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1、第 6 讲相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例性质定理1：对应高、中线、角平分线之比等于相似比性质定理2 :相似三角形的周长比等于相似比性质定理3 :相似三角形的面积比等于相似比的平方r利用性质定理求解长度、周长、面积、比值等一证明线段成比例 几种常用方法是重点知识梳理1.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等,对应边成比例.2.相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.3.相似三角形性质定理2相似三角形的周长的比等于相似比.4.相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方.题型探究题型一、利用相似三角形性质的求解网【例
2、1】求长度、周长、面积AR 3(1)已知A A B CSMBC，顶点A、B、C 分别与A、8、G 对应，=，BE、囱用分别是它们的对4 耳2应中线，且 BE=6.求 8面 的长.【答案】4.【解析】解：.AA8CsA4)8 C，BE、用片分别是对应中线，-A-B=-B-E-即nn-3=-6-，E,B,=44 4 EtBt 2 E|B|(2)已知 A A B C s M q G，顶点 A、B、C 分别与 Ai、Bi、G 对应，AC=12,AG=9,4，的平分线 4。的长为6,求/4 的平分线的长.【答案】8.【解析】解：.AABCsMgG,AD.分别是/4、幺 的平分线，.=2 即 丝=丝，.4
3、 0=8 即ZA 的平分线的长为8.AG AR 9 6(3)已知AABC s 的 8 6 ,顶点A、B、C 分别与4、S、Ci对应，它们的周长分别为48和 60,且 43=12,4 6=2 5,求 BC和 4 山|的长.【答案】8c=20,%瓦=15.【解析】解：.AA8CSM4,.三 皿-二 组 二 型G44G 4 4 JB又.C-_ 48 _ 460 5.3。=2 0,4 g=15.(4)如果两个相似三角形的最长边分别为3 5厘 米 和1 4厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是.【答案】100cm.【解析】两三角形的相似比为3 5:1 4 =5:2 ,则周长比为5:2,设大三
4、角形周长为5acm，小三角形周长为2acm，贝i j5 a-2 a =6 0,所以a =2 0,所以大三.角形的周长为1 0 0 c z.(5)如图，点。、E 分别在 A4 B C 的边 AB 和 AC 上，DE/BC,D E =6,B C =9,SM D E=6.求心火的值.【答案】3 6.解析解：:D E U B C ,：.M D E A A B C,(6)如图，在 AAB C 中，。是 AB 上一点，若 N B =ZACD,A D =4cm,A C =6 cm,5MCD=8c/n2,求 AAB C的面积.【答案】1 8c病.【解析】解：-.-ZB=ZACD,4 4 =NA，:.MCD A
5、 A B C.sSAABC又；SM C D =8。,SMBC=18c/n2.(7)(2019上海民办桃李园实验学校九年级月考)如图，点G 是“ABC的重心，过点G 作 EF/BC,分别交AB、AC于点 E、F,且 EF+BC=7.2 a n,求 3c 的长.【答案】4.32cm【解析】解：如图，连接AG并延长，交BC于点、P.为AABC的重心，：.AG=2GP,：.AGt AP=2：3,户过点6 且后尸8。，.A G F s&p c,：.AF：AC=AG：AP=2：3.又,：EFUBC、：.A.AEF/XABC,.EF AF 2*B C-7C-3,：.EF=-BC3又：EF+BC=7.2cm,
