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1、高一数学函数一、知识结构二、重点难点重点 ：有关映射与函数的概念，要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域；幂函数的图象和性质；单调性的概念；反函数的概念；要掌握函数的图象和性质；对数运算与指数运算的关系，对数式与指数式的互化；对数性质和运算法则；难点 ：映射的概念；幂函数的应用；用定义判定函数的单调性与确定函数的单调区间；反函数的求法；利用指数函数的性质，结合有关幂函数以及函数的单调性、奇偶性和有关复合函数的知识解决函数值的比较与求值域问题；对数概念与各名称的意义的理解；注意法则应用的条件和推导。三、知识点解析1、函数：（1）定义： 1）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量, x y，并且
2、对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有惟一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记为( )yf x；2）近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。；上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发，侧重点不同，函数实质上是从集合A到集合 B的一个特殊的映射，其特殊性在于集合A、B都是非空数集。自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合C叫做函数的值域。这里应该注意的是，值域C并不一定等于集合B，而只能说C是 B的一个子集；（2）三要素： 函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的
3、映射。2、函数的单调性：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - （1）定义：对于给定区间上的函数( )f x，1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值12,x x，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说( )f x在这个区间上是增函数；2）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值12,x x，当12xx，都有12()()f xf x，那么就说( )f x在这个区间上是减函数；（2）证明函数单调性的方法：1
4、）用定义； 2）利用已知函数的单调性；3）利用函数的图像； 4）依据符合函数单调性有关结论；5）1212()()0( )f xf xf xxx为增函数，1212()()0( )f xf xf xxx为减函数；（3）函数的周期性：对于函数( )f x，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，()( )f xTf x都成立，那么就把函数( )yf x叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期；对于一个周期函数，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期：1）式子()( )f xTf x对定义域中的每一个值都成立，即对定义域中的任何x，式子都成立
5、，而不能是“一个x”或“某些x”； 2）一个函数是周期函数，它并不一定就有最小正周期，如：( )f xa（a是常数 ) ，显然，对任何一个正数T，都有()( )()f xTf xxR；这就是说，任何一个正数都是( )f x的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数( )f xa不存在最小正周期。设T是( )()f xxR的周期，那么(kT kN且0k) 也一定是( )f x的周期。3、反函数（1）反函数的意义： 一般地，式子( )yf x表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为 B、我们从式子( )yf x中解出x，得到式子( )xy。如果对于y在C中的任何一个值，通过式子( )x
6、y，x在 A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子( )xy就表示x是自变量y的函数，这样的函数( )xy，叫做函数( )yf x的反函数，记作1( )xfy，即1( )( )xyfy，在函数式1( )xfy中，y表示自变量，x表示函数。习惯上，一般用x表示自变量，用y表示函数 . 为此对调函数式1( )xfy中的字母, x y，把它改写成名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 1( )yfx。1）( )yf x与1(
