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1、第 1 0讲 解 直 角 三 角 形 直 角 三 角 形 的 三 边 关 系 知 识 梳 理 题 型 探 究 直 角 三 角 形 的 边 角 关 系：三 角 比 直 角 三 角 形 锐 角 关 系：互 余 解 基 本 的 直 角 三 角 形 解 非 直 角 三 角 形 解 直 角 三 角 形 的 应 用 课 后 作 业知 识 梳 理 在 直 角 三 角 形 中，由 己 知 元 素 求 出 所 有 未 知 元 素 的 过 程，叫 做 解 直 角 三 角 形.在 RAABC中，如 果 NC=90。，那 么 它 的 三 条 边 和 两 个 锐 角 之 间 有 以 下 的 关 系:(1)三 边 之 间
2、 的 关 系:a2+b2=(2)锐 角 之 间 的 关 系:ZA+ZB=90(3)边 角 之 间 的 关 系:sin A=cos B=,cos A=sm B=题 型 探 究 tan A=cot B=,cot A=tan B=-b a题 型 一、解 直 角 三 角 形 的 基 本 类 型 I t【例 1】（2019全 国）在 4 S C 中，/C=90。，根 据 下 列 条 件 解 直 角 三 角 形.(1)Z A=30,a=6；(2)ZA=30,b=1 0 G氏【例 2】（2020 山 东 九 年 级 期 中）在 AAfiC中，已 知 NC=90。，A+c=30,N A-N 8=30。.解 这
3、 个 直 角 三 角 形.君 题 型 二、解 非 直 角 三 角 形 瓦【例 3】（2020山 东）在 AABC 中，AB=Ucm,AC=6cm,ZBAC=120 则 A/WC的 面 积为 _瓦【例 4】（2019上 海 市 闵 行 区 七 宝 第 二 中 学 九 年 级 期 中）等 腰 三 角 形 的 周 长 为 2+6,腰 长 为 1,则 底 角 等 于举 一 反 三21.（2021.哈 尔 滨 市 第 六 十 九 中 学 校 九 年 级 三 模）在 AA 8 C中，Z C=90,BC=2,sinA=-,则 A C的 长 是（）A.不 B.3 C.-D.7132.如 图，在 向 AM C
4、中，ZB=90,tanC=2,A C=1 0,则 A 3的 长 为（)A.5 B.54 C.2石 D.4/53.（2021.辽 宁 九 年 级 一 模）如 图，在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中，Z C=90,AC=6,点。是 AB边 上 一 点，若 tanZDCB=；,则 线 段 O B的 长 度 为（）BA.4 B.3 c.2 V 2D.V24.（2021.上 海 九 年 级 专 题 练 习）已 知 在 中，Z C=900,ZB=（3,AB=5,那 么 A C的 长 为（)A.5cos/B.5sin/75cos/7D.5sin P5.（2019 上 海 九 年 级 单 元 测 试）在
5、 AABC中，AB=8,ZABC=30,A C=5,贝 ij B C=,6.（2021天 津 九 年 级 月 考）如 图，在 RfAABC中，Z C=90,ZB=30。，BC=y/l,解 这个 直 角 三 角 形.7.（2021.上 海 九 年 级 专 题 练 习）如 图，在 R S ABC中，设 m b,c 分 别 为 N 4,N B,Z C的 对 边，/C=9 0。，b=8,/A 的 平 分 线 4）=?6 求 NB,c 的 值.E 题 型 三、解 直 角 三 角 形 的 应 用 人【例 5】（2021上 海 九 年 级 专 题 练 习）在 ABC中，A 8=5,B C=8,N B=60。
6、，则 SAABC（结 果 保 留 根 号）H u 例 6（2021全 国 九 年 级 专 题 练 习）如 图，在 四 边 形 ABC。中，=90。,ZfiAD=60,AB=4,AD=5.则 AC的 长 的 值 为 DC(B氏【例 7】（2019浙 江 九 年 级 其 他 模 拟）如 图，A B C 中，4B=4C=13,8OJ_AC于 点 sinA=13B(1)求 B O的 长;(2)求 tanC的 值.举 一 反 三 1.（2019 江 苏 九 年 级 期 末）如 图，已 知 A 48 C中，ZABC=30,ZACB=45,AB=8.求 A43C的 面 积.42.（2021上 海 中 考 真
