《高等数学（上册）期末复习试题及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学（上册）期末复习试题及答案.pdf（36页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、05高数A一.填 空 题（每小题3 分，共 15分）1.极限 l i m x s i n=,l i m x s i n =0,l i m x s i n一二X 2 X 71 x-X XT9 Xn-2 .曲线=在/=巴 对应点处的切线方程为y =%。y =s i n/4 -3 .设 的 一 个 原 函 数 为I n x,则/（幻=一1。X4 .函数/在 a向 上 连续，是/（出 可 导 的 必要 条 件；是“幻 可 积 的 充分 条件。Y tr 5 .曲线4 一 ，介于O W f V I之间的弧长为百。y=2t3二.选 择 题（每小题3 分，共 15分）1.极限!产 等 于（D ）X T 0 C
2、 XA.e2 B.-e C.2e D.e/22.当 x -0 时，r t an rdf 是 d 的（D ）.A.高阶无穷小 B.等价无穷小 C.低阶无穷小 D.同阶无穷小3 .曲线y =x e，在 区 间（A）上是凸的。A.（-8,2）B .（-2,+o o）C .（-00,2）D .（2,+00）1 +QX4 .曲线 y =（D）o1-A.没有渐近线C.仅有铅直渐近线B.仅有水平渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线5广义积分 +=（A）A.B.7 14C.发散 D.兀兀2三.解 答 题（每小题7 分，共 57分）3皿 口 esc x-co t X1.求极限hm-。-0 x1 n、1 2(1
3、-COSX)x 15 esc x-cot x-s i n t 2 1解：hm-=-=h m J-=一x-0 1 .r-0 x X TO 22.求极限 lim x(e7-l)。x 00解:i 3-ilim x(ex-l)=lim：X-0 0 XT9 1Xe y=lim-x-o o 1 ,X=1 o|x3.已知函数/(上)=一，求/(x)。X 1 +x1解：令/=,，则/“)=_ j ,所以x)=1_X 1 1 1+，1+X1 +-/(X)=1(1+X4.设函数y=xSin3x(x 0),求dy。解：对函数y=xSin3x(x o)两边取对数，得lny=sin3xnx,再对x求一阶导数，得-yr3
4、 cos 3x-In x+sin 3x,x)所以y =%sin3，(3cos3x lnx+sin3尤!)xdy=yrdx xs,n3v(3cos 3x-In x+sin 3x )dxxQ5.求函数y=2x+?(x 0)的单调区间及其极值(8分)。xQ解：求导数y=2 :，令y=0,得尤=2(负舍)x2y(0,2)(2,+8)+y所以函数的单调增区间为(2,4-00),单调减区间为(0,2)ox=2是极小值点，极小值为yx=2=8。八 d+arcsinx,6.求 积 分 一,dxo解：r一l+arcsinx4 f.、/一 .dx=arcsin x+arcsin xd(arcsin x)7 1-x
5、2 1.=arcsinx+(arcsinx厂 +C(C为任意常数)。7.求积分 J；(，9一 Y+sirPx)dx。解：|(A/9-X2+sin3x)dx=f 99-sin3 xdx,因为函数丁 二 师 丁 在 区 间-3,3是偶函数，而函数y=sin3jc在区间-3,3是奇函数。所以，有1也72d x=2 9-%2网,sin3 xdx=0。(A/9-X2+sin3x)dx=2 j 4 9-令x=3sinrx2dx则 9-x2dx=J2 9cos2 tdt=|(l+cos2r)dr=g(t+；sin2z)所以 j (j9-x2+sin3x)dr=。2 9兀0=T8.求 积 分 J sin xd
6、x。Jo解：e2x sinxdx=gsinxde?*=；(sinx e2；-e2r cosxdr)=cosxd/x=一;(cosx e2；+e2x sinxdx)=-(cosx e2；+e2x sin xdx)=：(/”+1)-e2x sin xdx所以 e2x sin xdx+1)四.计算抛物线y2=2 x与直线y=x 4所围的图形的面积(8分)。解：先求交点，得(2,-2),(8,4)o所求面积 5=,0+4-5)3=(；y2+4y gy3)=1 8 o五.设 函 数/(x)在 0 J上连续，在(0,1)内可导，且/(0)=/(1)=0,/(1)=1,证明在(0,1)内有 一 点 使/)=
