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1、一、填空题共 21 分每题 3 分z y21221 1曲线绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为z x y 1x 0 x 3tx 2y 4z2 2直线L1:与直线L2:y 13t的夹角为2 253z 2 7t3 3设函数f(x,y,z)x 2y 3z，则grad f(1,1,1)4 4设级数2222,4,6unun收敛，则nlimn100,x 05 5设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)则它的傅里叶级数在x 处1 x,0 x,收敛于126 6全微分方程ydx xdy 0的通解为xy Cx7 7写出微分方程y y 2y e的特解的形式y*axex二、解答题共 18 分每题 6 分x 2y z 3
2、 01 1求过点(1,2,1)且垂直于直线的平面方程x y z 2 0ijk解解：设所求平面的法向量为n，则n 121 1,2,3(4 分)111所求平面方程为x2y 3z 0(6 分)2 2将积分f(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面22z 2(x y)及z 2x2 y2所围成的区域解解：:r z 2r,0 r 1,0 2(3 分)f(x,y,z)dv02drdr012r2rf(rcos,rsin,z)dz(6 分)3 3计算二重积分I eD(x2y2)dxdy，其中闭区域D:x2 y2 4.22解解I 02de02r22r2r12142rdr ded(r)2de(1e)
3、00202三、解答题共 35 分每题 7 分1 1设z uev，而u x y，v xy，求dz解解：22zzuz vev2x uev y exy(2x x2y y3)xu xv x(3 分)zz uz vev2y uev x exy(2y x3 xy2)(6 分)yu yv ydz exy(2x x2y y3)dx exy(2y x3 xy2)dy(7 分)2 2函数z z(x,y)由方程e xyz 0所确定，求zzzz,xy解解：令F(x,y,z)e xyz，(2 分)则Fx yz,Fy xz,Fz e xy,(5 分)zFyFxzxzzyz z z，(7 分)xFze xyyFze xy3
4、 3计算曲线积分向弧段解解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D，根据格林公式L ydx xdy，其中L是在圆周y 2x x2上由A(2,0)到点O(0,0)的有L ydx xdy 2dxdy OA ydx xdy(5 分)D 24 4设曲线积分求f(x)20(7 分)Lex f(x)ydx f(x)dy与路径无关，其中f(x)是连续可微函数且满足f(0)1，解解：由PQx得e f(x)f(x)，yx即f(x)f(x)e(3 分)x(1)dx(exedxdx C)ex(x C)，(6 分)所以f(x)e代入初始条件，解得C 1，所以f(x)e(x 1)(7 分
5、)x(n!)25 5判断级数的敛散性n1(2n)!un1(n1)!2 lim解解：因为limnun(2n 2)!n(n!)2(3 分)(2n)!1(n 1)2 lim1(6 分)n(2n 2)(2n 1)4故该级数收敛(7 分)四、7 7 分分计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy，其中是上半球面z 1 x y的上侧解解：添加辅助曲面1:z 0,x y 1，取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得2222xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdy1xdydz ydzdx zdxdy(4 分)13dv 0(6 分)31 4 2(7 分)23五、6 6
