南通市高三调研数学试卷及答案.pdf

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1、江苏省南通市 2009 届高三上学期期末调研考试 数学试卷 A 必做题部分 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1 已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，集合 2|6 5 0 M x x x Z，则集合UMu=2 已知函数()3 cos 2 sin 2 f x x x，则()f x的最小正周期是 3 经过点（2，3），且与直线2 5 0 x y 平行的直线方程为 4 若复数 z 满足3,iz ii 则|z 5 程序如下：t 1 i 2 While i 4 t t i i i 1 End While Print t 以上程序输出的结果是 6 若1 2 3 2008

2、 2009,x x x x x的方差为 3，则1 2 2008 20093(2),3(2),3(2),3(2)x x x x 的方差 为 7 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为2 3，则四面体1 1A B CD 的外接球的体积为 8 以椭圆2 22 21(0)x ya ba b 的左焦点(,0)F c 为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 9 设 a 0，集合 A=（x，y）|3,4 0,2 0 xx yx y a，B=（x，y）|2 2 2(1)(1)x y a 若点 P（x，y）A 是点 P（x，y）B 的必要不充分条件，则 a 的取值范

3、围是 10 在闭区间 1，1 上任取两个实数，则它们的和不大于 1 的概率是 11数列 na中，16 a，且111 nn naa a nn（*n N，2 n），则这个数列的通项公式 na 12根据下面一组等式：可得 1 3 5 2 1 ns s s s 13 在 ABC 中，6A，D是 BC 边上任意一点（D与 B、C不重合），且 2 2|AB AD BD DC，则B 等于 14设函数 3 2()2 ln f x x ex mx x，记()()f xg xx，若函数()g x至少存在一个零点，则实数 m的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算

4、步骤 15（本小题 14 分）如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，点 D在边 BC上，AD C1D（1）求证：AD 平面 BC C1 B1；（2）设 E是 B1C1上的一点，当11BEEC的值为多少时，A1E 平面 ADC1？请给出证明 16（本小题 14 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD=8，CD=6，AB=13，ADC=90，且50 AB AC（1）求 sin BAD 的值；（2）设 ABD 的面积为 S ABD，BCD 的面积为 S BCD，求ABDBCDSS的值 17（本小题 15 分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记

5、录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料：日 期 12 月 1 日 12 月 2日 12 月 3日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x（C）10 11 13 12 8 发芽数 y（颗）23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验（1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率；（2）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出

6、y 关于 x 的线性回归方程y bx a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?18（本小题 15 分）B1 A1 A B C C1 D A C D B 抛物线 24 y x 的焦点为 F，1 1 2 2 1 2 1 2(,),(,)(,0,0)A x y B x y x x y y 在抛物线上，且存在实数，使AF BF 0，25|4AB（1）求直线 AB的方程；（2）求 AOB 的外接圆的方程 19（本小题 16 分）已 知 函 数1()l ns i ng x xx 在 1，）上

7、 为 增 函 数，且（0，），1()l nmf x m x xx，m R（1）求 的值；（2）若()()f x g x 在 1，）上为单调函数，求 m的取值范围；（3）设2()eh xx，若在 1，e 上至少存在一个0 x，使得0 0 0()()()f x g x h x 成立，求m的取值范围 20（本小题 16 分）已知等差数列 na的首项为 a，公差为 b，等比数列 nb的首项为 b，公比为 a，其中 a，b 都是大于 1 的正整数，且1 1 2 3,a b b a（1）求 a 的值；（2）若对于任意的n N，总存在m N，使得3m na b 成立，求 b 的值；（3）令1 n n nC

8、a b，问数列 nC中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由 B附加题部分 21（选做题）从 A，B，C，D 四个中选做 2 个，每题 10 分，共 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4 1（几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是 AB 延长线上一点，CD 切半圆于点 D，CD=2，DE AB，垂足为 E，且 E 是 OB 的中点，求 BC 的长 B选修 4 2（矩阵与变换）将曲线1 xy 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45，求所得曲线的方程 C选修 4 4（坐标系与参数方程）求直线1 2,1 2x ty t（t 为

9、参数）被圆3cos,3sinxy（为参数）截得的弦长 D 选修 4 5（不等式选讲）D A B C E O 已知 x，y 均为正数，且 x y，求证：2 212 2 32x yx xy y 22（必做题）已知等式 2 5 2 9 100 1 2 9 10(2 2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x，其中 ai（i=0，1，2，10）为实常数求：（1）101nna的值；（2）101nnna的值 23（必做题）先阅读：如图，设梯形 ABCD 的上、下底边的长分别是 a，b（a b），高为h，求梯形的面积 江苏省南通市 2009 届高三上学期期末调研考试（数学）一、填

