江苏省南通市高三高考全真模拟数学试卷(一)有答案.pdf

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1、江苏省南通市江苏省南通市 20172017 届高三高考全真模拟数学试卷（一）届高三高考全真模拟数学试卷（一）一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分1已知集合A0,1,2，则的子集个数为_2已知复数z1 2 ai,z2 2i， （其中a 0，i为虚数单位） 若|z1|z2|，则a的值为_3执行如图所示的流程图，则输出的结果S _4若直线y xb（e是自然对数的底数）是曲线y lnx的一条切线，则实数b的值是_5某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为_6已知数据x1,x2,xn的方差为 3，若数据ax1b，ax2

2、b，axnb(a,bR R)的方差为 12，则a的值为_7 我们知道， 以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的面积之比为1:4， 类比该命题得到：以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为_1ex2y28在平面直角坐标系中，如果双曲线221(a 0,b 0)的焦距为2c(c 0)，那么当a,b任意变化时，abab的最大值是_c2x1,x 09已知函数f (x) ，若方程f (x) loga(x 2)(0 a 1)有且仅有两个不同的实数根，则实f (x1),x 0数a的取值范围为_10已知函数f (x) 2xcosx，数列an是公差为的等差数列， 若f (a1)

3、f (a2) f (a3) f (a4) f (a5)8=5则 f (a3)2a1a5_11在平面直角坐标系中，若直线l与圆C1:x2 y21和圆C2:(x 5 2)2 (y5 2)2 49都相切，且两个- 1 - 1 - / 2525圆的圆心均在直线l的下方，则直线的斜率为_44m n12已知实数n6，若关于x的不等式2xm(2 x)n8 0对任意的x4,2都成立，则的最小m3n值为_13已知角,满足tan72，若sin() ，则sin()的值为_tan13314将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星 如图所示的正六角星的中心

4、为点O， 其中x,y分别为点O到两个顶点的向量 若将点O到正六角星 12 个顶点的向量都写成axby的形式，则ab的最大值为_二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）15 在平面直角坐标系中， 已知点A(0,0)，若A,B,C三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC，B(4,3)，且直线BC与x轴交于点（1）求cosCAD的值；（2）求点C的坐标16如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，平面A1ABB1底面ABCD，且ABC 2（1）求证：BC平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1平面AB1C117已知城A和城相距 20 km，现计划以

5、AB为直径的半圆上选择一点C（不与点A，B重合）建造垃圾处理厂垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和记点到C城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比例关系，比例系数为 4； 对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比例关系， 比例系数为k 当垃圾处理厂建在AB的中点时，对城和城的总影响度为0065（1）将y表示x成的函数- 2 - 2 - / 2525（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处

6、理厂对城A和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，请说明理由18已知椭圆C:mx23my21(m 0)的长轴长为2 6，O为坐标原点（1）求椭圆C的方程和离心率（2） 设点A(3,0)， 动点B在y轴上， 动点P在椭圆C上， 且点P在y轴的右侧 若BA BP， 求四边形OPAB面积的最小值19已知函数f (x) ax3bx2cxb a(a 0)（1）设c 0若a b，曲线y f (x)在x x0处的切线过点(1,0)，求x0的值；若a b，求f (x)在区间0,1上的最大值（2）设f (x)在x x1，x x2两处取得极值，求证：f (x1) x1，f (x2) x2不同时

7、成立20若数列an和bn的项数均为m，则将数列an和bn的距离定义为|a1b1|i1m（1）求数列 1，3，5，6 和数列 2，3，10，7 的距离（2）记A为满足递推关系an11an的所有数列an的集合，数列bn和cn为A中的两个元素，且项1an数均为m若b1 2，c13，数列bn和cn的距离小于 2 016，求m的最大值（3）记S是所有 7 项数列an（其中1 n 7，an 0或 1）的集合，T S，且T中的任何两个元素的距离大于或等于 3求证：T中的元素个数小于或等于16（附加题）（附加题）21 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做

8、，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A如图，AB,BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且AC 2AD，求证：BC 2ODB在平面直角坐标系中，已知点A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，先将正方形ABCD绕原点A逆时针旋转90，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M- 3 - 3 - / 2525x cos1xOyC在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（为参数） 现以O为极点，x轴y sin的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程D已知a,b为互不相等的正实数，求证：4(a3b3)

9、(a b)3【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22从集合M 1,2,3,4,5,6,7,8,9中，抽取三个不同的元素构成子集a1,a2,a3（1）求对任意的i j满足|ai aj| 2的概率；（2）若a1,a2,a5成等差数列，设其公差为(0)，求随机变量的分布列与数学期望S2n,n 1123已知数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，且f (n) S S,n 2nn12n（1）计算f (1),f (2), f (3)的值；（2）比较f (n)与 1 的大小，并用数学归纳法证明你的结论- 4

