《2022年人教版高一数学对数函数教案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年人教版高一数学对数函数教案 .pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习好资料欢迎下载有关高一数学对数函数的概念以及一些常见的解题方法和延伸，基本的知识点及简单的例题，希望对高中生们有帮助。1 对数的概念如果 a(a0 ，且 a1) 的 b 次幂等于N，即 ab=N ，那么数b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：logaN=b, 其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数 . 由定义知：负数和零没有对数; a0 且 a1,N0; loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以 10 为底的对数叫常用对数，记作 log10N, 简记为 lgN； 以无理数 e(e=2.718 28 )为底的对数叫做自然对数，记作logeN ，简记为
2、 lnN. 2 对数式与指数式的互化式子名称 abN 指数式 ab=N( 底数 )(指数 )(幂值 )对数式 logaN=b( 底数 )(对数 )(真数 ) 3 对数的运算性质如果 a0,a1,M0,N0, 那么(1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaM/N=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (nR). 问：公式中为什么要加条件a0,a1，M0,N0? logaan=? (n R) 对数式与指数式的比较.(学生填表 ) 式子 ab=NlogaN=b名称 a幂的底数bNa对数的底数bN运算性质 am an=am+n am an= (am)n= (
3、a0 且 a1,nR)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n R) (a0,a 1,M0,N0) 难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a0,，且 a1? 理由如下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载若 a0，则 N 的某些值不存在，例如log-若 a=0 ，则 N0时 b 不存在； N=0 时 b 不惟一，可以为任何正数若 a=1 时，则 N1 时 b 不存在； N=1 时 b
4、也不惟一，可以为任何正数为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1 的正数解题方法技巧1 (1)将下列指数式写成对数式：54=625 ； 2-6=164 ； 3x=27 ；（2）将下列对数式写成指数式：log1216=-4 ； log2128=7 ；log327=x ；lg0.01=-2 ；ln10=2.303 ；lg =k. 解析由对数定义：aN=b. 解答 (1)log5625=4. log2164=-6. log327=x. log135.73=m. 解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：12-4=16.27=128. 3x=27. 10-2=0.01
5、. e2.303=10. 10k=. 2 根据下列条件分别求x 的值：(1)log8x=-23 ；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1. 解析 (1)对数式化指数式，得：x=8-23=? (2)log5x=20=1. x=? (3)31+log32=3 3log32=?27=x? (4)2+3=x-1=1x. x=? 解答 (1)x=8-23=(23)-23=2-2=14. (2)log5x=20=1，x=51=5. (3)logx27=3 3log32=3 2=6 ，x6=27=33=(3)6,故 x=3. (4)2+3=x-
6、1=1x,x=12+3=2-3. 解题技巧转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化. 熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3 已知 logax=4,logay=5，求 A=x 3x-1y2 12 的值 . 解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - -
7、- - - 学习好资料欢迎下载思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值解答解法一 logax=4,logay=5, x=a4,y=a5, A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53 a-53=a0=1. 解法二对所求指数式两边取以a 为底的对数得logaA=loga(x512y-13) =512logax-13logay=512 4-13 5=0, A=1. 解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4 设 x,y 均为正数，且xy1+lgx=1(x 110), 求 lg(xy) 的取值范围
8、 . 解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x 由等式都有惟一的正数y 与之对应，故 y 是 x 的函数，从而lg(xy) 也是 x 的函数 .因此求 lg(xy) 的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数? 解答 x0,y0,x y1+lgx=1, 两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0. 即 lgy=- lgx1+lgx(x110,lgx -1). 令 lgx=t, 则 lgy=- t1+t(t-1). lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t. 解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问
9、题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设 S=t21+t, 得关于 t 的方程 t2-St-S=0 有实数解 . =S2+4S 0，解得 S-4 或 S0, 故 lg(xy) 的取值范围是 (-, -4 0,+). 5 求值：(1)lg25+lg2lg50+(lg2)2 ；(2)2log32-log3329+log38-52log53；(3)设 lga+lgb=2lg(a-2b)，求 log2a-log2b的值; (4)求 7lg20 12lg0.7 的值 . 解析 (1)25=52,50=5 10.都化成 lg2 与 lg5 的关系式 . (2)转化为 log32
