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1、H解析几何I I I直线的倾斜角与斜率、直线的方程2 2.H l、H2、H 7 2 01 2浙江卷如图1-6,在直角坐标系x O y中，点P(l,g)到抛物线C：y2=2 px(p 0)的准线的距离为/点例(f,l)是C上的定点，A,8是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分.求p,f的值；(2)求 A B P面积的最大值.图1 62P t =1,2 2.解：(1)由题意知，P=2.(2)设 4(x i，yi),8(x 2，2)，线段 A 8 的中点为 Q(m,MI),由题意知，设直线AB的斜率为k(k#O).由F：加得l y i=如(yi -)”)3 +丫2)=x i -x2.故 k-2m=
2、1.所以直线AB方程为y-加=-m)y即五-2m y +2m2-m=0.x -2m y+2/-7w=0,由2 消去心整理得=Xy2-2m y +2m2-/n =0,所以/=4加 一 4/o,力+力=2“，yr”=2/一 加.从而1+pl yi -y2l=y j T +4m 2 y 4m-4m2.设点尸到直线AB的距离为d,则1 1 -2m+2/?i*21(结果用反三角函数值表示).4.ar ct an；解析考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求出直线的斜率.由已知可得直线的斜率k =T，k=t an ct,所以直线的倾斜角a=ar ct an；.22 0.H 5、F l、H
3、l 2 01 2陕西卷已知椭圆Ci：j+y2=l,椭 圆C2以C1的长轴为短轴,且与G有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程；(2)设。为坐标原点，点A,8分别在椭圆G和。2上，OB=2 OA,求直线A8的方程.2 22 0.解：由 已知可设椭圆C2的方程为1(。2),d =-1 、y/1 +4m 设 A 3 P的面积为S,则S=AB-d=1 1 -2(m -irT.由/=4m -4m2 0,得 0 m 1.令=y j/n -in2,0 W；,则5 =w(l -2 w2),设 S(“)=w(l-2局，则 S =1-6/由 夕()=0得=乎(0,；),所以S()m ax =s(g)=嚼故a AB
4、P面积的最大值为害.1 7.H l、H 7 2 01 2浙江卷定义：曲 线C上的点到直线1的距离的最小值称为曲线C到直线/的距离.已知曲线G：y=+a到直线/：y=x的距离等于曲线G：f+(y+4)2=2到直线/：y=x的距离，则实数。=.91 7.答案4 解析本题在新定义背景下考查直线、圆和抛物线的方程，一、二次曲线之间的位置关系与导数几何意义等基础知识，考查学生综合运用知识的能力和学情，考查函数方程和数形结合的数学思想.求出曲线CI到直线/的距离和曲线C2到直线/的距离，建立等式，求出参数a的值.曲线C2：X 2 +。+4)2 =2到直线/:y=x的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差，即
5、/-r=-啦=也，由y=f+a可得y=2 x,令y=2 r=1,则 犬=最在曲线Ci上对应的点尸Q，；+1,所以曲线Ci到直线/的距离即为点/(去到直线/1 1 1 12-4 a 4 a r-1 7 9的距离，故 S =7，所以7一=，可得 0=2。=或 a=W 当。7 7 Q=-时，曲线Ci：y=f-w与直线/：y=x相交，两者距离为0,不合题意，故。=了4.H l、F l 2 01 2.上海卷若d=(2,l)是直线/的一个方向向量，贝 心 的倾斜角的大小为其离心率为坐，故-4=乎,则 a=4,2 a 22 2故椭圆C2 的方程为气+71.(2)解法一：A,8 两点的坐标分别记为。入，.),
6、(防 如)，由 协=2 后 及 知，。，A,3 三点共线且点A,8不在y 轴上，因此可设直线A B的方程为y-kx./4将丁=点代入 1 +/=1 中，得(1 +4扃f=%所以 0)的准线的距离为/点例(f,l)是 C 上的定点，A,8是 C上的两动点，且线段 A B被直线OM平分.求 p,r 的值;(2)求A A B P 面积的最大值.2PL 1,2 2.解：由 题 意 知 +外？lr=1.(2)设 A。,力)，83,为)，线段4 8的中点为。(根，,由题意知，设直线A 3的斜率为以Z W O).(yi -%)8 +%)=xi -x2.故 k-2m=1.所以直线A 8方程为y-m=-机)，即