6、：.BC=4.32cm.（8）（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）在 ABC中，AB=8,点 D、E 分别在边AB、A C 上,且 DEB C,若 DE把 ABC分成了面积相等的两部分，求 BD的长.【答案】BD=8-4夜【解析】解：V DE/ZBCAAADEAABC.,ADE与 ABC的面积的比等于 1:2AD：AB=1：/2：AB=8AD=45/2；.BD=8-4 夜（9）（重要模型）（2019上海九年级月考）如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边 2 c=120丽，高=80加%要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在8 c 上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边
7、长是多少mm.【答案】这个正方形零件的边长是4 8，”.【解析】设正方形的边长为X，“，“，贝 I AIA D -x=80 -x,是正方形，C.EF/GH,X A E F s M A B C,.EF _ AI x 80-xB C A D 1 2 0 80解得 =4 8 mm,这个正方形零件的边长是4 8小 .现【例 2】比值(1)(2 0 2 0 上海市静安区实验中学九年级课时练习)相似三角形对应高的比为4:3,那么它们的对应中线的比为.【答案】4:3【解析】解：相似三角形对应高的比为4:3,那么它们的对应中线的比为4:3.故答案为：4:3.(2)(2 0 2 0 上海市静安区实验中学九年级课
8、时练习)两个相似三角形的面积比为1:2,则它们的对应角平分线的比为.【答案】1:0【解析】解：两个相似三角形的面积比为1:2,则它们的相似比为：1:&，则它们的对应角平分线的比为1:72故答案为：1:&（3）（2 0 2 0.上海市静安区实验中学九年级课时练习）若两个相似多边形的对应边之比为5:2,则它们的周长比是,面积比是.【答案】5:2 2 5:4【解析】相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.两个相似多边形的对应边之比为5:2,则它们的周长比是5：2,面积比是2 5：4.故答案为5：2；2 5：4.（4）（2 0 1 9上海市进才中学北校）如果两个相似三角形
9、的对应角平分线之比为1：4,那么它们的周长之比是【答案】1:4【解析】.两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4,.那么它们的周长之比是1：4.故答案为：1：4.（5）（2 0 2 0 上海市位育初级中学九年级期中）如图，40ABs0CD,O A：O C=3：2,&O A B与X O C D的面积分别是S与 周 长 分 别 是 C i 与 C 2,则下列说法正确的是（）C DA-C=1B 352 2C.-CD =-2DL).O%-D-32【答案】A【解析】解：,:O AB s o C D,O A：0 C=3：2,C.3 -A-=T,A 正确;(2 乙:.楙 =？，B错误;J,T，琮g c错误;
10、：.0A：0 C=3：2,D 错误;1.（2 0 1 7上海九年级一模）如果AABCSA D E/，A、8 分别对应。、E,且 A B:O E =1:2,那么下列等式一定成立的是（）A.B C:D E =1.2 B.A A B C 的面积：AD E 尸的面积=1:2C.NA 的度数：NO的度数=1:2 D.A A B C 的周长：A D E E 的周长=1:2【答案】D【解析】根据相似三角形性质可得：A：BC和 DE不是对应边，故错；B：面积比应该是1:4,故错；C:对应角相等，故错；D：周长比等于相似比，故正确.故选：D2.（2 0 2 0 上海市静安区实验中学九年级课时练习）两个相似三角形
11、对应中线的比为1：3,且小三角形的面积是2 石，那么大三角形的面积为一.【答案】1 8/3【解析】V 两个相似三角形对应中线的比为1：3,.相似比=1,.面积之比为相似比的平方，设小三角形面积为S,大三角形面积为S ,仔畤,即:绰畤,解得：S =1 8石,故填：1 8百.3.（2 0 2 1 上海九年级其他模拟）如图，将 A B C 沿 8 c边上的中线A。平移到 4 B C 的位置，己知 A 8C的面积为1 6,阴影部分三角形的面积为9.如果AA=1,那么4。的长为.【答案】3【解析】解：如图,：品加。=1 6、SA A，E F=9,且为8 c边的中线，S&ADE=y S&AEF=4.5,S
