3 2 2 y 或3 2 2 y.故min()3 2 2 PA PB uu u v uu u v.此时2 1 x.【解析 2】设,0 APB,2c
13、os 1/tan cos2PA PB PA PB u u u v u u u v 2 2222 21 sin 1 2sincos2 221 2sin2sin sin2 2 换 元:2sin,0 12x x,1 1 212 3 2 2 3x xPA PB xx x u u u v u u u v【解析 3】建系:园的方程为2 21 x y,设1 1 1 1 0(,),(,),(,0)A x y B x y P x,(12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A)2 33(B)4 33(C)2 3(D)8 33 12.B【命
14、题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过 CD 作平面 PCD,使 AB 平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为h,则有ABCD1 1 22 23 2 3V h h 四面体,当 直 径 通 过 AB 与 CD 的 中 点 时,2 2max2 2 1 2 3 h,故max4 33V.第卷 注意事项:1 答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2 第卷共 2 页,请用直径 0.5
15、 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无效。3.第卷共 10 小题,共 90 分。二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上 (注意:在试题卷上作答无效)(13)不等式2203 2xx x f的解集是.13.2 1,2 x x x 或【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法【解 析】:2203 2xx x f 20 2 2 1 02 1xx x xx x,数 轴 标 根 得:2 1,2 x x x 或(14)已知为第二象限的角,3sin5a,则tan 2.14.247【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关
16、系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解 析】因 为为 第 二 象 限 的 角,又3sin5,所 以4cos5,sin 3tancos 4,所22 tan 24tan(2)1 tan 7(15)某学校开设 A类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 种.(用数字作答)15.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析 1】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 1 23 4C C种不同的选法;(2)A 类选修课选 2
17、 门,B 类选修课选 1 门,有 2 13 4C C种不同的选法.所以不同的选法共有 1 23 4C C+2 13 418 12 30 C C 种.【解析 2】:3 3 37 3 430 C C C(16)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且BF 2FD uu r uur,则C的离心率为.16.33【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识,考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点:“数研究形,形助数”,利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析 1】如图,2 2|BF b c a,作 1DD y 轴于点 D1,则
18、由BF 2FD uu r uur,得 1|2|3OF BFDD BD,所以13 3|2 2DD OF c,即32Dcx,由椭圆的第二定义得2 23 3|()2 2a c cFD e ac a 又由|2|BF FD,得232,ca aa 33e【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式2 22 21x ya b,设 2 2,D x y,F 分 BD 所成的比为 2,2 22 23 0 2 2 3 3 3 0;1 2 2 2 1 2 2 2 2cc c cy b x b y b bx x x c y y,代入 2 22 29 114 4c ba b,33e 三解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答
19、应写出文字说明,证明过程或演算步骤(17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效)记等差数列 na的前n项和为nS,设312 S,且1 2 32,1 a a a 成等比数列,求nS.(18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)已知ABC V的内角A,B及其对边a,b满足cot cot a b a A b B,求内角C(19)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家
20、的评审,则予以录用,否则不予录 用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 各专家独立评审(I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率;(II)求投到该杂志的 4 篇稿件中,至少有 2 篇被录用的概率(20)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥 S-ABCD 中,SD底面 ABCD,AB/DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱 SB上的一点,平面 EDC平面 SBC.()证明:SE=2EB;()求二面角 A-DE-C 的大小.(21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)已知函数4 2()3
21、2(3 1)4 f x ax a x x(I)当16a 时,求()f x的极值;(II)若()f x在 1,1 上是增函数,求a的取值范围(22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)已知抛物线2:4 C y x 的焦点为 F,过点(1,0)K 的直线l与C相交于A、B两点,点 A关于x轴的对称点为 D.()证明:点F在直线BD上;()设89FA FB u u u r u u u rg,求BDK 的内切圆M的方程.三,解答题:接答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17)解:(1)由am=a1+(n-1)d 及 a1=5,aw=9 得 a1+2d=5 a1+9d=-9 解得 a
22、1=9 d=-2 数列 am 的通项公式为 an=11-2n。因为 Sm=(n-5)2+25.所以 n=5 时,Sm 取得最大值。(18)解:(1)因为 PH是四棱锥 P-ABCD 的高。所以 AC PH又 AC BD,PH,BD都在平面 PHD 内,且 PH BD=H.所以 AC 平面 PBD 故平面 PAC平面 PBD(2)由(1)知 Sm=na1+n(n-1)2 d=10n-n2(2)因为 ABCD 为等腰梯形,ABPCD,ACBD,AB=6.所以 HA=HB=3.因为APB=ADR=600 所以 PA=PB=6,HD=HC=1.可得 PH=3.等腰梯形 ABCD 的面积为 S=12AC
23、 x BD=2+3.9 分 所以四棱锥的体积为 V=13x(2+3)x3=3 2 33.12 分(19)解:(1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为7014%500.4 分(2)22500(40 270 30 160)9.967200 300 70 430k 由于 9.967 6.635 所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.8 分(3)由于(2)的结论知,该地区的 老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区
24、老年人中男,女的比例,再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好.12 分(20)解:(1)由椭圆定义知2 2F+F 又 2 AB=AF F AB 得 L 的方程式为 y=x+c,其中 c=1-b2(2)设 A,(x1,y1),B(x1,y1)则 A,B 两点坐标满足方程组 y=x+c x2+y2b2=1 化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0 则 x1+x2=-2c1+b2.x1x2=1-2b21+b2(2)即 2 1423x x.则2 2 421 2 1 22 2 2 28 4(1)4(1 2)8()49(1)1 1b b bx x x xb b b 解
25、得 22b.(21)解:()12a 时,21()(1)2xf x x e x,()1(1)(1)x x xf x e xe x e x。当,1 x 时()f x;当 1,0 x 时,()0 f x;当 0,x 时,()0 f x。故()f x 在,1,0,单调增加,在(-1,0)单调减少。()()(1)af x x x ax。令()1ag x x ax,则()xg x e a。若 1 a,则当 0,x 时,()g x,()g x 为减函数,而(0)0 g,从而当 x 0 时()g x 0,即()f x 0.若 a,则当 0,ln x a 时,()g x,()g x 为减函数,而(0)0 g,从
26、而当 0,ln x a 时()g x 0,即()f x 0.综合得 a 的取值范围为,1(22)解:(1)因为 AC=BD 所以 BCD=ABC 又因为 EC与圆相切于点 C,故 ACE=ABC 所以 ACE=BCD(II)因为 ECB=CDB,EBC=BCD,5 分 所以 BDC ECB,故 BCBE=CDBC 即 BC2=BE CD 10 分(23)解:(I)当3时,C1的普通方程为 3(1)y x,C2的普通方 程为2 21 x y.联立方程组2 23(1),1,y xx x y 解得 C1与 C2的交点为(1,0),1 3(,)2 2(II)C1的普通方程为sin cos sin 0 x y.A点坐标为2(sin,cos sin)a a a,故当 a 变化时,P 点轨迹的参数方程为 21sin21sin cos2x ay a a(a 为参数)P 点轨迹的普通方程为2 21 1()4 16x y 故 P 点是圆心为1(,0)4,半径为14的圆(24)解::-2x+5,x2(1)由于 f(x)=2x-3,x2 则函数 y=f(x)的图像如图所示.。5分()由函数 xy f 与函数 y ax 的图像可知,当且仅当 2 a 时,函数 xy f 与函数y ax 的图像有交点。故不等式 xf ax 的解集非空时,a 的取值范围为 1,2,2。10 分