7、 题）已 知 在 A3。中，A C B D,B C=8,C=4,cosZABC=-,BF为 A O 边 上 的 中 线.(1)求 A C 的 长;(2)求 tan/F B O的 值.3.（2021安 徽 九 年 级 其 他 模 拟）如 图，在 A A B C 中，A O 是 边 B C上 的 高，E 为 边 A C 的 中4点，BC=14,AO=12,sinB=,求:(1)线 段 Q C的 长;(2)sin/EO C 的 值.44.（2021 山 东 九 年 级 期 末）如 图，在 A B C中，4。是 5 C上 的 高，BD=A C=l Ot tanB=-(1)求 AO的 长;(2)求 co
8、sNC 的 值 和 A 6c.5.（2020 上 海 九 年 级 专 题 练 习）如 图，在 A A B C中，/A C B=9 0。,3sin B=,将 A8C 绕 顶 点 C 顺 时 针 旋 转，得 到 ALBIC,点 4、B 分 别 与 点 Ai、3 对 应,BDBC于 点、D、E,如 果 点 E 是 边 的 中 点，那 么 前=一.边 分 别 交 边 AB、昂 课 后 作 业 1.（2021.湖 北 省 咸 宁 市 马 桥 镇 马 桥 中 学 九 年 级 月 考）在 R/A 4 8 C中，ZC=90,AB=26,tanA=3,则 A C的 长 为（）A.25 B.13 C.24 D.1
9、22.（2020 四 川 九 年 级 二 模）如 图，在 R Q ABC中，直 角 边 B C的 长 为 加，N A=40。，则 斜边 A B的 长 是（)A.A?sin40 B.nzcos40 C.sin 40D.mcos 403.（2021安 徽 九 年 级 二 模）如 图，在 等 腰 直 角 三 角 形 A 8 C中，ZC=90,AC=6,。是 4 c上 一 点，如 果 ta n/。8A=（,那 么 A C的 长 为（）CD,BA.1 B.2 C.也 D.2V24.（2021.山 东 九 年 级 二 模）如 图，。为 的 A C边 上 一 点，ZC=9O,ZD B C=ZA,4AC=4f
10、 cosA=-f 则 8=()cA.94D 12B.5C.4D.45.（2019全 国 九 年 级 专 题 练 习）已 知 A B C中，ZB=30,ZC=45,A B=4,则 B C的 长为 _6.（2019 乐 清 市 育 英 寄 宿 学 校 七 年 级 期 中）如 图，等 腰 直 角 A B C的 面 积 为 1 6,点。在 斜边 A C的 延 长 线 上，NBZ）C=30。，则 8 O C的 面 积 是 一 7.（2020甘 州 中 学 九 年 级 期 中）如 图,四 边 形 ABCD中，Z B=Z D=9 0,Z A=120,AB=12,CD=W6,求 A D的 长.DR8.（202
11、0全 国 九 年 级 专 题 练 习）已 知 MAABC中，Z C=90,ZB=60,4 5=6,解 这 个 直 角 三 角 形.9.（2019全 国）已 知 在 A A B C 中，ZA:Ze：ZC=l:2:3,c-b=A-2.解 这 个 直 角 三 角 形.10.（2020 上 海 市 位 育 初 级 中 学 九 年 级 期 中）在 RtA A B C中，ZC=90,a=6,b=6 6.解 这 个 三 角 形.11.（2021 上 海 九 年 级 二 模）如 图，四 边 形 A 8 C 3是 平 行 四 边 形，联 结 4 C,3AB=5,BC=7,cos B=.5BD(1)求 ZACB的
12、 度 数.(2)求 sinNACD的 值.12.(2020 湖 南 九 年 级 期 末)如 图，四 边 形 ABC。中，4=90。，AB=2,8=8,AC L C D.sin ZACB=-.3(1)求 A C的 长.(2)求 tan NZMC cos N O 4c 的 值.，DAB313.（2021 上 海）如 图，在 AABC 中，N C=90。，sinZA=j,AB=5,8 平 分 NABC.（1）求 B C 的 长;(2)求 NC8O的 正 切 值.14.（2021 上 海）如 图，已 知：在 A B C中，A B=A C,B D是 A C边 上 的 中 线，AB=13,BC=10,(1