7、1(5分)。证明：因为函数/(x)在 0 上.连续，在(0,1)内可导，且/(0)=/=0,/(1)=1,构造新函数F(x)=f(x)-x,则F(l)=-1,由零点定理，/(x)在区间(g,l)内至少存在一个零点 w F S)=0,函数在区间 0,川 上连续，在(0力)内可导，且尸(0)=0,F(7)=0,由罗尔定理,得尸(X)在区间(0月)内至少存在一个qe(0,),使得F C)=0,而(0,)u(0,l),所以在(0,1)内有一点 自，使/化)=1。06高数A填空题(每小题3分，共3 0分)1./(X)=(X 2)J L H 的定义域是 1,1)V 1 -X -2.l i m c o s
8、x-s i n =028 X4.设/(、x)=a -x x 2是连续函数，则f(a)=12 .5.函 数f(x)在x0处可导是/(%)在/处连续的 充分 条件.6.(?+10 j=10 x9+10 l n l 0.7 .已知/(%)=2,则 l i m/(X-3/Z)-/(Xo)=620 h8 .exdx-19.若/(x)=Je/df,则/(x)=2e42.10.由曲线y =/(x),直线x =a,x =A(a+x_ L%+30-1,=l i m-=l i m-=1 （2 分）x-E +x f 8 2x2.计算l i m-i o I x ta n x x解：原式=1加工吗3 x ta nx x
9、 c o s x-s i nx=l i m-XT X c o s x.x c o s x-s i nx=l i m-D x3（4分）l i m.v-0-x s i n.x3x2_33.设函数y =In f，求 y.1 ,解：y=-x-l n（x +1）,1 2x9.设 参 数 方 程=，求 出，.y=2t+2 dr dx 解:（2分）（2分）（4分）（4分）d2 y _ 6te2 -6t2e2dx7-2e2=3f（l7）（2分）10.已知y =y（x）是由方程s i ny +x ev=0所确定的隐函数，求dy.解：原方程两边对x求导，得c o s y-y+ey+xey-y-0（3分）p p解得
10、 y=-或 y=-c o s y +x e，s i n y c o s y从 而dy =s i n y-c o s y（2分）（1分）算 jxarctanxdx.解：原式=f arctanxd(x2)=x2 arctanx-f-X drJ 2 2 2 J 1 +x211.二-1 x2 arctan x1 fI z(,1-1-)xd,x2 2 J 1 +x2-x2 arctanx 一；x-arctanx+C1 2 1=5(x+1)arctan x x+C（2 分）（2 分）（1 分）（1 分）、F 1 +Inx,7.计算-dx.Ji X解：原式=J(l+ln%)d(l+ln x)=|(l+lnx
11、)2（3 分）（2 分）8.计 算J1 7=ln2+-(ln2)2A/4-X2dx.解：令 x=2sinr,贝ijdx=2cosMf,、r 4sin21、,原式=-2cosf drJ 2cosr（1 分）（2 分）（2 分）=2 j(l-cos 2t)dtY Y1 4 X2r sin2，+C=2arcsin一 ”+C2 2（l 分）（2 分）t r1?三.(8分)证明：x 0时，e l+x+%2.2证：方法 1.f(x)=ex-1-x-x2,(2 分)求导得广（x）=e-l-x （2分）又因为/（x）=-lO （1 分）所 以/（X）在 0,+8）上单调递增，则/（x）/（0）=0,（1分）这
12、说明/（x）在 0,+o o）上单调递增，故/（X）/（0）=0,即 原 不 等 式 成 立.（2分）1 ,*3方法 2.ex=1 +X+x2+一X3（5 分）2!3!1 ,l +x +x2,（0 x）（3 分）四.（7分）求曲线 =11（26）的一条切线，使得该切线与直线x =2,x =6及曲线y =I n x所围成的图形面积A为最小.解：设,l nr）为曲线y =l n x上任意一点，则此点处的切线方程为1Xy =-（九 一%）+I n，即 y =+I n，一 1,（2 分）证：因f（a）=/（b）且不恒为常数,故至少存在一点C（见个使得/（c）H/（Q）=/（b）,于是所求面积为A-F