7、 x-2m y+2 7?2 一 t n=0.,2x-2m y +2m -n i=0,由2=*消去X,整理得y2-2rn y+2/w2-A W=0,所以/=-4 广 0,y+y2=2 m,力 =2m-t n.从而IABI=y j 1 +p lyi -y2l=y j +4m2-y l 4rn -4in2.设点P到直线A B的距离为d,则1 1 -2m +2m2y 1 1 +4加 2设A A BP的面积为S,则S=AB-d=1 1 -2(m-m2.由/=4m -4?2 0,得 0 m 1.令 =7 m -次,则5 =w(l-2 w2),设 S()=(1 -Z u?),0 0)的焦点为F,准线为I,4
8、为C上一点，已知以尸为圆心，以 为半径的圆尸交/于B,。两点.(1)若N B F)=9 0。，A B O的面积为4啦，求p的值及圆尸的方程；(2)若4、B、尸三点在同一直线?上，直 线 与，平 行，且 与C只有一个公共点，求坐标原点到m，距离的比值.2 0.解：(1)由已知可得 B E D为等腰直角三角形，I 8=2 p,圆F的半径1以1=6 0.由抛物线定义可知 到/的距离d=I M I =V 2 p.因为A A BO的面积为4、历，所以=4 7 2,即灯.扬 =472,解得p=-2(舍去)，p =2.所以尸(0,1),圆尸的方程为X2+(y -I)2=8.(2)因为A,B,尸三点在同一直线
9、”?上，所以A 3为圆F的直径，Z A D B =90.由抛物线定义知 AD=FA =AB,所以N AB =30。，?的斜率为坐或-坐当机的斜率为坐时，由已知可设“：y =x+b,代入f=2 p y得2 P b=0.由于“与C只有一个公共点，故/=%?+8 p b=0.解得6 专因为m的 截 距 仇=冬 罂=3,所以坐标原点到m,距离的比值为3.2|p I当机的斜率为一半时，由图形对称性可知，坐标原点到，”距离的比值为3.2 1.H 3、H 7、H8 2 0 1 2.福建卷 如图1 一4所示，等边三角形O4 B的边长为队，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2p y(j)0).(1)求抛物线E的方
10、程；(2)设动直线/与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以尸。为直径的圆恒过y轴上某定点.2 1.解:解法一：(1)依题意，10朋=84，ZB(9 y=30.设 B(x,y),则工=1。8周1130。=45，y=I OBI c o s30=12.因为点 B(4，5,12)在 f=2p)，上，所以(4，5=2 p X 1 2,解得 p=2.故抛物线E的方程为f=4y.(2)由(1)知 y=$2,)/=%.设P(m，涧)，则x o W O,且/的方程为_ 1 ,、小1 1 2y-)?o 2X(X-即 y 4茴假设以。为直径的圆恒过定点M,由图形的对称性知M必在y轴上，设M(0,乃)
11、,令A/P-M Q=O 对满足yo=W x 6(x o W O)的 x 0,yo恒成乂.由于M P=(x o,y oyi)MQ2 4由M P-M Q-0,得一2 一y。-y()yi+yi +y：=0.BP(yi +,i 2)+(1 yi)yo=O.(*)由于(*)式对满足)0=下6(*。#)的yo恒成立，所以，解得力=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点A f(O,l).解法二：(1)同解法一.由知y=%y =%，设P(x o,y o),则x o W O，且/的方程为y-yo =/o(x -x o),即 y=L y i=O,j：+y L 2=0,所 以2c，一1).取 向=2,此时尸(2,1
12、),2(0,-1),以P。为直径的圆为(x-1尸+丫2=2,交y轴于点MOD或 wo,-1)；取 均=1,此时P(I,0,e(-f 7)，以P Q为直径的圆为(x+土)2+G+1?=W,交了轴于强(。,1)或 以(0，故若满足条件的点“存在，只能是(0,1).以下证明点M(0,l)就是所要求多点.因 为 访=(x o,y0-1)，血=(，-2),2 _ AM P MQ=2g +2=2比-2-2y0+2=0.故以P。为直径的圆恒过y轴上的定点21.H 3、H 5、H 8 2012湖北卷 设4是单位圆/+2=1上的任意一点，/是过点A与x轴垂直的直线，。是直线/与x轴的交点，点在直线/上，且满足L