10、空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1课本中的习题改编，考查集合的运算一元二次不等式是 C 级要求 2课本中的习题改编考查知识点是三角公式，数学思想方法是化归的思想关注2 2sin cos sin()a x b x a b x 3课本中的练习题改编的考查知识点是直线方程和两直线的位置关系 4考查复数的运算注意填空题的结果 5考查算法的循环语句关注语句何时循环结束和输出的 t 值是多少?6课本中的练习题改编的考查统计中的方差关注 2 2 2,().i i i ix ax b x ax b S a S 7课本中的习题改编考查正方体、四面体与球的组合体的关系，关注正方体的体对角

11、线和正方体外接球的直径相等 8考查椭圆和圆的方程及其性质关注椭圆的离心率的范围(0,1)e 解：22 2 21 222 2ac c c a e ec，所以离心率e的取值范围是2(,1)2 9考查线性规划、充分必要条件和圆的有关知识 10考查概率中的几何概型，数形结合的思想方法 11考查递推数列和等差数列的通项公式，数学能力是识别、归纳、构造 解：方法一 由111 nn naa a nn 1 11 1(1)11nn n na na a n an n n，构造数列 nb，1nnabn，11n nb b，即数列 nb是等差数列，所以3 1 2nb n n，故(2)(1)na n n D A C B

12、A B C D A B C D 方法二 归纳猜想，求得 1 2 36 2 3,12 3 4,20 4 5,a a a 猜想(1)(2)na n n 最好通过求出4a验证猜想结果正确与否 该题是由数列 na中，12 a，且1122 1 nn naa a nn（*n N，2 n），则此数列的通项公式na 改编的 12本题是课本中的习题考查推理与证明中归纳猜想，数学能力是观察、归纳意识 方法一：1 1 3 1 3 51,16,81,S S S S S S 猜想 41 3 2 1 nS S S n 方法二：先求出 22 1(2 1)(2 2 1)nS n n n，然后求和（对文科学生要求较高，不必介绍

13、）13 本题是北师大出版社教材例题改编的考查向量的运算和三角形中的有关公式，平面向量数量积是 C 级要求 解：由 2 2|()()()AB AD BD DC AB AD AB AD BD DC AB AD DB BD DC()()0 BD AB AD DC BD AB AC，所以 ABC 是A 为顶角的等腰三角形 由6A，故512B 另本题也可用建立恰当的坐标系，用解析法求得 14考查对数函数、二次函数与三次函数方程的根，数学思想方法为数形结合，能力是常见函数的导数运用 解：2ln()2 0 xg x x ex mx，即 2ln2xx ex mx 有两解，直接解不可能，只有通过画出两个图象的示

14、意图求解要画图，可通过求出它们的极值，确定单调区间 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15课本习题改编题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，基本数学能力是空间想象能力、化归能力和探究能力要从第一小题中挖掘出D是边BC的中点，第二小题要求学生注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的 16主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，数学基本能力是运算求解和数据处理能力涉及三角形中三角恒等变换时，从化角或化边的角度入手，合理运用两角和与差的三角

15、公式求解 另解：对于第二问，在ABC 中，求出13 BC，在ABD 中，求出cos BAD，进一步求出BD 的长，在BCD 中，知道三边求出BCDS 另：以点D为坐标原点，直线AD为x轴，直线DC为y轴建立坐标系，设(,)B x y，求出AB的斜率，得到tan BAD，进一步求出sin BAD 17本题主要考查古典概率的计算及统计中的线性回归方程，数学能力是审题、数据处理的能力、阅读的能力 要求学生列举全面，书写规范 尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答讲评时着重在引导学生认真审题 18本题主要考查向量、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生灵活运用圆的标

16、准方程或一般方程求圆的方程，理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，也可求出交点坐 标 关 注 弦 长 公 式：21 21|l k x x，抛 物 线 22(0)y p x p 的 焦 点 弦 长 为1 2l x x p 19 此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数与与单调性、不等式等知识的综合 数学思想方法是分类讨论、数形结合等数学基本能力是推理论证和运算求解能力，同时考查学生的探究能力和分析问题与解决问题的能力 评讲时注意着重导数在研究函数问题中的应用本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以函数的单调性为背景，着重是利用导数转化为研究二次函数的恒成立问题第三问是函数存在性问题，通过

