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1、2020 中考 专题 09 圆 必考点 1 圆的有关性质 在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点 O叫圆心，线段 OA叫半径。由圆的意义可知：圆上各点到定点（圆心 O）的距离等于定长的点都在圆上。就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及
2、其所对的弧组成的圆形叫弓形。圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。能够重合的两个圆叫等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推理 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。推理 2：圆两条平行弦所夹的弧相等。圆周角定理：推理 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推理 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推理 3
3、：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。由于以上的定理、推理，所以添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。2020 中考【典例 1】（2019山东中考真题）如图，AB为Oe的直径，,C D为Oe上两点，若40BCD，则ABD的大小为（）A60 B50 C40 D20【答案】B【解析】解：连接AD，AB为Oe的直径，90ADB 40BCD，40ABCD ，904050ABD 故选：B【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.【举一反三】1.（2019黑龙江中考真题）如图，PA.PB分别与Oe相切于A.B两点，点C为Oe上
4、一点，连接AC.BC，若50P ，则ACB的度数为（）.2020 中考 A60；B75；C70；D65.【答案】D【解析】解：连接OA.OB，PA.PB分别与Oe相切于A.B两点，OAPA，OBPB，90OAPOBP ，18018050130AOBP ，111306522ACBAOB 故选：D 【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.2（2019山东中考真题）如图，AB是Oe的直径，C，D是Oe上的两点，且BC平分ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）AOCBDP BADOC CCEFBED DAFFD【答案】
5、C【解析】AB是Oe的直径，BC平分ABD，90ADB，OBCDBC，ADBD，OBOC，2020 中考 OCBOBC，DBCOCB，OCBDP，选项 A成立；ADOC，选项 B成立；AFFD，选项 D成立；CEF和BED中，没有相等的边，CEF与BED不全等，选项 C不成立，故选 C【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理 3（2019吉林中考真题）如图，在Oe中，AB所对的圆周角050ACB，若P为AB上一点，055AOP，则POB的度数为（）A30 B45 C55 D60【答案】B【解析】解：ACB=
6、50，AOB=2ACB=100，AOP=55，POB=45，故选：B【点睛】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的 2倍 必考点 2 直线和圆的位置关系 2020 中考 1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。2、若圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则：直线和圆相交dr；直线和圆相切dr；直线和圆相离dr；直线和圆相交dr 3、切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。4、
7、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径 推理 1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。推理 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。【典例 2】（2019浙江中考真题）如图，已知O上三点 A，B，C，半径 OC=1，ABC=30，切线PA交OC延长线于点 P，则 PA的长为（）A2 B3 C2 D12【答案】B【解析】连接 OA，ABC=30，AOC=60，PA是圆的切线，PAO=90，tanAOC=PAOA,PA=tan601=3.故选 B.2020 中考 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出AOC=60是解答本题的关键.【举一反三】1.（
8、2019河南中考模拟）如图，PA，PB分别与O相切于 A，B两点，若C65，则P的度数为()A65 B130 C50 D100【答案】C【解析】PA、PB是O的切线，OAAP，OBBP，OAP=OBP=90，又AOB=2C=130，则P=360（90+90+130）=50故选C 考点：切线的性质 2（2019江苏中考真题）如图，AB为Oe的切线，切点为A，连接AOBO、，BO与Oe交于点C，延长BO与Oe交于点D，连接AD，若36ABOo，则ADC的度数为()A54o B36o C32o D27o【答案】D【解析】切线性质得到90BAOo 903654AOBooo 2020 中考 ODOAQ
9、OADODA AOBOADODA Q 27ADCADO o 故选 D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键 3（2019广西中考真题）如图，在Rt ABC中，90 C，4AC，3BC，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A5 B6 C7 D8【答案】B【解析】如图，设O与AC相切于点D，连接OD，作OPBC垂足为P交O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OPOF，4AC，3BC，5AB 90OPB，OPACP 点O是AB的三等分点，210533OB ，23OPOBACAB，83OP，O
10、与AC相切于点D，ODAC，ODBC，2020 中考 13ODOABCAB，1OD，MN最小值为85133OPOF ，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值1013133，513+=633,MN长的最大值与最小值的和是 6 故选B 【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.必考点 3 正多边形和圆 各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。定理：把圆分成 n（n3）等分：（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形。定理