13、 D M I=ml D 4l(?0,且m W l).当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点斜率为的直线交曲线C于P,。两点，其中尸在第一象限，且它在y轴上的射影为点N,直 线Q N交曲线C于另一点凡是否存在m,使得对任意的k 0,都 有P Q-LP H?若存在，求，的值；若不存在，请说明理由.2 1.解：(1)如 图 ,设M(x,y),A(x o，%),则由1。必=源。川(加 0,且机#1),可得X =X o，,1=机 卜()1,所以X o =X,b()1=。见因为4点在单位圆上运动，所 以/+%=1.2将式代入式
14、即得所求曲线C的方程为了+亲=1(,7 1 0,且机片1).因为 m(0,l)U(L +8),所以当0 机 1 时，曲线C 是焦 在 y 轴上的椭里,_两焦点坐标分别为(0,-y m*2-1),(0,y j m2-1).(X j-X2)(X+%2)又。，N,”三点共线，所以左纱=%，即2江=力普.A i XrX2工且+公 县,11X 12Z22 1 乃)。1+丫2)m2于是由式可得叱岫=X.XLX2=2.(X L M)5+X2)=2而 P Q _ LP”等价于我户2灰PH=-1，即一苫=-1,又加0,得机=啦，故存在m=&,使得在其对应的椭圆/1上，对任意的k 0,都有P 0_ LP H.H
15、4直线与圆、圆与圆的位置关系6.H4 Q 012-陕西卷 已知圆C：X2+/-4X=0,/是过点P(3,0)的直线，贝 北 )A./与 C相 交 B./与 C相切C./与 C相 离 D.以上三个选项均有可能6.A 解析 本小题主要考查直线与圆的位置关系，解题的突破口为熟练掌握判断直线与圆位置关系也方法.f+y 2-4=0 是以(2,0)为圆心,以2 为半径的圆，而点P(3,0)到圆心的距离为6/=/(3-2)2+(0-0)2=1 0,设尸但，如)，H(M，力)，则。(一为，-5)，N(0,履),直 线 QV的方程为)，=2履+息 1，将其代入椭圆。的方程并整理可得(加2+4 好)/2+4 岛武
16、+攵苗-7 H2=0.依题意可知此方程的两根为-为，尸2,于是由韦达定理可得4 炉 小 t n2x i-X+X2=-m 2+4 k 即 x2=m 2+4/1kZ2.因为点”在直线QN上，所以以一3=2kX2=十 r f f(42X|2kn rx 于?t P Q =(-2 r i，-2日I),P H=g-x i，丫2-丘1)=(-/+必2,“/+4k 2_,林/人 丁 f f 4(2-)后；而 尸。1 尸，等价于P Q P H=2 2=0,I+4k即 2-相2=0,又?0,得 2 =也，故存在加=观,使得在其对应的椭圆f+，=1上，对任意的k 0 都有P Q 1P H.方 法 2:如图(2)、(
17、3),对任意在(0,1),设 P(X ,力),H(X29%)，则。(一两，一)，N(0,月)，m2x +y =m2,因为P,”两点在椭圆。上，所 以2 2I)2 两式相减可得加2(4 一3+就一的加-工 2十/2=加，=0.依题意，由点P在第一象限可知，点”也在第一象限，且 P,，不重合，故(X 冷)。1 +%2)W 0.于是由式可得()“一少 2)(力+2)加2.7.H4 Q 012辽宁卷将圆f+/一 法 一 4 y+l =0 平分的直线是()A.x+y 1 =0 B.x+y+3 =0C.xy+l=0 D.x y+3=07.C 解析 本小题主要考查直线与圆的位置关系.解题的突破口为弄清平分线
18、的实质是过圆心的直线，即圆心符合直线方程.圆的标准方程为(X-1)2+6，-2)2=4,所以圆心为(1,2),把点(1,2)代 人 A、B、C、D,不难得出选项C符合要求.5.H4 2012.湖北卷过点P(l,l)的直线，将圆形区域(x，y)l+y2w 4 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A.x+y 2=0 B.厂 1=0C.x y 0 D.x+3 y4=05.A I 解 析|要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，通过观察图形，显然只需该直线与直线。尸垂直即可，又已知尸(1,1),则所求直线的斜率为-1,又该直线过点P(l,l),易求得该直线的方程为x +y-
19、2=0.故选A.8.H 4 20 12广东卷在平面直角坐标系x O y中，直 线 3x+4y 5 =0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于()A.3小B.2小C.小 D.18.B 解析考查直线与圆相交求弦长，突破口是“弦心距、半径、弦长之半构成直角三角形”，利用勾股定理计算.由点到直线的距离得，弦心距d =-m=1,所以弦长_ _ _ _ _V 32+42AB=R*1 =2 0 所以选择B.9.H 4 20 12北京卷直线y=x 被 圆/+。-2)2=4截得的弦长为.9.2y 2 解析本题考查直线和圆的位置关系、考查简单的平面几何知识.法一：几何法：圆心到直线的距离为4=独 冒