17、构造辅助函数，利用导数转化为研究分式函数、对数函数等函数的恒成立问题利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点 第二问另解：分类讨论：()()2lnmf x g x mx xx，当0 m 时，由函数1xx在 1，）上是单调递增，所以mmxx在 1，）上是单调递减，即()()2lnmf x g x mx xx 在 1，）上是单调递减，所以0 m 符合条件 当0 m 时，()()2ln f x g x x 在 1，）上是单调递减，所以所以0 m 符合条件 当0 m 时，222()()mx x mf x g xx，要()()f x g x 单调，则 22 0 mx x m 在 1，）恒成 立 因为

18、函数 22 mx x m 的开口向上，对称轴10 xm，所以要 22 0 mx x m 在 1，）恒成立，则必须 24 4 0 m，即 1 m 综上，得 m的取值范围(,0 1,)第三问另解：构造()()()()F x f x g x h x，先解()0 F x 在 1，e 恒成立，求出m的取值范围 2()2lnm eF x mx xx x，当0 m 时，1,x e，0mmxx，22ln 0exx，所以()0 F x 在1,x e 成立，所以0 m 符合 当0 m 时，22 2 22 2 2 2()m e mx x m eF x mx x x x，因为1,x e，所以2 2 0 e x，20

19、mx m，所以()0 F x 在 1，e 上恒成立，故()F x在 1，e 上单调递增，max()()4mF x F e mee，由4 0mmee，解得2401eme。所以()0 F x 在 1，e 恒成立的m的取值范围是24(,1ee，故m的取值范围是24(,)1ee 20 主要考查数列的概念、等差数列、等比数列的通项求法就、求解不等式等知识与方法，数学思想方法是分类讨论数学基本能力是推理论证和运算求解能力，同时考查学生的探究能力和分析问题与解决问题的能力，讲评时着要引导学生认真审题，怎样将复杂的问题化成简单的问题 第三问解：由 2 21 2 2 1 1 3 2()()()()n n n n

20、 n n n n nC C C a b a b a b 2 22 2 1 1 1 3 1 2 3 22n n n n n n n n n n n na a b b a a a b a b b b 由 21 2 n n nb b b，所以 22 1 3 1 3 2(4 4)n n n n n n na a a b a a a 2 1 12 2(2)2(2)2n n nb b n b b b n 以下同解答相同 三、附加题 21选做题 A（几何证明选讲）考查平面几何证明中的圆的有关知识数学基本能力是识图与运算求解能力 B（矩阵与变换）考查常见的几种变换公式 C（参数方程与极坐标）考查直线与圆的参数

21、方程及其直线与圆的位置关系 D（不等式证明选讲）考查基本不等式的运用 22考查二项式定理的运用讲评时要引导学生灵活赋值关注 2008 年江苏高考试卷的 第 23 题 23考查梯形的面积和棱台的体积公式的推导及其定积分，数学基本能力是推理论证、运算求解、阅读和类比能力本题的知识与能力要求均较高 南通市 2009 届高三期末调研测试 数学参考答案与评分意见 A 必做题部分 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1 已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，集合 2|6 5 0 M x x x Z，则集合UMu=2 已知函数()3 cos 2 sin 2 f x x x，则

22、()f x的最小正周期是 3 经过点（2，3），且与直线2 5 0 x y 平行的直线方程为 4 若复数 z 满足3,iz ii 则|z 5 程序如下：t 1 i 2 While i 4 t t i i i 1 End While Print t 以上程序输出的结果是 6 若1 2 3 2008 2009,x x x x x的方差为 3，则1 2 2008 20093(2),3(2),3(2),3(2)x x x x 的方差 为 7 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为2 3，则四面体1 1A B CD 的外接球的体积为 8 以椭圆2 22 21(0)x ya ba b 的左焦点(,0)

23、F c 为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 9 设 a 0，集合 A=（x，y）|3,4 0,2 0 xx yx y a，B=（x，y）|2 2 2(1)(1)x y a 若点 P（x，y）A 是点 P（x，y）B 的必要不充分条件，则 a 的取值范围是 10 在闭区间 1，1 上任取两个实数，则它们的和不大于 1 的概率是 11数列 na中，16 a，且 111 nn naa a nn（*n N，2 n），则这个数列的通项公式 na 12根据下面一组等式：可得 1 3 5 2 1 ns s s s 13 在 ABC 中，6A，D是 BC 边上任意