6、 分分在半径为R的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形解解：设三角形各边所对圆心角分别为x,y,z，则x y z 2，且面积为A 12R(sin x sin y sin z)，2令F sin x sin y sin z(x y z 2)(3 分)Fx cos x 0F cos y 02y由(4 分)得x y z 此3Fz cos z 0 x y z 23R 3R 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三2角形时其面积最大(6 分)时，其边长为2xn六、8 8 分分求级数的收敛域，并求其和函数n1nan(n1)lim1，故收敛半径为R 1(2 分)解解：R limnannn1
7、当x 1时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛；当x 1时，级数为调和级数，发散故原级数的收敛域为1,1)(5 分)xn设和为S(x)，即S(x)，求导得n1nS(x)xn1n11，(6 分)1 x再积分得S(x)0S(x)dxx1dx ln(1 x)，(1 x 1)(8 分)01 xx七、5 5 分分设函数f(x)在正实轴上连续，且等式1xyf(t)dt yf(t)dt xf(t)dt11xy对任何x 0,y 0成立如果f(1)3，求f(x)解：解：等式两边对y求偏导得x f(xy)f(t)dt x f(y)(2 分)1x上式对任何x 0,y 0仍成立令y 1，且因f(1)3，故有xf(x)f(t
8、)dt 3x(3 分)1x由于上式右边可导，所以左边也可导两边求导，得xf(x)f(x)f(x)3即f(x)3x(x 0)故通解为f(x)3ln x C当x 1时，f(1)3，故C 3因此所求的函数为f(x)3(ln x 1)八八 5 分已知y1(5 分)xex e2x，y2 xexex，y3 xex e2xex2x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程解解 1 1：由线性微分方程解的结构定理知ex与ex是对应齐次方程的两个线性无关的解，xe是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为将yy y 2y f(x)xex代入上式，得f(x)ex 2xex，因此所求的微分方程为y y 2y ex
9、 2xex2x解解 2 2：由线性微分方程解的结构定理知ex与ex是对应齐次方程的两个线性无关的解，xe是非齐次方程的一个特解，故y求微分方程的通解，从而有 xexC1e2xC2ex是所y ex xex 2C1e2xC2ex，y 2ex xex 4C1e2xC2ex消去C1,C2，得所求的微分方程为0606 高数高数 B By y 2y ex 2xex一、填空题共 30 分每题 3 分1 1 xoy坐 标 面 上 的 双 曲 线4x29y2 36绕x轴 旋 转 一 周 所 生 成 的 旋 转 曲 面 方 程 为4x29(y2 z2)362 2设函数f(x,y,z)2x yz z，则grad f
10、(1,0,1)(2,1,2)2x 3tx 2y 4z3 3直线L1:与直线L2:y 13t的夹角为2253z 27t4.4.设是曲面z 2 x2 y2及z x2 y2所围成的区域积分，则212r2rf(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次积分形式是5.5.设L是圆周y 0drdr0f(rcos,rsin,z)dzL2x x2，取正向，则曲线积分 ydx xdy 2(1)n1xn6.6.幂级数的收敛半径nn17 7设级数R 10unun收敛，则nlimn10,x 08 8设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)则它的傅x,0 x,里叶级数在x 处收敛于29 9全微分方程xdx ydy 0的通解
11、为xy Cx1010写出微分方程y y 2y e的特解的形式y*axex二、解答题共 42 分每题分x y z 2 01 1求过点(1,2,1)且垂直于直线的平面方程x 2y z 3 0ijk解解：设所求平面的法向量为n，则n 1 21 1,2,3(4 分)111所求平面方程为x 2y 3z 0(2 分)z2 2函数z z(x,y)由方程sin(x 2y 3z)x 2y 3z所确定，求x解解：令F(x,y,z)sin(x 2y 3z)x 2y 3z，(2 分)则Fx cos(x 2y 3z)1,Fz 3cos(x 2y 3z)3(2 分)Fx1 cos(x 2y 3z)z(2 分)xFz33c