20、=爽，圆的半径r=2,所以弦长为/=2 X y j r-d2=卬 4-2=27 2；f y =x,.法二：代数法：联 立 直 线 和 圆 的 方 程 C，,消去y可得f-2 r =o,所以 厂+。-2)-=4,直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为北2(2-0)2=2a.9.H 4I 20 12.安徽卷若直线x-y+l=0 与圆(x-a)2+y 2=2有公共点，则实数a的取值范围是()A.-3,-1 B.-1,3C.-3,1 D.(-8,-3 U 1,+0)9.C 解析因为直线x-y+1=0 与圆(x-a y +y 2=2 有公共点，所以圆心到直线的距离 J/+2=(如 +
21、b)(M+b),所以OPOQ=X|X2+丫佻=(1 +必 M m +kb x+x2)+b2(1 +一(-1 -Z 2)2k2b2 2 -i+b2-k2=2T2 +T+b=2-k2-由(*)知，OPOQ=Q,所以。P _ L。.22 0.H 4、H 5 2 0 1 2辽宁卷如图 1-7,动圆 G：/+/=r l r 3,与椭圆 C?：方=1相交于4,B,C,。四点，点A，/分 别 为C2的左，右顶点.(1)当f为何值时，矩形A B C。的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线A4与直线A2B交点M的轨迹方程.2 0.解：设(3,y o),则矩形A B C。的面积S=4 k oi b()1
22、.崎+4=1得、=1-拳 从而当、=3%=3时,S ma x =6.从而f 时，矩形A8 C D的面积最大，最大面积为6.(2)由 4(如%)，8(出，-%)，4(-3,0),%(3,0)知直线 44 的方程为y=常 善+直 线 的 方 程 为产仔由得尸亲弱-9)又点4(x g,%)在椭圆C上，故y o =1 -f.2将代入得方寸=l(x v-3,y 0).因此点用的轨迹方程为2方-$=l(x -3,y vO).3.H 4 2 0 1 2.重庆卷设A,B为直线y=x与 圆/+丁=1的两个交点，则1 4 8=()A.I B.y/2C.A/3 D.23.D 解析因为圆，+丁=1 的圆心(o,o)在
23、直线AB上 所 以 4B为圆的直径，所以L4 8I=2 X 1 =2.9.H 4 2 0 1 2.山东卷圆(x+2)2+)，2=4 与圆(x 2)2+0-1 y=9 的位置关系为()A.内 切 B.相交C.外 切 D.相离9.B|解析 本题亨查两圆的位置关系,考查数形结合思想，推理能力，容易题.,两圆的圆心距为#(2 +2+(1 -0)2 =板,X 3-2 V u 3+2,二两圆相交.1 2.H4 1 2 0 1 2 天津卷设 m,n R,若直线/：mx+y 1 =0与 x轴相交于点A,与 y轴相交于点8,且/与 圆/+y 2=4 相交所得弦的长为2,。为坐标原点，则 4 0 8面积的最小值为
24、1 2.3 解析直 线 mx +n y-1 =0与两坐标轴的交点坐标分为(5，0)，(，:)，又；直线/被圆？+)2 =4截得弦长为2 ,由垂径定理得，(言 二 寸+1 2=2 2,即 悬/=3,-9 瑞常、=3.4.A2、H 2 2 0 1 2 浙江卷设“GR,则“a=l”是“直线/：办+2 -1=0 与直线公x+2 y+4=0 平行”的()A.充 分 不 必 要 条 件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.C 解析本题考查了简易逻辑、两直线平行等基础知识，考查了学生简单的逻辑推理能力.若 a=l,则直线/|：a x +2 y -1 =0 与 6：x+2 y +4
25、=0 平行；若直线八：a x +2 y-l=0与 0 x+2 y+4=0 平行，则 2 a-2 =0 即 “=1.二“a=1”是 ：a x+2 y-1 =0与 ：x +2)，+4=0 平行”的充要条件.H5椭圆及其几何性质2 1.H 5、H 8、F 3 2 0 1 2 重庆卷如图,设椭圆的中点为原点O,长轴在x轴上，上顶点为4,左、右焦点分别为吊，出,线段。尸。出的中点分别为S，B2,且 ABIB?是面积为 4 的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过 B|作直线交椭圆于P,。两点，使 P/L Q B z,求 P&。的面积.2 1.解：(1)设所求椭圆的标准方程为，A侬 小 ，