10、的关系式 . (3)所求 log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b 之间的关系，能否从中求出ab 的值呢 ? (4)7lg2012lg0.7 是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设 x=7lg20 12lg0.7 能否先求出lgx ，再求 x? 解答 (1)原式 =lg52+lg2 lg(10 5)+(lg2)2 =2lg5+lg2 (1+lg5)+(lg2)2 =lg5 (2+lg2)+lg2+(lg2)2 =lg102 (2+lg2)+lg2+(lg2)2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -
11、 - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2. (2)原式 =2log32-(log325-log332)+log323-5log59 =2log32-5log32+2+3log32-9 =-7. (3)由已知 lgab=lg(a-2b)2 (a-2b0), ab=(a-2b)2, 即 a2-5ab+4b2=0. ab=1 或 ab=4 ，这里 a0,b0. 若 ab=1 ，则 a-2b0,a1,c0,c 1,N0) ；(2)lo
12、gablogbc=logac ；(3)logab=1logba(b0,b1)；(4)loganbm=mnlogab. 解析 (1)设 logaN=b 得 ab=N, 两边取以 c 为底的对数求出b 就可能得证 . (2)中 logbc 能否也换成以a 为底的对数 . (3)应用 (1)将 logab 换成以 b 为底的对数 . (4)应用 (1)将 loganbm换成以 a 为底的对数 . 解答 (1)设 logaN=b ，则 ab=N, 两边取以 c 为底的对数得：b logca=logcN, b=logcNlogca.logaN=logcNlogca. (2)由(1)logbc=logac
13、logab. 所以 logab logbc=logab logaclogab=logac. (3)由(1)logab=logbblogba=1logba. 解题规律(1)中 logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4) 是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab. 7 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4
14、 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载已知 log67=a,3b=4,求 log127. 解析依题意a,b 是常数，求log127 就是要用 a,b 表示 log127 ，又 3b=4 即 log34=b ，能否将 log127 转化为以 6 为底的对数，进而转化为以3 为底呢 ? 解答已知 log67=a,log34=b, log127=log67log612=a1+log62. 又 log62=log32log36=log321+log32, 由 log34=b, 得 2log32=b. log32=b2, log62=b21+b2=b2+b. lo
15、g127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b. 解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧已知 x,y,z R+ ，且 3x=4y=6z. (1)求满足 2x=py 的 p 值；(2)求与 p 最接近的整数值；(3)求证： 12y=1z-1x. 解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用 m 分别表示x,y,z? 又想，对于指数式能否用对数的方法去解答? 解答（ 1）解法一p=log316. 解法二设 3x=4y=m, 取对数得：x lg3=lgm ，ylg4=lgm, x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x
16、=2lgmlg3,py=plgmlg4. 由 2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4, p=2lg4lg3=lg42lg3=log316. (2)2=log39log316log327=3, 2p3. 又 3-p=log327-log316=log32716, p-2=log316-log39=log3169, 而 2716169, log327163-p. 与 p 最接近的整数是3. 解题思想提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢? (2) 中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个
17、对数比大小.因为底 31，所以真数大的对数就大， 问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令 3x=4y=6z=m, 由于 x，y，zR+，k1 ，则x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6, 所以 1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12lg4lgm=lg2lgm，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -
18、- 学习好资料欢迎下载故 12y=1z-1x. 解法二 3x=4y=6z=m ，则有 3=m1x ,4=m1y ， 6=m1z ， ，得 m1z-1x=63=2=m12y. 1z-1x=12y. 9 已知正数 a,b 满足 a2+b2=7ab. 求证： logma+b3=12(logma+logmb)(m0且 m 1). 解析已知 a0,b0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b 的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab? 解答 logma+b3=logm(a+b3)212= 解题技巧将 a+b3 向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一 .