12、os(x 2y 3z)3 3计算xyd，其中D是由直线y 1,x 2及y x所围成的闭区域D解法一：解法一：原式211xydydx(2 分)2x2x3y2xxx1dx()dx11222x4x22111.(4 分)8484y12211.(同上类似分)解法二：解法二：原式xydxdyy 1y88 224 4计算D1 x2 y2dxdy，其中D是由x2 y21即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域解：解：选极坐标系原式20d011r2rdr(3 分)1122()1r d(1r)(3 分)22065 5计算(y2 z2)dx 2yzdy x2dz，其中是曲线x t,y t2,z t3上由t1 0到t21
13、的一段弧解：解：原式0101(t4t6)2t52t t23t2dt(3 分)(3t6 2t4)dt t7t51037251(3 分)352n 16 6判断级数的敛散性nn12un1(2n 1)lim解解：因为limnun2n1n2n 1(3 分)n211，(2 分)2故该级数收敛(1 分)7 7求微分方程y3y4y 0满足初始条件yx0 0,yx0 5的特解解：解：特征方程r23r 4 0，特征根r1 4,通解为y C1ey 4C1e所以特解4x4xr2 1 C2ex，(3 分)C2ex，代入初始条件得C1 1,C21，y e4xex(3 分)22三、8 8 分分计算曲面积分xdydz ydz
14、dx zdxdy，其中是上半球面z 1 x y的上侧解解：添加辅助曲面1:z 0,x y 1，取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得22xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdy1xdydz ydzdx zdxdy(4 分)13dv 0(2 分)31 4 2(2 分)232四、8 8 分分设曲线积分yf(x)dx 2xf(x)x dy在右半平面(x 0)内L与路径无关，其中f(x)可导，且满足f(1)1，求f(x)解解：由PQ，得f(x)2 f(x)2xf(x)2x，yx1f(x)1，(3 分)2x1dx2x(即f(x)所以f(x)e xe1dx2xdx
15、 C)3x212(1x2dx C)x12(23C)，(3 分)代入初始条件，解得C 211，所以f(x)x(2 分)33 x333五、6 6 分分求函数f(x,y)x y 3xy的极值2fx(x,y)3x 3y 0解：解：2fy(x,y)3y 3x 0得驻点(0,0),(1,1)(3 分)fxx(x,y)6x,fxy(x,y)3,fyy(x,y)6y在点(0,0)处，B2 AC 9 0,故f(0,0)非极值；在点(1,1)处，B2 AC 27 0,故f(1,1)1是极小值(3 分)六、6 6 分分试证：曲面z xf()上任一点处的切平面都过原点证：证：因yxzy1yzyyy xf()f()(3
16、 分)f()f(),yxxxxxxx则取任意点M0(x0,y0,z0)，有z0 x0f(y0)，得切平面方程为x0y0y0y0y0y0z0 x0f()f()f()(x x0)f()(y y0)x0 x0 x0 x0 x0即 f(y0yyy)0f(0)x f(0)y z 0 x0 x0 x0 x0故切平面过原点(3 分)07A一、一、填空题每题填空题每题 3 3 分，共分，共 2121 分分1 1设向量a 2,3,1,b,1,5，已知a与b垂直，则12 2设a 3,b 2,(a,b)，则a b 36y2z23 3yoz坐标面上的曲线221绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为abx2 y2z2212
17、abx 2z 1 04 4过点(2,4,0)且与直线垂直的平面方程2x 3y z 8 0y 3z 2 05 5二元函数z x ln(x y)的定义域为D(x,y x 0,x y 06 6函数7 7设zf(x,y,z)ln(x2 y2 z2)，则gradf(1,0,1)exy，则dz 1,0,1exy(ydx xdy)u具有连续偏导数，则x3y8 8设u xf(x,)，fx29 9曲线x t,y t,z t上点(1,1,1)处的切向量T 1010交换积分顺序：0dy01111闭区域由曲面z21yyf xf1f2x1,2,3f(x,y)dx dxf(x,y)dy0 x11 x2 y2及平面z 1所
