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1、G 立体几何G1 空间儿何体的结构9.G l 2 0 12 重庆卷设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,6和 0,且长为。的棱与长为血的棱异面，则。的取值范围为（）A.（0,近）B.（0,小）C.（1,2）D.（1,9.A 解析如图 1 -2 所示，设/8 =，C D =2,B C =B D =A C =A D =1,则 N/C D=N B C D =45。,要构造一个四面体，则 ZCD 与共面8。不能重合，当A B C D 与A A C D重合时，=0;当/、B、C、。四点共面，且 小 3 两点在。C 的两侧时，在 /BC中，ZACB=Z A C D +Z B C D=4 5 +4 5
2、=9 0 ,AB=y/AC2+BC2=y/2,所以 的取值范围是（0,也）.8.G l、G 2 2 0 12 陕西卷将正方体（如 图 1一3所示）截去两个三棱锥，得到图所示的几何体，则该几何体的左视图为（）图 1 4D8.B 解析分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知对应的左视图应该为B.15.G 1、612 2 0 12 安 徽卷若四面体N88的三组对棱分别相等，即N 8=C。，N C=BD,A D=B C,则（写出所有正确结论的编号）.四面体A B C D每组对棱相互垂直；四面体A B C D每个面的面积相等；从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大
3、于9 0。而小于18 0。；连接四面体488每组对棱中点的线段相互垂直平分；从四面体A B C D每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.15.解析如图，把四面体/BCZ）放入长方体中，由长方体中相对面中相互异面的两条面对角线不一定相互垂直可知错误；由长方体中A A B S 峪A D C B 会D C A,可 知 四 面 体 每 个 面 的 面 积 相 等，同时四面体/8C D中过同一顶点的三个角之和为一个三角形的三个内角之和，即 为 18 0,故正确，错误；长方体中相对面中相互异面的两条面对角线中点的连线相互垂直，故正确；从四面体力 88 每个顶点出发的三条棱可以移到一个三角形中，
4、作为一个三角形的三条边，故正确.答案为.BC5.G l 2 0 12 上海卷 一个高为2的圆柱，底面周长为2 兀，该 圆 柱 的 表 面 积 为.5.6兀 解析考查圆柱的表面积，利用圆的周长求得圆柱的底面半径.由圆柱的底面周长可得底面圆的半径，2 口=2 兀，.=1,得圆柱的表面积5=2 兀/+2 兀 =2 兀+4 兀=6n.19.GE G l l 2 0 12 上海卷如 图 1-1,在三棱锥尸一/B C 中,用 _ L 底面。是尸 C 的中点，已知/氏4 C=；,A B=2,AC=2 P A=2,求：（1）三棱锥产一Z 8 C 的体积；（2）异面直线B C 与AD所成的角的大小（结果用反三角
5、函数值表示）.19.解：（1）SA9C=X 2 X 2小=2 小，三棱锥P-AB C的体积为=；x 2 小 X 2（2）取尸B 的中点E,连接。E、AE,则 ED/B C,所以N 4 D E（或其补角）是异面直线8 c与 4 D所成的角.在/）中，DE=2,A E=,A D=2,2 2+2 2 2 3co s ZAD E2 X 2 X 23所以 Z A DE=ar cco.因此，异面直线B C与AD所成的角的大小是a r c c o s j.G2空间几何体的三视图和直观图10.G 2 2 0 12 天津卷一个几何体的三视图如图12 所示（单位：m）,则该几何体的体积为 m3.图 1-210.3
6、0 解析由三视图可得该几何体为两个直四棱柱的组合体，其体积”3X4X2+1（1 +2）X1X4=3O.13.G2 2012辽宁卷一个几何体的三视图如图13 所示，则该几何体的体积为13.12+n 解析本小题主要考查三视图和体积公式.解题的突破口为通过观察分析三视图，得出几何体的形状，是解决问题的根本.由三视图可知，几何体是一个长方体与一个圆柱构成的组合体，所以该几何体的体积为 =厂 长 方 体+/喇 至=4X3X1+7tXl2Xl=12+n.7.G2 2012课标全国卷如 图 12,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）7.B 解析根据三视图可知该几何
