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1、第10讲解直角三角形 直角三角形的三边关系知识梳理题型探究直角三角形的边角关系：三角比直角三角形锐角关系：互余解基本的直角三角形解非直角三角形解直角三角形的应用课后作业知识梳理在直角三角形中，由己知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.在 RAABC中，如果NC=90。，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系:(1)三边之间的关系:a2+b2=(2)锐角之间的关系:ZA+ZB=90(3)边角之间的关系:sin A=cos B=,cos A=sm B=题型探究tan A=cot B=,cot A=tan B=-b a题型一、解直角三角形的基本类型I t【例1】（2 0 1 9全国）在4
2、S C中，/C=9 0。，根据下列条件解直角三角形.(1)Z A =3 0,a =6；(2)ZA=30。，b=10#1.【答案】(1)Zfi=60,b=6 6 c=12；(2)Zfi=60,a=10,c=20.【解析】解；(1)V ZC=90,ZA=30,AZB=60,V a=6,c=AB=2BC=2x6=12,b=12xsin600=6 5/3；(2)V ZC=90,ZA=30,ZB=60,Vb=10V3,.c二 AB=拒二 20,57/760Aa=c=IO.2【例 2】（2020.山东九年级期中）在AABC中，已知NC=90。，+c=30,4 NB=30。.解这个直角三角形.【答 案】zS
3、A=60 ZB=30 a=10/3,b=10,c=20.【解 析】解：V ZC=90,AZA+ZB=90,VZA-ZB=30,A ZA=60,ZB=30,；sin3(T=2=；c 2b=yC,Vb+c=30,*.gc+c=30,解得c=20,则 b=10,a=j2()2_l()2=1 0 6塞题型二、解非直角三角形 例 3（2020山东）在 AABC 中，AB=12cm,AC=6cm,ABAC=120,则 AABC 的面积为.cm【答案】18G【解 析】如图，过点B作BDLAC交AC延长线于点D,VZBAC=120,.ZBAD=180-120=60,sinZBAD=AB/.BD=ABsin60
4、0=12x=6/3，2.二 ABC 的面积=，AC-B D =1X6X6G =1 8G.2 2故答案为：18班.网【例4】（2019上海市闵行区七宝第二中学九年级期中）等腰三角形的周长为2+百，腰长为1,则底角等于【答 案】30【解 析】如图A:AB C的周长为2 +6,腰长为1,：.AB=AC=,BC=/3,过A作AD1.BC于点D,则B D=B ,2在心4 8。中，c o s Z B =,AB 2,Z B=3 0,故填30.举一反三21.（2021哈尔滨市第六十九中学校九年级三模）在AABC中，ZC=90,BC=2,sinA=,则AC的 长 是（)A.75B.37D.713【答案】A【解
5、析】解：,sin A=,BC-2，AB 3.AB=3.AC=yjAB2-BC2=V32-22=y5 故选：A.2.如图，在RhABC中，ZB=90,tanC=2,AC=1 0,则 AB的 长 为()AA.5 B.5#C.2石 D.4石【答案】D【解 析】解：；NB=90,tanC=2,=2,B P AB=2BC,又 AC=10,BC/.BC2+(2BC)2=102,:.BC=2小或 BC=-2退(舍)，AB=4亚，故选D.3.（2021 辽宁九年级一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90,AC=6,点。是A 8边上一点，若tanZDCB=；,则线段0 8的长度为（）A.4B.3C.2亚
6、D.72【答案】C【解析】解：如图，过点。作。于点E,EB;等腰直角三角形ABC中，ZC=90,AC=6,：.BC=6,N B=45,且 OE_LBC,ZEDB=ZB=45,：.D E=BE,设 D E r,1 r)Fu：tan ZDCB=-=2 CE/.CE=2DE=2x=6-x,x=2,:.DE=BE=2,BD=ylDE2+BE2=2 0故选c.4.（2021 上海九年级专题练习）已知在中，ZC=90,Z B =f3,AB=5,那么A C的 长 为（)A.5cos/B.5sin/75cos/7D.5sin P【答 案】B【解 析】解：在RlZkABC中,sin忏 生f ABAC=AB*si
7、np=5sinp,故选：B.5.（2019 上海九年级单元测试）在AABC中，AB=8,ZABC=30,A C=5,则BC=【答 案】4出3【解 析】B如图，过 C 点作CD_LAB于 D,设 BC=x,VZABC=30,；.C D=!B C=!x,BD=3X,2 2 2，AD=(8-x)2在 RS ADC中，根据勾股定理得:AD2+CD2=AC2即(8-立X)2+(lx)2=522 2解得x =4否3即 BC=4/33.6.（2021.天津九年级月考）如图，在 R/A/WC中，ZC=90,ZB=30,BC=,解这个直角三角形.B【答 案】AB=-,AC=-,Z A=6033【解 析】解：V
8、ZC=90,ZB=30,/.ZA=60.：sinA=taM =生ABAC即乐东房东 日卫ACe3 37.（2021 上海九年级专题练习）如图，在 RM A8C中，设 小 b,c分别为NA,ZB,ZC的对边，ZC=90,b=8,/A 的平分线A)=与 G,求/B,a,c 的值.【答案】Z B=3 0,。=8百，c=16【解 析】解：V ZC=90,6=8,NC4B 的平分线AC 8 73A cos Z CAD AD-16函 一 23AZCAD=30,j ZCAB=60,J ZB=30,h _ 8c=2 b=1 6,a tan3QQ/3 8G ,T即 N8=3 0,。=86，c-1 6.题型三、解
9、直角三角形的应用【例 5】（2 0 2 1 上海九年级专题练习）在 A B C 中，AB=5,8 c=8,Z B=6 0 ,则SAABC（结果保留根号）【答案】1 0 6【解 析】解：AB=5,ZB=60,/.ABC 中，BC 边上的高=sin60 xAfi=也 x5=延2 28C=8,*,S ABC=5 x8x =10/3；故答案为：106.肛【例 6】（2021全国九年级专题练习）如图，在四边形A8C。中，=90。,4BM=60。,AB =4,AD=5.则 AC的长的值为DC(B【答 案】2#i【解 析】解：如 图，延 长8C,AD交 于E,.ZB=90,/BAD =60,AB=4,/.Z
10、 =30,AE=2AB=8,BE=A&tan/.BAE=4 x tan 60=43，:AD=5,：.DE=3,：ZADC=NCDE=90。，DE 3 F T.CE=-=273:.cos E/3T：BC=BE-CE=26AC=lAB2+BC2=+(273 J=277.故答案为：2币趾【例7】（2019浙江九年级其他模拟）如图，ABC中，AB=AC=1 3,3OJ_AC于点,s i M13(1)求3。的长;(2)求tanC的值.3【答 案】(1)12；(2);【解 析】1 2解：（1）AB C 中，AB=AC=39 于点。，s i n A=.BD 1 2*A8-T3,嗒喑解得：80=12；(2).
11、AC=AB=13,BD=12,BDLAC,：.AD=5f，O C=8,tan Z C=BD 12 3DCS2,举 一反三1.(2019 江苏九年级期末)如图，己知 AABC中，NABC=3()。，ZACB=45,AB=8.求 A4BC的面积.BC【答 案】8+873【解 析】解：过点A作AO_L8C,垂足为点。,在 RtA ADB 中,A nV sin ZABC=AB：.AD=AB sinZABC=8x-=42V cos ZABC=AB，=AB cosZABC=8x =4/32在 RtZiADC 中，；NACB=45,ZCAD=45：.AD=DC=4：.=-B C A D =-(B D +CD
12、)AD=-X(4+473)X4=8+8/32 2 2A42.（2021 上海中考真题）已知在A3。中，AC1BD,BC=C D =4,cosZABC=-,BF为 4。边上的中线.(1)求 AC的长;(2)求 tan/FB。的值.3【答 案】(1)A C =6；(2)【解 析】4(1)V ACBD.c o s Z ABC=-/.cosZABC=-AB 5：.AB=O工 AC=y/AB2-BC26；(2)过点 F 作 FGLBD,/8尸为AO边上的中线.是 4。中点：FGLBD,ACBD：.FG/AC；.FG是 AC。的中位线.,.FG=AC=32CG=-C=22,在 R必 BFG中,tan Z
13、F BD=-A-BG 8+2 103.（2021安徽九年级其他模拟）如图，在AABC中，A。是边BC上的高，E 为边AC的中4点，8 c=14,AO=12,s in B=,求:（I）线段。C的长;(2)s i n/ED C 的值.【答 案】(1)C D=5；(2)s i n Z ED C=.【解 析】解：（1）在 4 8C中，是 边B C上的高,：.ADLBC.：.sinB=AB45VAD=12,AB=-A D =15.4在 放 4 8。中，V BD=yAB2-A D2=V1 52-1 22=9 :.CD=BC-BD=14-9=5.(2)在 RfAADC 中,：AD=2,DC=5,AC=D C
14、、AD2=5/52+122=13.是 4 c 的中点,DE=EC,：.ZEDC=ZC.：.sin/EDC=sinZC=,AC 1344.(2021 山东九年级期末)如图，在 ABC中，是 BC上的图，B D=A C=W,tanB=-(1)求 AD的长;(2)求 cosNC 的值和 A8c.3【答案】(1)8；(2)求 cos/C=g；SAHC=M.【解 析】解：ADLBC,ZADB=ZADC=90,.n AO.tanB=-BD45:BD=AC=Wf AD=8；(2)V ZADC=90,AC=10,AO=8,*-CD=AC2-AD2=Jio2*=6,BC=BD+CD=T6,cosC=CDA C6
15、T o35SA ABC=I *BC AD=1xl6x8=64.5.（2020.上海九年级专题练习）如图，在 ABC中，ZACB=90,sin3|,将ABC绕顶点C 顺时针旋转，得到4 B|C,点 A、B 分别与点Al、对应，边 A iB 分别交边AB、BD8 c 于点。、E,如果点E 是边4 S 的中点，那 么 麻=_ _【答案】|3【解 析】AC 3解：V ZACB=90,sinB=一,AB 5.设 AC=3x,AB=5x,BC=-J AB2 AC2=4x，:将 ABC绕顶点C顺时针旋转,得到 AjBiC,：.CBi=BC=4xf AiBi=5x,ZACB=ZAiCBf 点E 是 4 囱的中
16、点,CE=A.B=2.5x=BE,2：.BE=BC-CE=.5xt；NB=NBi,/CEBi=/BED:.ACEBisADEBBD BE 1.5x 3BC BE 2.5x 53故答案为：j及作业1.（2021湖北省咸宁市马桥镇马桥中学九年级月考）在放A A 8 C中，NC=90。，AB=2 6,tanA=3,则AC的 长 为（）A.25 B.13C.24D.12【答案】C【解 析】解：如图,AVZC=90,tanA=,12A cos ZA=13VAB=26,A C =A B c o s Z A =2 4 ；故选c.2.（2 0 2 0四川九年级二模）如图，在RtA A B C中，直角边B C的