26、右焦点为尸2(G0).因力8|员是直角三角形且L 4B|I =I AB2 L 故N B M B 2 为直角，从而I O AI =1。&1,即 b=.结合 c2=a2-b2 得 4b2=a2-b2,故 =(即-2,X),磁=(必-2,丫2)，所以82 P B2。=(X 1 -2)(X2-2)+yty2=(myt-4)(W2-4)+力及2=(m+1加)，2 -4“i(y i +2)+1 6-1 6(m2+1)1 6，/=-2 T 7-2.磁=0,即 1 6 m 2-6 4=0,解得 m =2.当机=2 时，方程(*)化%:9)?-8 y-1 6 =0,4+41 0 4-4 8 I 故力1-g 丫2
27、 9-，”-羽 二 利1 0，PB2Q的面积S =，助&卜 -1 =y V T b.当?=-2时，同理可得(或由对称性可得)户电。的面积5 =半币5.综上所述，AP B2。的面积为豹8.H5、H 6 2 0 1 2.浙江卷如图1 3,中心均为原点。的双曲线与椭圆有公共焦点，M,N是双曲线的两顶点.若“，0,N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A.3 B.2C币 D小8.B|解析|本题考查了椭圆与双曲线的简单几何性质，考查了学生对书本知识掌握2 2的熟练程度，属于送分题.设椭圆、双曲线的方程分别为a+齐=13|60),Cl2 2?今一3=1伍20，b20),由题意知 C l =
28、C 2 且=为2，则=2.。2 022 2 4 1做19.H5、H 8 2012.天津卷 已知椭圆，+=l(a 60),点P pg”，乎,在椭圆上.(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若 点Q在椭圆上且满足14。1=14。1,求直线O Q的斜率的值.19.解：(1)因为点P(/,当/在椭圆上，故+米=1,可得4 J Z/M 2/9 Cl o所以椭圆的离心率e=乎.设直线。的斜率为k,则其方程为y =此 设 点。的坐标为(9 y o).（y o =%，由条件得W v 0）的左、右焦点，P 为直线工=卑上一点，&P Q 是底角为3 0。的等腰三角形，则 E的离心率为（）4
29、.C|解析 根据题意直线尸&的 倾 斜 角 是 全 所 以%-。=荻尸2 1 =奶 尸 2 1 =*2）解3得 e 吟 故 选 C.16.A2、H 5 2012上海卷对于常数m、n,um n 0n是“方程1 的曲线是椭圆”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件16.B 解析考查充分条件和必要条件，以及椭圆方程.判断充分条件和必要条件，首先要确定条件与结论.条件是结论是 方程加/+=1 的曲线是椭圆”，方 程 m x?+丁=1 的曲线是椭圆，可以得出m 0,且0,n 0,mn,而由条件 皿0 推 不 出”方程，一+=1 的曲线是椭圆”.
30、所以为必要不充分条件，选 B.220.H 5、F1 2012.陕西卷已知椭圆C|：，+y=1,椭 圆 C 2以 C 1的长轴为短轴，且与 G 有相同的离心率.（1）求椭圆C 2的方程；（2）设。为坐标原点，点A,B分别在椭圆G 和。2上，O B=2 O A,求直线A8 的方程.2 220.解：由已知可设椭圆C 2的方程为+，=1（。2）,其离心率为芈，故-4 =半，则。=4,2 a 22 2故椭圆C 2的方程为气+:1.（2）解法一:A,8 两点的坐标分别记为。八，yA）,（XB，犯），由 协=2a 及（1）知，。，4 B三点共线且点A,8 不在y轴上，因此可设直线48 的方程为y =kx.2
31、4将 y =心代入或+;/=1 中，得（1 +4 k2*=4,所以x；=1 今 K2 2人将 y =代入汽+，=1 中，得（4 +必*=16,所以第=4 16庐又由O B=2O A得矽=4/,即4 +=+4 武解得=1,故直线A8的方程为y =x或y =-x.解法二：A,8两点的坐标分别记为(必，力)，(加，油)，由 为=2 a及知，0,4,B三点共线且点4 3不在y轴上，因此可设直线48的方程为y =kx.24将 y =代入彳+/=1 中，#(1+4 Z:2)x2=4,所以/=1+4k2由 初=2总得=丁 枭，另=73，、,2 丫2 4 +2将福，)方代入气+彳=1中,得+就2 =1，即4