7、体是三棱锥，其底面是斜边长为6 的等腰直角三角形（斜边上的高为3）,有一条长为3 的侧棱垂直于底面，所以该几何体的体积是r=|x|X6X3X3=9,故选 B.3.G2、G7 2012浙江卷已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如 图 1 1所示，则该三棱锥的体积是（）A.1 cm3 B.2 cm3C.3 cm D.6 cm3正视图侧视图俯视图图 1-13.A 解析本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查学生对数据的运算能力和空间想象能力.由三视图可知，该几何体为一个正三棱锥，则 r=|s/；=|x|x 1 X 2 X 38.G l、G 2 2 0 1 2 陕西卷将正方体（如 图 1 3 所示）截
8、去两个三棱锥，得到图所示的几何体，则该几何体的左视图为（）%71G 限B C图 1 48.B 解析分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表不可知对应的左视图应该为B.1 5.G 2 2 0 1 2 湖北卷已知某几何体的三视图如图1 4 所示，则该几何体的体积为I l+J|a=1 ,尸）、刁|s=s+a|J|q=a+2|1 5 .答案 1 2 兀 解析由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2,高 为 1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1,高为4）组合而成，故该几何体的体积是K=7UX22X 1X 2+7 t X 12X 4 =1 2 T L7.G
9、2 2 0 1 2,广东卷某几何体的三视图如图1 1 所示，它的体积为（）正视图 侧视图俯视图图 1TA.7 2 兀 B.4 8 兀C.3 0 兀 D.2 4 兀7.C 解析根据三观图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径/?=3,圆锥半径H =3,高为4,所以如 行 体=半球+四施=：*$:*3 3 +3 兀/3 2 4 =3 0 兀，所以选择C.4.G 2 2 0 1 2 福建卷一个儿何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个儿何体不可以是（）A.球B.三 棱 锥 C.正 方 体 D.圆柱4.D 解析球的三视图大小、形状相同，三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有D不同.1
10、 2.G 2、G 7 2 0 1 2 安徽卷某几何体的三视图如图1 2所示，则该几何体的体积等于正 住）视 图 侧（左）视图52俯视图图 1 一21 2.5 6 解析如图，根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其体积 为 夕=S/?=；（2 +5）X 4 X 4 =5 6.27.G 2、G 7 2 0 1 2 北京卷某三棱锥的三视图如图1 4 所示，该三棱锥的表面积是（）A.2 8+6 小B.3 0+6 市C.5 6+1 2 小D.6 0+1 2 石7.B 解析本题考查三棱锥的三视图与表面积公式.由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知S城IE=TX5X4=
11、1 0,=1 x 5 X 4=1 0,S龙弓X 6 X 2 小=期，5*=1 x 4 X 5=1 0,所以S表=1 0 X 3+6 4=3 0+6 小.4.G 2 2 0 1 2 湖南卷某几何体的正视图和侧视图均如图1 1 所示，则该几何体的俯视4.C 解析本题考查三视图，意在考查考生三视图的辨析，以及对三视图的理解和掌 握.选 项 A,B,D,都有可能，选项C的正视图应该有看不见的虚线，故 C是不可能的.易错点本题由于对三视图的不了解，易 错 选 D,三视图中看不见的棱应该用虚线标出.7.G 2 2 0 1 2 江西卷若一个几何体的三视图如图1 2所示，则此几何体的体积为（）D.4俯视图图1
12、一27.D 解析该几何体是直六棱柱，由左视图知其高为1,由主视图和俯视图知其底面面积S=(l+3)X 1=4,因此其体积为4,故选D.G3平面的基本性质、空间两条直线G4空间中的平行关系1 9.G4、G 5 2 0 1 2山东卷如 图1一6,几何体是 四 棱 锥，为正三角形，CB=CD,ECVBD.图1 6求证：B E=D E：(2)若N B C D=1 2 0。，为 线段4 E的中点，求证：0M平面5 E C.1 9.证明：(1)取8。的中点O,连接C O,EO.由于C B =C D,所以C 0 1 8 D,又 E C 1 8。，E C Q C O =C,CO,E C U 平面 E OC,所