12、A ABD=SA ABC=8,/将 A B C沿BC边上的中线A D平移得到 A b C,则产=与也，即=,VAD）SMDB AD+1）83解得 AT=3 或 AT=-i （舍），故答案为：3.4.（2020上海宝山区九年级月考）如图，电灯尸在横杆A 3的正上方，A 8在灯光下的影子为CO,AB II CD,AB=2cm,8=5 c m,点 P 到8的距离是女m,则点尸到AB的距离是.PA/、t/、/、/4/_B/C D【答案】I【解析】解：45/8 PABPCD.他:8=到 4 8 的距离：点P 至 I 8的 距 离.,2:5=尸到A 8的距离：3,户到 的 距 离 为?，故答案为5.（20
13、20上海市曹杨二中附属江桥实验中学九年级期中）已知两个相似三角形的相似比为4：9,则它们的周长比为（）A.2：3 B.4：9 C.3：2 D.16：8【答案】B【解析】解：两个相似三角形的相似比为4：9,它们的周长比等于相似比,即：4：9.故选：B.6.（2 0 2 0上海第二工业大学附属龚路中学）如果两个相似三角形的对应高之比是1:2,那么它们的周长比是（）A.1:2 B.1:4C.1：0 D.2:1【答案】A【解析】解：对应高之比是1：2,二相似比=1：2,.对应周长之比是1：2.故选：A.7.（2 0 1 8上海民办兰生复旦中学九年级月考）如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的4
14、倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的（）A.2 倍 B.4 倍 C.8 倍 D.1 6 倍【答案】D【解析】解：形状不变周长扩大4倍，则高和底都扩大4倍，所以面积扩大1 6倍.8.（2 0 2 0上海市西南模范中学九年级月考）在“A B C中，AB =3,A C =4,AABC绕着点A旋转后能与A B C 重合，那么AAB*与A C C 的周长之比为.【答案】3:4.【解析】如图BR ABC绕着点A 旋转后能与 AB，C 重合，AB=AB，AC=AC.AB AB 3AC-7 F-4乂 由旋转性质知/B A B，=/C A C，zABB，sa A C C.AB+A8+8B A 8_3 A C +
15、A C +C C-A C_4,故答案为：3:4.9.（2020上海九年级月考）两个相似三角形对应高的比为2:3,且已知这两个三角形的周长差为4,则较小的 三 角 形 的 周 长 为.【答案】8【解析】解：两个相似三角形对应高的比为2：3,即相似比为2：3,它们周长的比是2：3,设较小的三角形的周长为2 x,则较大的三角形的周长为3x,由题意得，3x-2x=4,解得，x=4,则 2x=8,.较小的三角形的周长为8.故答案为：8.10.（2020.上海九年级月考）如图，AB/CD,4）与 BC交于点。，若 若=1 则 母=【解析】解：VAB/7CD,.,.ZOAB=ZODC,乂 NAOB=NCOD
16、,AAAOBADOC,.OP _OC.OC OB=5*OAOB，9ODOA3.OA 3 =一OB 53故答案为：.11（2020 上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知点O 是 ABC的重心，过点。作 EFBC,分别交AB、AC于点E、F,若 BC=6,则 EF=.【答案】4【解析】解：,连接AO并延长交BC于 Q,0 是4 ABC的重心，AAO：OQ=2：1,AAO：AQ=2：3,VEF/7BC,/.AEOAABQ,AEFAABC,.EF AE AO 2,就 一 罚 一 而 一3VBC=6,.EF=4.故答案为：4.12.（2020上海九年级月考）如图，正方形DEFG的边E F在 A
17、BC的边3 C 上，顶点。、G 分别在边A3、AC上，已知ABC的边8 c=1 5,高A a=1 0,求正方形OEFG的边长和面积.【答案】正方形。EFG的边长和面积分别为6,36.【解析】解：高 A H 交 D G 于 M,设正方形D E F G的边长为x,则DE=MH=x,*：DGBC,.-D-G-=-A-M-,即Hn一 x=-1-0-xBC A H 15 10 正方形OEFG的面积为：N=36.答：正方形DEEG的边长和面积分别为6,36.13.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图所示，梯形A5CQ中，A B/C D,对角线AC,BD交于。点，若 A O D：S O O C