7、)yfx具有四性： A、互换性； B、对称性； C、奇偶性； D、单调性； 2）( )yf x和1( )yfx互为反函数，即1( )()ffxx xB或1( )()ff xx xA； 3） 求反函数的步骤： A、解出1( )xfy； B、 交换,x y，得1( )yfx；C、解出反函数的定义域( 即原函数值域 ) ；4）互为反函数的两个函数图像关于直线yx对称；（2）反函数存在的条件：并不是所有函数都存在反函数.根据反函数的定义，只有原象具有唯一性的函数，即对任意的12xx，能推断出12()()f xf x成立的函数才具有反函数；（3）反函数与原函数的关系：1）原函数的定义域是反函数的值域，原
8、函数的值域是反函数的定义域；2）( )yf x与1( )yfx互为反函数，设( )f x的定义域为A，值域为 C，则有1( )()ffxx xC，1( )()ff xx xA；（4）反函数的求法：可以根据反函数的定义求出已知函数的反函数，其步骤为：1）由( )yf x解出( )xy；2）交换, x y，得1( )( )xfx；3）根据( )yf x的值域，写出1( )yfx的定义域。4、幂函数、指数函数、对数函数（1）幂、指数、对数式1）同底数幂的运算性质：(,)mnm naaam nQ，()(,)mnmnaam nQ，()()nnnaba bnQ；2）根式的运算性质：()nnaa，当n是偶数
9、时(0)( |)|(0)nna aaaa a，当n是奇数时()nnaa；3)分数指数幂与根式的关系规定：正分数指数幂(0,.,1)nmnmaaamnNm且，正分数指数幂1(0,.,1)nmnmaamnNma且；4)对数及对数的运算性质：定义：如果(0baN a且1a) ，则数b叫做以a为底 N的对数，记作logaNb，对数恒等式：logNaaN(a 0 且 a1，N0) ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 对数的
10、性质：（）负数和零没有对数，（）log 10(0,1)aaa，（）log1(0,1)aaaa；对数的运算法则：（）()(0,0)MNMN MNaaalogloglog，（）MlogNaMNaaloglog，（）log ()naNnNalog，（）1lognaNNnalog；换底公式：logloglogabaNNb（）1loglogabba，（）12231logloglog1(,2)naaaaaanN n，（）loglogmnaanbbm；（2）幂函数1）定义：形如ayx(a是常数 )的函数叫幂函数；2)幂函数的图像见图：3）幂函数的性质：都过点 (1，1) ；除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都
11、不相交，任何幂函数都不过第四象限；0a时，幂函数图像过 (0 ，0)且在 (0 ，+) 上是增函数；0a时，幂函数图像不过(0，0) 且在 (0 ，+)上是减函数；任何两个幂函数图像最多有三个公共点，除(1 ，1)，(0 ，0) ，(-1 ，1) 外，其它任何一点都不是两个幂函数的公共点；（3）指数函数1）定义：形如xya(0a且1a) 的函数叫指数函数；2）指数函数的图像见图：3）指数函数的性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - -
12、 - - - - 都过 (0 ，1) 点；定义域为R，值域为R；1a时，在 (- ， +) 上是增函数；01a时，在 (- ， +)上是减函数；1a时，01001xxxaxa；01a时，00101xxxaxa。（4）对数函数1）定义：形如logayx(0a且1a) 的函数叫对数函数；2）对数函数图像见图。对数函数图像和指数函数图像关于直线yx对称 ( 互为反函数 )；3）对数函数的性质：都过 (1 ，0) 点；定义域为R，值域为R；1a时，在 (0，+) 上是增函数；01a时，在 (0 ，+) 上是减函数；1a时，10010 xyxy；01a时，10010 xyxy。四、例题1、函数例 1审查
13、下面四个命题：（）( )21f xxx是函数；（）函数是其定义域到值域的映射；（）yx和2yx表示同一函数；（）xyx和0yx表示同一函数；其中正确的有 A 、1 个B、2 个 C、3 个D、4 个解B 注高中数学中的函数是通过映射来定义的。例 2函数|xyxx的图像是 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 解 D 函数|xyxx可化为1,01,0 xxyxx。例 3设 ak0，bc0，在同一坐标系中y=ax2+c