10、 - 4 - / 2525江苏省南通市江苏省南通市 20172017 届高三高考全真模拟数学试卷（一）届高三高考全真模拟数学试卷（一）答答案案一、填空题1821124035146271:27821 13 213102161179 , )803113514512二、解答题15解： （1）设BAD ，CAD ，43，sin，551343 3故cos cos(60) cos，sin221043 3即cosCAD 10（2）设点C(x,y)由三角函数的定义得cos由（1）知sinsin(60) 因为AC AB 5，314 3 3，cossin221043 334 3，y 5sin，2243 3 34

11、3故点C(,)22所以x 5cos- 5 - 5 - / 252516证明： （1）在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，BCB1C1因为BC 平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，所以BC平面AB1C1（2）因为平面A1ABB1底面ABCD，平面A1ABB1且由ABC 底面ABCD AB，BC 底面ABCD，知AB BC，2所以BC 平面A1ABB1又BCB1C1，故B1C1平面A1ABB1而B1C1平面AB1C1，所以平面A1ABB1平面AB1C117 （1）由题意知AC BC，AC x，AB 20，则BC2 400 x2，所以y 4k(0 x 20)x2400 x2因为当x 10 2时

12、，y 0.065，代入表达式解得k 9，4k(0 x 20)22x400 x4k（2）因为y 2(0 x 20)，x400 x2所以y 89(2x)18x48(400 x2)2所以y 3x(400 x2)2x3(400 x2)2令y，得18x48(400 x2)2，所以x2160，即x 4 1049为减函数；x2400 x249当4 10 x 20时，y 0，所以函数y 2为增函数2x400 x4k(0 x 20)有最小值所以当x 4 10，即点C到城A的距离为4 10 km时，函数y 2x400 x2当0 x 4 10时，y 0，所以函数y - 6 - 6 - / 2525x2y21，18

13、（1）由题意知椭圆C:11m3m11所以a2,b2，m3m故2a 21 2 6，m解得m 1，6x2y2所以椭圆C的方程为162因为c a2b2 2，c6a3（2）设线段AP的中点为D所以离心率e 因为BA BP，所以BD AP由题意知直线BD的斜率存在，设点P的坐标为(x0, y0)(y0 0)，则点的坐标为(yx03 y0,)，直线AP的斜率kAP0，x03223 x01，kAPy0所以直线BD的斜率kBD 故直线BD的方程为y y03 x0 x 3(x0)2y022222x0 y09x0 y09)令x 0，得y ，故B(0,2y02y02222y03x0y022)由1，得x063y0，化

14、简得B(0,2y062因此，S四边形OPAB SOAP SOAB22y033(| y0|)22y0- 7 - 7 - / 2525332 2| y0|22| y0|当且仅当2| y0|33时，即y0 2,2时等号成立2| y0|2故四边形OPAB面积的最小值为3 319解： （1）当c 0时，f (x) ax3bx2cxba若a b，则f (x) ax3ax2，从而f (x) 3ax22ax，322ax0) (3ax02ax0)(x x0)故曲线y f (x)在x x0处的切线方程为y (ax02(1 x0) x0(1 x0)(3x02)，将点(1,0)代入上式并整理得x0解得x0 0或x01

15、若a b，则令f (x) 3ax22bx 0，解得x 0或x （）若b0，则当x0,1时，f (x) 0，所以f (x)为区间0,1上的增函数，从而f (x)的最大值为f (1)0（ii）若b 0，列表：x2b13a00(0,f(x)f (x)2b)3a2b3a0极小值(2b,1)3a10ba 0所以f (x)的最大值为f (1)0综上，f (x)的最大值为 0（2）假设存在实数a,b,c，使得f (x1) x1与f (x2) x2同时成立不妨设x1 x2，则f (x1) f (x2)因为x x1，x x1为f (x)的两个极值点，所以f (x) 3ax22bxc 3a(x x1)(x x2)

16、- 8 - 8 - / 2525因为a 0，所以当xx1,x2时，f (x) 0，故f (x)为区间x1,x2上的减函数，从而f (x1) f (x2)，这与f (x1) f (x2)矛盾，故假设不成立既不存在实数a,b,c，使得f (x1) x1，f (x2) x2同时成立20 （1）由题得数列 1，3，5，6 和数列 2，3，10，7 的距离为 7（2）设a1 p，其中p 0且p 1由an11an，1an得a21 p1p 1，a3 ，a4，a5 p，1 ppp 1所以a1 a5，a2 a5，因此集合A中的所有数列都具有周期性，且周期为4所以数列bn中，ba3 2，ba2 3，ba1 ，ba

