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1、1曲线012xyz绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122yxz 2直线35422:1zyxL与直线tztytxL72313:2的夹角为2 3设函数22232),(zyxzyxf，则)1,1,1(grad f6,4,2 4设级数1nnu收敛，则nnulim0 5设周期函数在一个周期内的表达式为,0,10,0)(xxxxf 则它的傅里叶级数在x处收敛于21 6全微分方程0ddyxxy的通解为 Cxy 7写出微分方程xeyyy 2的特解的形式xaxey*二、解答题（共 18 分 每小题 6 分）1求过点)1,2,1(且垂直于直线02032zyxzyx的平面方程 解：设所求平面的法向量为n，则3,2
2、,1111121kjin (4 分)所求平面方程为 032zyx (6 分)2将积分vzyxfd),(化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面 )(222yxz及22yxz所围成的区域 解：20 ,10 ,2 :2rrzr (3 分)vzyxfd),(221020d),sin,cos(ddrrzzrrfrr (6 分)3计算二重积分DyxyxeIdd)(22，其中闭区域.4:22 yxD 解 2020dd2rreIr20220)(dd212rer202d221re)1(4e 三、解答题（共 35 分 每题 7 分）1设vuez，而22yxu，xyv，求zd 解：)2(232yyxxeyuexex
3、vvzxuuzxzxyvv (3 分)2(223xyxyexueyeyvvzyuuzyzxyvv (6 分)yxyxyexyyxxezxyxyd)2(d)2(d2332 (7 分)2函数),(yxzz 由方程0 xyzez所确定，求yzxz,解：令xyzezyxFz),(，(2 分)则,yzFx ,xzFy,xyeFzz (5 分)xyeyzFFxzzzx，xyexzFFyzzzy (7 分)3计算曲线积分Lyxxydd，其中L是在圆周22xxy上由)0,2(A到点)0,0(O的有向弧段 解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D，根据格林公式 OADLyxxy
4、yxyxxydddd2dd (5 分)022 (7 分)4设曲线积分Lxyxfxyxfed)(d)(与路径无关，其中)(xf是连续可微函数且满足1)0(f，求)(xf 解：由xQyP 得)()(xfxfex，即xexfxf)()(3 分)所以)d()(dd)1(Cxeeexfxxx)(Cxex，(6 分)代入初始条件，解得1C，所以)1()(xexfx (7 分)5判断级数12)!2()!(nnn的敛散性 解：因为 )!2()!()!22()!1(limlim221nnnnuunnnn (3 分)12)(22()1(lim2nnnn141 (6 分)故该级数收敛 (7 分)四、（7 分）计算曲
5、面积分yxzxzyzyxdddddd，其中是上半球 面221zyx 的上侧 解：添加辅助曲面1,0:221yxz，取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得 yxzxzyzyxdddddd1ddddddyxzxzyzyx 1ddddddyxzxzyzyx (4 分)0d3v (6 分)342132 (7 分)五、（6 分）在半径为R的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形 解：设三角形各边所对圆心角分别为zyx,，则2zyx，且面积为)sinsin(sin212zyxRA，令)2(sinsinsinzyxzyxF (3 分)由 20cos0cos0coszyxzFyFxFzyx (
6、4 分)得32zyx此时，其边长为RR3232 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大 (6 分)六、（8 分）求级数1nnnx的收敛域，并求其和函数 解：1)1(limlim1nnaaRnnnn，故收敛半径为1R (2 分)当1x时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛；当1x时，级数为调和级数，发散 故原级数的收敛域为)1,1 (5 分)设和为)(xS，即1)(nnnxxS，求导得 11)(nnxxSx11，(6 分)再积分得 xxxSxS0d)()(xxxd110)1ln(x，)11(x (8 分)七、（5 分）设函数)(xf在正实轴上连续，且等式 yxxytt