13、+I n r -1 -I n x drT=+x l n/-x l nx_ 2 t J,=4 nf+；）+21n2 6 1n6.令 穿=4，一/=0,得 =4,又当，4时，f =4时，A取得极小值，也是最小值.从而得到所求的切线方程为y =；（_ 4）+l n4五.（7分）设不恒为常数的函数/（x）在口,句上连续,证明在（凡 与 内 至 少 存 在 一 点 使 得 了 4）（）.（2分）（1分）z/4z 7 4 0,当，4时，0,故d td t（1分）（1分）在（4,。）内可导，且/5）=/3）,于是 f(c)f(a)或 f(c)f(a),则在 a,c 上f(x)满 足La g r a ng e
14、定理条件，故至少存在一点g e (a,c)u (a,b),使/,(.=/(c)(a)o (3 分)c-a对于/(c)/(a)情形，类似可证(2分)06高数B填空题(每小题3 分，共 30分)1.f(x)=L ”x2 的 定 义 域 是 l,0)U(0,l .X-2-2.l i m x-c o s-=0_X TL 元 _/、x3-13.设/(x)=-若要使/(x)在x =l处连续，则必须补充定义/(I)=3.x-1 -4.函数/(%)在/处连续是“X)在心处的可导 必要 条件.A y-5 .若 y =21n(F+l),则 =.X+1x =c o s r 兀、.(6 .曲线 在/=一对应点处的切线
15、方程为 y =-x +V 2.y =s i n/4-Y7 .函数y=-宁的单调增加区间是(一 1).1 +x28.(s i n3 x +c o s x)dx =229.1 e Xdx 11 0.由曲线y =/(x),直线x =a,x =h(a o 1-CO S X解：原式=l i m Y1 s i n xp+e=l i m-=2c o s x2.若 l i m+=,求x-0解：左边=l i m（1 +a x 片 2 故 e2a=e3,a12.设函数 y =ln-,求 y.x+117解：y=x-l n（x +1）,1 2xy=2-V 7 I13.设参数方程，x =I n/y=f2，求 雪dxd2
16、ydr2解：dy=dxIt _：2产d2 y4f二4-dx2（3 分）（3 分）（3 分）（2 分）（1 分）（2 分）（4 分）（3 分）（3 分）14.已知y =y(x)是由方程y =l +x ev所确定的隐函数，求 dy.解：原方程两边对x求导，得y-ey+xey-y（3分）解得 =三下或-l-x ey 2-y从而 dy =dx-2-y（2 分）（1 分）15.计 算 卜&dx.解：令“=J 7,dx =2d”,贝!J：山,=j 2 d（-e-u）=-2ueu+|2 e-u du=-2（M+）e-u+C=-2（4+l）e-+C16.2 ex（+ex）2dx.解：原式=I （1+/）2 出
17、1 +1）=；i （i+/ynin2L J o_ 2 9-T17.J x-j 4-x2d x.解：原式=；J 6 二7d（4-）=-割4 一犬2）2 +C（1 分）（2分）（1分）（1分）（1分）（3分）（2 分）（2分）（3分）（3分）,1 ,三.（8 分）证明：x 0 时，l n（l +x）x-x2.证：方法 1.设/（x）=l n（l +x）工 +万/,（2 分）1求导得/l +x =x 0 （3分）1+x 1+x所以/（x）在 0,+8）上单调递增，则/（x）/（0）=0 ,即原不等式成立.（3分）方法 2.l n（l +x）=x-x2+-r-xi（5 分）2 3 （1+J）31 ,x
18、-x ,（0 0）.解：选取y为积分变量A =ey d yJin 6;=h-a（3分）（3 分）（1分）五.（7 分）要造一圆柱形油罐，体积为V ,问底半径和高等于多少时，才能使表面积最小？解：设底半径和高分别为广,力，则力=工7tr（1 分）,2V，表面积 A 为 A =2 乃;7 z +2）广=-2jrr1（r 0）r（2分）2V由 Af=i+4万 广一 2V+4%/（1分）2解方程 4 =0,即一2 丫+4万/*3=0,得驻点厂=；上，这是函数A 在定义域内的唯一丫2%驻点，由 此 知 厂=/工 是 函 数 A 的极小点，且是函数A 的最小值点.V 2式（2分）此时高为力=2 上.（1