18、=2:3,求 SA A O B：SA C O D.【答案】SAOB-5A CO/=4:9【解析】,:AB C DAACDOAABO*/5A AOD:SA DOC=2:3A AO：CO=2:3*SA AOB*SA COD=4:9.w题型二、证明线段成比例配【例 3】(1)（直接用三角形相似得到比例）（2021.上海九年级二模）已知：如图，梯形ABC。中，AD/B C,AB=D C,点 E 在下底BC上，Z A E D=Z B.(1)求证：C EAD nD E2；(2)A D AE求证：g 22【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析【解析】证明：（1）梯形A8C。中，AD/BC,AB=
19、DC9:,NB=NC,AB=DC,/ADE=NDEC,:NAED=NB,：.ZC=ZAED,：.AADEADSC,.AD DE 一 ,DE EC：.CEAD=DE2；(2)V/ADEDEC,.AD DE AED EE CD.DE EC CD CDAD DE AE AE CE AB2 ADAE7(2)(换线段)(2018年上海宝山区一模)如图，ABC中，A8=AC,过点C作CF A8交 ABC的中位线。E的延长线于F,联结B F,交AC于点G.（2）若AH平分N8AC,交BF于H,求证：是，G和HF的比例中项.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证 明:（1）I C尸A B Q E
20、是中位线,二四边形B C F D是平行四边形,：.DEEF,AE DE EF EGAC-BF-SC-CG（2）联结 C H,易证二 /H C G=/D B H=/HFC,又,:4 G H e=N C H F：.AGHC-ACHF,：.=HF CH：.HC2=HG-HF又,/BH=HC,:.BH?=H G H F,即 B H 是 H G和H F的比例中项.（3）（等量代换）（2 0 1 8年上海黄浦区一模）如图，BO是 A B C的角平分线，点E位于边B C上，已知8。是8 A与B E的比例中项.(1)求证：Z C D E=-ZABCt2(2)求证：AD-CD=ABCE.【答案】（1）证明见解析
21、；（2）证明见解析【解析】证明：（1）;BC是A 3与B E的比例中项,BA BD又B O是/A 8 C的平分线，则/A 8=/）B E,：.ABDs DBENA=/BDE.又 N B D C=N A+/A B D,，ZCDE=ZABD=-ZA B C,即证.2（2）:NCDE=NCBD,ZC=ZC,:.CDEsACBD,.CE DECDDB又尽 ABDs/DBE,.DE ADDBAB.CE AD -=-,CD AB：.AD CD=AB CE方法总结:证明线段成比例的几种方法（1）直接法：观察要证明的四条线段是否在两个三角形中，若是，设法证明这两个三角形相似；（2）换线段法：若不属于（1）的情
22、况，则观察其中三条线段是否适合（1）的情况，若是，设法把另外一条线段代换一下，变成适合（1）的情况；a C n f（3）等量代换法：若（2）也不适合，则观察要证的比例式巴二上两端的比或上是否能等于另外的比,b d b cl证出哪些比相等，最后转换回来，得到幺=.b d当然，在等量代换的过程中，也常常会使用换线段.若不成功，3=换成后，再进行等量代换的思b d c d考.举 一反三1.（2020年上海九年级课时练习）已知：如图，在ABC中，45=A C ,点。、E 分别在边AC,AB 1.,DA=DB,与C E 相交于点尸，ZAFD=NBEC.求证：(1)AF=CE-,(2)BF2=EF A F
23、.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）VDA=DB,:.NFBA=NEAC,/ZAFD=NBEC,：.1800-ZAFD=180-NBEC,B P ZBFA=ZAEC.：BAAC ,：.VBFA AAEC.AF=CE.(2),；NBFA AAEC,BF=AE.,/ZEAF=ZEC4,NFA=ZAEC,AEFA s A4C.EA EF.=E42=EFCE.EC EA:EA=B F,CE=AF,*-BF2=E F AF-2.（2 0 2 1上海九年级期中）如图，在QABCD中，的平分线交边3 c于点E,交OC的延长线于点尸,点G在A E上，联结G O,/G O F =N