13、)求 A B C的 面 积:(2)求 tanZDBC 的 值.B第 1 0讲 解 直 角 三 角 形 直 角 三 角 形 的 三 边 关 系 知 识 梳 理-直 角 三 角 形 的 边 角 关 系：三 角 比 I 直 角 三 角 形 锐 角 关 系：互 余 解 基 本 的 直 角 三 角 形 题 型 探 究-解 非 直 角 三 角 形 解 直 角 三 角 形 的 应 用 课 后 作 业知 识 梳 理 在 直 角 三 角 形 中，由 己 知 元 素 求 出 所 有 未 知 元 素 的 过 程，叫 做 解 直 角 三 角 形.在 RAABC中，如 果 NC=90。，那 么 它 的 三 条 边 和
14、两 个 锐 角 之 间 有 以 下 的 关 系:(1)三 边 之 间 的 关 系:a2+b2=(2)锐 角 之 间 的 关 系:ZA+ZB=90(3)边 角 之 间 的 关 系:sin A=cos B=,cos A=sm B=题 型 探 究 tan A=cot B=,cot A=tan B=-b a题 型 一、解 直 角 三 角 形 的 基 本 类 型 I t【例 1】（2019全 国）在 4 S C 中，/C=90。，根 据 下 列 条 件 解 直 角 三 角 形.(1)Z A=30,a=6；(2)ZA=30。，b=10#1.【答 案】(1)Zfi=60,b=6 6 c=12；(2)Zfi=
15、60,a=10,c=20.【解 析】解；(1)V ZC=90,ZA=30,A ZB=60,V a=6,c=AB=2BC=2x6=12,b=1 2xsin600=6 5/3；(2)V ZC=90,ZA=30,ZB=60,Vb=10V3,.c二 AB=拒 二 20,57/760A a=c=IO.2【例 2】（2020.山 东 九 年 级 期 中）在 AABC中，已 知 NC=90。，+c=30,4 NB=30。.解 这 个 直 角 三 角 形.【答 案】zSA=60 ZB=30 a=10/3,b=10,c=2 0.【解 析】解：V ZC=90,A Z A+Z B=90,V Z A-Z B=30,A
16、 ZA=60,ZB=30,；sin3(T=2=；c 2b=yC,Vb+c=30,*.gc+c=30,解 得 c=20,则 b=10,a=j2()2_l()2=1 0 6塞 题 型 二、解 非 直 角 三 角 形 例 3（2020山 东）在 AABC 中，AB=12cm,AC=6cm,ABAC=1 2 0,则 AABC 的 面 积 为.cm【答 案】18G【解 析】如 图，过 点 B作 BDLAC交 A C延 长 线 于 点 D,VZBAC=120,.ZBAD=180-120=60,sinZBAD=AB/.BD=ABsin600=12x=6/3，2.二 ABC 的 面 积=，AC-BD=1 X6
17、X6 G=18G.2 2故 答 案 为：18班.网【例 4】（2019上 海 市 闵 行 区 七 宝 第 二 中 学 九 年 级 期 中）等 腰 三 角 形 的 周 长 为 2+百，腰 长 为 1,则 底 角 等 于【答 案】30【解 析】如 图A:ABC的 周 长 为 2+6,腰 长 为 1,：.AB=AC=,BC=/3,过 A 作 AD1.BC于 点 D,则 B D=B,2在 心 48。中，cosZB=,AB 2,ZB=30,故 填 30.举 一 反 三 21.（2021哈 尔 滨 市 第 六 十 九 中 学 校 九 年 级 三 模）在 AA B C中，Z C=90,BC=2,sinA=,
18、则 A C的 长 是（)A.75 B.37D.713【答 案】A【解 析】解：,sin A=,BC-2，AB 3.AB=3.AC=yjAB2-B C2=V32-22=y5 故 选：A.2.如 图，在 R hA B C中，ZB=90,tanC=2,AC=1 0,则 A B的 长 为()AA.5 B.5#C.2石 D.4石【答 案】D【解 析】解：；NB=90,tanC=2,=2,B P A B=2 B C,又 AC=10,BC/.BC2+(2BC)2=102,:.BC=2小 或 BC=-2退(舍)，AB=4亚，故 选 D.3.（2021 辽 宁 九 年 级 一 模）如 图，在 等 腰 直 角 三
19、 角 形 A B C中，Z C=90,AC=6,点。是 A 8边 上 一 点，若 tanZDCB=；,则 线 段 0 8 的 长 度 为（）A.4 B.3 C.2亚 D.72【答 案】C【解 析】解：如 图，过 点。作。于 点 E,EB;等 腰 直 角 三 角 形 ABC中，ZC=90,AC=6,：.BC=6,N B=4 5,且 OE_LBC,ZEDB=ZB=45,：.D E=B E,设 D E r,1 r)Fu：tan ZDCB=-=2 CE/.CE=2DE=2x=6-x,x=2,:.DE=BE=2,BD=ylDE2+BE2=2 0故 选 c.4.（2021 上 海 九 年 级 专 题 练