19、分）07高数A一、填 空 题（共 50 分 每小题2分）1./(x)=工 一2)的定义域是(2,3)u (3,+8).x-3 -(2、2 .l i m x-c o s|=0.A：)3 .l i呼(l +o x)：=2,则a =l n 2.4.设/(x)=(七*廿,则x =_ 是/(x)的可去间断点.x-15.函数y =二 有 2.个间断点.6 .尤f0,s i n 3是/的 等价(等价、高 阶)无 穷小.(ex,x 08.已知 f(2)=3,则 l i m 2)/(2)=一 1 0 3/1-9 .曲线y =s i n x在点(,0)处的切线方程为x+y-/v=0.,2 x10 .设 y =a
20、rc t a n x?,则 dy =-dx.1 +x,11.设函数/(无)在点x()处可微，则l i m/(x)=/(x0).x 0 _(2x=cit d y 3b12.若 v ，则 t.y=b t3 dx 2 a13 .函数y =/-x l的单调增加区间是 0,+o o).14.函数y =%+4(无 0)的图形的凹区间是(0,+8).尤 -15.设/,(X)在X。处可导且X。是 一(X)的极值点，则/(4)=0 .16 .x =0是函数y =x-l n(l +x)的 极 值 点.Xd s i n，1 .x17 .I -d.t s i n e .dx J t18.l s i n(3 x +l)
21、dr=-|c o s(3 x +1)+C.I c o s J dr19 .l i m-.=1.x-0 x2 0 .若，(x)dx =2+x3+c,则/(x)=2 1 n 2 +3 x 2.2 1 7-f/U X b:=f(x).dr J -2 2.广义积分1d x 的敛散性是发 散.x2 3 .用定积分表示光滑曲线弧y =/(x)上相应于aWx Wb的一段弧的弧长2 4.抛物线y =/与/=%在第一象限所围的图形的面积斗;2 5.由曲线y=e直线 =0,%=1及 1 轴所围成的平面图形绕轴旋转一周而成的立体的体积V =式/一 1).二、解 答 题(共 15分 每小题5 分)1.l i m x(
22、V l +x2 x)=l i m .X .2 f J 1+/+%2.-2l i m X TO-x 1ex-1=lim-2x.2e=lim22.2.Vsin x-tan x3.hm-sin x(cosx-l)=lim.2x 0 X C O S Jrsinx cosx-1=hm.2xfO X cosx=0.r三、解 答 题(共15分 每小题5分)1.设 y=ln(x+V1+x2)+arctan+e)求 y.x、171+由y,=-1X +Jl+X1+信v V14-X3227112.设函数 y=Jinx(x 0),求dy.In y=sin In xr1 ,i sinx y=cos x-In x H-y
23、工2，sin r/i SIH X.y=x(cosx-lnxd-)xVj sinx/i sinx、dy=x(cosx-lnx+-)dxxV3.已知y=y(x)是由方程e+xy=e所确定的隐函数，求y(0).旋转一周而成的旋转体的体积最小.解：由抛物线y+bx+c过原点，得c=0,ey-F y+x =0.dr.drdy=ydx ey+x _ y _.-I cdr*=o e-+x t=0四、解 答 题(共10分 每小题5分)L1二=2&d(x)=-ex2+C 22.Jx3 Inxdr2 1=j lnAd(x4)=4 1 1词4尤 尤改=4卜2 6卜4】“，c 15=41n2-16五、(6分).设抛物
24、线y=a/+b%+c过原点，抛物线与X轴及直线X =1所围图形的面积为-3.2,.2.V.3.2.2.r.V.r当OWxWl时y?0,又已知该,试确定a,。,c，使此图形绕x轴r.面积S=(ax?+Ax)djc=1+g=g,h=g(l-a),V从而体积 V=J (ax2+y(l-a)x)2dx4a 1v=7r(-+),.r135 275 5 3令V=0,得唯一驻点a=,从而当a=,b=,c=0时，旋转体的4 4 2体积最小.2六、(4分)/(x)在a,+8)上连续，/(a)=0,/(x)0,下面有两种证法证明g(x)=在(a,+8)内单调增加:(x-a)法 一 /(X)在 口,灯(%。)上连续
25、，在(Q,X)内可导，.,由拉格朗日定理得 3一 叽/片)(a J0,.尸(九)在(,+oo)内单调增加，./O在(a,+8)内单调增加，由此g(x)=-在(a,+oo)内也单调增加.(x-a)法二 g，a)=r(x)y?x),设 F(x)=/Xx)(%-)-/(%),(x a)则F(x)=f(x)(x-a).在(a,+8)内/(x)0,x-a 0,：.Fz(x)0,由题设知厂(无)在 a,+8)上连续，尸。:)在 a,+8)上单调增加，又产(a)=0,.在(。,+00)内 尸(%)0,从而在(a,+8)内g (x)0,由此8(%)=上 曳 在(。,+8)内单调增加.(x-a)问题：哪 利证法