24、F（1）求证：AD2=DG A F；（2）连结8 G,如果3 G _ L A E,且A B =6,A O =9,求A尸的长.【答案】(1)证明见解析；(2)2【解析】(1)证明：四边形A 8C D是平行四边形,：.AB/DF,AD/BC,平分 N B A Q,A ZBAF=ZDAF=Z F,：.AD=DF,:NGDF=NF,:.XGDFsXDAF,.DG DF，茄 一 肃二 AD2=DG AF-.(2)解：.N/7平分/B A D,A BAE=ZDAF,JAD/BC,：.BEA=ZDAF,:.NBEA=NBAE,.8钻是等腰三角形，；.84=8=6,JBGLAE,：.AG=EG,丁 Z BEA
25、=Z CEF,：.Z CEF=Z F,:EC=CF=3,DF=AD=9,.FE CE -=-=,FA AD 3即 AG=GE=EF,AD=FDf:DG=FG,：.DG=-AF,39-23.（2020上海交大附中九年级期中）已知：如图，在AABC中，点D、G分别在边A8、8 c上，ZACD=NB,AG与CD相交于点尸.(1)求证：AC2=AD AB;A F nF(2)若 嘿=*,求证：CG、DF BG.AC CG【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（l）证明：VZACD=ZB,ZCAD=ZBAC,AAACDAABC,A AC：AB=AD：AC,AAC2=AD*AB；(2)证明：VA
26、ACDAABC,NADF=NACG,.AD DF*ACCGAAAD FAACG,A Z D A F=Z C A F,即/B A G 二 NCAG,XVZACD=ZB,AAAFCAAGB,AC CFV ZCFG=ZCAG+ZACD,ZCGF=ZBAG+ZB,NCFG=NCGF,，CG=CF,AC CG由（I）得:AC ADABACDF CGCGBG CG2=DF BG.Qw课后作业1.（2021上海九年级一模）在梯形A8C 中，A D/B C,对角线AC与 BO相交于点O,下列说法中，错误的 是（)A.SAAOB-S盘叱B.Vs%HOCODOBC.qABOCOAOCD.S ABC BC【答案】C
27、【解析】解：如图所示:VAD/7BC,A 3 M O B S S 皿 薨嚏，故 D 正确，.展 嗡,.$4AOD qBOC故 c 错误;,q u 八 8COA2OCqDBC,S4AOB=DOC A I上 确;S 八 AOB A S 八 os OD，/二 不，即/=布，故 B 正确;、4B0C UC&BOC故选C.2.（2021上海九年级一模）如图，已知在 ABC中，NC=90。，点G 是AABC的重心，G E L A C,垂足为E,如果C8=8,则线段GE的 长 为（）A.B.C.D.10T537383【答案】c【解析】如图，连接AG并延长交BC于点。.A点G 是ABC的重心，AG 2点。为
28、BC的中点，=7,1CB=8,CD=BD=-B C =4,2G E 1A C,.NAEG=90,-ZC=90，.Z4EG=NC=90,.EAG=ZCAD（公共角），EG AG.A A G A A C D.=_Z jL z i.LJAG 2GD 1AG 2,E G AG 2-=,.-=一 ,AD 3 4 AD 3EG=-.故选：C.3.（2 0 2 0 上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知相似三角形面积的比为9:4,那么这两个三角形的周长之 比 为（）A.9:4 B.4:9C.3:2D.81:1 6【答案】C【解析】相似三角形的面积比为9：4,.这两个相似三角形的相似比为：3：2,这两个相似
29、三角形的周长比为：3：2.故选：C.4.（2 0 2 0 上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列语句中，不正确的是（）A.两个三角形相似，且有一条边相等，则两个三角形全等B.两个三角形相似，且周长相等，则两个三角形全等C.两个三角形相似，且面积相等，则两个三角形全等D.两个三角形相似，且相似比为1,则两个三角形全等【答案】A【解析】A中相似三角形一边为公共边，但并没有说明是对应边，所以A说法不正确；B中用反证法，假如不全等，但是相似，则周长不相同.这和题目给出的周长相等矛盾，因此必全等，故B正确；由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，如果面积相等，则相似比为1,所以全等，故 CD正确.故选