18、围成，将三重积分f(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次积分为1212设L为下半圆周y20d0rdrrf(rcos,rsin,z)dz11 1 x2，则L(x2 y2)ds 21313设L为取正向圆周x y2 9，则L(2xy 2y)dx (x2 4x)dy 180f(x)x x 00 x 则它的傅里叶级数在1414设周期函数在一个周期内的表达式为x 处收敛于1515假设limunn2n1 0，则级数un的敛散性是发散2nn!1616级数n的敛散性是收敛n1n1717设一般项级数un，已知n1n1un收敛，则un的敛散性是绝对收敛n11818微分方程xy2(y)35xy 0是2阶微分方程 0
19、的通解y 1919微分方程y 4y 4y2020微分方程y3y2y二、二、共共 5 5 分分C1e2xC2xe2x xe2x的特解形式为x(axb)e2x设z u2lnv,u xz z,v xy，求,yx yzz uz v1u2x2 2ulnv y 22ln(xy)1解：解：xu xv xyvyzz uz vxu2x2 2ulnv(2)x 32ln(xy)1yu yv yyvyz 2 xyz 0，求三、三、共共 5 5 分分设x 2y zx解：解：令F(x,y,z)x 2y z 2 xyzFxxyz yzFzxyzxyz xyxyzFxyz xyzz xFzxyz xy四、四、共共 5 5 分
20、分计算xdxdydz，其中为三个坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域解：解：:0 x 1,0 y 1 x,0 z 1 x y11x1xyxdxdydz 0dx0dy0 xdz 0dx0 x(1 x y)dy11x五、五、共共 6 6 分分计 算111110 x(1 x)2dx 0(x 2x2 x3)dx 2224xx(e sin y y)dx (e cos y 1)dy，其 中L为 由 点A(a,0)到 点O(0,0)的 上 半 圆 周Lx2 y2 ax解：解：添加有向辅助线段OA,则有向辅助线段OA和有向弧段OA围成闭区域记为D，根据格林公式xx(e sin y y)dx (e cos
21、y 1)dyLdxdy(exsin y y)dx(excos y 1)dyDOA1a()202213a8六、六、共共 6 6 分分(x3)n求幂级数的收敛域nn1n3解：解：对绝对值级数，用比值判敛法un1x 3lim limnnun(n 1)3n1n1x 31n1 lim x 3 x 3nnn33 n 13n1当x 3 1时，即0 x 6，原级数绝对收敛3当1x 3 1时，即x 0或x 6，原级数发散3(1)n当x 0时，根据莱布尼兹判别法，级数收敛n1n当x1 6时，级数发散，故收敛域为0,6)n1n2七、七、共共 5 5 分分计算zdxdy，其中为球面x2 y2 z21在第一卦限的外侧2
22、解：解：在xoy面的投影Dxy：x2zdxdy y21,x 0,y 0(1 x y)dxdyd0(1 r2)rdr22Dxy20112 48八、八、共共 7 7 分分设求f(x)使ln x f(1)0，1并求u(x,y)f(x)ydx f(x)dy为某二元函数u(x,y)的全微分，x解解：由PQ11，得ln x f(x)f(x)，即f(x)f(x)ln xyxxx所以f(x)e1 dxx(ln xexdx1112C)x(ln x dx C)x(ln x C)x21xln2x2带入初始条件，解得C 0,所以f(x)121u(x,y)(0,0)(ln x ln x)ydx xln2xdy22(x,
23、y)0707 高数高数 B Bxy11000 xln2xdy xyln2x22一、共 60 分每题 3 分得分1.设向量a 6,2,4，b,1,2，已知a与b平行,则 3y2z2x2 y2z22.yoz坐标面上的曲线221绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为21aca2b3.设a 2,b 1,(a,b),则a b 33x 2y 4 04.设一平面经过点(1,1,1)，且与直线垂直，则此平面方程为2x y 3z 03y z 05.6.7.8.二元函数z lny2 2x 1的定义域为(x,y)|y22x1 0设z exy，则dz exy(ydx xdy)函数f(x,y,z)ln(x2 y2 z2)，
