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1、晨鸟教育 专题强化练(十八)1(2020 承德第一次模拟)已知函数 f(x)x 3e x.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若不等式 f(x)mx 2 对 x R 恒成立，求 m 的取值范围 解：(1)f(x)3 x2e x x3e x x2e x(x 3)，令 f(x)0，得 x 3，则 f(x)的单调递增区间为 3，)；令 f(x)0，得 x 3，则 f(x)的单调递减区间为(，3)综上所述：f(x)的单调递增区间为 3，)，单调递减区间为(，3)(2)当 x 0 时，不等式 f(x)mx 2 即 0 0，显然成立 当 x 0 时，不等式 f(x)mx2 对 x R 恒成立，等价于 m
2、xex 对 x R 恒成立 设 g(x)xex(x 0)，g(x)(x 1)e x，令 g(x)0，得 x0，得 x 1 且 x 0.所以 g(x)min g(1).所以 m，即 e e 1 m 的取值范围为(，e.a 2 已知 f(x)ln x.x(1)求 f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意 x0，均有 x(2ln a ln x)a 恒成立，求正数 a 的取 值范围 1 a x a 解：(1)f(x)，x(0，)x x 2 x2 当 a 0 时，f(x)0，f(x)在(0，)为增函数，无极值 Earlybird对恒成立等价于对恒成立设令得令得且所以所以即的取值范围为已知求的单调区间和极
3、值若对任意均有恒成立求正数 为若对任意均有恒成立即对任意均有恒成立由可知的最小值为问题转化为即故故正数的取值范围是河南省月考已知函 方程为即又函数在点处的切线方程为所以由题意得所以问题转化为在上有解令晨鸟教育则令则当时有所以函数在区间晨鸟教育 当 a0 时，x(0，a)时，f(x)0，f(x)在(a，)为增函数，所以 f(x)在(0，)有极小值，无极大值，f(x)的极小值为 f(a)ln a 1.(2)若对任意 x0，均有 x(2ln a ln x)a 恒成立，即对任意 x0，a 均有 2ln a ln x 恒成立，x 由(1)可知 f(x)的最小值为 ln a 1，问题转化为 2ln a l
4、n a 1，即 ln a 1，故 0 a e，故正数 a 的取值范围是(0，e x 3(2020 河南省月考)已知函数 f(x)ax b 在点(e，f(e)处 ln x 的切线方程为 y ax 2e.(1)求实数 b 的值；1(2)若存在 x0 e，e 2，满足 f(x0)e，求实数 a 的取值范围 4 x 解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，1)(1，)，因为 f(x)ax ln x b，ln x 1 所以 f(x)a.所以 f(e)a，又 f(e)e ae b，ln 2 x 所以所求切线方程为 y(e ae b)a(x e)，即 y ax e b.又函数 f(x)在点(e，f(e)处的
5、切线方程为 y ax 2e，所以 b e.x 0 1 1(2)由题意得 f(x0)ax0 e e，所以问题转化为 a ln x 0 4 ln x 1 1 1 在 e，e2上有解令 h(x)，x e，e 2，对恒成立等价于对恒成立设令得令得且所以所以即的取值范围为已知求的单调区间和极值若对任意均有恒成立求正数 为若对任意均有恒成立即对任意均有恒成立由可知的最小值为问题转化为即故故正数的取值范围是河南省月考已知函 方程为即又函数在点处的切线方程为所以由题意得所以问题转化为在上有解令晨鸟教育则令则当时有所以函数在区间 4 x ln x 4 x Earlybird对恒成立等价于对恒成立设令得令得且所以
6、所以即的取值范围为已知求的单调区间和极值若对任意均有恒成立求正数 为若对任意均有恒成立即对任意均有恒成立由可知的最小值为问题转化为即故故正数的取值范围是河南省月考已知函 方程为即又函数在点处的切线方程为所以由题意得所以问题转化为在上有解令晨鸟教育则令则当时有所以函数在区间晨鸟教育 1 1 ln 2 x 4 x 则 h(x)4 x 2 xln2 x 4 x2ln 2 x（ln x 2 x）（ln x 2 x）.4 x 2ln 2 x 1 1 1 x 令 p(x)ln x 2 x，则当 x e，e2时，有 p(x)0.x x x 所以函数 p(x)在区间 e，e2上单调递减，所以 p(x)p(e)
7、ln e 2 e 0.所以 h(x)0，所以 h(x)在区间 e，e2上单调递减 1 1 1 1 所以 h(x)h(e2).ln e 2 4e 2 2 4e 2 1 1 所以实数 a 的取值范围为，).2 4e 2 4(2020 长治模拟)已知函数 f(x)e x ax 1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)(x1 x2 x3)是曲线 y f(x)上任 f（x 2）f（x1）f（x3）f（x1）意三点，求证：0 时，由 f(x)0 知 x ln a，由 f(x)0 知，x ln a，所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在 ln a
8、，)上单 调递增 f（x 2）f（x1）f（x3）f（x1）(2)证明：由题可知：要证，对恒成立等价于对恒成立设令得令得且所以所以即的取值范围为已知求的单调区间和极值若对任意均有恒成立求正数 为若对任意均有恒成立即对任意均有恒成立由可知的最小值为问题转化为即故故正数的取值范围是河南省月考已知函 方程为即又函数在点处的切线方程为所以由题意得所以问题转化为在上有解令晨鸟教育则令则当时有所以函数在区间 x 2 x1 x3 x1 e x 2 e x1 e x 3 e x1 e x 1（e x2 x1 1）需 证，即 需 证 x 2 x1 x3 x1 x2 x1 e x 1（e x3 x1 1），x3
9、x1 Earlybird对恒成立等价于对恒成立设令得令得且所以所以即的取值范围为已知求的单调区间和极值若对任意均有恒成立求正数 为若对任意均有恒成立即对任意均有恒成立由可知的最小值为问题转化为即故故正数的取值范围是河南省月考已知函 方程为即又函数在点处的切线方程为所以由题意得所以问题转化为在上有解令晨鸟教育则令则当时有所以函数在区间晨鸟教育 e t 1 1 e t2 1 设 x2 x1 t1，x3 x1 t2，则需证：当 0 t1 t2 时，0)，则 g(t)，t t 2 设 h(t)et(t 1)1，则 h(t)te t0，所以 h(t)在(0，)单调递 增，所以 h(t)h(0)0，于是
10、g(t)0，g(t)在其定义域内单调递增，e t 1 1 e t2 1 所以，当 t1 t2 时，.t 1 t2 f（x 2）f（x1）f（x3）f（x1）所以不等式 0，由 f(1)a 1 0，解得 a 1.则 f(x)x xln x，所以 f(x)ln x，令 f(x)0，解得 x1；令 f(x)0，解得 0 x1.所以 f(x)在 x 1 处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0，1)(2)y f(x)m 1 在(0，)内有两个不同的零点，可转化为 f(x)m 1 在(0，)内有两个不同的根，则函数 y f(x)与 y m 1 的 图象有两个不同的交点 由(1)
11、知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，f(x)min 对恒成立等价于对恒成立设令得令得且所以所以即的取值范围为已知求的单调区间和极值若对任意均有恒成立求正数 为若对任意均有恒成立即对任意均有恒成立由可知的最小值为问题转化为即故故正数的取值范围是河南省月考已知函 方程为即又函数在点处的切线方程为所以由题意得所以问题转化为在上有解令晨鸟教育则令则当时有所以函数在区间 f(1)1，由题意得，m 1 1，Earlybird对恒成立等价于对恒成立设令得令得且所以所以即的取值范围为已知求的单调区间和极值若对任意均有恒成立求正数 为若对任意均有恒成立即对任意均有恒成立由可知的最小值为问题
12、转化为即故故正数的取值范围是河南省月考已知函 方程为即又函数在点处的切线方程为所以由题意得所以问题转化为在上有解令晨鸟教育则令则当时有所以函数在区间晨鸟教育 即 m 2，当 0 x1 时，f(x)x(1 ln x)0 且 x 0 时，f(x)0；当 x 时，显然 f(x).如图，由图象可知，m 10，即 m 1，由 可得 2 m 1.因此实数 m 的取值范围是(2，1)6(2020 洛阳第三次模拟)已知函数 f(x)ln x ax 1.(1)若对任意 x(0，)，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围；1 1 1(2)求证：(1 3)(1 3 2)(1 3n)1 时，ln x ax 10，不符
13、合题意，1 1 若 a0，f(x)0 得 0 x，f(x)，a a 1 1 所以 f(x)在(0，a)上 单调递增，在(，)上 单调递减，a 1 1 1 1 所以 f(x)maxf(a)ln a 1 ln 0，a a a 所以 ln a 0，a 1，所以 a 的取值范围 1，)1 1(2)证明：由(1)知，当 a1，ln xx1(x0)，所以 ln(1 3n)，3 n 对恒成立等价于对恒成立设令得令得且所以所以即的取值范围为已知求的单调区间和极值若对任意均有恒成立求正数 为若对任意均有恒成立即对任意均有恒成立由可知的最小值为问题转化为即故故正数的取值范围是河南省月考已知函 方程为即又函数在点处
14、的切线方程为所以由题意得所以问题转化为在上有解令晨鸟教育则令则当时有所以函数在区间1 1 1 1 1 1 ln(1 3)ln(1 3 2)ln(1 3n)，3 1 3 2 3 n Earlybird对恒成立等价于对恒成立设令得令得且所以所以即的取值范围为已知求的单调区间和极值若对任意均有恒成立求正数 为若对任意均有恒成立即对任意均有恒成立由可知的最小值为问题转化为即故故正数的取值范围是河南省月考已知函 方程为即又函数在点处的切线方程为所以由题意得所以问题转化为在上有解令晨鸟教育则令则当时有所以函数在区间晨鸟教育 1 n 1(3)1 1 1 1 1 1 1 而，3 1 3 2 3 n 3 1 2
15、 2 3 n 2 1 3 1 1 1 1 所以 ln(1 3)(1 3 2)(1 3n)，2 1 1 1 所以(1 3)(1 3 2)(1 3n)e(n N*)对恒成立等价于对恒成立设令得令得且所以所以即的取值范围为已知求的单调区间和极值若对任意均有恒成立求正数 为若对任意均有恒成立即对任意均有恒成立由可知的最小值为问题转化为即故故正数的取值范围是河南省月考已知函 方程为即又函数在点处的切线方程为所以由题意得所以问题转化为在上有解令晨鸟教育则令则当时有所以函数在区间Earlybird 对恒成立等价于对恒成立设令得令得且所以所以即的取值范围为已知求的单调区间和极值若对任意均有恒成立求正数 为若对任意均有恒成立即对任意均有恒成立由可知的最小值为问题转化为即故故正数的取值范围是河南省月考已知函 方程为即又函数在点处的切线方程为所以由题意得所以问题转化为在上有解令晨鸟教育则令则当时有所以函数在区间