17、(kN N* *)，数列cn中，ca3 3，ca2 2，ca1 ，ca(kN N* *)，因为|bici|b1ci|，i1i1k1k12131312所以项数m越大，数列bn和cn的距离越大因为|bici|i13456k7，34845i1所以|b c |b c |3864 2016，iiiii1mi17因此，当m 3456时，|bici| 2016故m的最大值为 3 455（3）假设T中的元素个数大于或等于17因为数列an中，an 0或 1，所以仅由数列前三项组成的数组 （a1，a2，a3） 有且只有 8 个：(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,

18、0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)那么这 17 个元素之中必有 3 个具有相同的a1，a2，a3- 9 - 9 - / 2525设这 3 个元素分别为cn：c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7；dn：d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7；fn：f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，其中c1 d1 f1，c2 d2 f2，c3 d3 f3因为这 3 个元素中每两个元素的距离大于或等于3，所以在cn与dn中，ci di(i 4,5,6,7)至少有 3 个成立不妨设c4 d4，c5 d5，c6 d6由题意得c4，d4中一个等于 0，另一个等于 1又因为f4 0或 1，所以f4 c4

19、和f4 d4中必有一个成立同理得：f5 c5和f5 d5中必有一个成立，f6 c6和f6 d6中必有一个成立，所以“fi ci(i 4,5,6)中至少有两个成立”和“fi di(i 4,5,6)中至少有两个成立”中必有一个成立故| fici| 2和| fi di| 2中必有一个成立，这与题意矛盾i1i177所以T中的元素个数小于或等于 16试题试题 2 2（附加题）（附加题）21 【选做题】A解：易得ADO ACB 90，又AA，故RtADORtACB，BCACODAD又AC 2AD，所以故BC 2ODB解：设将正方形ABCD绕原点A逆时针旋转90所对应的矩阵为A，cos90则Asin90si

20、n9001cos9010设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为，则，001011所以连续两次变换所对应的矩阵M BA101022cos x 1C解：依题意知（为参数） ，sin y- 10 - 10 - / 252510因为sin2cos21，所以(x1)2 y21，即x2 y22x 0，化为极坐标方程得22cos 0，即 2cos，所以曲线C的极坐标方程为 2cosD证明：因为a 0，b 0，所以要证4(a3b3) (a b)3，只要证4(ab)(a2abb2) (a b)3，即要证4(a2abb2) (a b)2，只需证3(a b)2 0，2而a b，故3(a b)

21、 0成立【必做题】322解： （1）由题意知基本事件数为C9，而满足条件|ai aj| 2，即取出的元素不相邻，3则用插空法，有C7种可能，3C75故所求事件的概率P 3C912（2）分析a1,a2,a3成等差数列的情况；1的情况有 7 种：1,2,3，2,3,4，3,4,5，4,5,6，5,6,7，6,7,8，7,8,9； 2的情况有 5 种：1,3,5，2,4,6，3,5,7，4,6,8，5,7,9；3的情况有 3 种：1,4,7，2,5,8，3,6,9； 4的情况有 1 种：1,5,9故随机变量的分布列如下：P1234751616753115因此，E() 1234161616168132

22、3解： （1）f (1) S21，22316116- 11 - 11 - / 252511113，23412111119f (3) S6S2345620（2）由（1）知f (1)1，f (2) 1f (2) S4S1下面用数学归纳法证明：当n 3时，f (n) 1（i）由（1）知当n 3时，f (n) 1（ii）假设当n k(k 3)时，f (n) 1，即f (k) 那么f (k 1)1111，kk 12k11111k 1k 22k2k 12k 211111111111()1()()kk 1k 22k2k 12k 2k2k 12k2k 2k2k (2k 1)2k (2k 2)2k(2k 1)2

23、k(2k 2)1112k(2k 1)k(2k 2)11所以当n k 1时，f (n) 1也成立因此，当n3时，f (n) 1综上，当n 1和n 2时，f (n) 1；当时，f (n) 1- 12 - 12 - / 2525江苏省南通市江苏省南通市 20172017 届高三高考全真模拟数学试卷（一）届高三高考全真模拟数学试卷（一）解解析析1略2略3略4略5略6略7略89- 13 - 13 - / 25251011- 14 - 14 - / 252512- 15 - 15 - / 25251314- 16 - 16 - / 25251516略17- 17 - 17 - / 2525- 18 - 18 - / 252518- 19 - 19 - / 2525- 20 - 20 - / 252519- 21 - 21 - / 252520- 22 - 22 - / 2525- 23 - 23 - / 252521ABCD- 24 - 24 - / 25252223- 25 - 25 - / 2525