32、+炉=1 +4二,解得=1,故直线AB的方程为y =x或)-%.2 1.H 3、H 5、H 8 I2 01 2 湖北卷 设A是单位圆/+丫2=】上的任意一点，/是过点A与x轴垂直的直线，。是直线/与x轴的交点，点M在直线/上，且满足IDA/l=?ID4 l(m 0,且机 1).当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点斜率为的直线交曲线C于尸，Q两点，其中尸在第一象限，且它在y轴上的射影为点N,直线Q N交曲线C于另一点H.是否存在必 使得对任意的k 0,都 有P QA.P H 2若存在，求加的值；若不存在，请说明理由
33、.2 1.解：(1)如图(1),设 M(x,y),A(x0,y o),则由 2 Ml=0,且，”W 1),可得 x =x ,l y l =m y0,所以 x()=x,网二).因为4点在单位圆上运动，所以高+/=1.,将式代入式即得所求曲线C的方程为X2+A=l(/M 0,且m W l).因为(0,l)U(l,+8),所以当0机1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(-#1 -毋,0),(A/1 -m2,0);当机 I时，曲线C是焦耳在)，轴上 的 椭.两焦点坐标分别为(0,-y m2 1),(0,y j m2-1).(2)方法 1:如图(2)、(3),对任意。0,设 P(x”kx
34、i),HX2,y2),则 Q(-x”kxt),M O，3)，直 线。N的方程为)，=2&+3，将其代入椭圆C的方程并整理可得(小+4炉*+4k2x ix +k2x -m2=0.依题意可知此方程的两根为一两，X 2，于是由韦达定理可得2in X m2+4k2,4k2X即必=因为点H在直线Q N上，。所以)1 2 -kx i=2kx2=展2._ b f f(软2kn i x 于无户。=(-2 1，-2 H I),P H =(X2-Xy,2-5)=(-相2+4炉,加 2 十 炉而PQL PH等你于丽丽=4(21：匕J i=0,t n +4k即2 -m?=0,又加 0,得加=也，故存在布=也，使得在其
35、对应的椭圆f+1=1上，对任意的k 0都有方 法 2:如图(2)、(3),对任意即(0,1),设 P(x i，.),(必，力)，则 Q(为，一力)，M。，力)，因为P,两点在椭圆C上，所以彳2 2.2 2 两式相减可得m(所一伤)+。，一无)m历十九=加，=0.依题意，由点P在第一象限可知，点”也在第一象限，且 P,”不重合，故(即一制)3+、2)#。.于是由式可得（力一力）（力+2）m*2.*4（X|-x2）（x i+x2）又 Q,N,/二点共线，所以攵即X XrX2H 口小公T T F T i H，)l 力一乃 1 (3 2)()1+)2)机-于7 E 由 式 可 得 购 一 修*_ 必
36、2 必)+X 2)_ 2，2而 P QJ.P，等价于k p-k p H=-1，即一为=1，又?0,得 川=也，故存在机=表，使得在其对应的椭圆x?+，=l 上，对任意的&0,都有P Q_ LP”.2 1.H 5、H 8 2 01 2.山东卷 如图1 7 所示，椭圆M：3+1=l(a /?0)的离心率为坐,直线x=a 和y +b所围成的矩形A B C D的面积为8.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设直线/：y=x+m(/C R)口椭圆M 有两个不同的交点尸，Q,/与矩形A B C D 有两个不同的交点S,工求解的最大值及取得最大值时m 的值.=2,2 L 解：设椭圆例的半焦距为c,由 题 意
37、知，当Aa b=8,所以 a=2,b 2因此椭圆M 的标准方程为+y 2=1.4 ,2y +y2=1,由J 4 整理得j =冗+m,5x2+Sm x +Am2-4=0,由/=64/-8 0（-1）=8 0-16m20.得 y 5m)2=/2|(XI+X 2)2-4 X|X2=白 2(5 _/)(-y 5m-5).线段C O的方程为y=1(-2&W 2),线段A。的 方 程 为 钎-2(-l W y l).不妨设点S在 A。边上，7在 C C 边上，可 知 l Ww b 0)的左焦点为吊(-1,0),且点尸(0,1)在。上.(1)求椭圆G 的方程；(2)设直线/同时与椭圆G 和抛物线C2：y2=
38、4 x相切，求直线/的方程.20.解：由 Ci 的左焦点尸1的坐标为(-1,0)知 c=1.因为点P(0,l)在 G 上，所以b =1.于是a =2.2故C l的方程为5 +y 2=l.(2)由题设/同时与Ci 和 C2相切，设切点分别为A 和 B,点 B的坐标为(须，%),显然x o0.当点B在第一象限时，点 B的坐标为(即,2 病)考虑抛物线C 2 在第一象限的方程y =2 x,x 0.因为y =+，所以/的斜率为，=,从而/的方程为：=%+.巾0W o由假设直线/与椭圆C 1相切，因此方程组=怠+返，2y +y2=L IL有唯一单，将代入并整理得：(x()+2)x2+4x()x +2x(
