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1、2009 年普通高等学校招生全国统一 1 卷考试 文科数学（必修+选修）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参
2、考公式：如果事件A B，互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A B，相互独立，那么 其中R表示球的半径()()()P A B P A P B g g 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 343V R n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 一、选择题（1）o585 sin的值为(A)22(B)22(C)32(D)32(2)设集合 A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U A B U，则集合()UA B I 中的元素共有(A)3 个（B）4 个（C）5 个（D）6 个（3）不等式111xx的解集为（A）0 1 1 x x x x U（B）0 1
3、x x（C）1 0 x x（D）0 x x（4）已知 tana=4,cot=13,则 tan(a+)=(A)711(B)711(C)713(D)713（5）设双曲线 2 22 20 0 x ya ba b 1，的渐近线与抛物线21 y x 相切，则该双曲线的离心率等于（A）3（B）2（C）5（D）6（6）已知函数()f x的反函数为()1 0 g x x 2lgx，则)1()1(g f（A）0（B）1（C）2（D）4（7）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（A）150 种
4、（B）180 种（C）300 种（D）345 种（8）设非零向量a、b、c满足c b a c b a|,|，则 b a,（A）150（B）120（C）60（D）30（9）已知三棱柱1 1 1ABC A B C 的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为(A)34(B)54(C)74(D)34(10)如果函数3cos(2)y x 的图像关于点4(,0)3中心对称，那么的最小值为(A)6(B)4(C)3(D)2（11）已知二面角l 为 600，动点 P、Q 分别在面,内，P 到的距离为3，Q到的距离为2 3，则 P、Q 两点之间距离的最小
5、值为（12）已知椭圆22:12xC y 的右焦点为 F,右准线l，点A l，线段 AF 交 C 于点 B。若自己的姓名准考证号填写清楚并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号姓名和科目每小题选出答案后用铅笔把答 小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目求的参考公式如果事件互斥那么球的表面积公式如果事件 生次的概率其中表示球的半径一选择题的值为设集合全集则集合中的元素共有个个个个不等式的解集为已知则设双曲3 FA FB u u u r u u u r,则 AFu u u r=(A)2(B)2(C)3(D)3 第卷 注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔
6、将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2第卷共 7 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 3本卷共 10 小题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上（注意：在试题卷上作答无效）（13）10()x y 的展开式中，7 3x y的系数与3 7x y的系数之和等于 _.（14）设等差数列 na的前n项和为nS。若972 S，则2 4 9a a a _.。(15)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面
7、积为3，则球O的表面积等于 _.（16）若直线m被两平行线1 2:1 0:3 0 l x y l x y 与所截得的线段的长为2 2，则m的倾斜角可以是 15o 30o 45o 60o 75o 其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效)设等差数列 na 的前n项和为ns，公比是正数的等比数列 nb 的前n项和为nT，已知1 1 3 3 3 31,3,17,12,n na b a b T S b 求 a的通项公式.(18)(本小题满分 12 分)（
8、注意：在试用题卷上作答无效）在ABC 中，内 角A B C、的 对 边 长 分 别 为a b c、.已 知2 22 a c b，且自己的姓名准考证号填写清楚并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号姓名和科目每小题选出答案后用铅笔把答 小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目求的参考公式如果事件互斥那么球的表面积公式如果事件 生次的概率其中表示球的半径一选择题的值为设集合全集则集合中的元素共有个个个个不等式的解集为已知则设双曲sin 4cos sin B A C，求b.(19)(本小题满分 12 分)（注决：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥S ABCD 中，底面ABCD为矩形，SD
9、底面ABCD，2 AD，2 DC SD，点M在 侧 棱SC上，60 ABM o（）证明：M是侧棱SC的中点；（）求二面角S AM B 的大小。（同理 18）(20)（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前 2局中，甲、乙各胜 1 局。（）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率。（21）（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）已知函数4 2()3 6 f x x x.（）讨论()f
10、x的单调性；（）设点 P 在曲线()y f x 上，若该曲线在点 P 处的切线l通过坐标原点，求l的方程(22)（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，已知抛物线2:E y x 与圆2 2 2:(4)(0)M x y r r 相交于 A、B、C、D 四个点。（）求r的取值范围（）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。1【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。解：2245 sin)45 180 sin()225 360 sin(585 sin o o o o o o，故选择 A。2【解析】本小题考查集合的运算，基础题。（同理