30、：A5.（2 0 2 0 上海市静安区实验中学九年级课时练习）ABCS AIBICI的相似比为2：3,AIBIC1 A A2B2C2的相似比为5：4,则 ABC与 A?B 2 c 2 的相似比为（）【答案】B【解析】V A A B C A A iB iC i,相似比为2：3=10：15,又.AIBICI SZA2B2c2,相似比为 5：4=15：12,.ABC 与 A2B2c2的相似比为 10：12=5：6,故 选:B.6.（2020.上海青浦区.九年级一模）如果两个相似三角形对应边之比是1 :2,那么它们的对应高之比是（）A.1 ：2；B.1 ：4；C.1 ：6；D.1 ：8.【答案】A【解
31、析】两个相似三角形对应边之比是1 ：2,又.相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比，二它们的对应高之比是：1 ：2,故选：A.7.（2019上海浦东新区九年级期中）如果两个相似三角形对应边之比是4：9,那么它们的对应角平分线之比 是（）A.2：3 B.4：9 C.16：81 D.&：石【答案】B【解析】解：这两个三角形对应边之比为4：9.这两个相似三角形的相似比是4：9,.其对应角平分线的比等于相似比，,它们对应的角平分线比是4：9.故选B.8.（2 0 1 9 上海市天山初级中学九年级期中）若A A B C A Z）E F,顶点A、B、C分别与D、E、F 对应，且AB:D E
32、=-.4,则这两个三角形的对应中线之比为（）A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:1 6【答案】B【解析】A A B C A D E F.A.B、C 分别与E、尸对应，且 A B:3 E =1:4二对应中线之比=1:4.故选B.9.（2 0 1 9 上海九年级一模）如图，在AABC中，4。平分N BAC交 BC于点。，点 E在 4。上，如果N 4 B E=NC,A E=2 E D,那么A A B E 与 A D C 的周长比为（）A.1：2 B.2：3 C.1：4 D.4：9【答案】B【解析】解：0=3：I,：.AE：A D=2：3,：N A B E=N C,N B A E=N C A
33、D,：.L ABE：L&ACD=2：3,故选：B.10.（2019上海民办桃李园实验学校九年级月考）已知AABCsAZ）所，点A、B、。对应点分别是。、E、F,AB:DE=3:2,那么 S皿c：等 于（）A.3:2 B.9:4 C.16:81 D.81:16【答案】B【解析】VAABCADEF,AB:DE=3:2,SA ABC：SA D E F=9:4 .故选B.11.（2019上海）如图，四边形A6c。的对角线AC与 8。相交于点。，OA=2,OB=3,OC=6,OD=49那么下列结论中，错误的是（）A /C A C n A B 1 COB _ 1 AOD _ 1A./O AD =/O BC
34、 B.=-C.-D.-CD 2 CA D O C 2 3A8 0(:”【答案】D【解析】VOA=2,05=3,0C=6,0 0 =4,.OA OD 2OBOC31,:ZAOD=ZBOC,/.AOADAOBC,q A；/OAD=/O B C,=、A80C,故 A 正确，D 错误；V OA=2,OB=3,0C=6,OD=4,.OA OB=ODOC2yZ A O B=Z D O C,A A O A B A O D C,.AB=1 COB=1CD 2 C4 00 c 2故 B正确，C正确；故选D.1 2.（2 0 2 0 上海上外附中九年级月考）如图，尸是A Z R C 内一点，过 点 尸 分 别 作
35、 直 线 平 行 于 各 边，形成三个小三角形面积分别为E =3,邑=1 2 同=2 7 ,则%叱=【答案】1 0 8【解析】解：过 P作 BC的平行线交A B、AC于点D、E,过 P作 AB的平行线交AB手点I、G,过 P作AC的平行线交AC于点F、H,VD E Z/B C,IG/A B,FH/A C,.,.四边形A FP I、四边形P H C E、四边形D B G P 均为平行四边形,F D P A I P E A P G H A A B C,:S、=3,S2=1 2,$3 =2 7,A F P：IE；P H=1：2；3,.1.A I：IE：E C=1：2：3,.,.A I：IE：E C：
