《一轮复习人教B版第九章难点突破课第二课时 定值问题学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一轮复习人教B版第九章难点突破课第二课时 定值问题学案.docx（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第二课时定值问题I核心突破,题型剖析题型一长度或距离为定值例1 (202()新高考山东卷)已知椭圆C：的离心率为虚，且过点42, 1).(1)求C的方程；(2)点M, N在C上，且AM_L4N, 4Q_LMN,。为垂足.证明：存在定点。，使得|。|为定值.解由题设得方+方=1,且巴解得。2=6,=3.所以C的方程为5+9=1. o 3证明设 M(xi, yi), N(xi, y2).若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx-m,代入点+方=1, o 3得(1 + 2斤)*+4%优+2/n26 = 0.于是Xl+X2 =4km1+2P2?26.由AM_LAN,得痴病=(),故(XI-
2、2)(X22)+(罗一1 )&2 1)=0,整理得(K+ 1 )x1x2+ktnk-2)(x +xz) + (m l)2+4=0. 6A km将代入上式，可得(D+1) _|_0心2 (kmk2)心2+(，1)2+4=0,1 I乙卜1 I NK整理得(2Z+3m+1 )(22+机- 1)=0.因为A(2, 1)不在直线MN上，所以 2k+m 170,所以2攵+3机+1=0, 21.所以直线MN的方程为才一g(ZWl).所以直线MN过点停，1j.若直线MN与x轴垂直，可得Mxi，-yi).由山讥俞=(),交椭圆C于A, B两点，求证：直线A8的斜率是定值.证明 设直线AB方程为小-2)+。-1)
3、=1,r2 v2因为五+5=o Lr2 v2因为五+5=o L(工一2 + 2) 2(厂 1 + 1)22(x-2) 2 , (y-1) 2 , 4 (x-2) , 2 (y-1)=-8-+-8-+2-+ L、r(1-2) 2 (V-1 ) 2 4(X-2) 2 (V1 )所以椭圆方程可化为 g +2+2= ，设 A(xi, yi), 5(X2, 丁2),(r 2) 2 (v1 ) 2 4 (X2)联立直线与椭圆方程齐次化得一 +手一+8 -皿-2) + ()，- 1) +2 (y 1)2w(x-2)+ 1)=0,左右两边除以(1一2)2得、2-V+2(?+窥U 14 Z)x2)4机+1 二0
4、.由根与系数关系得2伫+叫 yi-1 )2-1_ _54_2jxi2 X2-22+ 1 2又直线以，尸B倾斜角互补，、2隹+胃)所以心 + kiB= _0I , 0, 2/7 +12即不+,=，所以心8=一7=子故直线A8斜率为定值，此定值为去 得 Qi2)(xi-2) + (y-1)( 一)，i - 1)=0.又亮+弓=1,所以3x?8M+4=0.2解得了1=2(舍去),或加=不此时直线MN过点尸停，一.令。为A尸的中点，即扇，若。与。不重合，则由题设知A尸是RlZADP的斜边，故|Q0马”|=.若D与P重合,则|QQ|=g|AP|.综上，存在点。住，目，使得|。|为定值.感悟提升1.求某线
5、段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、 变形即可求得.2.求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化 简、变形求得.训练1 (2022成都诊断)已知动点P(x, y)(其中工20)到定点尸(1, 0)的距离比点P到)，轴的距 离大1.(1)求点尸的轨迹。的方程；(2)过椭圆G：亲+台=1的右顶点作直线交曲线。于A, 8两点，。为坐标原点. I Vz I 乙求证：设OA, 08分别与椭圆。相交于点。，E,证明：坐标原点到直线。E的距离为定值.(1)解 由题意，得N (x1)=x+1 (%20),两边平方,整理得丁=4元所以所求点P