13、以8 D_ L平面EOC,因此BDLEO,又。为8。的中点，所以BE=DE.(2)证法一：取的中点N,连接DN,MN,因为M是/E的中点，所以 M N I I BE.又 M N Q 平面BEC,B E U 平面BEC,所以MV”平面BEC,又因为N B。为正三角形，所以 N B D V=3 0。，又 CB=CD,2 88=12 0。，因此N C 8 Z)=30。，所以 DN II BC,又 DN Q 平面BEC,BCU平面B E C,所以。N平面BEC,又 M N C D N=N,故平面D M NH平面BEC,又。MU平面DMN,所以D M II平面BEC.证法二：延长40,B C 交于点、F
14、,连接因为 C B =CD,N B C D =1 20 .所以 N C B O =30。.因为A A B D为正三角形.所以 N 胡。=6 0。，Z A B C =90 ,因此 N/F 2 =30。，所以 AB=AF.又 AB=AD,所以。为线段工厂的中点.连接D M,由点M是线段NE的中点，因此。又 0 A 何平面BEC,7=平面BEC,所以D M II平面BEC.1 8.G 4、G7 20 1 2辽宁卷 如图 1 一5,直三棱柱月B C-4 B C ,N BAC=90,AB=4 C=巾,AA=1,点 M,N分别为T 8和 夕C的中点.(1)证明：MV 平 面A C C；(2)求三 棱 锥-
15、MNC的体积.(锥体体积公式忆=；S ，其中S为底面面积，h 为高)1 8.解：(1)(证法一)连 结/夕，A C ,由已知N 8/C=9 0。，AB=A C,三棱柱B C 为直三棱柱,所以M 为4 B 中点，又因为N为C的中点，所以M NH 4 C .又 M 7 W 平面/A C C ,AC U平面/A C C ,因 此 平 面A A C C .(证法二)取,B 中点尸，连结A/尸，N P,M.N 分 别 为 力 夕 与 夕C的中点，所以 M P/44,P NI I A C ,所以 M P H 平面 4 ACC,PN II 平面 4 A C C ,又 M P C N P=P,因此平面AffW
16、力平面H A C C,而 MVU平面A/PN.因此MV“平面A A C C .(2)(解法一)连结8 V,由 题 意N 1.B C ,平面/B C C 平面 8,BCC=8 C ,所以H NJ平面N8C.又 4 N =B C=1,故VA,-MNC=八-A MC=3 N E BC=2f-NBC=Q(解法二)VA,-MNC=VA1 -NBC-VM-NBC=，VA-NBC=d16.G 4、G 5、G72012北京卷 如图 1-9(1),在 RtZXNBC 中,Z C=90,D,E 分别为 AC,4 8 的中点，点厂为线段8上的一点，将/1沿 DE折起到小。的位置，使AiF CD,如图 1 一9(2)
17、.(1)求证：ZJE平面小C8；(2)求证：AiFLBE：(3)线段小8 上是否存在点0,使小CJ_平面。E 0?说明理由.16.解：(1)证明：因为。，E 分别为CC,N 8 的中点,所以 DEII BC.又因为0A l平面ACB,所以。E 平面AiCB.(2)证明：由已知得4C_L8C且。EJ/8C,所以。_L/C.所以。_L/Q,D E LCD,所以DE_L平 面DC.而小F U 平面ADC,所以 DELAiF.又因为AtFlCD,所以小EJ 平面BCDE,所以小/1 BE.(3)线段4 8 上存在点。使小C,平面。EQ.理由如下：如下图，分别取小C,小8 的中点P,Q,则 PQII B
18、C.4FC B又因为D E I I BC,所以DEM PQ.所以平面D E Q即为平面DEP,由(2)知,DE _L平面小DC,所以D E 上A C又因为尸是等腰三角形。小C 底边小C 的中点，所以小C_L)P.所以小C_L平面DEP.从而4|C J平面DEQ.故线段小8 上存在点Q,使得小C_L平面。EQ.16.G4、G5 2012 江苏卷如图 1一4,在直三棱柱力8 C-481cl 中，ABX=AXCX,D,E 分别是棱8C,C G 上的点(点。不同于点0,且尸为团G 的中点.求证：(1)平面/)E_L平面8 C C/；(2)直线小F 平面NDE.图 1 41 6.证明：(1)因为Z 8