19、应用 a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab 的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9. a2+b2=7ab, logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb), 即 logma+b3=12(logma+logmb). 思维拓展发散1 数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数 N=a 10n.其中N0,1a10,nZ.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N 的常用对数，就能揭示其中的奥秘. 解析由已知，对N=a 10n 取常用对数得，lgN
20、=n+lga. 真数与对数有何联系? 解答 lgN=lg(a 10n)=n+lga.n Z,1a10，lga 0,1). 我们把整数n 叫做 N 的常用对数的首数，把lga 叫做 N 的常用对数的尾数，它是正的纯小数或 0. 小结： lgN 的首数就是N 中 10n 的指数，尾数就是lga,0 lga0,lgN 的首数和尾数与a 10n 有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2 若 lgx 的首数比 lg1x 的首数大 9， lgx 的尾数比 lg1x 的尾数小， 且 lg0.203 4=1.308 3,求 lgx,x,lg1x的值 . 精品资料 - - - 欢迎下
21、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解析即 lg0.203 4=1+0.308 3，1 是对数的首数，0.308 3 是对数的尾数，是正的纯小数；若设lgx=n+lga ，则 lg1x 也可表出 . 解答设 lgx=n+lga, 依题意 lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4). 又 lg1x=-lgx=-(n+lga), (n-n-lga ，其中 n-9 是首数，是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数
22、 1-lga 是尾数，所以：n-9=-(n+1) lga+0.380 4=1-lgan=4, lga=0.308 3. lgx=4+0.308 3=4.308 3, lg0.203 4=1.308 3,x=2.034104. lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7. 解题规律把 lgx 的首数和尾数，lg1x 的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3 计算：(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3); (2)2lg(lga100)2+lg(lga). 解析 (1)中.2+
23、3 与 2-3 有何关系 ?2+3+2-3 双重根号，如何化简? (2)中分母已无法化简，分子能化简吗? 解题方法认真审题、 理解题意、 抓住特点、 找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒 .解答 (1)原式 =log2-3(2-3 ）-1+12log6(2+3+2-3)2 =-1+12log6(4+22+3 2-3) =-1+12log66 =-12. (2)原式 =2lg(100lga)2+lg(lga)=2lg100+lg(lga) 2+lg(lga)=2 2+lg(lga) 2+lg(lga)=2. 4 已知 log2x=log3y=log5z0,比较 x,3y,5z 的大
24、小 . 解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式 . 解答设 log2x=log3y=log5z=m0.则x=2m,y=3m,z=5m. x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m. 下面只需比较2 与 33,55 的大小：(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以 255. 55233. 又 m0, 图 2-7-1 考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -
25、-第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解题规律转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化. 比较指数相同，底不同的指数幂(底大于 0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限 (指数大于0)或第二象限 (指数小于0)的性质进行比较是 y=(55)x, 是 y=(2)x, 是 y=(33)x. 指数 m0 时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以 (33)m(2)m(55)m,故 3yx0,b0,M 1), 且 logMb=x ，则 logMa 的值为 () A
26、 若 log63=0.673 1 ，log6x=-0.326 9, 则 x 为() A 若 log5 log3(log2x) =0，则 x=. 98log87 log76 log65=. 10 如果方程 lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0 的两根为x1、x2,那么 x1 x2 的值为 . 11 生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10% 的能量流到下一个营养级 .H1H2 H3 H4 H5 H6这条生物链中(Hn 表示第 n 个营养级， n=1，2，3，4，5，6).已知对 H1 输入了 106 千焦的能量，问第几个营养级能获得100 千焦的能量 ? 12
27、 已知 x，y，zR+且 3x=4y=6z ，比较 3x，4y，6z 的大小 . 13 已知 a,b 均为不等于1 的正数，且axby=aybx=1 ，求证 x2=y2. 14 已知 2a 5b=2c 5d=10 ，证明 (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 15 设集合 M=x|lgax2-2(a+1)x-10，若，x|x0 且 x+11; 真数 x+10. 6.A 点拨：对 ab=M 取以 M 为底的对数 . 7.C 点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9，所以 log63+log61x=log63x=1. 3x=6, x=12. 8.x=8 点
28、拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23. 9.5 点拨： log87 log76 log65=log85, 8log85=5. 10.16 点拨：关于lgx 的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2. 由 lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得 x1=12,x2=13. 11.设第 n 个营养级能获得100 千焦的能量，依题意 :106 10100n-1=100, 化简得 :107-n=102, 利用同底幂相等，得7-n=2, 或者两边取常用对数也得7-n=2. n=5, 即第 5 个营养级能获能量100 千焦. 1设 3x=4y=6z=k, 因为 x，y，
29、zR+，所以 k1. 取以 k 为底的对数，得：x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6. 3x=3logk3=113logk3=1logk33, 同理得： 4y=1logk44,6z=1logk66. 而 33=1281,44=1264,66=1236, logk33logk44logk66. 又 k1,3344661, logk33logk44logk660,3x4y0), 则ax2-2(a+1)x-1=10t(t0). 10t1 ,ax2-2(a+1)x-11,ax2-2(a+1)x-20. 当 a=0 时,解集 x|x-1 x|x0 ; 当 a0时且x|x0 . 方程 ax
30、2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2 且 x10 时,M=x|xx2 ,显然不是 x|x0 的子集；当 a0 时，M= x|x1xx2 只要：a0，x1+x2=2(a+1)a0. 解得 3-2a0 ，综上所求， a 的取值范围是：3-2a0. 16.N=3.840 1011, lgN=11.584 3. 17.设经过 x 年，成本降为原来的40%. 则(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：x lg(1-10%)=lg40% ，即 x=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10. 所以经过 10 年成本降低为原来的40%. 18.f(
31、x)=log1.104x或 f(x)=lgxlg1.104. 点拨：设原来一个季度产品为a，则 a(1+10.4%)y=xa,y=log1.104x. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -