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1、第三课时最值、范围问题核心突破题型剖析题型一距离与面积的最值（范围）例1已知椭圆C：4Ct-求椭圆。的方程；=1（小）的右焦点F到左顶点的距离为3.设0为坐标原点，过点尸的直线与椭圆。交于A, B两点（A, 3不在x轴上），若无=次1 +0B,延长A0交椭圆于点G,求四边形AG8E的面积S的最大值.解(1)由已知得知=3, +c=3, a1 = b2 + c2.联立以上3个式子，可得q2=4,X2 V2所以椭圆C的方程为亍6=1.(2)法因为过尸（1, 0）的直线与椭圆。交于A, 3两点（A, 3不在x轴上），所以设/的方程为 x=ty+,x=ty+.x2 . 得(3+4)y2 + 6(y9
2、= 0,4+3=1，设 A(xi, yi), Bg ”),6%y+”3小，因为无=为+所,所以四边形493为平行四边形，、3所以 SS aobe S/OGB3SAOBy yi=却（y+v）246”=卑界.令7+1=18m3m2+lm.18 T- 3m+ m9由函数的单调性易得当根=1,即/=。时，Smax=W 法二由无=醇+仍知四边形AOBE为平行四边形.所以 SS AOBE SOGB SAOB-9当直线A5的斜率不存在时，S=3Soh=5.当直线45的斜率存在时，设直线45的方程为y=4x1), ZWO.y=k (x1),由展=1,得(4F+3)y2+6693 = 0. 设 A(xi, yi
3、), Bg ”),6k9F3所以 S= 3SAOB=y yi0+a2f片等g令4烂+3 =根，则m3,S=H/-3X-+149综上知，四边形AGBE的面积S的最大值Smax=7 感悟提升 L本题求四边形AGBE面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：一是换元，运用函数的性质；二是利用已知或隐含的不 等关系构造不等式求解.2.若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.右顶点M到左焦点的距训练1 (2022.南宁模拟)已知椭圆C皆+%=心。0)的离心率为;,离为3,直线/与椭圆C交于点A, B.求椭圆。的标准方程;(2)
4、设直线AM, M3的斜率为心，依.若必饮2+9 = 0,求HB|的最小直解(1)设椭圆的半焦距为c,由题意得2，解得二.,)=仍， a+c=3,072工椭圆C的标准方程为+全=1.由题意知，直线/的斜率不为0,设其方程为工=畋+小A(xi, yi), 8(x2,闻，xmy-n,由丫+9 得(3/+4)y2 + 6/wiy+3212=0,.6mn32126+以= / = (6 加 )24(3 加2+4)(3 层-12) =48(3m2 n2+4)0.由(1)知M(2, 0),则直线MA, MB的斜率分别为俗=，攵2=7,XZX2- Z,1kxk2(XI2)(X2 2)(myi + - 2) (加
5、工 + 一2)2422yly2+ m (n-2) (+”)+ (-2) 26mn、3m2+4?+ (n2) 23川一12 37n2+493n2-12m -9 . . +m(-2) 3m +43n2123 (孔+2)9 Ar7=4 (八一2) 2二4 (八一2)二不解付=1工直线/的方程为x=my+l,直线/过定点(1, 0),6%2-9此时，+”=一?，|AB|=l+m2|i 一冽=/l+m2-/ ()i+2)24yij26m ）2 3m2+4?=y 1 +m2-/144 （源+1）Aj （3m2+4） 212 （租2+1）3-戒+ 33 m2+44 3 加2+4（ 1 、=411.3M2+J
6、三3（当且仅当m=Q时取等号），的最小值为3.|题型二斜率或某些参数（式子）的最值（范围）例2 （2021兰州诊断）已知抛物线/=4x及点P（4, 0）.以抛物线的焦点尸为圆心，|FQ|为半径作圆，求圆尸与抛物线交点的横坐标；若A, 8是抛物线上不同的两点，且直线与x轴不垂直，弦A3的垂直平分线恰好经过点P,求花前的取值范围.解（1）由已知得21, 0）,所以圆月的方程为（%1）2+丁 = 9,（X1 ） 2+、2 = 9,由彳 9得，+2x8 = 0.y4x,解得x=2或x= -4.由于x0,所以x=2.则圆与抛物线交点的横坐标为2.（2）设弦A5的中点为M, A8, yi）,”），M（xo
7、，yo），ml 1+货 yi+?则 M）=-g -, yo=-2 -，设线段AB的垂直平分线的方程为y=4x4）（左W0）,则直线A8的斜率y y42 _-333 口4 4e. yo 2k.点M在弦AB的垂直平分线上,/. yok(xo4)(左W 0),，xo=2.则直线A3的方程为k(yyo) = 2x,k (y-yo)=2x,由J 2 /得口一行()=2-L/=4x,即9+46+83一8=0,，/ = 16F32F + 32= 16斤+320, .m.yi+y2=4Z, y12=88,：.FFB=2”+玲+1+6y2=4(QIp4+1+8M8 =437,工法.访的取值范围是(一7, 9).
8、感悟提升 圆锥曲线中求解含双变量的式子的取值范围的方法：几何条件定代换；目标关系 式求范围.训练2已知椭圆C：，+本=13方0)的离心率e=坐，直线x+小厂1=0被以椭圆。的短轴为直径的圆截得的弦长为 求椭圆。的方程；(2)过点M(4, 0)的直线/交椭圆于A, 8两个不同的点，且7=|肱4卜附8|,求2的取值范围.解原点到直线1=0的距离为今 由题得出 +惇) = 30),解得人=1./ R3又 /=/=1 一2=J, 得。=2,所以椭圆。的方程为?+F=L(2)当直线/的斜率为0时，直线/： y=0为x轴，A = MA-MB= 12.当直线/的斜率不为。时，设直线/： x=my+4,点A(, yi), Bg ”),xmy+4,联立消去x得（m2+4）y2 + 8my +12 = 0.由/ = 64m248（根2+4）0,得加212,12所以”=声MA-MB=/m2+l |y 11 “?我+1 |y 21=（川+l）|yi”|=（川+l）|yi”|=12 （加 +1）/n2+4（3 、= 12l1-m2+4/33由根212,得 0 2/77，m +4 lo39所以Z4vl2.3939综上可得：亍上W12,即24彳，12