11、 1）自己的姓名准考证号填写清楚并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号姓名和科目每小题选出答案后用铅笔把答 小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目求的参考公式如果事件互斥那么球的表面积公式如果事件 生次的概率其中表示球的半径一选择题的值为设集合全集则集合中的元素共有个个个个不等式的解集为已知则设双曲解：3,4,5,7,8,9 A B U，4,7,9()3,5,8UA B A B I I 故选 A。也可用摩根定律：()()()U U UA B A B I U 痧?3【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。解：0 0 4 0)1()1(|1|1|1112 2 x x x x
12、 x xxx，故选择 D。4【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。解：由题3 tan，11712 13 4tan tan 1tan tan)tan(，故选择 B。5【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。解：由题双曲线 2 22 20 0 x ya ba b 1，的一条渐近线方程为abxy，代入抛物线方程整 理 得02 a bx ax，因 渐 近 线 与 抛 物 线 相 切，所 以0 42 2 a b，即5 52 2 e a c，故选择 C。（6）【解析】本小题考查反函数，基础题。解：由题令1 lg 2 1 x得1 x，
13、即1)1(f，又1)1(g，所以2)1()1(g f，故选择 C。（7）【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。解：由题共有345261315121625 C C C C C C，故选择 D。（8）【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解：由向量加法的平行四边形法则，知a、b可构成菱形的两条相邻边，且a、b为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择 B。（9）【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。（同理 7）解：设BC的中点为 D，连结1AD，AD，易知1A AB 即为异面直线AB与1CC所成的角,由三角余弦定理，易知113co
14、 c s4os cosAD ADA AD DABA A AB.故选 D 自己的姓名准考证号填写清楚并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号姓名和科目每小题选出答案后用铅笔把答 小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目求的参考公式如果事件互斥那么球的表面积公式如果事件 生次的概率其中表示球的半径一选择题的值为设集合全集则集合中的元素共有个个个个不等式的解集为已知则设双曲(10)【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。解:Q函数 cos 2 y x 3 的图像关于点43，0中心对称 423 2k 13()6k k Z 由此易得min|6.故选 A（11）【解析】本小题考查二面角、
15、空间里的距离、最值问题，综合题。（同理 10）解:如图分别作,QA A AC l C PB B 于 于 于 PD l D 于，连,60,CQ BD ACQ PBD 则 2 3,3 AQ BP，2 AC PD 又2 2 212 2 3 PQ AQ AP AP Q 当且仅当0 AP，即A P 点 与点重合时取最小值。故答案选 C。（12）【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。解：过点 B 作BM l 于 M,并设右准线l与 X轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意3 FA FB uu u r uu u r,故2|3BM.又由椭圆的第二定义,得2 2 2|2 3 3BF|2
16、AF.故选 A（13）【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。（同理 13）解:因r r r rry x C T 1010 1)1(所以有3 7 310 10 10()2 240 C C C（14）【解析】本小题考查等差数列的性质、前n项和，基础题。（同理 14）解:na Q是等差数列,由972 S,得5 99,S a 58 a 2 4 9 2 9 4 5 6 4 5()()3 24 a a a a a a a a a a。(15)【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。解：设球半径为R，圆 M 的半径为r，则 32 r，即32 r由题得3)2(2 2 RR，所以 16 4 4
17、2 2 R R。（16）【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。自己的姓名准考证号填写清楚并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号姓名和科目每小题选出答案后用铅笔把答 小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目求的参考公式如果事件互斥那么球的表面积公式如果事件 生次的概率其中表示球的半径一选择题的值为设集合全集则集合中的元素共有个个个个不等式的解集为已知则设双曲解：两平行线间的距离为 21 1|1 3|d，由图知直线 m与 1l的夹角为 o30，1l的倾斜角为o45，所以直线m的倾斜角等于0 075 45 30 o或0 015 30 45
18、o。故填写或(17)【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题。解：设 na的公差为d，数列 nb的公比为0 q，由3 317 a b 得21 2 3 17 d q 3 312 T S 得24 q q d 由及0 q 解得2,2 d q 故所求的通项公式为11 2(1)2 1,3 2nn na n n b。(18)【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。解：由余弦定理得A bc b c a cos 22 2 2，又 0,22 2 b b c a，b A bc b 2 cos 22，即2 cos 2 A c b 由正弦定理得sinsinb Bc C 又由已知得 sin 4co
19、s sin B A C sin4cossinBAC，所以4 cos b c A 故由解得(19)解法一：（I）作MECD交SD于点 E，则MEAB，ME 平面 SAD 连接 AE，则四边形 ABME 为直角梯形 作MF AB，垂足为 F，则 AFME 为矩形 自己的姓名准考证号填写清楚并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号姓名和科目每小题选出答案后用铅笔把答 小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目求的参考公式如果事件互斥那么球的表面积公式如果事件 生次的概率其中表示球的半径一选择题的值为设集合全集则集合中的元素共有个个个个不等式的解集为已知则设双曲设 ME x，则SE x，2