17、 长 为NA=40。，则斜边 AB的 长 是（)A.A?isin40B.cos40C.sin 40D.mcos 40【答 案】C【解 析】解:TsinABC：.AB=BCsir/tnsin 40故选：C.3.（2021安徽九年级二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90,A C=6,。是 AC上一点，如果tan/BA=g,那么AO的 长 为（）A.1B.2C.6D.2 0【答案】B【解析】解：作。后,钻于足点.1 np.tanNO8A=5 BEBE-5DE,AABC为等腰直角三角形,.ZA=45,AE=DE.BE=5AE,又:AC=6，AB=6 0.:.AE+BE=5AE+AE=6y/2
18、,A E =0，二在等腰直角AADE中，由勾股定理，A D =42 AE=2.故选：B.D,A EB4.（2021山东九年级二模）如图，。为RhABC的AC边上一点，ZC=90,NDBC=ZA,4AC=4,cosA=-,则 8=()cA.94B.125C.154D.4【答 案】A【解 析】4解：:Rt4 ABC,AC=4,cosA=-.A C _4_ 4*AB-5-4B：.AB=59ABC=7AB2-AC2=3,Rt BCD 中，ZDBC=ZA,3 CD 3tan Z DBC=tan Z A=,B|J-=4 BC 4.CD _ 3,3 49：.CD=-,4故选：A.5.（2019全国九年级专题
19、练习）已知 ABC中，ZB=30,ZC=45,AB=4,则 B C 的长为.【答 案】2+2班【解 析】【解 析】解：作ADJ_BC于D,如图,在R s ABD中,VsinB=,cosB=ABAB AD=4sin30=4x-=22BD=ABcosB=4x=2 62在 R S ACD中,V t a n C ,CD：.CD=ADtan C则 BC=BD+CD=2+26,故答案为：2+26.6.（2019 乐清市育英寄宿学校七年级期中）如图，等腰直角AABC的面积为1 6,点。在斜边A C的延长线上，ZBDC=30 ,则ABQ C的面积是一B【答 案】8 V 3-8【解 析】解：如图，作BH_LAC
20、于H.:等 腰直角 A B C的面积为16,由=H8=H3=HVQ=z(ZA)+z(S切=(DVTHa*o06=Davz 少=Da=va;.*zA=Da=vav在 RtA BDH 中，ZBHD=90,ZBDC=30,DH=y3BH=4/3,AD=4V3-4,；=。BH =?（4 仃 -4）.4 =8/-8.7.（2 0 2 0.甘州中学九年级期中）如图,四边形ABC。中，NB=/O=90。，Z A=1 2 0,AB=1 2,C =1 0 百，求 A O 的长.D【答 案】6【解 析】解：延长DA交 C B 的延长线于E,ZABC=90,ZABE=90,%0=H7.,%ozi=avaz.AAE=
21、2AB=24,ZD=90,J ZC=60,；.D E=6 CD=30,，AD=DE-AE=6.D8.（2020全国九年级专题练习）已知RfAABC中，Z C =90,NB=60,AB=6,解这个直角三角形.【答案】ZA=30,BC=3,AC=35/3.【解 析】解：在 向AABC中，vZ C =90,ZB=60,AB=6,.-.ZA=90-60=30,/.BC=AB=3,2:.AC=JAB2-BC?=旧-号=3行B故答案为/A=30。，BC=3,AC=3G.9.（2019全国）已知在AAfiC中，ZA:Zfl:ZC=l:2:3,c-b =4-2 6.解这个直角三角形.【答案】ZA=3O,ZB=
22、60,ZC=90,a=2,h=23,c=4.【解 析】解：V Z A：Z B：ZC=1：2：3,ZA=180 x-?=30,1 +2+3ZB=60,ZC=90,*/sin60=-，c 2：c-b =4-2y/3.c-c=4-2V3,2解 得：c=4,b=2.a=个=2.10.（2020 上海市位育初级中学九年级期中）在 RlA ABC中，ZC=90,a=6,b=6 6.解这个三角形.【答案】c=12,ZA=30,ZB=60.【解 析】在 RtzABC 中，ZC=90,a=6,b=6后,c=y/a2+b2=+(6行=12 一、h 6y/3 石 sin A=,sin B=-=-，c 12 2 c