6、的轨迹C的方程为)，2=4.工证明 设过椭圆的右顶点(4, 0)的直线A8的方程为x=my+4.代入抛物线方程2=4龙，得)，24)町，-16=(),由题意知/().侪+=4根，设 A(xi, yi), 8(X2,刈，则JVlyiy2= -16,.xX2-yy2=(my + 4)。户+4)+y i”=(1 + 加2)y,2+4/(y i +户)+16= -16(1+ tn2)+4m X4m+16=0,即殖协=0, ：.OA1OB.r2 v2设D(X3, J3), E(X4, 4),直线。E的方程为代入京+右=匕得(3於+4)2+6/+3%48=(), /(),工日 6/z3A2484万一 48
7、产3/+4 +于7c+泗=一许)，4 二三百.从而 X3X4= ()3 + A)(/Y4 + 2) = Z2y3y4 + )W)+ 22 = OQJ_OE,，而历=(),即心足+y3y4=0, 代入，整理得坐标原点到直线OE的距离d=W _421W+产7为定值.题型二斜率或其表达式为定值例2 (12分)已知抛物线C V = 2px经过点尸(1, 2).过点。(0, 1)的直线/与抛物线C有两个 不同的交点A, B,且直线用交y轴于M,直线PB交)，轴于N.求直线/的斜率的取值范围；(2)设。为原点，QM=XQO, QN=f.iQb,求证：:为定值.规范解答(1)解 因为抛物线)?=2px过点P
8、(l, 2),所以2P=4,即p=2.故抛物线C的方程为)，2=4K2分由题意知，直线/的斜率存在且不为0.设直线/的方程为)，=辰+1 (kN0).F = 4 K, 由 :得榜+(244.+ =0. 4分,y=kx+1依题意 4 = (2Z4)24X3x10,解得kl,又因为AWO,故Z0或O40)的左、右顶点分别为A, B,已知|A8|=4,且点顶点分别为A, B,已知|A8|=4,且点e,平)在椭圆上，其中c是椭圆的离心率.(1)求椭圆C的方程；设P是椭圆C上异于4, 8的点，与x轴垂直的直线/分别交直线AP, 8尸于点M, N,求 证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值.解 AB=4,
9、 * 2.ci=4,即 a=2.又点Q，邛&)在椭圆上，“2 45(2 45吟+福=1，咪+高=1，又+=/=4,联立方程解得3 = 3,椭圆C的方程为9+=1.(2)证明 由(1)知 4(一2, 0), 3(2, 0),设P点坐标为(s, /), W, N的横坐标为加(?W2),则直线AP的方程为旷=工(工+2),OI4故 g 7+2 (6+2)，故直线BM的斜率ki=(2，a，(5+2) Un2)同理可得直线AN的斜率依=($-2) (7+2)故 kik?=f (z+2)t (m2)X(s+2) (l2)(52) (?+2)52 - 4,又P点在椭圆上，c2t23才+=1，f2=-(s2-
10、4),因此%攵2=3-甲 -4 ?- 2S 3-4即直线AN与直线的斜率之积为定值.题型三几何图形面积为定值92例3 (2021.西北工大附中质检)已知椭圆E：$+3=1(心。0)的离心率为6,点(1, e)在椭圆E3上，点A(m 0),仅0, b), AOB的面积为亍O为坐标原点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线/交椭圆E于M, N两点，直线OM的斜率为怎，直线ON的斜率为上，且&戊2 =一E证明：OAW的面积是定值，并求此定值.(1)解 Z=。，且(1，)在椭圆E上，常+瓢1,则5+岳=1 .又 / = 2 ，联立，得6=1.13 /又 Sjob=2R?=2，得 =3,所以椭圆石的标