7、fxttfyttf111d)(d)(d)(对任何0,0yx成立如果3)1(f，求)(xf 解：等式两边对y求偏导得 )(d)()(1yfxttfyxfxx (2 分)上式对任何0,0yx仍成立令1y，且因3)1(f，故有 xxttfxxf13d)()(3 分)由于上式右边可导，所以左边也可导两边求导，得 3)()()(xfxfxf x 即)0(3)(xxxf 故通解为 Cxxfln3)(当1x时，3)1(f，故3C 因此所求的函数为 )1(ln3)(xxf (5 分)八（5 分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程 解 1
8、：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe是对应齐次方程的两个线性无 关的解，xxe是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2xfyyy 将xxey 代入上式，得xxxeexf2)(，因此所求的微分方程为 xxxeeyyy22 解 2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe是对应齐次方程的两个线性无 关的解，xxe是非齐次方程的一个特解，故xxxeCeCxey221是所 求微分方程的通解，从而有 xxxxeCeCxeey2212，xxxxeCeCxeey 22142 消去21,CC，得所求的微分方程为 xxxeeyyy22 06 高数 B 一、填空题（共 30 分 每小题 3 分）1 x
9、oy坐 标 面 上 的 双 曲 线369422 yx绕x轴 旋 转 一 周 所 生 成 的 旋 转 曲 面 方 程 为36)(94222zyx 2设函数22),(zyzxzyxf，则)1,0,1(grad f)2,1,2(3直线35422:1zyxL与直线tztytxL72313:2的夹角为2 4.设是曲面222yxz及22yxz所围成的区域积分，则vzyxfd),(化为柱面坐标系下的三次积分形式是221020d),sin,cos(ddrrzzrrfrr 5.设L是圆周22xxy，取正向，则曲线积分Lyxxydd 2 6.幂级数11)1(nnnnx的收敛半径1R 7设级数1nnu收敛，则nnu
10、lim0 8设周期函数在一个周期内的表达式为,0,0,0)(xxxxf 则它的傅 里叶级数在x处收敛于2 9全微分方程0ddyyxx的通解为 Cxy 10写出微分方程xeyyy 2的特解的形式xaxey*二、解答题（共 42 分 每小题分）1求过点)1,2,1(且垂直于直线03202zyxzyx的平面方程 解：设所求平面的法向量为n，则3,2,1111121kjin (4 分)所求平面方程为 032zyx (2 分)2函数),(yxzz 由方程zyxzyx32)32sin(所确定，求xz 解：令zyxzyxzyxF32)32sin(),(，(2 分)则,1)32cos(zyxFx 3)32co
11、s(3zyxFz (2 分)32cos(33)32cos(1zyxzyxFFxzzx (2 分)3计算Dxyd，其中D是由直线2 ,1xy及xy 所围成的闭区域 解法一：原式 211d dxxyxy (2 分)xyxxd22112xxxd)22(213 811482124xx.(4 分)解法二：原式 212d dyyxxy81182142yy.(同上类似分)4计算Dyxyxdd122，其中D是由122 yx即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域 解：选极坐标系 原式20102d1rrrd (3 分)1(1)21(22102rdr6 (3 分)5计算zxyyzxzydd2d)(222，其中是曲线,
12、tx,2ty 3tz 上由01t到12t的一段弧 解：原式1022564d 322)(ttttttt (3 分)1046d)23(ttt10575273tt 351 (3 分)6判断级数1212nnn的敛散性 解：因为 nnnnnnnnuu2122)12(limlim11 (3 分)121，(2 分)故该级数收敛 (1 分)7求微分方程043 yyy满足初始条件,00 xy50 xy的特解 解：特征方程 0432 rr，特征根 1,421rr 通解为 xxeCeCy241，(3 分)xxeCeCy2414，代入初始条件得 1,121CC，所以特解 xxeey4 (3 分)三、（8 分）计算曲面
13、积分yxzxzyzyxdddddd，其中是上半球面221zyx 的上侧 解：添加辅助曲面1,0:221yxz，取下侧，则在由1和所围成的 空间闭区域上应用高斯公式得 yxzxzyzyxdddddd1ddddddyxzxzyzyx 1ddddddyxzxzyzyx(4 分)0d3v (2 分)342132(2 分)四、（8 分）设曲线积分Lyxxxfxxyfd)(2d)(2在右半平面)0(x内 与路径无关，其中)(xf可导，且满足1)1(f，求)(xf 解：由xQyP，得xxf xxfxf2)(2)(2)(，即1)(21)(xfxxf，(3 分)所以 )d()(d21d21Cxeexfxxxx)