23、12 2；./A=30,ZB=60.11.（2021 上海九年级二模）如图，四边形A8CO是平行四边形，联结AC,3AB=5,BC=7,cos B=.5(1)求 ZACB的度数.(2)求s i n N A 8的值.【答 案】(1)45 ；(2)逋.10【解 析】解：（1）过点A作3-：AB=5,cos B=-BE 3AB5.BE=3.AE=jAB2-BE2=V52-32=4B C =7.CE=7-3 =4Rt/ACE 111tanZACE=-=lCE 4.Z ACB=Z A C E =4 5：(2)过点A作A F LC D,如图,四边形ABC。是平行四边形,.B C A E =CD AF/.A
24、F=BCAECD7x4 28 I-!-心 AEC中,AC=VAE2+EC2=V42+42=4/228._ A1 _ M _ 7 c .sin N4 CD=-AC 4 夜 1012.（2020 湖南九年级期末）如图，四边形ABC。中，4=90。，AB=2,CD=8,ACJ.CD,sinNACB.3(1)求AC的长.(2)求tan/ZMCcos/ZMC的值.DAB4【答 案】(1)AC=6；(2)y.【解 析】解：(1).N8=9 0 8 =2,sinNAC8=L3ABACB|J：2 1AC3经检验：AC=6符合题意;(2)vACCZ),CD=8,AC=6,.AD=VAC2+CD2=A/62+82
25、=10,小 DC 8 4/厂 AC 6 3tan Z.DAC=,cos ZDAC=-=,AC 6 3 AD 10 54 3 4z.tan N D 4c cos ADAC=-x-=-.3 5 5313.（2021上海）如图，在 ABC 中，ZC=90,sinZA=-,AB=5f 3。平分 NA5C.(1)求B C的长;(2)求N C 8 O的正切值.【答案】(1)3；(2)1【解 析】解：（1）在 AABC 中，ZC=90,.sinZA=AB35AB=5,BC=3；(2)如图，过。点作QE_LAB于E,Q8O 平分 ZA8C,ZC=90,:.DC=DE.在 RtABDE 与 RtABOC 中,B
26、D=BDDE=DC：.RtABDE=RtABDC(HL),BE=BC=3,：.AE=AB-BE=5-3=2.在R t M C中，由勾股定理得AC=dAB2BC=旧 =4.设CD=x,则。E=x,AD=4-x.在 R tA A D f 中，ZAED=90。，:.AD1=AE2+DE2(4-x)2=22+x2,3解得x=3:.CD=-2在R tZO BC中，N C =90。，3tanNCB=於河BC14.(2021 上海)如图，已知：在 ABC中，AB=AC,BD是 AC边上的中线，AB=13,BC=10,(1)求 ABC的面积;(2)求 t a nZ DBC 的值.4【答案】6 0；(2)【解析
27、】解：（1）过点A 作 AHJ_BC,垂足为点H,交 BD于点E.EBHCVAB=AC=13,AH1BC,BC=10,.BH=-B C =52在 R S ABH 中，AH=/132-52=12.AABC 的面积=g BCAH=1xl0 xl2=60；(2)方法一：过点A 作 A H J_BC,垂足为点H,交 BD 于点E.BHCVAB=AC=13,AH1BC,BC=10,.BH=-B C =52在 R S ABH 中，AH=/132-52=12 BD 是 AC边上的中线所以点 是仆ABC的重心.EH=，A =4,3 在 RlAEBH 中，tanZDBC=一.HB 5方法二：过点A、D 分别作AHLBC、D F 1 B C,垂足分别为点H、F.AEBHCVAB=AC=13,AH1BC,BC=10.BH=CH=-fiC=52在 R S ABH中，AH=而 王 二 丽=而 已，=12VAHIBC DF1BC，AHDF,D 为 AC 中点,；.D F=；AH=6,HF=-C H=-2 2 2.BF=BH+HF=5+-=2 2 在 RS DBF 中，tanZDBC=BF 5