19、C-小囱G 是直三棱柱，所以C C J 平面/8C,又 4 D U 平面4 B C,所 以 CG_L/D又因为 NO1QE,CC,OEU平面 8 C G S，C Cn D E =E,所以力。_L平面BCG.又/。U平面所以平面ZDEJ平面BCCB.(2)因为4 B=4 G，F 为 5 c l 的中 点,所以小尸1&G.因为CG J-平面小S C”且小尸u平面小8 G，所以 CC-AF.又因为 C G，S G U 平面 8 C G S，C G A B CLG，所以小产J平面B C CXBX.由(1)知 4 D 1 平面B C G&,所以小又 4 D U 平面4 D E,小网平面N D E,所以小
20、尸“平面4)5.G4、G5 2012 浙江卷设/是直线，,“是两个不同的平面()A.若/a,贝 ija”B.若/a,/_1,plljy?C.若 a邛,/a,则/1 尸D.若 a邛,l/a,则/_L夕5.B 解析本题考查了线面、面面平行，线面、面面垂直等简单的立体几何知识，考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象、推理能力.对于选项A,若/“a,III ,则a 或平面a 与夕相交；对于选项B,若 III a,/1 ,则 a，/?;对于选项C,若 a,尸，/l a,则 /或/在 平 面”内；对于选项D,若 a ,/Ila,则/与 平行、相交或/在平面内.G 5空间中的垂直关系19.G5 2012江
21、西卷如 图1一7,在梯形48C D中，A B/CD,E,尸是线段4 8上的两点，J i DEL A B,CF Y A B,A B=12,A D=5,8C=4啦，D E=4,现将力。E,CF8 分别沿。E,C尸折起，使4,8两点重合于点G,得到多面体COEFG.(1)求证：平面。EG_L平面C/G；(2)求多面体C D E F G的体积.1 9.解：(1)证明：因为。C F L E F,所 以 四 边 形 尸 为 矩 形，由 GQ=5,D E =4,得 GE=qG2-r2=3.由 GC=4吸，CF=4,得(G T G C -C尸=4,所以 EN=5.在 4 E F G 有 E F G E FG
22、L 所以 EG1GF,又因为CFJ_E凡C F1 FG,得，C F 1平面EFG,所以C尸，E G,所以EGJL平面C N G,即平面OEGJ-平面CFG.F G G F 12(2)如图，在平面EG厂中，过点G作G_L 于 点H,则G=一豆L=5Dr-/、%/11;、*Ec-:4:F7/G因为平面。EF_L平面E F G,得G4_L平面CQERCDEFG=CDEFG H=6.14.G5 2012四川卷如 图1-4,在正方体N3CD一小8 1G oi中，M、N分别是棱C。、C G的中点，则异面直线小与所成的角的大小是.图1414.90 解析因为/8C)-4|8|C Q i为正方体，故 小 在 平
23、 面C O A G上的射影为2，即小M在平面CQDiG上的射影为Di M,而在正方形 COOiG 中，由 tanNM=tanNCDN=,可知 Di MI DN,由三垂线定理可知，A MVDN.20.G5、G6、GIO、G1.2012重庆卷已知在直三棱柱4 8 C-481G 中,A B=4,A C=B C=3,。为的中点.(1)求异面直线CCi和AB的距离；(2)若N S，小C,求二面角A -C D-B 的平面角的余弦值.c,2 0.解：(1)因 4 C =8 C,。为 的 中 点，故 C D U B.又直三棱柱中，CG，面/8 C，故 CG，C。，所以异面直线CG 和 4 8的距离为C D =
24、yBC2-B D2=5.(2)解法一：由 C D L B B i，故 C D，面小/BBi，从而 C _ L D小，C D I D B 故N A Q B i为所求的二面角小-CD-囱 的平面角.因小。是小C在面小458 1 上的射影，又已知/以，小C,由三垂线定理的逆定理得/以1小。，从而NA i A Bi，N AQ A都与N B M B 互 余,因此/&=/小D 4,所 以 Rt小s R Q B i 4 4因此务 =3/，得 44；=4 小8 =8.从而小。=*4；+庇=2小,8。=小。=2小，所以在4。囱中，由余弦定理得小。2+两-4 所 Jco sNZ.=2.A D.D B i-=y解法
25、二：如下图，过。作 Q Z)i/小交小囱于。在直三棱柱中，由(1)知。3,DC,两两垂直，以。为原点，射线。B,D C,。分别为x 轴、)，轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-x yz.设直三棱柱的高为，则/(-2,0,0),4(-2,0,h),3(2,0,)，C(0,小，0),从而脑=(4,0,h),4c =(2,y5,-h).由届1 1祝 得 盛 疝 7 =0,即 8-后=0,因此=24 1Zf 厂图 1-4故 房 产(-2,0,2的，丽=(2,0,2/)，D C=(0,小，0).设平面小8 的法向量为，=(xi，为，z 0,则机，虎，m L D A i，即Sn=o,V、-2xi+2，5
