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1、 第讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课时达标 一、选择题 1现有 2 门不同的考试要安排在 5 天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是()A12 B6 C8 D16 A 解析 若第一门安排在开头或结尾，则第二门有 3 种安排方法，这时，共有 C1236(种)方案若第一门安排在中间的 3 天中，则第二门有 2 种安排方案，这时，共有 326(种)方案综上可得，所有的不同的考试安排方案有 6612(种)，故选 A.2用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A324 B648 C328 D360 C 解析 首先
2、应考虑 0，当 0 排在个位时，有 A299872(个)，当 0 不排在个位时，有 A14A184832(个)当不含 0 时，有 A14A28478224(个)，由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有 7232224328(个)3有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()A8 种 B9 种 C10 种 D11 种 B 解析 设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有 3 种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有 3种不同方法，由分类加法计数原理共有 33
3、39(种)4如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域涂色不同，则不同的涂色方法种数为()A64 B72 C84 D96 C 解析 分成两类，A和C同色时有 43336(种)；A和C不同色时有 432248(种)，所以一共有 364884(种)，故选 C.5某体育彩票规定：从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注，每注 2 元某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号，从 11 至 20 中选 2 个连续的号，从 21 至 30 中选 1 个号，从 31至 36 中选 1 个号组成一注，
4、则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花()A3 360 元 B6 720 元 C4 320 元 D8 640 元 D 解析 从 01 至 10 中选 3 个连续的号共有 8 种选法；从 11 至 20 中选 2 个连续的号共有 9 种选法；从 21 至 30 中选 1 个号有 10 种选法；从 31 至 36 中选一个号有 6 种选法，由分步乘法计数原理知共有 891064 320(种)选法，故至少需花 4 32028 640(元)，故选 D.6设集合I1,2,3,4,5，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有()A50 种 B49 种 C48 种
5、D47 种 B 解析 当A中最大的数为 1 时，B可以是2,3,4,5的非空子集，即有 24115(种)方法；当A中最大的数为 2 时，A可以是2，也可以是1,2，B可以是3,4,5的非空子集，即有 2(231)14(种)方法；当A中最大的数为 3 时，A可以是3，1,3，2,3，1,2,3，B可以是4,5 的非空子集，即有 4(221)12(种)方法；当A中最大的数为 4 时，A可以是4，1,4，2,4，3,4，1,2,4，1,3,4，2,3,4，1,2,3,4，B可以是5，有 818(种)方法，故共有 151412849(种)方法 二、填空题 7(2019邯郸一中模拟)从集合1,2,3，1
6、0中，选出由 5 个数组成的子集，使得这 5 个数中的任何两个数的和不等于 11，这样的子集共有_个 解析 和为 11 的数共有 5 组：1 与 10,2 与 9,3 与 8,4 与 7,5 与 6，子集中的元素不能取自同一组中的两个数，即子集中的元素取自 5 个组中的一个数而每个数的取法有 2 种，所以子集的个数为 222222532.答案 32 8如图所示的几何体由一个正棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成，现用 3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有_种 排方法这时共有种方案若第一门安排在中间的天中则第二门有种
7、安排方案这时共有种方案综上可得所有的不同的考试不排在个位时有个当不含时有个由分类加法计数原理得符合题意的偶数共有个有位教师在同一年级的个班中各教一个分别为假设监考则余下三人监考剩下的三个班共有种不同方法同理监考时也分别有种不同方法由分类加法计数原理共 解析 先涂三棱锥PABC的三个侧面，然后涂三棱柱ABCA1B1C1的三个侧面，共有321212 种不同的涂色方案 答案 12 9(2019杭州质检)用 1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，数字 2 不出现在首位和末位，数字 1,3,5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是_(注：用数字作答)解析 根据题意，可以分为两步：第
8、一步将 1,3,5分为两组且同一组的两个数排序，共有 6 种方法；第二步，将第一步的两组看成两个元素，与 2,4 排列，其中 2 不在两边且第一步两组(记为a，b)之间必有元素，即 4，a,2，b；a,2,4，b；a,4,2，b；a,2，b,4，其中a，b可以互换位置，所以共有 8 种根据分步乘法计算原理知，满足题意的五位数共有 6848 个 答案 48 三、解答题 10 一个袋子里装有 10 张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有 12 张不同的中国联通手机卡(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡自己使用，共有多少种不同的取法？(2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择
9、使用，问一共有多少种不同的取法？解析(1)任取一张手机卡，可以从 10 张不同的中国移动卡中任取一张，或从 12 张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类加法计数原理，有 101222(种)不同的取法(2)从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步乘法计数原理，有 1012120(种)不同的取法 11有 5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7 幅不同的水彩画(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房
10、间，有几种不同的选法？解析(1)利用加法计数原理知，有 52714(种)不同的选法(2)国画有 5 种不同的选法，油画有 2 种不同的选法，水彩画有 7 种不同的选法，利用乘法计数原理得到 52770(种)不同的选法 排方法这时共有种方案若第一门安排在中间的天中则第二门有种安排方案这时共有种方案综上可得所有的不同的考试不排在个位时有个当不含时有个由分类加法计数原理得符合题意的偶数共有个有位教师在同一年级的个班中各教一个分别为假设监考则余下三人监考剩下的三个班共有种不同方法同理监考时也分别有种不同方法由分类加法计数原理共(3)选法分三类，分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画，由分类加法
11、计数原理和分步乘法计数原理知共有 52275759(种)不同的选法 12编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在 1,2 号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有多少种？解析 根据A球所在位置分三类：若A球放在 3 号盒子内，则B球只能放在 4 号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，3216(种)不同的放法 若A球放在 5 号盒子内，则B球只能放在 4 号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，3216(种)不同的放法 若A球放在 4 号盒子内，则B球可以放在 2 号，3
12、 号，5 号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E有 3216(种)不同的放法，根据分步乘法计数原理，得 3618(种)不同的方法 综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有 661830 种 13 选做题(2019黄冈多校月考)三边长均为整数，且最大边长为 11 的三角形的个数是多少？解析 设较小的两边长为x，y，且xy，则 xy11，xy11，x、yN*.当x1 时，y11；当x2 时，y10,11；当x3 时，y9,10,11；当x4 时，y8,9,10,11；当x5 时，y7,8,9,10,11；当x6 时，y6,7,8,9,10,11；当x7 时，y7,8,9,10,11；
13、当x11 时，y11.所以不同三角形的个数为 1234565432136个 排方法这时共有种方案若第一门安排在中间的天中则第二门有种安排方案这时共有种方案综上可得所有的不同的考试不排在个位时有个当不含时有个由分类加法计数原理得符合题意的偶数共有个有位教师在同一年级的个班中各教一个分别为假设监考则余下三人监考剩下的三个班共有种不同方法同理监考时也分别有种不同方法由分类加法计数原理共 排方法这时共有种方案若第一门安排在中间的天中则第二门有种安排方案这时共有种方案综上可得所有的不同的考试不排在个位时有个当不含时有个由分类加法计数原理得符合题意的偶数共有个有位教师在同一年级的个班中各教一个分别为假设监考则余下三人监考剩下的三个班共有种不同方法同理监考时也分别有种不同方法由分类加法计数原理共