20、习）已 知 在 中，Z C=90,ZB=f3,AB=5,那 么 A C的 长 为（)A.5cos/B.5sin/75cos/7D.5sin P【答 案】B【解 析】解：在 RlZkABC中,sin忏 生 f ABAC=AB*sinp=5sinp,故 选：B.5.（2019 上 海 九 年 级 单 元 测 试）在 AABC中，AB=8,ZABC=30,A C=5,则 BC=【答 案】4出 3【解 析】B如 图，过 C 点 作 CD_LAB于 D,设 BC=x,VZABC=30,；.C D=!B C=!x,BD=3X,2 2 2，AD=(8-x)2在 RS A D C中，根 据 勾 股 定 理 得
21、:AD2+CD2=AC2即(8-立 X)2+(lx)2=522 2解 得 x=4否 3即 BC=4/33.6.（2021.天 津 九 年 级 月 考）如 图，在 R/A/WC中，Z C=90,ZB=30,BC=,解 这 个 直 角 三 角 形.B【答 案】AB=-,AC=-,Z A=603 3【解 析】解：V Z C=90,ZB=30,/.ZA=60.：sinA=ta M=生 AB AC即 乐 东 房 东 日 卫 A C e3 37.（2021 上 海 九 年 级 专 题 练 习）如 图，在 R M A 8 C中，设 小 b,c分 别 为 NA,Z B,Z C的 对 边，ZC=90,b=8,/
22、A 的 平 分 线 A)=与 G,求/B,a,c 的 值.【答 案】Z B=3 0,。=8百，c=16【解 析】解：V ZC=90,6=8,NC4B 的 平 分 线 AC 8 73A cos Z CAD AD-16函 一 23AZCAD=30,j ZCAB=60,J ZB=30,h _ 8c=2b=16,a tan3QQ/3 8G,T即 N8=30,。=86，c-16.题 型 三、解 直 角 三 角 形 的 应 用【例 5】（2021上 海 九 年 级 专 题 练 习）在 A B C 中，AB=5,8c=8,ZB=60,则 SAABC（结 果 保 留 根 号）【答 案】106【解 析】解：A
23、B=5,Z B=60,/.ABC 中，BC 边 上 的 高=sin60 xAfi=也 x5=延 2 2 8 C=8,*,S ABC=5 x8x=10/3；故 答 案 为：106.肛【例 6】（2021全 国 九 年 级 专 题 练 习）如 图，在 四 边 形 A8C。中，=90。,4BM=60。,AB=4,AD=5.则 A C的 长 的 值 为 DC(B【答 案】2#i【解 析】解：如 图，延 长 8C,A D交 于 E,.ZB=90,/B A D=60,AB=4,/.Z=30,AE=2AB=8,BE=A&tan/.BAE=4 x tan 60=43，:AD=5,：.DE=3,：ZADC=NC
24、DE=90。，DE 3 F T.CE=-=273:.cos E/3T：B C=B E-C E=26AC=lA B2+BC2=+(273 J=277.故 答 案 为：2币 趾【例 7】（2019浙 江 九 年 级 其 他 模 拟）如 图，A B C中，AB=AC=13,3OJ_AC于 点,s i M13(1)求 3。的 长;(2)求 tanC的 值.3【答 案】(1)12；(2);【解 析】12解：（1）ABC 中，AB=AC=39 于 点。，sinA=.BD 12*A8-T3,嗒 喑解 得：8 0=1 2；(2).AC=AB=13,BD=12,BDLAC,：.A D=5f，O C=8,tan
25、Z C=BD 12 3DCS2,举 一 反 三 1.(2019 江 苏 九 年 级 期 末)如 图，己 知 A ABC中，NABC=3()。，ZACB=45,AB=8.求 A4BC的 面 积.BC【答 案】8+873【解 析】解：过 点 A作 AO_L8C,垂 足 为 点。,在 RtA ADB 中,A nV sin ZABC=AB：.AD=AB sinZABC=8 x-=42V cos ZABC=AB，=AB cosZABC=8 x=4/32在 RtZiADC 中，；NACB=45,ZCAD=4 5：.AD=DC=4：.=-B C A D=-(B D+C D)A D=-X(4+4 73)X4=