36、A B=1：2：3：6,SA A B C：SA FD P=3 6：I,:.SA A B C=3 6X3=1 0 8.故答案为：1 0 8.1 3.（2 0 2 0上海九年级月考）有一个三角形的三边长为2,4,5,若另一个和它相似的三角形的最短边为4,则第二个三角 形 的 周 长 为.【答案】2 2【解析】设另一个三角形的另两边为x、y,.一个三角形的三边长为2,4,5,另一个和它相似的三角形的最短边为4,二两个三角形的相似比为刍=；，4 2 _4 _ _5 _ _1解得：x=8,y=1 0,二第二个三角形的周长为4+8+1 0=2 2,故答案为：2 21 4.（2 0 1 9上海市育才初级中学
37、九年级月考）如图所示，AB/C D ,A C、8。相交于点E,若C 0 E面积为3,AB C E的面积为5,则梯形的面积为.【解析】解：C C E面积为3,A B C E的面积为5,.D E SCDK _ 3,B E-二-5，又,：ABHCD,AC、8。相交于点E,：.DCEABAE,SMBE3+2 =空25 3又.&?,BE 525 35AAD=y x-=5,25 64,梯出的面积=5M帆 +SMDF+SACOE+S ACBE=-+5+3+5=64故答案为：.15.（2019上海市育才初级中学九年级月考）已知AM C中，点。在边A C 上，A 8 f2,AC=8,A D=6,点、E在边A 8
38、 上，若AA）和AABC相似，则 A E 的长是【答案】9 或 4【解析】解：:A D E 和 A B C 相似,而 NBAC=/DAE,.AE AD Hn AE 6 Ayzg A C n.瓦=就 即记 抵,解得AE=9；当卷噎，即告哈解得AE=%综上所述，A E 的长为9 或 4.故答案为9 或 4.16.（2018上海市刘行新华实验学校九年级期中）两个相似三角形的的相似比为2:3,且已知这两个三角形的某对对应边上的高相差为4,则这两条高中较短的长度为【答案】8【解析】设对应边上的较长高为x,则较短高为X-4,根据相似的性质，则有2 x-43 xx=?所以较短高为12-4=8所以答案为817
39、.（2020上海市民办协和双语学校九年级一模）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请在边长为1个单位的2x3的方格纸中，找出一个格点三角形OE四 如果4 OEF与A ABC相 似（相似比不为1）,那么 尸 的 面 积 为.【答案】1;【解析】如图，;AB=1,BC=，AC=45/.AB：BC AC=J V DE=y/2-EF=2,DF=M:.DE:EF:DF=&2:晒=1:6:小：.AB：BC AC=DE EF DF：.AABC-ADEF,SjiEF=X 2xl=l故答案为：118.（2020上海九年级期末）如图，在 ABC中，BC 2,BC上的高A
40、 H=8,矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G 分别在边AB、A C .设 DE=x,矩形DEFG的面积为V,那么V关于x 的函数关系式是.（不需写出x 的取值范围）.【答案】y=-|x2+12x；【解析】解：,四边形OEFG是矩形，B C =1 2,BC上的高4H=8,D E =xf矩形OEFG的面积为V,D G H E F,.AAZXJSAABC,8-x D G812得 G=3(8；X)3(8-x)3 2，y=x-=x+2x,2 2故答案为：y=x2+2x.1 9.(2 0 1 9上海市民办嘉一联合中学九年级月考)如图，F是平行四边形4 5 c o的边A Z)上一点，CF交BAA 1