14、与 y=kx+b 的图象应是 解 B 由,a k同号排除 D；由 b，c 异号排除 A，C。例 4 已知函数3( )()232cxf xxx满足( )ff xx，则 c的 A 、3 B、-3 C、3 或-3 D、不存在解 B 223( )(26)92323cxcxff xxxcccxx。对任何3()2x x成立，所以22690cc，即3c。而33232xx，故所求3c。例 5函数311yx的定义域是 A 、(,0 B、(,0)(0,1 C、(,1 D、无法确定解 B 解不等式组10110 xx得(,0)(0,1，此即所求定义域。例 6已知函数36,0( )5,0 xxf xxx，则(1)ff的
15、值 A 、2 B、-15 C、12 D 、以上都不对名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 解 A 因为10，所以(1)3 1630f，所以(1)(1)5352fff。注求分段函数的函数值时，首先应清楚自变量的值在定义域的哪一段上。例7如果函数( )yfx的定义域是0,1，那么函数()(2)(01)fxafxaa的定义域是 _。解1,22aa 0解不等式01(01)021xaaxa，得1(01)122axaaaax，所
16、以所求函数定义域为1,22aa。例8已知221( )12 ,( )(0)xg xx f g xxx，则1()2f等于。解 15 令1( )2g x，解得14x。代入221( )xf g xx得2211( )14 ( )1512()4f g。例9 若1()1xfxx，则满足等式( 2)( )fxmf x的m的值是 _。解 -2 因为1()1xfxx，所以1( )1xf xx。由题设的1( 2)13121( 2)111xxxxmmxxxx。例 10 设211, (1), ( )(1)1()2Ab bf xxxA。若( )f x的值域也为A，则 b 的值为_。解 3 函数( )f x的对称轴为1x，
17、而(1)1,1fb，故可令( )f bb，即21(1)12bb，解得3b，1b舍去。例 11已知y是x的函数，22 ,444(22),ttttttxytR，求函数( )yf x的解析式及其定义域。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 解22444(22)(22 )4(22 )242ttttttttyxx。因为tR，所以222 2 22tttt，即2x。所以所求函数为242(2)yxxx；其定义域为2,)。例 12设2
18、( )()1axbf xxRx的值域为 1,4，求,a b的值。解设21axbyx，则20,0yxaxyby。因为xR，所以24 ()0ay yb，即2204ayby。易知14y是不等式(1)(4)0yy，即2340yy的解。比较系数，得4,3ab。例 13 求下列函数的值域：（1）224yxx（2）421yxx（3）2541yxx（4）21yxx解（1）因为2(1)33yx，所以值域为|3y y。（2）因为221313()12444yx，所以值域为|1 y y。注此题容易误解为3,)4。（ 3）因为2247(2)33xxx，所以2550473xx，所以值域为5|03yy。（ 4）令21(0
19、)xtt， 则212tx，从而2211(1)22tytt。因为0t，所以11t。于是211(1)22yt，故值域为1|2y y。例 14 已知( )f x是x的二次函数，且2(2 )(31)1361fxfxxx，求( )fx。解设2( )(0)f xaxbxc a，则有2(2 )42fxaxbxc，2(31)9(63 )()fxaxab xabc。所以2(2 )(31)13(65 )()fxfxaxab xabc。又名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页
20、 - - - - - - - - - 2(2 )(31)1361fxfxxx，比较系数，得1,0,1abc，所以所求函数为2( )1f xx。例 15已知()( )5(1)f xyf xxy，且(0)2f，求( )f x。解令yx，代入()( )5(1)fxyf xxy，得(0)( )105ff xx。又(0)2f，所以( )103f xx。2、函数单调性例 1下列函数中，属于增函数的是 A、4(0)yxxB、(0)yx xC、1(,0)yxxR xxD、2169(10)yxxx解 D 例 2若一次函数(0)ykxb k在(,)上是单调递减函数，则点( , )k b在直角坐标平面的 A 、上半
21、平面B、下半平面 C、左半平面D 、右半平面解 C 因为0,kbR。例 3函数2( )2(1)2f xxax在区间(,4)上是减函数，则实数a 的取值范围是 A 、3a B、3a C、5a D、3a解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为1xa，所以14a，即3a。例 4已知2( )82f xxx，如果2( )(2)g xfx，那么( )g x A 、在区间 (-1 ，0) 内是减函数 B、在区间 (0，1) 内是减函数C 、在区间 (-2 ，0) 内是增函数 D、在区间 (0，2) 内是增函数解 A 22( )(1)9g xx。画出草图可知( )g x在(-1 ，0) 上是减函数。例 5若,b
22、yax yx在(0,)上都是减函数，则2yaxbx在(0 ，+) 上是 _函数 (选填“增”或“减”) 。解减函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 由条件知0,0ab，所以02ba。例 6函数254yxx的单调递增区间是。解 -2，1 已知函数的定义域是51x。设2245(2)9uxxx，可知当52x时，随x增大时，u也增大但y值减小；当21x时，随x增大时，u减小，但y值增大，此时y是x的单调增函数，即 2,1
23、x时，254yxx是增函数。注在求函数单调区间时，应先求函数的定义域。例 7( )yf x在定义域上是单调递增函数，且( )0f x，那么在同一定义域上，( )yf x是单调函数；1( )yf x是单调函数； y=f(x)2是单调_函数。解递减；递减；递增。例 8已知3( )1()f xxxxR，证明( )yf x是定义域上的减函数，且满足等式( )0f x的实数值x至多只有一个。解设12,x xR，且12xx，则2332222122111213()()(1)(1)()()1024xxf xf xxxxxxxx，所以21()()f xf x。所以( )yf x是R上的减函数。假设使( )0fx
24、成立的x的值有两个，设为12,x x，且12xx，则21()()0f xf x。但因( )f x为R上的减数， 故有21()()f xf x。矛盾。所以使( )0f x成立的x的值至多有一个。例 9定义域为R的函数( )yf x，对任意xR，都有()()f axf ax，其中a为常数。又知( ,)xa时，该函数为减函数，判断当(, )xa时，函数( )yfx的单调状况，证明自己的结论。解当(, )xa时，函数是增函数。设12xxa，则1222axaxA。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
25、 - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 因为函数( )yf x在( ,)a上是减函数，所以12(2)(2)faxfax，注意到对任意xR， 都有()()f axf ax， 可见对于实数1ax， 也有11()()f aaxf aax，即11(2)()faxf x。同理22(2)()faxf x。 所以12()()f xf x， 所以函数( )yfx在(, )a上是增函数。例10( )f x是定义在R上的递增函数，且()( )( )f xyf xfy。（1）求证()( )( )xffxfyy；(2) 若(3)1f，且( )(1)2f af a，求a的取值范围。
26、解（1）因为( )()( )()xxf xfyf yfyy，所以()( )( )xff xf yy。(2) 因为(3)1f，(9)(3)(3)2fff，于是( )(1)2( )(1)(9)( )9(1)f af af af aff afa。由题设有09(1)09(1)aaaa，解得918a。3、反函数例 1求下列函数的反函数（1）251xyx（2）2( )23(0)f xxxx（3）211( 10)yxx解 （1）由251xyx得25xxyy，25yxy。原函数的反函数为2()255xyxx。（2）由2( )23f xxx，得2(1)( )2xf x。2(1)0 x，( )2f x。又0 x1
27、( )2xf x，即1( )2xf x，所求函数的反函数为1( )12(3)fxxx。（3）由211yx，得211xy。221(1)xy，2221(1)2xyyy。10 x，故22xyy。又当10 x时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 2011x，故2011x。01y，所求函数的反函数为22(01)yxxx。评注对于用解析法表示的函数，求其反函数， 实际上只要做三件事：把给出的函数解析式中的自变量当作未知数，
28、因变量当作系数的方程而解之；求给出函数的值域，把中的, x y互换。例 2如果点(1,2)既在函数( )f xaxb的图像上， 又在函数( )fx的反函数1( )fx的图象上，那么a_ b_。分析确定,a b，只要列出关于,a b的两个方程，而由(1)2f可得一方程，但直接用1(1)2f则需先求出反函数，应注意1(1)2(2)1ff。解依题意可有：(1)2f且(2)1f，即221abab，解得37ab。例 3给定实数,0,1a aa，设函数11(,)1xyxR xaxa，求证：这个函数的图象关于yx成轴对称图形。分析本题证明可有两种思路：证明任何一点( , )x y在这个函数图象上，则点( ,
