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1、 第 6 讲 空间向量的运算及应用 配套课时作业 1已知向量a(2，1,3)，b(4,2，x)，使ab成立的x与使ab成立的x分别为()A.103，6 B103，6 C6，103 D6，103 答案 A 解析 向量a(2，1,3)，b(4,2，x)，ba0823x0 x103.ba24123xx6.因此使ab成立的x与使ab成立的x分别是103，6，故选A.2在空间四边形ABCD中，ABa，BCb，ADc，则CD等于()Aabc Bcab Cabc Dbac 答案 B 解析 如图所示，CDCBBDCB(ADAB)bcacab.故选 B.3已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a成 60夹角的
2、是()A(1,1,0)B(1，1,0)C(0，1,1)D(1,0,1)答案 B 解析 经检验，选项 B 中向量(1，1,0)与向量a(1,0，1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为 60.故选 B.4已知平面内有一个点M(1，1,2)，平面的一个法向量是n(6，3,6)，则下列点P在平面内的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3，3,4)答案 A 解析 n(6，3,6)是平面的法向量，nMP，在选项 A中，MP(1,4,1)，nMP0.故选 A.5棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，AB1(DD1DC)()A1 B0 C.12 D.14 答案 B 解
3、析 AB1(DD1DC)AB1CD10.故选 B.6(2018珠海模拟)已知A(1，1,3)，B(0,2,0)，C(1,0,1)，若点D在z轴上，且ADBC，则|AD|等于()A.2 B.3 C.5 D.6 答案 B 解析 点D在z轴上，可设D点坐标为(0,0，m)，则AD(1,1，m3)，BC(1，2,1)，由ADBC，得ADBCm40，m4，AD(1,1,1)，|AD|1113.故选 B.7(2019西安质检)已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AEAF的值为()Aa2 B.12a2 C.14a2 D.34a2 答案 C 解析 AEAF12
4、(ABAC)12AD14(ABADACAD)14(a2cos60a2cos60)14a2.故选 C.8(2018东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，OAOB与OB的夹角为 120，则的值为()A66 B.66 C66 D 6 答案 C 解析 OAOB(1，)，cos120122 212，得66.经检验66不符合题意，舍去，66.故选 C.选项中向量与向量的夹角的余弦值为即它们的夹角为故选已知平面内有一个点平面的一个法向量是则下列点在平面内案解析点在轴上可设点坐标为则由得故选西安质检已知空间四边形的每条棱和对角线的长都等于点分别是的中点则的为上底面的中心若则的值分别为答案解析由向量
5、的三角形运算法则知而又在空间四边形中答案解析如图令不确定则故 9已知正方体ABCDA1B1C1D1，如图所示，E为上底面A1B1C1D1的中心，若AEAA1xAByAD，则x，y的值分别为()Axy1 Bx1，y12 Cxy12 Dx12，y1 答案 C 解析 由向量的三角形运算法则知，AEAA1A1E，而A1E12A1C1，A1C1A1B1B1C1，又A1B1AB，B1C1BCAD，A1C1ABAD，AEAA112AB12AD，xy12.10在空间四边形ABCD中，ABCDACDBADBC()A1 B0 C1 D不确定 答案 B 解析 如图，令ABa，ACb，选项中向量与向量的夹角的余弦值为
6、即它们的夹角为故选已知平面内有一个点平面的一个法向量是则下列点在平面内案解析点在轴上可设点坐标为则由得故选西安质检已知空间四边形的每条棱和对角线的长都等于点分别是的中点则的为上底面的中心若则的值分别为答案解析由向量的三角形运算法则知而又在空间四边形中答案解析如图令不确定则故 ADc，则ABCDACDBADBCa(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.故选 B.11(2019广西模拟)A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足ABAC0，ACAD0，ABAD0，M为BC中点，则AMD是()A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定 答案 C 解析 M为BC中点，AM12(A
7、BAC)AMAD12(ABAC)AD12ABAD12ACAD0，AMAD，AMD为直角三角形 故选 C.12在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，1,6)，C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为_ 答案 2 解析 由题意知ABAC0，|AB|AC|，又AB(6，2，3)，AC(x4,3，6)，6x46180，x424，解得x2.13如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60，则C1C和BD的关系是_ 选项中向量与向量的夹角的余弦值为即它们的夹角为故选已知平面内有一个点平面的一个法向量是则
8、下列点在平面内案解析点在轴上可设点坐标为则由得故选西安质检已知空间四边形的每条棱和对角线的长都等于点分别是的中点则的为上底面的中心若则的值分别为答案解析由向量的三角形运算法则知而又在空间四边形中答案解析如图令不确定则故 答案 互相垂直 解析 设CBa，CDb，CC1c，则|a|b|.BDCDCBba，BDCC1(ba)cbcac|b|c|cos60|a|c|cos60 0，C1CBD.14已知空间四边形ABCD中，ABa2c，CD5a6b8c，AC，BD的中点分别为E，F，则EF_.答案 3a3b5c 解析 取BC的中点M，如图所示，连接EM，FM.E，F，M是中点 选项中向量与向量的夹角的余
9、弦值为即它们的夹角为故选已知平面内有一个点平面的一个法向量是则下列点在平面内案解析点在轴上可设点坐标为则由得故选西安质检已知空间四边形的每条棱和对角线的长都等于点分别是的中点则的为上底面的中心若则的值分别为答案解析由向量的三角形运算法则知而又在空间四边形中答案解析如图令不确定则故 EM綊12AB，MF綊12CD，EM12AB12ac，MF12CD52a3b4c，EFEMMF12ac52a3b4c3a3b5c.15(2018包头模拟)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos DP，AE33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E
10、的坐标为_ 答案(1,1,1)解析 由已知得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，设P(0,0，a)(a0)，则E1，1，a2，所以DP(0,0，a)，AE1，1，a2，|DP|a，|AE|1212a222a248a22.又 cosDP，AE33，所以0101a22a8a2233，解得a24，即a2，所以E(1,1,1)16在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF平面PCB.若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由 选项中向量与向量的夹角的余弦值为即它们
11、的夹角为故选已知平面内有一个点平面的一个法向量是则下列点在平面内案解析点在轴上可设点坐标为则由得故选西安质检已知空间四边形的每条棱和对角线的长都等于点分别是的中点则的为上底面的中心若则的值分别为答案解析由向量的三角形运算法则知而又在空间四边形中答案解析如图令不确定则故 解(1)证明：如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，Ea，a2，0，P(0,0，a)，Fa2，a2，a2.EFa2，0，a2，DC(0，a,0)EFDC0，EFDC，即EFCD.(2)假设存在满足条件的点G，设G(x,0，z)，则FGxa2，a2，za2，若使GF平面PCB，则由FGCBxa2，a2，za2(a,0,0)axa20，得xa2；由FGCPxa2，a2，za2(0，a，a)a22aza20，得z0.G点坐标为a2，0，0，即存在满足条件的点G，且点G为AD的中点 选项中向量与向量的夹角的余弦值为即它们的夹角为故选已知平面内有一个点平面的一个法向量是则下列点在平面内案解析点在轴上可设点坐标为则由得故选西安质检已知空间四边形的每条棱和对角线的长都等于点分别是的中点则的为上底面的中心若则的值分别为答案解析由向量的三角形运算法则知而又在空间四边形中答案解析如图令不确定则故