24、一点（D与 B、C不重合），且 2 2|AB AD BD DC，则B 等于 14设函数 3 2()2 ln f x x ex mx x，记()()f xg xx，若函数()g x至少存在一个零点，则实数 m的取值范围是 答案：1 6，7 2 3 2 1 0 x y 4 17 5 24 6 27 7 36 8 2(,1)2 9 0 a2 10 78 11(1)(2)n n 12 4n 13512 14 21(,ee 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题 14 分）如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，点 D在边 BC上，AD C1D

25、（1）求证：AD 平面 BC C1 B1；（2）设 E 是 B1C1上的一点，当11B EEC的值为多少时，A1E 平面 ADC1？请给出证明 解:（1）在正三棱柱中，C C1平面 ABC，AD平面 ABC，AD C C1 2 分 又 AD C1D，C C1交 C1D于 C1，且 C C1和 C1D都在面 BC C1 B1内，AD 面 BC C1 B1 5 分（2）由（1），得 AD BC 在正三角形 ABC 中，D是 BC的中点 7 分 当111B EEC，即 E为 B1C1的中点时，A1E 平面 ADC1 8 分 事实上，正三棱柱 ABC A1B1C1中，四边形 BC C1 B1是矩形，且

26、 D、E 分别是 BC、B1C1的 中 点，所 以 B1B DE，B1B=DE 10 分 又 B1B AA1，且 B1B=AA1，DE AA1，且 DE=AA1 12 分 所以四边形 ADE A1为平行四边形，所以 E A1 AD 而 E A1面 AD C1内，故 A1E 平面 AD C1 B1 A1 A B C C1 D 14 分 16（本小题 14 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD=8，CD=6，AB=13，ADC=90，且 50 AB AC（1）求 sin BAD 的值；（2）设 ABD 的面积为 S ABD，BCD 的面积为 S BCD，求ABDBCDSS的值 解（1）在 Rt

27、ADC 中，AD=8，CD=6，则 AC=10，4 3cos,sin5 5CAD CAD 2 分 又50 AB AC，AB=13，5cos13|AB ACBACAB AC 4 分 0 180 BAC，12sin13BAC 5 分 63sin sin()65BAD BAC CAD 8 分（2）1 252sin2 5BADS AB AD BAD，1sin 602BACS AB AC BAC，24ACDS，11 分 则1685BCD ABC ACD BADS S S S，32ABDBCDSS14 分 17（本小题 15 分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究

28、，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料：日 期 12 月 1 日 12 月 2日 12 月 3日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x（C）10 11 13 12 8 发芽数 y（颗）23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验（1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率；（2）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的

29、数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程y bx a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，A C D B 则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件 A，因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有 4种，2 分 所 以 4 3()110 5P A 4 分 答：略 5 分（2）由 数 据，求 得1 2,2 7 x y 7 分 由 公 式，求 得52b，3 a y bx 9 分 所 以 y 关 于 x 的 线 性 回 归 方

30、 程 为5 32y x 10分（3）当 x=10时，5 10 3 222y，|22 23|2；12 分 同样，当 x=8 时，5 8 3 172y，|17 16|2 14 分 所 以，该 研 究 所 得 到 的 线 性 回 归 方 程 是 可 靠的 15 分 18（本小题 15 分）抛物线 24 y x 的焦点为 F，1 1 2 2 1 2 1 2(,),(,)(,0,0)A x y B x y x x y y 在抛物线上，且存在实数，使AF BF 0，25|4AB（1）求直线 AB的方程；（2）求 AOB 的外接圆的方程 解：（1）抛物线 24 y x 的准线方程为1 x AF BF 0，A

31、，B，F 三点共线 由抛物线的定义，得|AB|=1 22 x x 1 分 设直线 AB：(1)y k x，而1 21 2 1 21 2,0,0,0.y yk x x y y kx x 由2(1),4,y k xy x 得 2 2 2 22(2)0 k x k x k 3 分 21 221 22(2),1,kx xkx x|AB|=1 22 x x=222(2)2524kk 2169k 6分 从而43k，故直线 AB的方程为4(1)3y x，即4 3 4 0 x y 8 分（2）由24 3 4 0,4,x yy x 求得 A（4，4），B（14，1）10 分 设 AOB 的外接圆方程为 2 20