26、是正确的？哪 种证法是错误的？为什么？解：法二是正确的，法一是错误的，.2因为随着无的增大J并不一定增大.207高数B一、填 空 题(共48分 每小题3分)1./(%)=J 1 的定义域是 1,0)U (0,1 .x-2.l i m|x-si n|=0.x).(x 2 Y 23.l i m 1 H =a.1 8(X)一2+x,x 05.函 数f(x)在点x0处连续是f(x)点X。处可微的 必要 条件.716.曲线y=c o sx在点(,0)处的切线方程为x+y-f =0.7 .若y=4+l nx+e-*,则d y=(土+-e 7)d x.f8(x+1)_ si nx-(x+l)c o sx 0
27、),求d y.Iny=si nx-l nx1 .si n x y-c o sx-Inx+-y xyr=xs,n x(c o s x-In x+Sn X)Xi si n r z i si n x.dy=x(c o sx-l nx+-)dX3.已知y=y(x)是由方程y=l +xe=ey y+xey dx dxdy _ eydx-xey3.2.V.2.V x.r 所确定的隐函数，求 位.d x.3.2 四、解 答 题(共10分 每小题5分)令 =产，则=-a t.1J z+1=21n+l)|：.V3=21n-.V2=jxJ(2sin).2=2%sin-2 sindx.2，2 J 2=2xsin+4
28、cos+C.V2 2五、(7分)求函数/(x)=%3-3 x2-9x+5的单调区间和极值.解：求导数/(X)=3X2_6X_9,.V令 广*)=0,得看=-1,%2=3.V(8,-1)-1(-1,3)3(3,+8)f(x)+0=0+.2 f(x)T 极 大 值J极 小 值T函数的单调增区间为(一8,1)U(3,+8),单调减区间为(一1,3).2 极大值为/(1)=1 0,极小值为 3)=22.r六、（5分）阅 读 理 解.设 函 数 力（%）,力。）,右。）在 区 间/上 有 定 义，称/（乃=（力。）/（%）/（%）为3维 向 量 值 函 数，其 一 阶 导 数 定 义 为/（%）=（力（
29、顼 月 ，/；（%）；又设 g（X）=（g （X），g 2（X），g 3（X），定义3f(x)与 g(x)的数量积为/(x),g(x)=Z 力(x)g j(X)./=1例：设 f(x)=(x,x2,x3),g(x)=(l,x,3 x),则/(x)=(1,2元,3/),/(x),g(x =x-.+x2-x+x3-3x=x+x+3尤4.设 f(x)=(x,x2,x-2),g(x)=(2,x,/),求解下列问题：()(x),g(x,(/(x)，g(x),/(x),g (x)；(2)根据(1)的结果，你能得到什么结论，并加以证明.f解：(1)=(2x+x3+(x-2)x2y=2-4x+6x2,.1 f
30、(x),g(xi)=2+3x2,f(x),g(x)=3x2-4 x；.V(2)根据(1)的结果，能得到(f(x),g(x)=f V),g(X)+(f(x),g r(x).r，3 3事实上，伏x),g(x)=z 力(x)g G)=Z (x)g，a)3=Z（力*）g，（X）+力（x）g；（x）i=l=（/（x），g（x+/（x），g （x.207高数C一、填 空 题（共60分 每 小 题3分）%2 -3x+2 。1 .设/（尤）=1%-2 在x=2处连续，则。=（0 ）a +1,x=22 .沛 包0=(2 )H x-13 .-产 3 =(e3)XT9 X4 .求极限y=l i m/M =(1)x-
31、0+5 .(x2-2V)=(2x 2+x?N l nZ )6.y-a2-x2,则 虫=(/*)dx yla2-x27 .y=x J,则 虫=(2x2+Y)e2)dx8 .y-xx,x 0,则 生=(xv(l +Inx)dx9.方程y xe =1 所确定的隐函数y 的导数半k 0=(e)x-cost 7i dv1 0 .曲线1 在f =X 对应点处的二阶导数汨.=(-2 )y=s inf 4 dx2f edt i1 1 .=()mo x2 2eQ1 2 .函 数 y=2 x+2 (x 0)的极小值点为(x=2 ).x1 3 .函数曲线)，=乂2 +1 在 工=(o )处的切线与y=3f的切线平行