26、8+8/32 2 2A42.（2021 上 海 中 考 真 题）已 知 在 A3。中，A C 1 B D,B C=C D=4,cosZABC=-,BF为 4。边 上 的 中 线.(1)求 A C的 长;(2)求 tan/FB。的 值.3【答 案】(1)A C=6；(2)【解 析】4(1)V ACBD.cos ZABC=-/.cosZABC=-AB 5：.AB=O工 AC=y/AB2-BC26；(2)过 点 F 作 FGLBD,/8尸 为 AO边 上 的 中 线.是 4。中 点：FGLBD,ACBD：.FG/AC；.FG是 AC。的 中 位 线.,.FG=AC=32CG=-C=22,在 R必 B
27、 F G中,tan Z F B D=-A-BG 8+2 103.（2021安 徽 九 年 级 其 他 模 拟）如 图，在 A A B C中，A。是 边 B C上 的 高，E 为 边 A C的 中 4点，8 c=1 4,A O=12,s i n B=,求:（I）线 段。C 的 长;(2)sin/EDC 的 值.【答 案】(1)CD=5；(2)sinZEDC=.【解 析】解：（1）在 48C中，是 边 BC 上 的 高,：.ADLBC.：.sinB=AB45VAD=12,AB=-A D=15.4在 放 48。中，V BD=yAB2-AD2=V152-122=9:.CD=BC-BD=14-9=5.(
28、2)在 RfAADC 中,：AD=2,DC=5,AC=D C、AD2=5/52+1 2 2=13.是 4 c 的 中 点,DE=EC,：.ZE D C=ZC.：.sin/EDC=sinZ C=,AC 1344.(2021 山 东 九 年 级 期 末)如 图，在 ABC中，是 B C上 的 图，B D=A C=W,tanB=-(1)求 A D的 长;(2)求 cosNC 的 值 和 A8c.3【答 案】(1)8；(2)求 c o s/C=g；SAHC=M.【解 析】解：ADLBC,ZADB=ZADC=90,.n AO.ta n B=-BD45:BD=AC=Wf A D=8；(2)V ZA D C
29、=90,A C=10,A O=8,*-CD=AC2-AD2=J io2*=6,BC=BD+CD=T6,cosC=CDAC6T o35S A ABC=I*BC AD=1 x l6 x 8=64.5.（2020.上 海 九 年 级 专 题 练 习）如 图，在 ABC中，ZACB=90,sin3|,将 ABC绕顶 点 C顺 时 针 旋 转，得 到 4 B|C,点 A、B 分 别 与 点 Al、对 应，边 A iB分 别 交 边 AB、BD8 c 于 点。、E,如 果 点 E 是 边 4 S 的 中 点，那 么 麻=_【答 案】|3【解 析】AC 3解：V ZA CB=90,sin B=一,AB 5.
30、设 AC=3x,AB=5x,BC=-J AB2 AC2=4x，:将 ABC绕 顶 点 C顺 时 针 旋 转,得 到 AjBiC,：.CBi=BC=4xf AiBi=5x,ZACB=ZAiCBf 点 E 是 4 囱 的 中 点,CE=A.B=2.5x=BE,2：.B E=B C-C E=.5xt；N B=N B i,/CEBi=/B E D:.A C E BisAD EBBD BE 1.5x 3BC BE 2.5x 53故 答 案 为：j及 作 业 1.（2021湖 北 省 咸 宁 市 马 桥 镇 马 桥 中 学 九 年 级 月 考）在 放 A A 8 C 中，NC=90。，AB=26,tanA
31、=3,则 AC的 长 为（）A.25 B.13 C.24 D.12【答 案】C【解 析】解：如 图,AV Z C=90,tanA=,12A cos ZA=13VAB=26,A C=A B cos Z A=24；故 选 c.2.（2020四 川 九 年 级 二 模）如 图，在 R t A A B C 中，直 角 边 B C 的 长 为 N A=4 0。，则 斜边 A B的 长 是（)A.A?isin40 B.cos40 C.sin 40D.mcos 40【答 案】C【解 析】解:TsinABC：.AB=BCsir/tnsin 40故 选：C.3.（2021安 徽 九 年 级 二 模）如 图，在
32、等 腰 直 角 三 角 形 ABC中，ZC=90,A C=6,。是 AC上 一 点，如 果 tan/BA=g,那 么 A O的 长 为（）A.1 B.2 C.6 D.2 0【答 案】B【解 析】解：作。后,钻 于 足 点.1 np.tanNO8A=5 BEBE-5DE,AABC为 等 腰 直 角 三 角 形,.Z A=45,AE=D E.BE=5AE,又:AC=6，AB=6 0.:.A E+BE=5AE+AE=6y/2,AE=0，二 在 等 腰 直 角 AADE中，由 勾 股 定 理，A D=42AE=2.故 选：B.D,A E B4.（2021山 东 九 年 级 二 模）如 图，。为 RhA
33、BC的 AC边 上 一 点，ZC=90,NDBC=ZA,4AC=4,cosA=-,则 8=()cA.94B.125C.154D.4【答 案】A【解 析】4解：:Rt4 ABC,A C=4,cosA=-.A C _ 4 _ 4*AB-5-4B：.A B=59ABC=7AB2-A C2=3,Rt BCD 中，ZD BC=ZA,3 CD 3tan Z DBC=tan Z A=,B|J-=4 BC 4.CD _ 3,3 49：.C D=-,4故 选：A.5.（2019全 国 九 年 级 专 题 练 习）已 知 A B C中，ZB=30,ZC=45,AB=4,则 B C的 长 为.【答 案】2+2班【解
34、 析】【解 析】解：作 ADJ_BC于 D,如 图,在 R s ABD中,VsinB=,cosB=AB AB AD=4sin30=4x-=22BD=ABcosB=4x=2 62在 R S A C D中,V t a n C,CD：.CD=ADtan C则 BC=BD+CD=2+26,故 答 案 为：2+2 6.6.（2019 乐 清 市 育 英 寄 宿 学 校 七 年 级 期 中）如 图，等 腰 直 角 A A B C的 面 积 为 1 6,点。在 斜 边 A C的 延 长 线 上，ZBDC=30,则 A B Q C的 面 积 是 一B【答 案】8 V 3-8【解 析】解：如 图，作 B H _
35、LA C于 H.:等 腰 直 角 A B C的 面 积 为 16,由=H8=H3=HVQ=z(Z A)+z(S 切=(D V T H a*o06=Davz 少=D a=va;.*zA=D a=vav在 RtA BDH 中，ZBHD=90,ZBDC=30,DH=y3BH=4/3,AD=4V3-4,；=。BH=?（4仃-4）.4=8/-8.7.（2020.甘 州 中 学 九 年 级 期 中）如 图,四 边 形 ABC。中，N B=/O=9 0。，ZA=120,AB=12,C=10百，求 AO 的 长.D【答 案】6【解 析】解：延 长 D A交 C B的 延 长 线 于 E,ZABC=90,ZAB
36、E=90,%0=H7.,%o z i=a v a z.AAE=2AB=24,ZD=90,J ZC=60,；.D E=6 CD=30,，AD=DE-AE=6.D8.（2020全 国 九 年 级 专 题 练 习）已 知 RfAABC中，Z C=90,NB=60,AB=6,解 这 个 直 角 三 角 形.【答 案】ZA=30,BC=3,AC=35/3.【解 析】解：在 向 AABC中，v Z C=90,ZB=60,AB=6,.-.ZA=90-6 0=30,/.BC=AB=3,2:.AC=J AB2-BC?=旧-号=3行 B故 答 案 为/A=3 0。，BC=3,AC=3G.9.（2019全 国）已
37、知 在 AAfiC中，ZA:Zfl:ZC=l:2:3,c-b=4-2 6.解 这 个 直 角 三 角 形.【答 案】ZA=3O,ZB=60,ZC=90,a=2,h=23,c=4.【解 析】解：V Z A：Z B：Z C=1：2：3,ZA=180 x-?=30,1+2+3ZB=60,ZC=90,*/sin60=-，c 2：c-b=4-2 y/3.c-c=4-2V 3,2解 得：c=4,b=2.a=个=2.10.（2020 上 海 市 位 育 初 级 中 学 九 年 级 期 中）在 RlA A B C中，Z C=9 0,a=6,b=6 6.解 这 个 三 角 形.【答 案】c=12,ZA=30,Z