32、 x y Dx Ey F，则 0,16 16 4 4 0,1 11()0.16 4FD E FD E F 解 得29,43,40.DEF 14 分 故 AOB 的外接圆的方程为 2 229 304 4x y x y 15 分 19（本小题 16 分）已 知 函 数1()l ns i ng x xx 在 1，）上 为 增 函 数，且（0，），1()l nmf x m x xx，m R（1）求 的值；（2）若()()f x g x 在 1，）上为单调函数，求 m的取值范围；（3）设2()eh xx，若在 1，e 上至少存在一个0 x，使得0 0 0()()()f x g x h x 成立，求m的取

33、值范围 解：（1）由题意，21 1()sing xx x 0 在 1,上恒成立，即2sin 10sinxx 1 分（0，），sin 0 故sin 1 0 x 在 1,上恒成立，2 分 只须 sin 1 1 0，即sin 1，只有sin 1 结合（0，），得2 4 分（2）由（1），得()()f x g x 2lnmmx xx 222()()mx x mf x g xx 5分()()f x g x 在其定义域内为单调函数，22 0 mx x m 或者 22 0 mx x m 在 1，）恒成立 6 分 22 0 mx x m 等价于 2(1)2 m x x，即221xmx，而 22 211xxxx

34、，（21xx）max=1，1 m 8 分 22 0 mx x m 等价于 2(1)2 m x x，即221xmx 在 1，）恒成立，而221xx（0，1，0 m 综上，m 的取值范围是,0 1,10 分（3）构造()()()()F x f x g x h x，2()2lnm eF x mx xx x 当0 m 时，1,x e，0mmxx，22ln 0exx，所以在 1，e 上不存在一个0 x，使 得0 0 0()()()f x g x h x 成立 12 分 当0 m 时，22 2 22 2 2 2()m e mx x m eF x mx x x x 14分 因为1,x e，所以2 2 0 e

35、 x，20 mx m，所以()0 F x 在1,x e 恒成立 故()F x在1,e上单调递增，max()()4mF x F e mee，只要4 0mmee，解得241eme 故m的 取 值 范 围 是24(,)1ee 16 分 20（本小题 16 分）已知等差数列 na的首项为 a，公差为 b，等比数列 nb的首项为 b，公比为 a，其中 a，b 都是大于 1 的正整数，且 1 1 2 3,a b b a（1）求 a 的值；（2）若对于任意的 n N，总存在 m N，使得 3m na b 成立，求 b 的值；（3）令1 n n nC a b，问数列 nC中是否存在连续三项成等比数列？若存在，

36、求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由 解：（1）由已知，得 1(1),nn na a n b b b a 由1 1 2 3,a b b a，得,2 a b ab a b 因 a，b 都为大于 1 的正整数，故 a 2 又b a，故 b 3 2 分 再由2 ab a b，得(2)a b a 由b a，故(2)a b b，即(3)0 a b 由 b 3，故3 0 a，解 得3 a 4 分 于是2 3 a，根据a N，可得2 a 6 分（2）由2 a，对于任意的n N，均存在m N，使得 1(1)5 2nb m b，则 1(2 1)5nb m 又3 b，由数的整除性，得 b 是 5 的

37、约数 故 12 1 1nm，b=5 所 以 b=5 时，存 在 正 自 然 数 12nm满 足 题意 9 分（3）设数列 nC中，1 2,n n nC C C 成等比数列，由 12 2nnC nb b，21 2()n n nC C C，得 2 1 1(2 2)(2 2)(2 2 2)n n nnb b b nb b nb b b 化简，得 12(2)2n nb n b（）11 分 当1 n 时，1 b 时，等式（）成立，而3 b，不成立 12 分 当2 n 时，4 b 时，等式（）成立 13 分 当3 n时，1 12(2)2(2)2 4n n nb n b n b b，这与 b 3 矛盾 这

38、时 等 式（）不 成立 14 分 综上所述，当4 b 时，不存在连续三项成等比数列；当4 b 时，数列 nC中的第 二、三、四 项 成 等 比 数 列，这 三 项 依 次 是 18，30，50 16 分 B附加题部分 21（选做题）从 A，B，C，D四个中选做 2 个，每题 10 分，共 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修 4 1（几何证明选讲）如图，AB是半圆的直径，C是 AB延长线上一点，CD 切半圆于点 D，CD=2，DE AB，垂足为 E，且 E是 OB的中点，求 BC的长 解：连接 OD，则 OD DC 在 Rt OED 中，OE=12OB=12OD，ODE=

