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1、 课时作业 空间向量的运算及应用 1已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为(D)A2 B143 C.145 D2 解析：由题意知a(ab)0，即a2ab0，所以 1470，解得2.2若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有OP34OA18OB18OC，则P，A，B，C四点(B)A不共面 B共面 C共线 D不共线 解析：由已知可得 OPOA14OA18OB18OC，即OPOA18OA18OB18OC18OA，可得AP18(OAOB)18(OCOA)18BA18AC18(ACAB)，所以AP，AC，AB共面但不共线，故P，A，B，C四点共面 3A，B，C，D是空间不共
2、面的四点，且满足ABAC0，ACAD0，ABAD0，M为BC的中点，则AMD是(C)A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定 解析：M为BC的中点，AM12(ABAC)AMAD12(ABAC)AD 12ABAD12ACAD0.AMAD，即AMD为直角三角形 4如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为 2，现用基向量OA，OB，OC表示向量OG，设OGxOA yOBzOC，则x，y，z的值分别是(D)Ax13，y13，z13 Bx13，y13，z16 Cx13，y16，z13 Dx16，y13，z13 解
3、析：设OAa，OBb，OCc，G分MN的所成比为 2，MG23MN，OGOMMGOM23(ONOM)12a2312b12c12a12a13b13c13a16a13b13c，即x16，y13，z13.5已知空间向量a，b满足|a|b|1，且a，b的夹角为3，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足OA2ab，OB3ab，则OAB的面积为(B)A.523 B.543 C.743 D.114 解析：|OA|2ab2 4|a|2|b|24ab 7，同理|OB|7，则 cos AOBOAOB|OA|OB|6|a|2|b|2ab71114，从而有 sin AOB5 314，OAB的面积S12 7 75 31
4、45 34，故选 B.6如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则OA与BC所成角的余弦值为(A)则是钝角三角形锐角三角形为直角三角形不确定解析为的中点即为直角三角形如图已知空间四边形其对角线为分别是满足且的夹角为为空间直角坐标系的原点点满足则的面积为解析同理则从而有的面积如图在空间四边形中则与所成角又又两直线的夹角为已知点为空间直角坐标系的原点向量的坐标是且点在直线上运动当取得最小值时解析点在直线上 A.32 25 B.2 26 C.12 D.32 解析：因为BCACAB，所以OABCOAACOAAB|OA|AC|cos OA，AC|OA|AB|
5、cos OA，AB84cos13586cos12016 224.所以 cos OA，BCOABC|OA|BC|2416 28532 25.即OA与BC所成角的余弦值为32 25.7已知 2ab(0，5,10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为 60.解析：由题意，得(2ab)c0102010，即 2acbc10.又ac4，bc18，cos b，cbc|b|c|1812 14412，又b，c0，180，b，c120，两直线的夹角为 60.8已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA(1,2,3)，OB(2,1,2)，OP(1,1,2)，且点Q在直线OP上运
6、动，当QAQB取得最小值时，OQ的坐标是 43，43，83.解析：点Q在直线OP上，设点Q(，2)，则是钝角三角形锐角三角形为直角三角形不确定解析为的中点即为直角三角形如图已知空间四边形其对角线为分别是满足且的夹角为为空间直角坐标系的原点点满足则的面积为解析同理则从而有的面积如图在空间四边形中则与所成角又又两直线的夹角为已知点为空间直角坐标系的原点向量的坐标是且点在直线上运动当取得最小值时解析点在直线上 则QA(1，2，32)，QB(2，1，22)，QAQB(1)(2)(2)(1)(3 2)(2 2)621610643223.即当43时，QAQB取得最小值23.此时OQ43，43，83.9已知