11、：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。正 n 边形的每个中心角等于n360 正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心。若 n 为偶数，则正 n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。2020 中考 边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。【典例 3】（2019浙江中考真题）如图，已知正五边形 ABCDE内接于
12、Oe，连结BD，则ABD的度数是（）A60 B70 C72 D144【答案】C【解析】五边形ABCDE为正五边形 1552180108ABCC CDCB 181(8326)010CBD 72ABDABCCBD 故选：C【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）180是解题的关键 【举一反三】1（2019四川中考模拟）如图，正方形 ABCD 内接于O，AB=22，则AB的长是（）2020 中考 A B32 C2 D12【答案】A【解析】连接 OA、OB，正方形 ABCD 内接于O，AB=BC=DC=AD，ABBCCDDA，AOB=14
13、360=90，在 RtAOB中，由勾股定理得：2AO2=（22）2，解得：AO=2，AB的长为902180=，故选 A【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出AOB的度数和 OA的长是解此题的关键 2（2019贵州中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于O，连接BD则CBD的度数是（）A30 B45 C60 D90【答案】A【解析】在正六边形ABCDEF中，BCD(62)1806 o120，BCCD，2020 中考 CBD12（180120）30，故选：A【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键 3（2019山东初三期中）已知圆
14、内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A2 B1 C3 D32【答案】B【解析】因为圆内接正三角形的面积为3，所以圆的半径为2 33，所以该圆的内接正六边形的边心距2 33sin602 33321，故选：B【点睛】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距 必考点 4 圆中的计算 圆扇形，弓形的面积 l、圆面积：2RS；2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。在半径为 R的圆中，圆心角为 n的扇形面积 S扇形的计算公式为：3602RnS扇形 注意：因为扇形的弧长180RnL。所以扇形的面积公式又可写为LRS21扇形
15、（3）弓形的面积 由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇2020 中考 形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。3、圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面周长等于扇形弧长，计算侧面积就是计算扇形面价 半径是母线长 R，圆锥侧面积为 S侧面=12LR【典例 4】（2019河北中考模拟）若一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A120 B180 C240 D300【答案】B【解析】设母线长为 R，底面半径为 r，底面周长=2r，
16、底面面积=r2，侧面面积=rR，侧面积是底面积的 2 倍，2r2=rR，R=2r，设圆心角为 n，有180n R=2r=R，n=180 故选 B 考点：圆锥的计算 【举一反三】1（2019浙江中考真题）若扇形的圆心角为 90，半径为 6，则该扇形的弧长为（）A32 B2 C3 D6【答案】C【解析】解：该扇形的弧长9063180.故选 C【点睛】2020 中考 本题考查了弧长的计算：弧长公式：180n Rl（弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R）2（2019浙江中考真题）如图，ABC内接于圆O，65B ，70C ，若2 2BC，则弧BC的长为（）A B2 C2 D2 2【答案】A【解析
17、】连接 OB，OC A=180-ABC-ACB=180-65-70=45，BOC=90，BC=22，OB=OC=2，BC的长为902180=，故选 A【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 3（2019西藏中考真题）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）A15cm B12cm C10cm D20cm 2020 中考【答案】A【解析】过O作OEAB于E，90120OAOBcmAOBQ，30AB，1452OEOAcm
18、，弧CD的长1204530180，设圆锥的底面圆的半径为r，则230r，解得15r 故选：A 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 1（2010山东中考真题）如图，AB是Oe的弦，半径OCAB于点D，且6cmAB，4cm.OD 则DC的长为（）.A5cm B2.5cm C2cm D1cm【答案】D 2020 中考【解析】连接 OA，OCAB，AB=6则 AD=3 且 OA2=OD2+AD2，OA2=16+9，OA=OC=5cm DC=OC-OD=1 cm 故选 D 2（2019湖北中考真题）如图，点A，B，C均在O
19、上，当40OBC 时，A的度数是（）A50 B55 C60 D65【答案】A【解析】OBOCQ，40OCBOBC ，1804040100BOC-，1502ABOC 故选 A【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 3（2019陕西中考真题）如图，AB是O的直径，EF，EB是O的弦，且 EF=EB，EF与 AB交于点 C，连2020 中考 接 OF，若AOF=40，则 F的度数是（）A20 B35 C40 D55【答案】B【解析】连接 FB，则FOB=180-AOF=180-40=140，FEB12FOB=70，FO BO，OFBO
20、BF=(180-FOB)2=20，EFEB，EFBEBF=(180-FEB)2=55，EFOEBF-OFB=55-20=35，故选 B.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.4（2019甘肃中考真题）如图，AB是O的直径，点 C、D是圆上两点，且AOC126，则CDB（）2020 中考 A54 B64 C27 D37【答案】C【解析】解：AOC126，BOC180AOC54，CDB12BOC27 故选：C【点睛】此题考查了圆周角定理注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 5（2019
21、湖北中考真题）如图，AB为Oe的直径，BC为Oe的切线，弦 ADOC，直线 CD交的 BA延长线于点 E，连接 BD 下列结论：CD是Oe的切线；CODB；EDAEBDVV；ED BCBO BE其中正确结论的个数有（）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【答案】A【解析】解：连结DO ABQ为Oe的直径，BC为Oe的切线，2020 中考 CBO90o，AD/OCQ，DAOCOB，ADOCOD 又OAODQ，DAOADO，CODCOB 在CODV和COBV中，COCOCODCOBODOB，CODCOB SASVV，CDOCBO90o 又Q点D在Oe上，CD是Oe的切线；故正确，CODCOBQV
22、V，CDCB，ODOBQ，CO垂直平分DB，即CODB，故正确；ABQ为Oe的直径，DC为Oe的切线，EDOADB90o，EDAADOBDOADO90o，ADEBDO，ODOBQ，ODBOBD，EDADBE，EEQ，EDAEBDVV，故正确；EDOEBC90oQ，2020 中考 EE，EODECBVV，EDODBEBC，ODOBQ，ED?BCBO?BE，故正确；故选：A 【点睛】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键 6（2019广东中考真题）平面内，O的半径为 1，点 P到 O的距离为 2，过点
23、 P可作O的切线条数为（）A0 条 B1 条 C2 条 D无数条【答案】C【解析】解：因为点 P到 O的距离为 2，大于半径 1，所以点 P在圆外，所以，过点 P可作O的切线有 2 条；故选 C.【点睛】本题考查了点与圆的关系、切线的定义，熟练掌握是解题的关键.7（2019湖南中考真题）如图，PA、PB为圆 O的切线，切点分别为 A、B，PO交 AB于点 C，PO的延长线交圆 O于点 D，下列结论不一定成立的是()2020 中考 APA PB BBPDAPD CABPD DAB平分 PD 【答案】D【解析】PA，PB是O的切线，PA PB，所以 A成立；BPDAPD，所以 B成立；ABPD，所
24、以 C成立；PA，PB是O的切线，ABPD，且 AC BC，只有当 ADPB，BDPA 时，AB平分 PD，所以 D不一定成立，故选 D【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.8（2019江苏初三期末）如图，在ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将ABC绕 A逆时针方向旋转 40得到ADE，点B经过的路径为弧 BD，是图中阴影部分的面积为（）A1436 B259 C3383 D33+【答案】B【解析】解：AB=5，AC=3，BC=4，ABC为直角三角形，由题意得，AED的面积=ABC的面积，2020 中考 由图形可知，阴影部分的面积=AED
25、 的面积+扇形 ADB的面积ABC的面积，阴影部分的面积=扇形 ADB的面积=2405253609，故选 B【点睛】考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形 ADB的面积是解题的关键 9（2019江苏中考真题）如图，点A、B、C在O上，BC6，BAC30，则O的半径为_ 【答案】6【解析】解：连接 OB,OC BOC2BAC60，又 OB OC，BOC是等边三角形 OB BC 6，故答案为 6【点睛】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质 10（2018湖北中考真题）如图，点 A，B，C在O上，A=40度，C=20度，则B=_度 2020
26、 中考 【答案】60【解析】如图，连接 OA，OA=OC，OAC=C=20，OAB=OAC+BAC=20+40=60，OA=OB，B=OAB=60，故答案为 60 【点睛】本题考查了圆的性质的应用，熟练掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键 11（2019山东中考模拟）如图，AB是O的直径，点 C是O上的一点，若 BC=6，AB=10，ODBC 于点D，则 OD的长为_ 【答案】4【解析】解：ODBC，BD=CD=12BC=3，OB=12AB=5，在 RtOBD中，OD=22OBBD=4 2020 中考 故答案为 4【点睛】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关
27、键 12（2019四川中考真题）如图，ABC是O的内接三角形，且AB是O的直径，点P为O上的动点，且60BPC，O的半径为 6，则点P到AC距离的最大值是_ 【答案】63 3【解析】过O作OMAC于M，延长MO交O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值PM，OMAC，60ABPC ，O的半径为 6，6OPOA，3363 322OMOA，63 3PMOPOM，则点P到AC距离的最大值是63 3，故答案为：63 3【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键 2020 中考 13（2015河南中考真题）如图，在扇形 AOB中，
28、AOB=90，点 C为 OA的中点，CEOA 交AB于点 E，以点 O为圆心，OC的长为半径作CD交 OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 .【答案】3212.【解析】连接 OE、AE，点 C为 OA的中点，CEO=30，EOC=60，AEO为等边三角形，S扇形 AOE=260223603，S阴影=S扇形 AOB-S扇形 COD-（S扇形 AOE-SCOE）=22902901211336036032（）=323432 =3122 14（2019贵州中考真题）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，A100，则DCE的度数为_；2020 中考 【答案】100【解析】四边形ABCD为O的内接四
29、边形，DCEA100，故答案为 100【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，难度不大 15（2019江苏中考真题）如图，PA、PB是Oe的切线，A、B为切点，点 C、D在O上若P102，则AC_ 【答案】219【解析】解：连接 AB，PA、PB是O的切线，PA PB，P102，PABPBA12（180 102）39，DABC180，PADCPABDABC18039219，故答案为：219 2020 中考 【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 16（2019四川中考真题）如图，在Rt AOB中，4 2OAOBOe的半径为 2，点P是AB边上的动点，过点P作Oe的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为_ 【答案】2 3【解析】连接OQ PQ是Oe的切线，OQPQ；222PQOPOQ，当POAB时，线段 OP最短，PQ的长最短，在Rt AOB中，4 2OAOB，28ABOA，4OA OBOPAB，222 3PQOPOQ.2020 中考 故答案为：2 3【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到POAB时，线段PQ最短是关键