24、则grad f(1,0,1)设u xf(x,)，f具有连续导数，则(1,0,1)yxuy f xf1 f2xx9.曲面x2 y2 z21在点(1,0,2)处的法向量n 2,0,410.交换积分顺序：dx01x0f(x,y)dy dyf(x,y)dx0y1111.闭区域由曲面z x2 y2及平面z 1所围成，将三重积211f(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次积分为0drdr2f(rcos,rsin,z)dz0r12.设是闭区域的整个边界曲面的外侧,V是的体积，则13.设L为上半圆周y 1 x2，则xdydx ydzdx zdxdy=3VL(x2 y2)ds 14.设周期函数在一个周期内的表
25、达式为f(x)0,x 0则它的傅里叶级数在x 处收敛x,0 x,于215.假设limun 0，则级数nun的敛散性是 发散n1nn16.级数n的敛散性是 收敛 n15 n!17.级数sinn的敛散性是 收敛 2n1n18.微分方程x2y5(y)46y 0是 2 阶微分方程19.微分方程y2y y 0的通解为20.ex(C1C2x)微分方程y5y6y 3xe2x的特解的形式得分y*(ax2bx)e2x三、共 5 分函数z z(x,y)由方程x2 y2 z2 4z 0所确定，求222zx解：令F(x,y,z)x y z 4z，(1 分)则Fx 2x,Fz 2z 4,(2 分)Fzx x (2 分)
26、xFz2 z得分五、共 6 分计算曲线积分L(x22y)dx(xsin2y)dy，其中L为由点A(2,0)到点O(0,0)的上半圆周x2 y2 2x解：添加有向辅助线段OA，它与上半圆周围成的闭区域记为D，根据格林公式DL(x22y)dx(xsin2y)dy(x22y)dx(xsin2y)dy(3 分)(12)dxdy OAdxdyD2012382x dx1(3 分)23232七、共 6 分得分设f(1)0，确定f(x)使sin x f(x)dx f(x)dy为某二元函数u(x,y)的全微分yx解解：由PQsin x f(x)得 f(x)，xyx1sin x(2 分)f(x)xx1dxx即f(
27、x)所以f(x)esin xxdx(edxC)x1 eln x(sin xln xedxC)(2 分)x1(cosxC)，(1 分)x1(cos1cosx)(1 分)x代入初始条件，解得C cos1，所以f(x)八、(共共 6 6 分分)计算得分2222zdxdy，其中是球面x y z 1外侧在x 0,y 0的部分解：zdxdyzdxdy dxdy(2 分)12Dxy2222(1 x y)dxdy(1)(1 x y)dxdy(2 分)Dxy 2(1 x2 y2)dxdyDxy20 2d(1r2)rdr014 (2 分)0808 高数高数 A A一、选择题共 24 分每题 3 分1 1设s1m1
28、,n1,p1，s1m2,n2,p2分别为直线L1，L2的方向向量，则L1与L2垂直的充要条件是AAm1m2 n1n2 p1p2 0Bm1m2n1pDm1n1p111Cm1m2n1n2 p1p21n2p2m2n2p22 2Yoz平面上曲线z y21绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为(C)Az y21Bz y2 x2Cz y2 x21Dz y2 x3二元函数z lny2 2x 1的定义域为 BA(x,y)|y22x 0B(x,y)|y22x 1 0C(x,y)|y2 2x 1 0D(x,y)|x 0,y 04交换积分顺序：dy0111y0f(x,y)dx A11A0dxxf(x,y)dyB0dyy
29、f(x,y)dxC0dy11yf(x,y)dxDdxf(x,y)dy011x5空间闭区域由曲面r 1所围成，则三重积分2dv=CA2B2C84D336函数z z(x,y)由方程x2 y2 z2 4z 0所确定，则z=Dxx2 zAy2 zBxCz2 z2 yDxn7幂级数n的收敛域是 Cn1n3A3,3B0,3C3,3D3,3x8已知微分方程y y 2y e的一个特解为y*xex，则它的通解是 BAC1x C2x2 xexBC1exC2e2x xexCC1x C2x2exDC1exC2ex xex二、填空题共 15 分每题 3 分1曲面x2 y2 z在点(1,0,1)处的切平面的方程是2x z