26、 z i=0,取 ZI=l,得，7 2 =(/,0,1).设平面SC。的法向量为=(必，”，Z2),则，皮，nLD B 即2=0，取 Z2=1,得=(啦，0,1),所以/、m*n 2 1 1co s m,n)=1-r T T=-j=/,=不阿,网 V 2+1 V 2+1 3所以二面角从一C D Bi的平面角的余弦值为小5.G 4、G5 20 1 2浙江卷设/是直线，,是两个不同的平面()A.若/a,l/p,则 a B.若/a,/_ L ,则 a _ L QC.若 a邛,l a,则/_ L/?D.若 l/a,则/_ L 5.B 解析本题考查了线面、面面平行，线面、面面垂直等简单的立体几何知识，考
27、查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象、推理能力.对于选项A,若/“a,III/,则a 或平面a与夕相交；对于选项B,若/a,/J_ 0,则 a J-丑；对于选项C,若 a-L ,/l a,则 或/在 平 面 用 内；对于选项D,若a 4,HI a,则/与 4平行、相交或/在平面内.20.G 4、G 5、G U 20 1 2浙江卷如 图 1-5,在侧棱垂直底面的四棱柱N8848 1 G A中，AD/BC,AD1.AB,A B=AD=2,BC=4,4 小=2,E 是。Q 的中点，尸是平面与直线4 小的交点.(1)证 明:(i)E/45；5)8 小_ 1 _ 平面 BiG EF；(2)求B 5与平
28、面&G E尸所成的角的正弦值.A,D,图 1-520.解：证明：(i )因为G 8 /小。，G 5g平面40Q 4所 以。向“平面小。Q 4又因为平面囱G EF D 平面ADDA=EF,所以 C,B i I I EF,所以小功I I EF.(五)因为8 8 1 JL 平面小81G G，所以 8 8 1 1 8 1 cl.又因为 f i i C,IS i i，所以8 C1 J平面4 8 小，所以8c l l 4.在矩形/8 囱小中，T7是 4 4 的中点，ta n N 4 i 8 F=ta n N 4 4 j 8 =,即N小8 近=N A4B,故 B A 4 B R所以8 小 1 平面BCEF.
29、设BA】与BiF交 点、为H,连结CXH.由知8 小，平面B C E F,所以N8G”是 8G 与面SG E尸所成的角.，-4在矩形4 4 出 5中,AB=R 2,44=2,得之，4在直角分/G中，BG=2R 5,=得si n N 8 GH=2.所以，异面直线处与8 c 所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面/B C D 是矩形，故/D_LC,又由于ZO 1P。，C D Q P D-D,因此平面P D C,而NO U平面/B C D,所以平面PDC_L平面/BCD(3)在平面尸。C 内，过点尸作尸ELCZ)交直线CZ)于点E,连接8.由于平面尸。CJ-平面4 8 8,而直线C)是平面尸。C
30、与平面4 8 8 的交线，故 PE1平面N8CD由此得N P8E 为直线EB与平面4 8 8 所成的角.在中，由于 PZ)=CO=2,PC=2币,可得NPC0=3O。.在 Rt 1(?中，PE=PCsin30=小.由平面 PC,得 BCJ-平面 P C C,因此 8 c l p c在 中，PB=yjPC2+BC1=y3.在 Rt PEB 中，PE A/39sin Z PBE=p=.所以直线尸8 与平面/8C。所成角的正弦值为零.18.G 5、G72012陕西卷 直三棱柱 A B C-4 S G 中，/8=4 4|,N C A B=5(1)证 明:C B J B小;(2)已知/8=2,B C=邓
31、,求三棱锥G-4 8 小的体积.图 1一71 8.解：(1)证明：如图，连结/当,r N 8 C-m 8 1 cl是直三棱柱，Z C A B =,./ICJ 平 面 小，故/1 C_ L 8 4.又丫/台=/小，二四边形/8 团小是正方形，X CA C A Bi=A.8 小，平面。8”故 C 8L.(2)-A B=A A i=2,8 C=小，.-.A C=AlCi=1,由知，4G l 平面4 8 小,.VC-A BA =)SA BA -A C=2 X =).1 9.G 5、G7 20 1 2课标全国卷 如图1-4,三棱柱4 8 C 65 1 cl中,侧棱垂直底面,Z A C B=9 0,A C