32、1 4 .设/(x)的一个原函数为I n x,则尸(x)=(J).4八 r a r c s inx t z 1 、1 5 .求积分,dx=(a r c s inx+c )1 6 求积分 j x-l 口 x=(4 )1 7 .xyl9-x2dx=(0)1 8 .积 分 .,9 _/公=(1 不)1 9.广义积分厂上=(上)J o ex+ex 41X=tr-?介于0 W 1之间的弧长为(V5).y=2广二.选择题(每小题3 分，共 15分)1,函数在x=x0 点连续是函数在该点处可微的(B)条件.A.充分条件;B.必要条件;C.充分必要条件D.可去条件2 .、若函数/在 内 满 足/口）0,则/（
33、x）在（。力）内（B）A、单调减少，曲线上凹C、单调增加，曲线上凹3 .下列积分正确的B.bbB、D、单调减少，曲线下凹单调增加，曲线下凹hh（A）（，）邛 力,(B)f(x)dx=J，)力,(D)2f(2x)dx=力,b(C)j/(V x)00 J.X=1 .r2-求积分 J/,s i n x d x。解：J：e2x s in xdx=gs in xde2x=-1(s inx-e2 x|-e2x c o s xd x).2,=-(c o s x-e2 +e2x s inxd x).2=elrr+1)-Pe2x s inxd x4 4 J)所 以。e 2 xs inxd r =1(e 2 +1
34、)。1 43.计 算 抛 物 线=2 x与直线y=x-4所围的图形的面积.解：先求交点，得（2,-2）,（8,4）。所求面积5=f,(y+4 )d y2=-2=1 8 .r.2 四、证明：当x l时，2 G 3-=(5分)X证 明 令 f(x)=2 y/x+-3,有/(1)=0 .2 X又因为广（无）W a i).2 所以函数在当xl时，为增函数，所以/（X）/（）=0即当X 1 时，2 G 3-L.rX五、求函数求y=/-1 2 x +1 0的单调区间、极值点、凹凸区间、拐 点（5分）解:歹=3 7 1 2,令y，=0,得驻点玉=2,=2 .r了”=6匕令了”=0,得 点 七=0 .r由上可
35、知：函数的单调增区间为:（-8,一2）,（2,+8）；函数的单调减区间为（2,2）.V函数的极大值点：（-2,2 6）,极小值点（2,-6）.r凹区间为:（0,+8）,凸区间为：（-8,0）拐点为：（o/o）.r07高数D一、填 空 题(共60分每小题3分)1.已知/(X)=.1xsm 一xex+ax02.2%sin 一lim-=(1/9)x-03.I imXT8=(/)4.求极限 lim-7.(3：2)3 =(2x+l)1027X33210)5.(%10 10)=(10 x9-10v4-x1 0-10vlnl0)6.y-71+x2,则 虫=(dxxT77)7.8.y=xe-2，则 立=(1
36、2x)e-2，)dxy=0,则 虫=(xr(l+Inx)dx9.方 程 孙=ex+v所确定的隐函数y的 导 数 也=(dxex+y-yx-ex+y)10.曲线x=/a在r=1对应点处的二阶导数y=td2ydx2!，=!=(3/4)11.&xsin tdtlim _-=(2)2 X12.I如果函数/(x)=Qsinx+/s in 2 x,在x=处有极值，则。=().13.函数曲线y=d+i在=(1 )处的切线与y=3/一4%的切线平行.14.设/(x)的一个原函数为sinx,则/(%)=(-cosx)15.求 积 分f y dx=(一-x+C)JV l-x71 6 求积分 R.A/1-COS2
37、xdx=(22)1 7.xs in2 xdx=(0 )-7 T1 7121 9.广义积分=(1 220.曲线y=s in x 介 于 0元万之 间 与 x 轴所围面，绕），轴旋转所得旋转体体积为)o二.选 择 题（每小题3 分，共 15分）1.函数在 出句连续是函数在 凡们可 积 的（A ）条件.B.充分条件;B.必要条件;C.充分必要条件D.可去条件2.、若函数 x)在 x =x 0 满足r(Xo)=O J”(X o)O,则函数 x)在 x =x 0 (D)A、取得最大值B、取得最小值C、取得极大值D、取得极小值18.积分 j j l -x 2 dx =(2/)3 .下列积分正确的 Bbbb