38、B=60.【解 析】在 RtzABC 中，ZC=90,a=6,b=6后,c=y/a2+b2=+(6行=12 一、h 6y/3 石 sin A=,sin B=-=-，c 12 2 c 12 2；./A=3 0,ZB=60.11.（2021 上 海 九 年 级 二 模）如 图，四 边 形 A 8C O是 平 行 四 边 形，联 结 A C,3AB=5,BC=7,cos B=.5(1)求 ZACB的 度 数.(2)求 s i n N A 8 的 值.【答 案】(1)45；(2)逋.10【解 析】解：（1）过 点 A 作 3-：AB=5,cos B=-BE 3AB5.BE=3.AE=jAB2-B E2
39、=V52-32=4 B C=7.CE=7-3=4Rt/ACE 111tanZACE=-=lCE 4.ZACB=ZA C E=45：(2)过 点 A 作 A F L C D,如 图,四 边 形 ABC。是 平 行 四 边 形,.B C A E=C D A F/.AF=B C A ECD7 x 4 28 I-!-心 AEC中,AC=VAE2+EC2=V42+42=4/228._ A1 _ M _ 7 c.sin N4 CD=-AC 4 夜 1012.（2020 湖 南 九 年 级 期 末）如 图，四 边 形 ABC。中，4=90。，AB=2,CD=8,A C J.C D,sinNACB.3(1)求
40、 AC的 长.(2)求 tan/ZM C cos/ZM C的 值.DAB4【答 案】(1)AC=6；(2)y.【解 析】解：(1).N 8=9 0 8=2,sinNAC8=L3ABACB|J：2 1AC3经 检 验：AC=6符 合 题 意;(2)vA C C Z),C D=8,AC=6,.AD=VAC2+CD2=A/62+82=10,小 DC 8 4/厂 AC 6 3tan Z.DAC=,cos ZDAC=-=,AC 6 3 AD 10 54 3 4z.tan N D 4 c cos ADAC=-x-=-.3 5 5313.（2021上 海）如 图，在 ABC 中，Z C=90,sinZA=-
41、,AB=5f 3。平 分 NA5C.(1)求 B C 的 长;(2)求 NC8O的 正 切 值.【答 案】(1)3；(2)1【解 析】解：（1）在 AABC 中，ZC=90,.sinZA=AB35 AB=5,BC=3；(2)如 图，过。点 作 QE_LAB于 E,Q8O 平 分 ZA8C,ZC=90,:.DC=DE.在 RtABDE 与 RtABOC 中,BD=BDDE=DC：.RtABDE=RtABDC(HL),BE=BC=3,：.AE=AB-BE=5-3=2.在 R t M C 中，由 勾 股 定 理 得 AC=dAB2BC=旧=4.设 CD=x,则。E=x,AD=4-x.在 R tA A
42、 D f 中，ZAED=90。，:.AD1=AE2+DE2(4-x)2=22+x2,3解 得 x=3:.C D=-2在 R tZ O B C中，N C=90。，3tanNCB=於 河 B C14.(2021 上 海)如 图，已 知：在 A B C中，AB=AC,B D是 A C边 上 的 中 线，AB=13,BC=10,(1)求 A B C的 面 积;(2)求 tanZDBC 的 值.4【答 案】60；(2)【解 析】解：（1）过 点 A 作 A H J_B C,垂 足 为 点 H,交 B D于 点 E.EBH CV A B=A C=13,A H 1B C,BC=10,.B H=-B C=52
43、在 R S ABH 中，A H=/132-52=12.AABC 的 面 积=g BC AH=1 x l0 x l2=6 0；(2)方 法 一：过 点 A 作 A H J_ B C,垂 足 为 点 H,交 B D于 点 E.BH CV A B=A C=13,A H 1B C,BC=10,.B H=-B C=52在 R S ABH 中，A H=/132-52=12 B D是 A C边 上 的 中 线 所 以 点 是 仆 A B C的 重 心.EH=，A=4,3在 RlAEBH 中，tan Z D B C=一.HB 5方 法 二：过 点 A、D 分 别 作 A H LBC、D F 1 B C,垂 足 分 别 为 点 H、F.AEBHCV A B=A C=13,A H 1B C,BC=10.B H=C H=-fiC=52在 R S A B H中，A H=而 王 二 丽=而 已，=12V A H IB C D F1BC，AH DF,D 为 AC 中 点,；.D F=；A H=6,HF=-C H=-2 2 2.B F=BH+HF=5+-=2 2在 R S DBF 中，tanZDBC=BF 5