32、=B C=A A ,。是 棱/小 的中点.(1)证明：平面8 Z)G，平面B D C；(2)平面BDCi分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.1 9.解：(1)证明：由题设知 8 C _ L C G，BCL A C,C CtCl A C=C,所以 8 cl.平面/C G 小.乂。G U平面4 C G 小，所以。G_ L 8 c.由题设知N 4 G =N/D C=4 5。，所以N C G=90。，即 Z)G_ L OC又。C C BC=C,所以O G J_ 平面BDC.又O G =12 0。，M 为线段Z E的中点，求证：平面8 E C19.证明：(1)取 8。的中点O,连接C。，EO.由于C
33、8 =C。，所以C O 1 B。，E又 ECL BD,E C Q C O=C,CO,ECU平面 EOC,所以8O_L平面EOC,因此 8O_LO,又。为 8。的中点，所以BE=DE.(2)证法一：取 N 8 的中点N,连接。M,DN,MN,因为M 是/的中点，所以M N H BE.又 M N Q 平面BEC,B E U 平面BEC,所以M N II平面BEC,又因为 月 8。为正三角形，所以 N B D N =3 0。,又 C8=CD,Z5CZ)=120,因此 NC8D=30。，所以D N H BC,又DN Q平面BEC,8C U 平面B E C,所以。N 平面BEC,又 M N Q D N=
34、N,故平面D M NH平面BEC,又。MU平面DMN,所以D M II平面BEC.证法二：延长/,B C 交于点F,连接EF.因为 CB=CD,N B C D=120.所以 NC8D=30.因 为 为 正 三 角 形.所以 N&4Z)=60。，N/8C=90。，因此N/尸 8=30,所以 4B=1AF.又AB=AD,所以。为线段工斤的中点.连接。M,由点M 是线段/E 的中点，因此。M/EF.又 0M l平面BEC,M U 平面BEC,所以。A H 平面BEC.19.G5、G72012 湖南卷 如图1一7,在四棱锥P-4 8 C O 中，为_ 1_平 面/8。，底面/8CD 是等腰梯形，AD/
35、BC,AC1.BD.(1)证明：B D L P C；(2)若/。=4,8 c=2,直线PO 与平面处C 所成的角为30。，求 四 棱 锥 尸 一 的 体积.1 9.解：(1)证明：因为/MJ平面4BCZ),BOU平面所以以_L8DRB c图 1 -8又4 CLBD,PA,Z C是平面R i C 内的两条相交直线，所以8 OJ _ 平面刃C.而尸CU平面以C,所以8 Z)_ L P C.(2)设 4c和 8。相交于点。，连结尸。，由(1)知，8。_ 1_ 平 面 以。，所以/O P。是直线产。和平面B/C 所成的角.从而4D P O=3 0。.由8 O_ L 平面/M C,PO U平面以C知，B
36、DPO.在 R tAPOD 中，由 /。=3 0。得 PD=20 D.因 为 四 边 形 为 等 腰 梯 形,/C,8。，所以N OD,5 OC 均为等腰直角三角形.从而梯形A B C D的高为+0+/5。=9(4+2)=3,于是梯形A B C D的面积S=1x(4+2)X 3=9.在 等 腰 直 角 三 角 形 中，。=坐 4。=2 啦，所以P D=2 O D=4 小,P A P E r-A D1=4.故四棱锥P-A B C D的体积为厂=3XSXH=；X 9X 4=12.19.G 5、G 7 2 012 湖北卷 某个实心零部件的形状是如图1 7所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全
37、等的等腰梯形的四棱台4SG2上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱4884 2 8 2 c 2。2.(1)证明：直线85L平面/C C 2 Z2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知AB=0,小B|=2 0,4 4 2=3 0,=1 3(单位：c m),每平方厘米的加工处理费为0.2 0元，需加工处理费多少元？19.解：(1)因为四棱柱4 8 c o -4 2 8 2。2。2 的侧面是全等的矩形,所以AA2-LAD,又因为力8 r 1/。=/,所以4 4 2,平面/B C D连接8。，因为BO U平面/B C D,所以因为底面488是正方形，所以4 c l B D