38、b(A)f(x2)dx2=(B)f(x)dx=a ahbbb(C)J 7(V 7)d =J7c)df,a a(D)j 2/(2 x)dx=力,4.下 列 广 义 积 分 中.B 是收敛的:(A)(-dx(B)(D)exdx85.下 列 等 式 中.C 是正确的.(A)(B)(C)f fx)dx-f(x)+c(D)/(x Mx =/(x)dx&dx A，三.计 算 题（每小题5 分，共 15分）4.求极限l i mx l nx1 0+解:I nxl i m x m x=h m x o+X TO+1.2 X=l i m-j.2,x-0 0 1-5X=0 .V2 .求积分 f 71-si n xdx
39、 o解：71-si n xdx=si n-1-cos dx.2 n/(cos-si n-)dr+(si n-cos )dr2 2 2 2 2=2(si n +cosy)|2 -2(cos +si n)K冗22=4 6 4.13 .计算抛物线V =x与直线y=x所围的图形面积及绕x轴旋转的旋转体体积。解：先求交点，得(0,0)，(1,1)3所求面积5=p V-x)dx =(|x2-1x2)|o=1.2 3匕=卜(4)2 _/g=万(#=看.3，四、设函数“X)在区间 0,1上连续，且/(x)l .2，据介值定理知存在J w(0,1),使8(9 =0,即原方程在(0,1)内有一个根.V又 因(x)
40、=3 /(x)0 ,所 以(x)在(0,1)单 调 递 增，因 此e(x)=0在(0,1)2内只有一个根.五、求 =!/一/一3 x+l的单调区间、极值点、凹凸区间、拐 点(5分)3解:V=x22x 3,令y=0,得 驻 点 方=1,=31)，”=2一2,令”=0,得 点 七=1r由上可知:函数的单调增区间为：(-8,-1),(3,+8)；函数的单调减区间为：(-i,3)r函数的极大值点:(-1,8/3),极小值点(3,-8)r凹区间为：(1,+8),凸区间为：(-8,1)拐点为:(1,-8/3)108高数A填 空 题(共50分 每 空2分)1./*)=%(、+)的定义域是(-l,0)U(0,
41、+8).2.lim.(x-si.ni =n0.lim 吐9=2 3n 3.x2+x 2lim：-x-132.ln(l-%)6.hm -1%a+x+x2,尤 08.设函数/(x)在点与 处可微，则lim/(x)=f(x0).*-10-9.设/(无)=,则x =2 是/(x)的可去间断点.x-410.若丁=x ta n(l-r),则 y=ta n(l-x)-xse c2(1-x)11.若 y=2 1 n(/+l),则 了=.12.若元=1+r dy 3，则 上=-ty=J dr 2d2y _ 3dx2 4/13.曲线y=!在(1,1)点处的切线方程为x +y 2 =0.x-14.函数f(x)=x3
42、-x2+1的单调减区间为 0,%),极 大 值 为-L.15.函 数 y=x ,(x 0)的图形的凸区间是(0,+8).X-16.2 ,d f si nr,2 si nx-dr=-dr Ji t x17.cos(3 x +l)dx =|si n(3 x +1)+C.18.19.*1 COSX,.-7 dx =m 2o 1+si nx2 0.设/(x)的一个原函数是e2)则/(x)=2 e 2 x2 1.广义积分 e-xdx=的敛散性是 收 敛.2 2 .J xdx=%2 3 .山曲线y=工 2,直线x =0,x =1及 x轴所围成的平面图形绕X 轴旋转一周而成的立体的体积V =%.二、计 算
43、题（共12分 每小题6分）l i m-1-xx(e 1)si n x -ta n x2.hm-；-.。X3.si n%-ta n x解：hm-N O /si nx(cosx-l)=l i m-X cosxsi nx cosx-1=l i m-；-z。x x cosx2.V.2.2.r.2.2.2 三、解 答 题（共12分 每小题6分）1.y=（cosx严,求 dy.解：I ny=si nx-I n cosx.ry cosxdy=(cos x)si n v(cos x -I n cos x -2.已知y=y(x)是由方程ev+6x y+V解：ex,+6y+6x +2x=0dx dxdy _ 2