41、 7 9的延长线于点E,若A F=3,=|,AB=6,求：(1)A E的长.(2)8 c的长.【答案】A E =4；(2)BC=2【解析】解：(I)四边形A 8 C D是平行四边形，E是8 A延长线上一点,/.BE/CD,AB=CD,：.ZAEF=NDCF,ZEAF=Z.CDF,:.AAEFSDCF(A 4),AE AF C DF D.AF _2FD3.AE 2.=6 3A 8 =6,/.AE=4.(2)四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,.A F _2FD3.AF AF 2 2茄一人产+尸)-2 +3一 二,:AF=3fAD=22 0.A 4 B C 中，AB=5,B C =6,A C
42、=7,点。、E 分别在边 A B、A C 上，且 D E/B C.(1)如果A A D E的面积与梯形B C E。的面积相同，求。E的长；(2)如果A A O E的周长与梯形B C E D的周长相同，求力E的长.【答案】(1)30；(2)-.2【解析】解：(1)SMDE=S梯 形BCEO，二 =1.:D EHBC,AADEsAABC,DE y/2BC2;BC=6,:.DE=3叵;(2)C DE=C梯形BCED，A E+DE=DE+BD+CE+B C，.AD +AE=5-D A +7-A E+6,:.AD+AE=9.-.-DEI/BC,AD AE DEA B A C BCAD 9-AD DE5-
43、7 6ZM=4g|2 1.(2 0 2 0上海交大附中九年级期中)如图，已知A C 8 ,A B和C O相交于点E,AC=6,BD=4,尸是B C 上一1点，S&BEF-S&EFC=2:3 (1)求 E尸的长;(2)如果ABEF的面积为4,求AABC的面积.【答案】(1)2.4；(2)25.【解析】(1)；SABEF：S/iEFC=2：3,设三角形BC边上的高为h,S诋：SEFC=1 hBF:|hCF=2:3,斯:CF=2:3,:AC/BD,:.ZA=ZEBD,ZACE=ZEDB,.ACEABDE,.CE AE AC 6 3 -,DE BE BD 4 2.CE CF 3 D E-B F_2*.
44、C E _C F_3*C D-B C _5,VZECF=ZDCB,AACEFACDB,AZCEF=ZD,EFDB,.ACEFDB,.AC _ BC _ 5*E F-B F-2VAC=6,E F=2.4；5 5(2)由(1)得 ACEF,AC=6,EF=2.4,/.BEFABAC,.SABEI._ EF2 _ 2.42 _ 4.。=归=方=不，；尸的面积为4,25 25/.SZAIDBAAVC=4 S*ABB 匕F rp=4 x4=252 2.已知：如图，在梯形ABC。中，CD!/AB,Z D A B =90 ,对角线A C、8。相交于点E,A C 1 B C ,垂足为点C,S.BC2=C E
45、CA.（1）求证：A D =D E；（2）过点。作 A C的垂线，交AC于点尸，求证：CE2=A E A F.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】证明：（1）B C2=C E CA,.BC CA*C E -B C ：4ECB=/BC A,:B C E sgC B .：./C BE=NCAB.V A C 1B C,ZDAB=90 9:ZBEC+NCBE=90,ZDAE+ZCAB=90.：.4BEC=/D AE.；ZBEC=/D EA,:.ZDAE=ZDEA.:.AD=DE.(2)V D F L A C,A C B C,：.ZDFE=ZBCA=90.：.DF/BC.CE BE*E F -D
46、E ,；DCIIAB.BE AE -=-.DE CE.CE AEaEFCE ;AD=DE,DFLAC,AF=EF.:.CE2=AE EF.2 3.（2021上海九年级一模）已知：如图，ADI IBC,ZABD=ZC,AEA.BD,D F L B C,点、E、尸分别为垂足.(2)连结族，如果NAT8=N3。尸，求证：DF DC=EF BC.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】证 明(1)VAD/BC/.ZADB=NDBCvZABD=ZC:./ABD D CB,又.AE、DF分别是然)与 OC8对应边上的高，.AE BD,DFBC(2)如图，连结EFA.AD/BC,DF 工 BC,：.ZAF=90,ZADB=NBDF,：.ZADB=BDF=45;A E B D,：.ZAED=90.DE ACO DF.=cos 45=DA DB:./A B D A E F D/.DCBAEFDDC BCEFDF1.DF DC=EF BC