39、)(x()-1)=0,所以/=1 6 x o -8 a o +2)x o(xo-1)=-8 x()U o +l)(x()-2)=0.因为x()0,所 以 即=2.当 沏=2时，直线/的方程为：y =+y/2.易验证/是G的切线.由对称性，当切点B在第四象限时，可得/的方程为：y=-*x-综上所述，同时与C i和C 2相切的直线方程为：y=2x+或 y =-x.-也.2 1.H5、H 1 0 2 0 1 2.湖南卷 在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为:的椭圆E的一个焦点为圆C：/+),2-+2=0的圆心.(1)求椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上一点，过尸作两条斜率之积为a的直线3，
40、2.当直线八，/2都与圆C相切时，求P的坐标.2 1.解：由f +y2-4 x +2 =0得(X-2)2+6 =2,故圆C的圆心为点(2,0).从而可设椭圆E的方程为，+，=其焦距为2 c.由题设知c=2,=：=,2 2所以。=2 c=4,b2=a2-c2=1 2.故椭圆E的 方 程 为 总+七=1.io 1Z(2)设点尸的坐标为(X 0,%),1,的斜率分别为我1，&2.则 小，2的方程分别为/1：y-yo=ki(x -Xo),l2：y-y o =k2(x _ X o),且 kik2=5.由 与 圆C:(x-2)2 +y 2=2相切得I 2 k|+y()-1-即(2 -x0)2-2 后+2(
41、2 -次i+*-2=0.同理可得(2 -x o f-2 /+2(2 -沏)湫2 +yo _ 2 =0.从而加，后是方程(2-x()2 -2伙2+2(2 -即)湫+说-2 =0的两个实根.于是(2-XO)2-2WO,b=8 (2-x0)+yo-2 O,日I b)1-2 1且 饱=(2-X)2-2”由j?_ 2 得 招-8xo-36=0.l(2-x0)2-2 =2解 得 沏=-2,或沏=费.由 即=-2得加=3;由劭=晟得yo=J,它们均满足式.故点尸的坐标为(-2,3),或(-2,-3),或(葭，43，或 停，一43.2 28.H5 2012江西卷椭圆会+1=1(。泌0)的左、右顶点分别是A,B
42、,左、右焦点分别是为，&.若AQI，尸肖儿尸闿成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.；B.坐 C.J D.y5 28.B 解析由椭圆的定义知，AFx=a-c,I吊&I=2c,BF=a+c.,.,L4FII,炉匹1,IB尸|1成等比数列，因此4c2=(a-c)3+C),整理得5c2=2,两边同除以2得5/=1,解得e=杀 故 选B.220.H4、H5 2012.辽宁卷如图 1-7,动圆 G：x2+y2=?l/3,与椭圆/+/=1相交于力，B,C,。四点，点4,&分别为C2的左，右顶点.(1)当f为何值时，矩形A 8CO的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹
43、方程.2 0.解：(1)设yo),则矩形A8CO的面积S=4 koi 卜（）1 9 1当/=,诏=5时，Smax=6.从而 小 时，矩形ABC。的面积最大，最大面积为6.由 4(X0,%)，8(X0，-%)，A i(-3,0),A2(3,0)知直线 AA1 的方程为尸号3).直线仆8的方程为产 须“厂“由得产式又点4(X0,%)在椭圆C上，故9-将代入得4=l(x -3,v 0).因此点历的轨迹方程为2-y2=l(x -3,y 0,b 0)与双曲线C2：余一髭=1有相同的渐近线，且 C i 的右焦点为尸(小，0),则。=,b=.11.1 2 解析I :双曲线C i 与 C 2 有共同的渐近线，
44、.扇=42.又：屋+6 2 =5,联立得，a=l,b =2.15.H 6 2 0 12 辽宁卷已知双曲线 一)2=1,点/，尸2为其两个焦点，点尸为双曲线上一点，若 P F P&,则I P QI+I P FT 的值为.15.2 6 解析本小题主要考查双曲线的定义以及性质.解题的突破口为正确应用双曲线的定义.不妨假设点P位于双曲线的右分支上，故而1尸 尸|1-1尸&1 =勿=2,所以(IP Q I-LP F 2 l)2 =(2 a)2=4=I P F,I2+P F/-2 I P FJ I P F2 I =4,因为 P 吊 所以+I P&F=(2 c K=8,所以 2 1 12 1I I P 尸