14、(2121Cdxxx)32(2321Cxx，(3 分)代入初始条件，解得31C，所以xxxf3132)(2 分)五、（6 分）求函数xyyxyxf3),(33的极值 解：033),(033),(22xyyxfyxyxfyx 得驻点)1,1(),0,0(3 分),6),(xyxfxx,3),(yxfxy yyxfyy6),(在点)0,0(处，,092 ACB 故)0,0(f非极值；在点)1,1(处，,0272 ACB 故1)1,1(f是极小值 (3 分)六、（6 分）试证：曲面)(xyxfz 上任一点处的切平面都过原点 证：因),()(xyfxyxyfxz )(1)(xyfxxyf xyz (3
15、 分)则取任意点),(0000zyxM，有)(0000 xyfxz，得切平面方程为)()()()(00000000000000yyxyfxxxyfxyxyfxyfxz 即 0)()()(00000000zyxyfxxyfxyxyf 故切平面过原点 (3 分)07A 一、填空题（每小题 3 分，共 21 分）1设向量5,1,1,3,2ba，已知a与b垂直，则1 2设3),(,2,3baba，则ba6 3yoz坐标面上的曲线12222bzay绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 122222bzayx 4过点)0,4,2(且与直线023012zyzx垂直的平面方程0832zyx 5二元函数)ln(y
16、xxz的定义域为0,0,(yxxyxD 6函数)ln(),(222zyxzyxf，则)1,0,1(gradf1,0,1 7设xyez，则dz)(xdyydxexy 8设),(xyxxfu，f具有连续偏导数，则xu21fxyxff 9曲线32,tztytx上点)1,1,1(处的切向量T3,2,1 10交换积分顺序：ydxyxfdy010),(110),(xdyyxfdx 11闭区域由曲面222yxz及平面1z所围成，将三重积分dvzyxf),(化为柱面坐标系下的三次积分为20101),sin,cos(rdzzrrfrdrd 12设L为下半圆周21xy，则dsyxL)(22 13设L为取正向圆周9
17、22 yx，则dyxxdxyxyL)4()22(218 14设周期函数在一个周期内的表达式为xxxxf000)(则它的傅里叶级数在x处收敛于2 15若0limnnu，则级数1nnu的敛散性是 发散 16级数1!2nnnnn的敛散性是 收敛 17设一般项级数1nnu，已知1nnu收敛，则1nnu的敛散性是 绝对收敛 18微分方程05)(23 xyyyx是 2 阶微分方程 19微分方程044 yyy的通解yxxxeCeC2221 20微分方程xxeyyy223 的特解形式为xebaxx2)(二、（共 5 分）设xyvyxuvuz,ln2，求yzxz,解：1)ln(21ln2222xyyxyvuyv
18、uxvvzxuuzxz 1)ln(2)(ln23222xyyxxvuyxvuyvvzyuuzyz 三、（共 5 分）设022xyzzyx，求xz 解：令xyzzyxzyxF22),(xyzyzxyzFx xyzxyxyzFz xyxyzxyzyzFFxzzx 四、（共 5 分）计算xdxdydz，其中为三个坐标面及平面1zyx所围成的闭区域 解：yxzxyx10,10,10:xyxxdyyxxdxxdzdydxxdxdydz1010101010)1(241)2(21)1(213102102dxxxxdxxx 五、（共 6 分）计 算Lxxdyyedxyye)1cos()sin(，其 中L为 由
19、 点)0,(aA到 点)0,0(O的 上 半 圆 周axyx22 解：添加有向辅助线段OA,则有向辅助线段OA和有向弧段OA围成闭区域记为D，根据格林 公式 Lxxdyyedxyye)1cos()sin(DOAxxdyyedxyyedxdy)1cos()sin(0)2(212a 381a 六、（共 6 分）求幂级数13)3(nnnnx的收敛域 解：对绝对值级数，用比值判敛法 3313131lim333)1(3limlim111xxnnnxnxuunnnnnnnnn 当1331x时，即60 x，原级数绝对收敛 当1331x时，即60 xx或，原级数发散 当0 x时，根据莱布尼兹判别法，级数1)1
20、(nnn收敛 当6x时，级数11nn发散，故收敛域为)6,0 七、（共 5 分）计算dxdyz2，其中为球面1222zyx在第一卦限的外侧 解：在xoy面的投影xyD：0,0,122yxyx dxdyz2 dxdyyxxyD)1(22rdrrd)1(201024128 八、（共 7 分）设0)1(f，求)(xf使dyxfydxxfxx)()(1ln为某二元函数),(yxu的全微分，并求),(yxu 解：由xQyP，得)()(1lnxfxfxx，即xxfxxfln)(1)(所以)ln21()1ln()ln()(211CxxCdxxxxCexexfdxxdxx 带入初始条件，解得0C,所以xxxf
21、2ln21)(),()0,0(22ln21)ln21(ln),(yxxdyxydxxxyxu xyxdyx002ln210 xxy2ln21 07 高数 B 一、（共 60 分 每题 3 分）1.设向量4,2,6a，2,1,b，已知a与b平行,则3 2.yoz坐标面上的曲线12222czay绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222bzayx 3.设3),(,1,2baba,则ab3 4.设一平面经过点)1,1,1(，且与直线03042zyyx垂直，则此平面方程为032zyx 5.二元函数12ln2xyz的定义域为012|),(2 xyyx 6.设xyez，则zd)dd(yxxyexy 7
22、.函数)ln(),(222zyxzyxf，则)1,0,1(grad f)1,0,1(8.设(,)yuxf xx，f具有连续导数，则ux12yfxffx 9.曲面1222zyx在点)2,0,1(处的法向量n4,0,2 得分 10.交换积分顺序：100d),(dxyyxfx 101d),(dyxyxfy 11.闭区域由曲面22yxz及平面1z所围成，将三重积vzyxfd),(化为柱面坐标系下的三次积分为110202d),sin,cos(ddrzzrrfrr 12.设是闭区域的整个边界曲面的外侧,V是的体积，则 yxzxzyxyxdddddd=V3 13.设L为上半圆周21xy，则Lsyxd)(22
23、 14.设周期函数在一个周期内的表达式为,0,0,0)(xxxxf 则它的傅里叶级数在x处收敛于2 15.若lim0nnu，则级数1nnu的敛散性是 发散 16.级数1!5nnnnn的敛散性是 收敛 17.级数12sinnnn的敛散性是 收敛 18.微分方程06)(542 yyyx是 2 阶微分方程 19.微分方程02 yyy的通解为)(21xCCex 20.微分方程xxeyyy2365 的特解的形式xebxaxy22*)(三、（共 5 分）函数),(yxzz 由方程04222zzyx所确定，求xz 解：令),(zyxFzzyx4222，(1 分)则,2xFx ,42 zFz (2 分)zxF
24、Fxzzx2 (2 分)五、（共 6 分）得分 得分 计算曲线积分Lyyxxyxd)sin(d)2(22，其中L为由点)0,2(A到点)0,0(O的上半圆周xyx222 解：添加有向辅助线段OA，它与上半圆周围成的闭区域记为D，根据格林公式 Lyyxxyxd)sin(d)2(22 OADyyxxyxyxd)sin(d)2(dd)21(22 (3 分)Dyxdd202dxx3823212132 (3 分)七、（共 6 分）设0)1(f，确定)(xf使yxfxxyxfxd)(d)(sin为某二元函数(,)u x y的全微分 解：由 xQyP 得)()(sinxfxxfx，即 xxxfxxfsin)
25、(1)(2 分)所以)dsin()(dx1d1Cxexxexfxxx )dsin(lnlnCxexxexx (2 分)cos(1Cxx，(1 分)代入初始条件，解得1cosC，所以)cos1(cos1)(xxxf (1 分)八、(共 6 分)计算yxzdd2，其中是球面1222zyx外侧在,0 x0y的部分 解：yxzdd1ddyxz2ddyx (2 分)xyDyxyxdd)1(22xyDyxyxd)d1()1(22 (2 分)得分 得分 xyDyxyxd)d1(222 rrrd)1(d210220 4 (2 分)08 高数 A 一、选择题（共 24 分 每小题 3 分）1设1111,pnms
26、，2221,pnms 分别为直线1L，2L的方向向量，则1L与2L垂直的充要条件是 （A ）（A）0212121ppnnmm（B）212121ppnnmm（C）1212121ppnnmm（D）1212121ppnnmm 2Yoz 平面上曲线12 yz绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 (C )（A）12 yz（B）22xyz（C）122xyz（D）xyz2 3二元函数12ln2xyz的定义域为 （B）（A）02|),(2 xyyx（B）012|),(2 xyyx（C）012|),(2 xyyx（D）0,0|),(yxyx 4交换积分顺序：100d(,)dyyf x yx （A ）（A）dyyx
27、fdxx110),(（B）dxyxfdyy110),(（C）dxyxfdyy110),(（D）dyyxfdxx110),(5空间闭区域由曲面1r所围成，则三重积分vd2=（C ）（A）2 （B）2 （C）38 （D）34 6函数),(yxzz 由方程04222zzyx所确定，则xz=（D ）（A）zy2 （B）yx2 （C）zz2 （D）zx2 7幂级数13nnnnx的收敛域是 （C ）（A）3,3 （B）3,0（C）3,3 （D）3,3 8已知微分方程xeyyy 2的一个特解为xxey*，则它的通解是（B ）（A）xxexCxC221（B）xxxxeeCeC221（C）xexCxC221（D
28、）xxxxeeCeC21 二、填空题（共 15 分 每小题 3 分）1曲面zyx22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012 zx 2若lim0nnu，则级数1nnu的敛散性是 发散 3级数12cosnnn的敛散性是 绝对收敛 4二元函数2221sin)(),(xyxyxf，当0,0,yx时的极限等于 0 。5全微分方程0ddyxxy的通解为_cxy _ 三、解答题（共 54 分 每小题 6 分）1用对称式方程及参数方程表示直线 04320zyxizyx043201zyxzyx 解：因所求直线与两平面的法向量都垂直，于是该直线的方向向量为 3,1,4312111kjis (4 分)在直线上找
29、出一点，例如，取10 x代入题设方程组得直线上一点 2,0,1 （5 分）故题设直线的对称式方程为 321041zyx (6 分)参数方程为 tztytx3241 （7 分）4计算三重积分vyxd22，其中是平面2z 及曲面22yxz所围成的区域（提示：利用柱面坐标计算）解：20 ,20 ,2 :rzr (3 分)vyxd2222020dddrzrrr （6 分）38 （7 分）5计算曲线积分Lyxxyd2d，其中L是在圆周22xxy上由)0,2(A到点)0,0(O的有向弧段 解法 1：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段AO围成的闭区域记为D，根据格林公式 （2 分）OADLyx
30、xyyxyxxyd2ddd3d2d (4 分)2023 (6 分)解法 2：直接求曲线积分 6求表面积为2a而体积为最大的长方体的体积。解法 1：设长方体的长、宽、高分别为zyx,，则题设问题归结为约束条件 0222),(2axzyzxyzyx 下，求函数xyzV（zyx,均大于 0）的最大值。（2 分）作拉格朗日函数 )222(),(2axzyzxyxyzzyxL （4 分）由方程组 0)(20)(20)(2xyxyLzxxzLzyyzLzyX （5 分）进而解得唯一可能的极值点 66azyx 由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为 3366aV （6 分）解法 2
31、：从条件中解出z 代入目标函数中，再用无条件极值的办法求解。7计算dszyx，其中为平面4 zy被柱面1622 yx所截的部分。解：积分曲面的方程为yz 4，它在xoy面上的投影为闭区域 16,22yxyxDxy （2 分）又 2122yxzz 所以 dszyx=dxdyyyxxyD24 （4 分）=dxdyxxyD42=rdrrd2040cos42 （5 分）264 264216442dxdyxyD （6 分）8将函数)1,1(,11)(2xxxf展开成x 的幂级数。解法 1：因为 21111xx （2 分）而又 .11132nxxxxx )1,1(x （4 分）逐项求导，得 .321111
32、22nnxxxx )1,1(x （6 分）解法 2：直接求展开式的系数，然后根据余项是否趋近于零确定收敛域。9求微分方程 2 1yy的通解。解：令uy 则原方程变为 21uu （2 分）分离变量后积分得 1arctancxu （4 分）则，1tancxy （5 分）故原方程的通解为 21coslnccxy （6 分）四、证明题（7 分）证 明：若 函 数),(yxf在2211,byabxaR上 连 续，R,，令yaxaR21,，则 ),(),(2fdxdyyxfR 证：已知),(yxf在R连续，R,，设 21),(),(),(aaRdyyxfdxdxdyyxfF （3 分）因为2),()(ad
33、yyxfx在,1a连续，所以，有 2),(adyyfF （5 分）又因为),(yf在22,ba上连续，所以有 ),(2fF 即 ),(),(2fdxdyyxfR （7 分）08 高数 B 一、选择题（共 24 分 每小题 3 分）1设两平面的法向量分别是1111,cban，2221,cban，则这两平面垂直的充要条件是 （C ）（A）1212121ccbbaa （B）212121ccbbaa （C）0212121ccbbaa （D）1212121ccbbaa 2Yoz 平面上曲线2yz 绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 (B )（A）12 yz （B）22xyz （C）122xyz （D）x
34、yz2 3二元函数xyz的定义域为 （A）（A）0,|),(xxyyx （B）01|),(xyx （C）xyyx2|),(（D）0,0|),(yxyx 4交换积分顺序：dyyxfdxx110),(=（B ）（A）dxyxfdyy110),(（B）dxyxfdyy010),(（C）dxyxfdyy110),(（D）dyyxfdxx110),(5空间闭区域由曲面1r所围成，则三重积分vd3=（D）（A）3 （B）2 （C）34 （D）4 6函数),(yxzz 由方程04222zzyx所确定，则yz=（A）（A）zy2 （B）yx2 （C）zz2 （D）zx2 7幂级数15nnnnx的收敛域是 （D
35、 ）（A）5,5 （B）5,0 （C）5,5 （D）5,5 8已知微分方程xeyyy 2的一个特解为xxey*，则它的通解是（A）（A）xxxxeeCeC221（B）xxexCxC221（C）xexCxC221（D）xxxxeeCeC21 二、填空题（共 15 分 每小题 3 分）1曲面zyx22在点)1,1,0(处的切平面的方程是012 zY 2若级数1nnu的敛散性，则数列 nu当n时的极限是 0 3级数122sinnnn的敛散性是 收敛 4二元函数22221sin)(),(yxyxyxf，当,yx时的极限等于 1 。5微分方程1xyy的通解为_)2xxcy_ 三、解答题（共 54 分 每
36、小题 6 分）1设平面过点)1,2,1(且垂直于两平面 1：02zyx 2：0zyx 求此平面的方程 解：设所求平面的法向量为n，则3,2,1111121kjin (4 分)所求平面方程为 732zyx (6 分)832zyx 2求两个底圆半径都等于 2 的直交圆柱面所围成的立体的体积。解：设两个圆柱面的方程分别为 422 yx 422 zx （2 分）由于对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积1V，然后再乘以 8 即可。dxdyxVD214 （4 分）dxdyxx 2040224316 从而所求立体的体积为312881 VV （6 分）3设vuez，而22yxu，xyv，求zd 解：)2(2
37、32yyxxeyuexexvvzxuuzxzxyvv (2 分)2(223xyxyexueyeyvvzyuuzyzxyvv (4 分)yxyxyexyyxxezxyxyd)2(d)2(d2332 (6 分)4计算三重积分vyxd22，其中是曲面22yxz 及平面1z所围成的区域（提示：利用柱面坐标计算）解：20 ,10 ,1 :rzr (2 分)vyxd2211020dddrzrrr （5 分）6 （6 分）5求内接于半径为2a的球而体积为最大的长方体的体积。解：设长方体的长、宽、高分别为zyx2,2,2，则题设问题归结为约束条件 0),(2222azyxzyx 下，求函数xyzV8（zyx,
38、均大于 0）的最大值。（2 分）作拉格朗日函数 )(8),(2222azyxxyzzyxL （4 分）由方程组 028028028zxyLyxzLxyzLzyX （5 分）进而解得唯一可能的极值点，33azyx，由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值 点。故该问题的最大体积为393aV 6计算曲线积分Lyxxyd2d，其中L是由点)0,(aA到点)0,0(O的上半圆周222ayx的有向弧段 )0,(aB 解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段AO围成的闭区域记为D，根据格林公式 （2 分）OADLyxxyyxyxxyd2ddd3d2d (4 分)2223023aa (6 分)8
39、设为平面3 zy被柱面922 yx所截的部分，计算曲面积分dszyx。解：积分曲面的方程为yz 3，它在xoy面上的投影为闭区域 9,22yxyxDxy （2 分）又 2122yxzz 所以 dszyx=dxdyyyxxyD23 （4 分）=dxdyxxyD32=rdrrd2030cos32 （5 分）=227 （6 分）9求微分方程1 yy的通解。解法 1：令uy 则原方程变为 uu 1 （2 分）分离变量后积分得 cxu1ln （4 分）则，11xecy故原方程的通解为 21cxecyx （6 分）解法 2：可通过观察或求解二阶常系数非齐次线性微分方程的办法先得原方程的一个特解xy*。之后再根据相应的齐次方程的通解而构造出原问题的通解。(