11、准方程为曰+)2= 1.证明 当直线/的斜率不存在时，设直线/： X= 3/2 （履1+机） （米2+ 7）fnfnkkz= X = XI X2XX2 - 9d+m219 m2-99化简得9F+1=2P,满足/0.MN =1 +F|xi X2=7 l+py（Xl+X2）2 4x112I；z/? 18km 197w296yl 1&之一加 2+ 1=9F+1又原点O到直线/的距离所以 S/、OMN=3x|MMXd3d 1 +标79。一 加2+1|力=9M+1XV1+3 依 3 =2m2 =7综上可知，0MN的面积为定值亍感悟提升解此类题的要点有两个：一是计算面积，二是恒等变形.如本题，要求0MN的
12、 面积，则需要计算弦长|MN|和原点。到直线/的距离乩然后由面积公式表达出S,owM如果 是其他凸多边形，一般需要分割成三角形分别求解），再将由已知得到的变量之间的等量关系 3代入面积关系式中，进行恒等变形，即得叉0的为定值训练3已知点尸（0, 2）,过点P（0, 2）且与y轴垂直的直线为/i, /2_l_x轴，交人于点M 直 线/垂直平分EV,交h于点、M.(1)求点M的轨迹方程；(2)记点M的轨迹为曲线E,直线48与曲线E交于不同两点A(xi, yi), 8(x2, ”)，且jq1 =M+m2(根为常数)，直线/，与平行，且与曲线石相切，切点为C,试问A3C的面积是 否为定值.若为定值，求
13、出ABC的面积；若不是定值，说明理由.解(1)由题意得尸MTMNI，即动点M到点F(0, 2)的距离和到直线y=-2的距离相等，所 以点M的轨迹是以尸(0, 2)为焦点，直线)，=2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点历 的轨迹方程为f=8y.y=kx-b,由题意知，直线4B的斜率存在，设其方程为)，=+，由。 消去y整理得x2一 =8y8 日一 8/?=(),/ = 64F + 320.则 jvi+x2 = 8A, xrx2=-8。设AB的中点为Q,则点。的坐标为(软，4F+8).由条件设切线方程为)，=丘十八yt由 2 o 消去y整理得f8区8f=o.X=8y直线与抛物线相切，/=6必2
14、+ 32/=(),/=-2&2, 切点C的横坐标为4k,.点。的坐标为(4A, 2斤).CQJ_x 轴，Vx2_xi=/2+1,(X2 XI)2=(XI +x2)2 4( 8b)=643+32匕=(尸+1)2,.(62+1) 2-64-6=SABC = CQ-X2Xl=；(23+ (X2-Xl)(ffl2+l) 3=64， 2为常数，ABC的面积为定值.微点突破/齐次化处理策略圆锥曲线中常见一类问题，这类问题的特点是条件中的两直线斜率之和或之积是一个指定常08/10数.这种问题的求解方法多种多样，但是采用齐次化方法，可以将这两种题型统一处理.接下来 谈谈齐次化方法在处理圆锥曲线这些问题中的应用
15、.一、处理两直线斜率之积为定值的问题 例1已知椭圆的中心为原点O,长轴、短轴长分别为2，2伙心比(),P,。分别在椭圆上, 且OPLOQ.求证：/+会为定值.证明 设 P,。坐标分别为(XI, yi), (X2, ”)，直线 PQ： a+/?y=l,椭圆今+，= 1 (),22联立方程%+方=1，jnx-1-ny= 1.齐次化有,+$=(?x+y)2,整理可得r 2mnxy+R 一 机?卜=0.左右两边同除以_2吟+$_序）_2吟+$_序）=0.由根与系数的关系得*1XI X217/一由 OP_L。，得m2,I _出由一工kopkoQ- 一. 1，人1人/ 17整理得2+/=.+*.由于原点O到直线PQ的距离1 ab3n2十 2-电2+户又 SPQ=OP OQ=PQd,出J IP0F IOPF + IOQF_ 2. 2_L_u_L劣臣估 历以孑一|。42|0。2_ IOPEQQF 一丽十两一广十犷一1十万为正值.二、处理两直线斜率之和为定值的问题例2如图所示，过椭圆C 1+芸=1上的定点P(2, 1)作倾斜角互补的两条直线，设其分别