45、2 l =4,所以(I*+I尸 尸 2/=I P FJ2+I P F2 R +2 I P QI I P&I =12,即I P 尸 J +P F2=2 73.2 25.H6 2 0 12 福建卷已知双曲线方一方=1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于)A 血B也A.14 4C.1 D.g5.C 解析因为双曲线的右焦点坐标为(3,0),所 以 c =3,b2=5,则。2=。2-/=9-c 3-5 =4,所以a=2,所以6 =-=不a 210.H 6 2 0 12 全国卷已知尸|、尸 2 为双曲线C y 2=2 的左、右焦点，点 p 在 C上，I P F|l=2 I P F2h 则 COS
46、ZF|PF2=()3-54-5BD.1-43-4Ac10.C 解析本小题主要考查双曲线的定义及余弦定理的应用，解题的突破口为运用双曲线的定义求出P Q 和 PF2的长，再用余弦定理即可求.由双曲线的定义有IPQI-PF2=IP&I=2a=(42)2+(2V2)2 42 _ 324啦 (2&2VL PFi=2PF2=42,COSNF|PF2=故选C.8.H5、H6 2012浙江卷如 图 1 3,中心均为原点。的双曲线与椭圆有公共焦点，M,N 是双曲线的两顶点.若M,O,N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()图 1 3A.3 B.2C，V3 D.也8.B 解析 本题考查了椭圆与双
47、曲线的简单几何性质，考查了学生对书本知识掌握2 2的熟练程度，属于送分题.设椭圆、双曲线的方程分别为T S =1（|历 0）,C2 2与-3=1(2 0，岳 0),由题意知C =*且。1 =为2，则=2.。22 26.H6Q012湖南卷已知双曲线C：三一方=1 的焦距为1 0,点 P（2,l）在 C 的渐近线上,则 C 的方程为（）2 2 2 2A 二一匕=120 5-12。_2 2 2 2C-=1 D 工一匕=1=80 20 1 u,20 80 6.A 解析 本题考查双曲线方程和渐近线方程，意在考查考生对双曲线方程和其性质的掌握；解题思路：首先由。，b,c 的关系，排除C,D,再由渐近线方程
48、得答案A.由已知可得双曲线的焦距，2c=10,/+匕2 =5 2 =2 5,排除C,D,又由渐近线方程为y=%,得 冷,解 得。2 =解,d=5,所以选A.易错点本题易错：对双曲线的几何性质不清，错以为c=1 0,错选C；易错二：渐近线求解错误，错解成3=不 从而错选B.2 28.H6 2012江苏卷在平面直角坐标系xOy中，若双曲线器房 7=1 的离心率为S，则 机的值为8.2 解 析|本题考查双曲线离心率的求解.解题突破口是明确焦点所在轴.根据双曲线方程可得：m 0,所以6=3十一=小，解之得机=2.22.H6、H4 2012 上海卷 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2 x-y2=
49、.(1)设尸是c 的左焦点，M 是 C 右支上一 点.若IMF I=2 啦，求点M 的坐标；(2)过 C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(3)设斜率为Nl k l V 历)的直线/交C 于尸、0两点.若/与圆*2+/=1 相切，求证：OP1.0Q.,2 2.解：双曲线C：y-/=1，左 焦 点 乎，0),2设 M(x,y),则 IMF p=Q+坐+/=3x+乎,由M 点是右支上一点，知所以IMfl =g x+乎=26,得 x=乎，所以(2)左顶点A(-乎，0),渐近线方程：y=2x.过点A 与渐近线y=平行的直线方程为y=VQ+孚)，即 0)的焦点到
50、双曲线Cl 的渐近线的距离为2,则抛物线C2 的 方 程 为()C.X8 yD.x2 1 6 y1 1.D 解析本题考查双曲线、抛物线的方程及性质，考查运算求解能力，分析解决问题能力，偏 辱,由双曲线，-5=1的离心率为2得 c=2m 又一 抛物线焦点(0,号到双曲线渐近线a yap ap2 2bx的距离、,=T-y jJ +b2 为-p=8,即抛物线C2 的方程为x?=1 6 y.1 0.H 6、H 7 2 0 1 2 课标全国卷等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线 J=i 6 x 的准线交于A,B 两点，L48=4g,则 C 的实轴长为()A，V 2 B.2 7 2C.4