30、 1 02 2假设limun 0，则级数nun的敛散性是 发散n13级数cosn的敛散性是 绝对收敛 2n1n4二元函数f(x,y)(x2 y2)sin1，当x,y0,0时的极限等于0。2x5 5全微分方程ydx xdy 0的通解为_xy c_三、解答题共 54 分每题 6 分1 1用对称式方程及参数方程表示直线x y z i 02x y 3z 4 0 x y z 1 02x y 3z 4 0解解：因所求直线与两平面的法向量都垂直，于是该直线的方向向量为ijks 111 4,1,3(4 分)213在直线上找出一点，例如，取x01代入题设方程组得直线上一点1,0,25 分故题设直线的对称式方程为
31、x 1y 0z 2(6 分)413参数方程为x 1 4ty t7 分z 23t4 4计算三重积分x2 y2dv，其中是平面z 2及曲面z x2 y2所围成的区域提示：利用柱面坐标计算解解：:r z 2,0 r 2,0 2(3 分)x2 y2dvdrdrrdz6 分00r222L87 7 分分35 5计算曲线积分 ydx 2xdy，其中L是在圆周y 段2x x2上由A(2,0)到点O(0,0)的有向弧解法解法 1 1：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段AO围成的闭区域记为D，根据格林公式2 分L ydx2xdy 3dxdy ydx2xdy(4 分)DOA 3解法解法 2 2：直接求
32、曲线积分20 2(6 分)6 6求外表积为a2而体积为最大的长方体的体积。解法解法 1 1：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则题设问题归结为约束条件(x,y,z)2xy 2yz 2xz a2 0下，求函数V xyzx,y,z均大于 0的最大值。2 分作拉格朗日函数L(x,y,z,)xyz(2xy 2yz 2xz a2)4 分由方程组LX yz 2(y z)0Ly xz 2(x z)05 分Lz xy 2(y x)0进而解得唯一可能的极值点x y z 6a6由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为V 63a6 分36解法解法 2 2：从条件中解出 z 代入目标函数中
33、，再用无条件极值的方法求解。7 7计算x y zds，其中为平面y z 4被柱面x2 y216所截的部分。解解：积分曲面的方程为z 4 y，它在xoy面上的投影为闭区域Dxyx,yx2 y2162 分22 zy2又1 zx所以x y zds=x y 4 yDxy2dxdy4 分=24 xdxdy=2d4 rcosrdr5 分Dxy2400 64 224dxdy 4 16Dxy2 6426 分8将函数f(x)11 x2,x(1,1)展开成 x 的幂级数。解法解法 1 1：因为11 x11 x22 分而又11 x1 x x2 x3.xn.x(1,1)4 分逐项求导，得121 x21 2x 3x.n
34、xn1.x(1,1)6 分解法解法 2 2：直接求展开式的系数，然后根据余项是否趋近于零确定收敛域。9求微分方程y1y2的通解。解解：令y u则原方程变为u1 u22 分别离变量后积分得arctanu x c14 分则，y tanx c15 分故原方程的通解为y lncosx c1 c26 分四、证明题7 分证 明：假 设 函 数f(x,y)在Ra1 x b1,a2 y b2上 连 续，Ra1 x,a2 y，则2f(x,y)dxdy f(,)R证：已知f(x,y)在R连续，,R，设F(,)f(x,y)dxdy adx1af(x,y)dy23 分R因为(x)af(x,y)dy在a1,连续，所以，
35、有2Faf(,y)dy5 分2又因为f(,y)在a2,b2上连续，所以有,R，令2F f(,)2即0808 高数高数 B BRf(x,y)dxdy f(,)7 分一、选择题共 24 分每题 3 分1 1设两平面的法向量分别是n1a1,b1,c1，n1a2,b2,c2，则这两平面垂直的充要条件是CAa1c11a2b1b2c1c21Ba1ab2b2c2Caa1b1c1a2b1b2c1c2 0Da112b2c22 2Yoz平面上曲线z y2绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为(BAz y21Bz y2 x2Cz y2 x21Dz y2 x3二元函数z y x的定义域为AA(x,y)|y x,x 0B(