7、V为矩形ABCD所在平面外一点，且VAVBVCVD，VP13VC，VM23VB，VN23VD.则VA与平面PMN的位置关系是 VA平面PMN.解析：如图，设VAa，VBb，VCc，则VDacb，由题意知PM23b13c，PN23VD13VC23a23b13c.因此VA32PM32PN，VA，PM，PN共面 又VA 平面PMN，VA平面PMN.10如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，则是钝角三角形锐角三角形为直角三角形不确定解析为的中点即为直角三角形如图已知空间四边形其对角线为分别是满足且的夹角为为空间直角坐标系的原点点满足则的面积为解
8、析同理则从而有的面积如图在空间四边形中则与所成角又又两直线的夹角为已知点为空间直角坐标系的原点向量的坐标是且点在直线上运动当取得最小值时解析点在直线上 D1D，D1C1的中点 (1)试用向量AB，AD，AA1表示AG；(2)用向量方法证明平面EFG平面AB1C.解：(1)设ABa，ADb，AA1c.由图得AGAA1A1D1D1G cb12DC12abc 12ABADAA1.(2)证明：由题图，得ACABBCab，EGED1D1G12b12a12AC，EG与AC无公共点，EGAC，EG 平面AB1C，AC平面AB1C，EG平面AB1C.又AB1ABBB1ac，FGFD1D1G12c12a12AB
9、1，FG与AB1无公共点，FGAB1，FG 平面AB1C，AB1平面AB1C，FG平面AB1C，又FGEGG，FG，EG平面EFG，平面EFG平面AB1C.则是钝角三角形锐角三角形为直角三角形不确定解析为的中点即为直角三角形如图已知空间四边形其对角线为分别是满足且的夹角为为空间直角坐标系的原点点满足则的面积为解析同理则从而有的面积如图在空间四边形中则与所成角又又两直线的夹角为已知点为空间直角坐标系的原点向量的坐标是且点在直线上运动当取得最小值时解析点在直线上 11已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上，且AM12MC1，N为B1B的中点，则|MN|为(A)A.216a
10、B.66a C.156a D.153a 解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Na，a，a2.设M(x，y，z)，因为点M在AC1上，且AM12MC1，则(xa，y，z)12(x，ay，az)，得x23a，ya3，za3，即M2a3，a3，a3，所以|MN|a23a2aa32a2a32216a.12如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点.则是钝角三角形锐角三角形为直角三角形不确定解析为的中点即为直角三角形如图已知空间四边形其对角线为分别是满足且的夹角
11、为为空间直角坐标系的原点点满足则的面积为解析同理则从而有的面积如图在空间四边形中则与所成角又又两直线的夹角为已知点为空间直角坐标系的原点向量的坐标是且点在直线上运动当取得最小值时解析点在直线上 (1)求BN的模；(2)求 cos BA1，CB1的值；(3)求证：A1BC1M.解：(1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 由题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以|BN|102012102 3.(2)由题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，所以BA1(1，1,2)，CB1(0,1,2)
12、，BA1CB13，|BA1|6，|CB1|5，所以 cos BA1，CB1BA1CB1|BA1|CB1|3010.(3)证明：由题意得C1(0,0,2)，M12，12，2，A1B(1,1，2)，C1M12，12，0，所以A1BC1M121200，所以A1BC1M，即A1BC1M.则是钝角三角形锐角三角形为直角三角形不确定解析为的中点即为直角三角形如图已知空间四边形其对角线为分别是满足且的夹角为为空间直角坐标系的原点点满足则的面积为解析同理则从而有的面积如图在空间四边形中则与所成角又又两直线的夹角为已知点为空间直角坐标系的原点向量的坐标是且点在直线上运动当取得最小值时解析点在直线上 则是钝角三角形锐角三角形为直角三角形不确定解析为的中点即为直角三角形如图已知空间四边形其对角线为分别是满足且的夹角为为空间直角坐标系的原点点满足则的面积为解析同理则从而有的面积如图在空间四边形中则与所成角又又两直线的夹角为已知点为空间直角坐标系的原点向量的坐标是且点在直线上运动当取得最小值时解析点在直线上