39、30 3分 在 Rt ODC 中，DCO=30，5 分 由 DC=2，则 OB=OD=DC tan30=2 33，2 4 3cos30 332CDOC 9分 所 以 BC=OC OB=2 33 10 分 B选修 4 2（矩阵与变换）将曲线1 xy 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45，求所得曲线的方程 解：由题意，得旋转变换矩阵2 2cos 45 sin 452 2 sin 45 cos 452 22 2 M，3 分 设1 xy 上的任意点(,)P x y 在变换矩阵 M作用下为(,)P x y，2 22 22 22 2x xy y，2 2,2 22 2.2 2x x yy x y 7 分 D A

40、 B C E O 得 2 212 2y x 将 曲 线 1 xy 绕 坐 标 原 点 按 逆 时 针 方 向 旋 转 45，所 得 曲 线 的 方 程 为2 212 2y x 10 分 C选修 4 4（坐标系与参数方程）求直线1 2,1 2x ty t（t 为参数）被圆3cos,3sinxy（为参数）截得的弦长 解：把 直 线 方 程1 2,1 2x ty t 化 为 普 通 方 程 为2 x y 3 分 将 圆3 c3 s i nxy化 为 普 通 方 程 为2 29 x y 6 分 圆心 O到直线的距离222d，弦长 2 22 2 9 2 2 7 L R d 所 以 直 线1 21 2x

41、ty t 被 圆3 c o3 s i nxy截 得 的 弦 长 为2 7 10 分 D 选修 4 5（不等式选讲）已知 x，y 均为正数，且 x y，求证：2 212 2 32x yx xy y 解：因为 x 0，y 0，x y 0，2 2 21 12 2 2()2()x y x yx xy y x y 3 分=21()()()x y x yx y 6 分 23213()3()x yx y，9 分 所 以2 212 2 32x yx xy y 10 分 22（必做题）已知等式 2 5 2 9 100 1 2 9 10(2 2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x，

42、其中 ai（i=0，1，2，10）为实常数求：（1）101nna的值；（2）101nnna的值 解：（1）在 2 5 2 9 100 1 2 9 10(2 2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x 中，令1 x，得01 a 2 分 令0 x，得 50 1 2 9 102 32 a a a a a 4 分 所 以101 2 10131nna a a a 5 分（2）等式 2 5 2 9 100 1 2 9 10(2 2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x 两边对 x 求导，得 2 4 8 91 2 9 105(2 2)(2 2)2(1

43、)9(1)10(1)x x x a a x a x a x 7分 在 2 4 8 91 2 9 105(2 2)(2 2)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x 中，令 x=0，整理，得1051 2 9 1012 9 10 5 2 160nnna a a a a 10分 23（必做题）先阅读：如图，设梯形 ABCD 的上、下底边的长分别是 a，b（a b），高为h，求梯形的面积 方法一：延长 DA、CB交于点 O，过点 O作 CD的垂线分别交 AB、CD于 E，F，则E F h 设,x aOE x OAB ODCx h b 即ahxb a 1 1 1 1 1()()(

44、)2 2 2 2 2ODC OAB ABCDS S S b x h ax b a x bh a b h 梯形 方法二：作 AB的平行线 MN 分别交 AD、BC于 M、N，过点 A 作 BC的平行线 AQ分别交MN、DC于 P、Q，则AMP ADQ 设梯形 AMNB 的高为,x MN y x y a b ay a xh b a h，2 2001()d()()2 2 2hhABCDb a b a b aS a x x ax x ah h a b hh h h 梯形 再解下面的问题：D A C B A B C D A B C D 已知四棱台 ABCD A B C D 的上、下底面的面积分别是1 2

45、 1 2,()S S S S，棱台的高为 h，类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积=13底面积 高）解法一：将四棱台 ABCD A B C D 补为四棱锥 V ABCD，设点 V到面 A B C D 的距离为 h由 1 2 122(),SS h hS h h h hS 即 12 1.ShhS S 所以2 1 2 1 21 1 1 1()()3 3 3 3V S h h S h S S h S h 台 1 2 1 2 1 1 2 21 1 1()()3 3 3S S S h S h S S S S h，所 以 四 棱 台 ABCD A B C D 的 体 积 为1 1 2 21()3S S S S h 5 分 解法二：作一与上下底面平行的平面截得四边形的面积为 S，它与上底面的距离为 x，12 1S SxhS S，2 11S SS x Sh 22 1 1 2 1 212()2()S S S S SS x x Sh h 22 1 1 2 1 2120()2()()dhS S S S SV x x S xh h，22 1 1 2 1 3 212()()1()3S S S S SF x x x S xh h，1 1 2 21()3h S S S S 10 分