36、x,y)|x1 0C(x,y)|y2 xD(x,y)|x 0,y 04交换积分顺序：110dxxf(x,y)dy=BA11)dxB1y0dyyf(x,y0dy0f(x,y)dxC1y0dy1f(x,y)dxD10dxx1f(x,y)dy5空间闭区域由曲面r 1所围成，则三重积分3dv=D A3B2C43D46函数z z(x,y)由方程x2 y2 z2 4z 0所确定，则zy=AAy2 zBx2 y)Cz2 zDx2 zxn7幂级数n的收敛域是Dn1n5AC5,5B0,5 5,5D5,5x8已知微分方程y y 2y e的一个特解为y*xex，则它的通解是AAC1exC2e2x xexBC1x C
37、2x2 xexCC1x C2x2exDC1exC2ex xex二、填空题共 15 分每题 3 分1曲面x2 y2 z在点(0,1,1)处的切平面的方程是2Y z 1 02 2假设级数un的敛散性，则数列u当n 时的极限是n1n 0sin2n3级数2的敛散性是 收敛 nn14二元函数f(x,y)(x2 y2)sin1，当x,y,时的极限等于1。22x y5 5微分方程ycxyy)_1的通解为_x2x三、解答题共 54 分每题 6 分1 1设平面过点(1,2,1)且垂直于两平面1：x 2y z 02：x y z 0求此平面的方程解解：设所求平面的法向量为n，则n 1 21 1,2,3(4 分)11
38、1所求平面方程为x 2y 3z 7(6 分)x 2y 3z 8ijk2求两个底圆半径都等于 2 的直交圆柱面所围成的立体的体积。解解：设两个圆柱面的方程分别为x2 y2 4x2 z2 42 分由于对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积V1，然后再乘以 8 即可。2V 4 x dxdy4 分1D204x22164 x dy dx031286 分3从而所求立体的体积为V 8V1223 3设z uev，而u x y，v xy，求dz解解：zzuz vev2x uev y exy(2x x2y y3)xu xv x(2 分)zz uz vev2y uev x exy(2y x3 xy2)(4 分)yu
39、 yv ydz exy(2x x2y y3)dx exy(2y x3 xy2)dy(6 分)4 4计算三重积分x2 y2dv，其中是曲面z x2 y2及平面z 1所围成的区域提示：利用柱面坐标计算 解解：:r z 1,0 r 1,0 2(2 分)x y dv22drdrrdz5 分00r21166 6 分分5 5求内接于半径为a2的球而体积为最大的长方体的体积。解解：设长方体的长、宽、高分别为2x,2y,2z，则题设问题归结为约束条件(x,y,z)x2 y2 z2a2 0下，求函数V 8xyzx,y,z均大于 0的最大值。2 分作拉格朗日函数L(x,y,z,)8xyz(x2 y2 z2a2)4
40、 分由方程组LX 8yz 2x 0Ly 8xz 2y 05 分Lz 8xy 2z 0进而解得唯一可能的极值点，x y z 33a93a由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值3，点。故该问题的最大体积为V 6 6计算曲线积分 ydx 2xdy，其中L是由点A(a,0)到点O(0,0)的上半圆周x2 y2 a2的有向弧L段B(a,0)解解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段AO围成的闭区域记为D，根据格林公式2 分L ydx2xdy 3dxdy ydx2xdy(4 分)DOA 38 8设2a20 32a(6 分)2为平面y z 3被柱面x2 y2 9所截的部分，计算曲面积分x y zds。解解：积分曲面的方程为z 3 y，它在xoy面上的投影为闭区域Dxyx,yx2 y2 92 分22 zy2又1 zx所以x y zds=x y 3 yDxy2dxdy4 分=23 xdxdy=2d3 rcosrdr5 分Dxy2300=27 26 分9求微分方程y1 y的通解。u 1 u2 分解法解法 1 1：令y u则原方程变为别离变量后积分得ln1u xc4 分xy ce 1故原方程的通解为则，1y c1ex x c26 分解法解法 2 2：可通过观察或求解二阶常系数非齐次线性微分方程的方法先得原方程的一个特解y*x。之后再根据相应的齐次方程的通解而构造出原问题的通解。