38、根据棱台的定义可知，8。与用功共面.又 已 知 平 面 平 面 小 SGA，且平面B B i D Q C 平面4BCD=B。,平面8 8。门平面4 B i C Q i=B Q i，所以BQi I I BD于是由 L B。，ACLBD,BDX I I B D,可得 4/2-L 8 Q 1，A C L BXDX,又因为4 4 2。/。=/，所以囱q J 平面N C C 2 Z2.(2)因为四棱柱488-42 8 2 c 2。2 的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S=s 哂 枝上 底 面 +S 囱 核 柱 雁=(A2B2)2+4AB-AA2-102+4 X 10 X 3 0=1 3 00(c m
39、2).又因为四棱台小&G5-/5CZ)的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形.所以S 2 =S 四 枝 台 下 底 面+S四 棱 台 很!面2 1=+4X+AB)h 等 展 榻 形 的 高=202+4X|(10+2 0)132-|(2 0-10)J=1 120(cm2).于是该主心零部件的表面积为S=S1+$2=1 300+1 120=2 420(cm2),故所需加工处理费为0.25=0.2X2 420=484(元).18.G5、G122012广东卷 如 图15所示，在四棱锥PNBC。中，平面AB/CD,PD=AD,E是P B的中点，尸 是D C上的点且。尸=5 3,P H为 弘D中4
40、D边上的高.(1)证明：P，_L平面 4 8 cD：若PH=1,AD=y2,F C=1,求三棱锥E-8 C 5的体积；(3)证明：F_L平面为8.图 151 8.解：(1)由于/8 _ L平面H。，平面故 ABLPH.又因为P H为4 P A D中4 9边上的高，故 ADLPH.:A B C 4 D =4,4 B U平面 4BCD,4D U 平面 ABCD,平面 ABCD.(2)由于尸“1平面E为P B的 中 点,P H=1,故 到平面/8 C O的距离12-又因为 4B I I CD,A B L A D,所以/O_LC。，故 SBCF=F C A D=J 1,啦=乎.因此七-BCF=/当 T
41、 =*.(3)证明：过E作EG/B交 以 于G,连接DG.由于E为尸8的中点，所 以G为我的中点.因为次1 =。尸，故。以 为等腰三角形，所以。G1R4.,.1 8 1平面掰。，O G U平面必。，ABLDG.又/8 n/?4=a /8 U平面 以8,B 4U平面以8,.G _ L 平面 P A B.又.G E 触D F*4 B,GE 触 DF.所以四边形。尸 EG为平行四边形，故 D G M EF.于是E F 1 平面P A B.19.G 5、G H 2 012 安徽卷 如图 1一3,长方体 12 1c l。中,底面 4 8 1 G z)|是正方形，。是 8。的中点，E 是棱4 4 1上任意
42、一点.(1)证明：B D L E C i；(2)如果力8=2,A E=y2,O E L E C ,求力小 的长.图 1319.解:(1)证 明:连 接 4 C,4 c l.由底面是正方形知，BD1A C.因为4 4 平面4 B C Z),平面/B C D,所以4 4 8 D又由 A A i QA C=A,所以8 0-L 平面A A i Ci C.再由EGU平面力小GC知，B D L E G.(2)设 4 小 的 长 为 人 连 接 OG.在 R t/sON E 中，A E=A 0 =y2,故 OE2=(啦+(啦 尸=4.在 心/中，AIE=h-y2,小G=2 限.故 E 盘=(-啦 曰 +(2
43、 啦尸.在 R2O CG 中，O C =y2,CCi =h,OC=A2+(V?)2.因为O E _ L G，所以0 炉+=。盘，即4 +(/7-也)2 +(2 g)2 =后+(啦)2,解得 h=3 啦所以4 小的长为3应16.G 4、G 5、G 7 2 012 北京卷 如图 1-9(1),在 R t Z4 8 C 中,ZC=90,D,E 分别为 4C,的中点，点厂为线段CO 上的一点，将/1 )沿。E折起到小。E的位置，使A1F C D,如图 1-9(2).(1)求证：D E 平面4CB；(2)求证：A i F L BE；线段48 上.是否存在点0,使 小 平 面。E0?说明理由.1 6.解：
44、(1)证明：因为。，E分别为/C,48 的中点,所以 D E I I BC.又因为DEQ平面小CB,所以D E II平面AiCB.(2)证明：由已知得ZC18 C且 DE J/8C,所以D E L AC.所以。D E I CD,所以D _ L 平面ADC.而小尸u平面ADC,所以 DELAF.又因为AF1CD,所以小/1 平面BCDE,所以小厂1 8E.(3)线 段 上 存 在 点。，使 4 c _ L 平面DE Q.理由如下：如下图，分别取4C,48 的中点尸，0,则 P Q I I BC.又因为D E I I BC,所以。E PQ.所以平面D E Q即为平面DEP,由(2)知,E _ l_