44、x +6ydx ey+6x苴=_2 x +6y=()dr X /+6x x=0四、解 答 题(共12分 每小题6分)L J冰械=|p7 d(3 V7)=-e +C32.Jx l nx dr.解：Jx l nx dx=j l nx d(x2)1 2,p 1 f 2 1 八=x I nx j 1 J x.一标=2 1n2-1 x2；.2cosxi =o所确定的隐函数，求y(o).2.2.2.4.2,.2.2.V=21n2-4.Y五、(6 分)证明：当 x l 时，(x 2-l)l nx(x-l)2.证明：只需证明(工+1)I nr (x -1).令/(M a+Din xa-i).2，/(x)=l
45、nx +4 0,/(x)在 1,+8)单调递增.2 龙/(1)=0,当 x l 时，/(x)0,即(x 2 _)nx(x _ l)2.2六、(8分)设有曲线y=4 x2(0 x l)和直线y=c(0 c 0,。=1为最小值点.42m i n A=苧 d y =12&,另解：A =At+A2=(c -4%2)d x +J-(4%2-c)d x22cL+33 34A(c)=c2-1令A(c)=,2 _ i =o,得c =l.2A(l)=2 0,c =l为最小值点.08高数B一、填 空 题(共 50分 每小题2 分)1./(x)=-7 1-X2 的定义域是 1,0)U(0,1x-2.lim lx.s
46、in-x-0lim|x-sin-X.3.limf 1 +X0X f 3X.V-aoX4.lim“Too(2 n-l)(n +l)3 223i.x+x 25.lim-：-7 x2-1326.lim 蛆 32 X7.设/*)=2+x,4C0SX,x 0 -8.设函数/（X）在点/处可微，则lim/（x）=f（x0）.xo 2-9./、r3-1若 要 使/（月=2-在x=l处连续，则必须补充定义x-1川）=310.若y=4+lnx+e T,贝U(土+5一e-)dx.x+1sinxsin x-(x +l)cosxsin2 x12.x=+t2 ndy 3，贝 Ij-=-ty=t3 dr 2d2y 二dx
47、2 4f若113.71曲线y=cosx在点（于0）处的切线方程为x+y-方=0.14.函数 f(x)=X3x?+l的单调减区间为 0,%极 大 值 为115.函数y=xex的图形的凸区间是（一8,-2）.16.设/（幻 的一个原函数为I n x,则x）=LX17.cos(3x+l)dx=jsin(3x+l)+C.18.悟 小M6+C19.cosx.1 G-ax=m2o 1 +sinx20.12T(sin3 x+cosx)d=222 1.广义积分d r的敛散性是收 敛.2 2.由曲线y=%2,直线工=0,%=1及 轴所围成的平面图形绕光轴旋转一周而成的立体的体积V=%二、计 算 题（共12分 每
48、小题6分）tan 3%1.lim-i o sin2x解:.tan3x.3sec2 3A：hm-=lim-D s in 2 x i o 2 cos 2尤.42.32.2CSC x-cot Xlim-A-0 Y解A ：h m-C-S-C-X-c-o-t-X-S n r =nm sinA.2X TO%x-0%=limX TO1%222X.22.2三、解 答 题（共12分 每小题6分）1.y=(cosx)sinx,求 dy.解：Iny=sin%-In cosx.Vyf/,sin2 x、“=(cos x-In cos x-).3y cosx.2dy=(cos x)sinx(cos x-In cos x-
49、Sin X)dx.2cosx2.已知y=y(x)是由方程丁=解：原方程两边对x求导，y=ey+xey-y解得 y=v或)1-xeey从而 dy=-dx2-y四、解 答 题(共12分 每小题6分)(in 21.1 e +ex)2dx.dn 2解：原式=(l+e)2d(l+1 T=+L J J o19-T2.Jxcosdv.解：原式=卜d(2sin)=2xsin-2 sindx2 J 2l+xev所确定的隐函数，求 上dx得.3ey/=.22-y.rex)2.r.2.2.2=2x s i n I-4 c o s F C.22 2五、(6分)计算抛物线y 2=2%与直线y =x -4所围的图形的面积.解：先求交点，得(2,2),(8,4).2.2所求面积 5=(y +4-)d y .21 1 4=(y+4),_ 3)=1 8 .2六、(8分)求b(x)=由 在 1,2上的最大值和最小值.解：Fx)-x(x-l)=0,x =0,x =1 .2F(0)=0,F(l)=f r(r-l)d r =-J)6F(-l)=j r (r-l)d r =-|,F(2)=p(?-i)d r =j,.42 5最大值为一，最小值为一.23 6