20、2 2(2)2 AE ED AD x 由2tan 60,(2)2 3(2)MF FB x x。得 解得1 x 即1 ME，从而12ME DC 所以M为侧棱SC的中点（）2 22 MB BC MC，又60,2 ABM AB o,所以ABM 为等边三角形，又由（）知 M为 SC 中点 2,6,2 SM SA AM，故2 2 2,90 SA SM AM SMA o 取 AM 中点 G，连结 BG，取 SA中点 H，连结 GH，则,BG AM GH AM,由此知BGH 为二面角S AM B 的平面角 连接BH，在BGH 中，所以2 2 26cos2 3BG GH BHBGHBG GH 二面角S AM
21、B 的大小为6arccos()3 解法二:以 D为坐标原点，射线 DA为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz 设(2,0,0)A，则(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C S（）设(0)SM MC,则 又(0,2,0),60 AB MB AB o 故|cos 60 MB AB MB AB o 即2 2 24 2 2(2)()()1 1 1 解得1，即SM MC 所以 M为侧棱 SC 的中点（II）自己的姓名准考证号填写清楚并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号姓名和科目每小题选出答案后用铅笔把答 小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目求的参考公式如
22、果事件互斥那么球的表面积公式如果事件 生次的概率其中表示球的半径一选择题的值为设集合全集则集合中的元素共有个个个个不等式的解集为已知则设双曲由(0,1,1),(2,0,0)M A，得 AM 的中点2 1 1(,)2 2 2G 又2 3 1(,),(0,1,1),(2,1,1)2 2 2GB MS AM 所以,GB AM MS AM 因此,GB MS等于二面角S AM B 的平面角 所以二面角S AM B 的大小为6arccos()3(20)【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。解：记“第i局甲获胜”为事件)5,4,3(i Ai，“第j局乙获胜”为事件(
23、3,4,5)jB j。（）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则 4 3 4 3B B A A A，由于各局比赛结果相互独立，故（）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而 5 4 3 5 4 3 4 3A B A A A B A A B，由于各局比赛结果相互独立，故（21）【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。解：（）36 6()4 6 4()()2 2f x x x x x x 令()0 f x 得026 x或26 x；令()0 f x 得26 x或260 x 因此，x f在 区
24、间)0,26(和),26(为增 函数；在 区间)26,(和)26,0(为减函数。（）设点)(,(0 0 x f x P，由l过原点知，l的方程为0()y f x x，自己的姓名准考证号填写清楚并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号姓名和科目每小题选出答案后用铅笔把答 小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目求的参考公式如果事件互斥那么球的表面积公式如果事件 生次的概率其中表示球的半径一选择题的值为设集合全集则集合中的元素共有个个个个不等式的解集为已知则设双曲因此 0 0 0()()f x x f x，即0)6 4(6 3030 02040 x x x x x，整理得0)2)(1(
25、2020 x x，解得20 x或20 x 因此切线l的方程为x y 2 或2 2 y x(22)解：（）将抛物线2:E y x 代入圆2 2 2:(4)(0)M x y r r 的方程，消去2y，整理得2 27 16 0 x x r E与M有四个交点的充要条件是：方程有两个不相等的正根1 2x x、由此得2 21 221 2(7)4(16)07 016 0rx xx x r V 解得215164r 又0 r 所以r的取值范围是15(,4)2（II）设四个交点的坐标分别为1 1(,)A x x、1 1(,)B x x、2 2(,)C x x、2 2(,)D x x。则由（I）根据韦达定理有21
26、2 1 27,16 x x x x r，15(,4)2r 则2 1 1 2 2 1 1 212|()|()2S x x x x x x x x 令216 r t，则2 2(7 2)(7 2)S t t 下面求2S的最大值。方法 1：由三次均值有：当且仅当7 2 14 4 t t，即76t 时取最大值。经检验此时15(,4)2r 满足题意。方法 2：设四个交点的坐标分别为1 1(,)A x x、1 1(,)B x x、2 2(,)C x x、2 2(,)D x x 自己的姓名准考证号填写清楚并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号姓名和科目每小题选出答案后用铅笔把答 小题分共分在每小题给出的四个
27、选项中只有一项是符合题目求的参考公式如果事件互斥那么球的表面积公式如果事件 生次的概率其中表示球的半径一选择题的值为设集合全集则集合中的元素共有个个个个不等式的解集为已知则设双曲则直线 AC、BD 的方程分别为 解得点 P 的坐标为)0,(2 1x x。设2 1x x t，由216 r t 及（）得7(0,)2t 由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积 则 4)(2(2 122 1 2 2 1 12x x x x x x x x S 将72 1 x x，t x x 2 1代入上式，并令2)(S t f，得)270(343 98 28 8)2 7()2 7()(2 3 2 t t t t
28、t t t f，2()24 56 98 2(2 7)(6 7)f t t t t t，令()0 f t 得67 t，或27 t（舍去）当670 t时，()0 f t；当67 t时()0 f t；当2767 t时，()0 f t 故当且仅当67 t时，)(t f有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大，故所求的点 P 的坐标为)0,67(自己的姓名准考证号填写清楚并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号姓名和科目每小题选出答案后用铅笔把答 小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目求的参考公式如果事件互斥那么球的表面积公式如果事件 生次的概率其中表示球的半径一选择题的值为设集合全集则集合中的元素共有个个个个不等式的解集为已知则设双曲