45、 平面小。C,所以D E L 4 c.又因为尸是等腰三角形D 小C底边小C的中点,所以小C _ L Z)P.所以小C _ L 平面DEP.从而/CL平面DEQ.故线段小8 上存在点0,使得mC J平面DE 0.1 6.G4、G 5 20 1 2江苏卷 如图 1 一4,在直三棱柱/B C 小81 cl 中,AiBl=AiC1,D,分别是棱8C,CG上的点(点。不同于点。，且 4 O_ L Z)E,尸为SG的中点.求证：(1)平面Z O _ L 平面B C G B 1；(2)直线4尸平面/D E4C,B,FA CDB图1 41 6.证明：(1)因为/B C-小团G是直三棱柱，所以CC|J平面Z8C
46、,又ADU平面月8 C,所 以CC|_L/D又因为 CC,DEU平面 8CG 8”C CH D E =E,所以/D_L平面8CC向.又/O U平面ZOE,所以平面ZDEJ平面B C C B.(2)因为4与=4 G，尸为历G的中点，所以小尸1B1G.因为CC 平面小8 G，且小尸U 平面小S G，所以CGJ 小 厂.又因为 CC|,8C1U平面 8C G S，C G n 8 iG =G，所以小F_L平面B C C B.由知 !平面8C G S，所以41FM4D.又/,AC=2yf2,PA=2,是尸C 上的一点，PE=2EC.(1)证明：PCJ_平面BED；(2)设二面角A-P B-C为9 0 ,
47、求P D与平面P8C所成角的大小.19.解：方法一：(1)证明：因为底面/B C D为菱形，所以8 D 1 4 C,又 以，底面4 8 8,所以PCLBD.设/C C 8D =尸，连 结 所.因为4 c =2啦,PA=2,PE=2 E C,故PC =2yf3,EC=，FC=y12,从 而 隹;而，普=#.r C zSC vPC AC因为石万=石 K N F C E=N P C A,所以r C ZiC FCEs APCA,N F E C=Z P A C =90 ,由此知P CA.EF.P C与 平 面 内 两 条 相 交 直 线 8D,E 尸都垂直，所以PC I平面B E D（2）在平面均8 内
48、 过 点/作 Z G 1 P8,G为垂足.因为二面角4-P B-C为 9 0。，所以平面为B J平面尸 8 c又平面以8。平面P BC=P B故 NG-L 平面 P8C,A GL BC.8 C与平面以8 内两条相交直线处，ZG都垂直，故 8C _ L 平面以8,于是8 c _ L/&所以底面/B C D 为正方形，Z O =2,P D =yj R42+A D2=2 2.设。到平面P B C 的距离为d.因为Z Q/2C,且 4W 平面PB C,B C U平面P B C,故4DI I 平面P BC,A,。两点到平面 P B C 的距离相等，即d=Z G =A/l设 与 平 面 尸 BC所成的角为
49、a,则 s i n a =；.所 以 与 平 面 P 8 C 所成的角为3 0 .方法二：（1）以/为坐标原点，射线4c 为 x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Z -x yz.设 C(2巾,0,0),于 是 元=（2吸，0,-网0,P C D E=0,故 P C 上 BE,P C-L DE.又 B E C D E =E,所以尸C _ L 平面8 D E(2)苏=(0,0,2),A B=(y2,-6,0).m2zx=设即令设:（x,y,z）为平面4 4 4 的法向量，则 机弘尸=0,=0,=0 H y/2x-by=0,b,则 z =（6,巾,0）.（p,q,厂）为平面P 8 C 的法向
50、量，则n P C=0,BE=0,即2y2p-2r=0且当 +的+*=0,令2=1,则-也，q=-乎，=（1,-小，啦）因为面 R 4 8J 面 P B C,故 r =0,即 b-g =0,故 b=用,于是 =（1，-1,也），DP=（一啦，-啦，2）,二、n-DP 1c os 小 D P）=Ti i m G 1 1 2O1 2重庆卷 已知在直三棱柱 4 B C 4 5 1 G 中,A B=4,A C=BC=3,。为 的 中 点.(1)求异面直线CCi和AB的距离；(2)若/囱 J_ NC，求二面角A i C D Bi的平面角的余弦值.2 0.解：(1)因 N C =8 C,。为 4 5 的中点