29、)x y关于直线yx的对称点( , )y x也在这个函数的图象上。证明此函数与反函数是同一个函数，下面只写出一种。证明：先求所给出函数的反函数：由11(,)1xyxR xaxa得：(1)1ayxy若10ay，由0ya，故得1ya，此时又由可有1y，于是得11a，即1a，这与已知1a矛盾，故10ya。11(,)1yxyR yaya。即函数11(,)1xyxR xaxa的反函数是11(,)1xyxR xaxa。由于函数( )f x与1( )fx的图像关于直线yx对称，故函数11(,)1xyxR xaxa的图像关于直线yx成轴对称图像。4、幂函数、指数函数、对数函数（）幂函数例 1函数35yx的大致
30、图像是 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 分析当函数nyx中，当 n1 时，在第一象限的图象特征是上升上凸的，因而可排除A、C，而当取 x 的两个互为相反数自变量时，经3535yxx计算结果 y 值也互为相反数，从而可排除B，故应选 D。例 2若32531,( ) ,4,1,(1) ,(1)2xxyxyyxyxyxya a上述函数中是幂函数的个数为 A 、1 个 B、2 个 C、3 个D、4 个分析幂函数是形如
31、nyx的函数，其结构特征是：函数右边为单项式，幂指数为常数，底数为自变量， 前面的系数为1。从这四个特点， 我们可以判数：24yx中，2x前的系数为4，故24yx不为幂函数，51yx为二项式，3(1)yx底数为1x，而xya中自变量x在指数位置，故只有3yx，yx为幂函数，应选B 。例 3下列函数中，以R作为定义域的函数是 A 、15yx B、14yx C、35yx D、12yx解155yxx，定义域为：xR；144yxx，定义域为：0 x；35531yxx，定义域为：0 x；121yxx，定义域为：0 x。故应选 D。评注幂函数定义域求法分两步，首先化为根式或分式形式，然后考虑分式中分母不为
32、零，开偶次根时被开方数不能为负两个方面求出函数的定义域。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 例 4 设1112221.1,0.9,abcx，且acb，则整数c的值应为 A 、1c B、1c C、1c D、不能确定解考察12yx，当0 x时，即在第一象限内，y值随x值增大而减小，而acb，即1112221.10.9x，而112201.111，112200.90.252。02c，故1c，选 C。例 5试比较33233
33、55555( 0.96) ,(0.95) ,(0.95) ,0.95,0.96的大小。解3323355555( 0.96)( 0.95)( 0.95)0.96,0.95。评注多个数的大小比较问题是要观察数与数之间异同点，将它们进行分类( 与 1和 0 比)粗比，然后在每一类中利用有关结论进行细比，最后得出大小关系。（）指数函数例 1 函数11()2xy的图像是 解A 例 22( )5f xx，则1( )fx的定义域是 A 、(0,) B、(5,) C、(6,) D、(,)解 B 因为2( )55f xx，即( )f x的值域为(5,)，故1( )fx的定义域为(5,)。例 3下列函数中，值域是
34、(0 ，+) 的一个函数是 A 、1231xy B、11( )5xy C 、1( )13xy D、12xy解 B。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 例 4函数2(1)xya在(,)上是减函数，则a的取值范围是 A 、| 1a B、|2a C、|2a D、1 |2a解 D 。由题设，有2011a，所以1 |2a。例 5已知,0ab ab，审查下列不等式。（）22ab（）22ab（）11ab（）1133ab（）11
35、( )( )33ab其中恒成立的 A 、1 个 B、2 个 C、3个 D、4个解 C。例5 使函数212xxy递减的x的取值范围是 _。解1(,)2因为212uxx的递增区间1(,)2，而2uy为增函数， 故所求范围是1(, )2。例 7根据不等式确定正数a 的取值范围：（1）0.30.2aa， 则a_；（2）7.53.9aa，a_；（3）741,aa。解 (1) (1,) (2) (0,1) (3) (0,1)。例 8已知11( )()212xf xx(1) 指出函数的奇偶数，并予以证明；(2) 求证：对任何x(xR且0 x) ，都有( )0f x。解（1）( )f x的定义域为0 x，关于
36、原点对称。又11212111()()()()(1)()( )212212212212xxxxxxfxxxxxf x，所以( )f x是偶函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - （2）)当0 x时，21x，所以( )0f x。当0 x时，由( )f x为偶函数，有( )()0f xfx，所以对一切xR，0 x，恒有( )0f x。注利用函数的奇偶性常可使解法简化。如本例(2) ，当0 x时，证明( )0f x较繁
37、。若注意到( )f x为偶函数，则只须证明，当0 x时( )0f x，而这是显然的。例11比较1nna与1nna(0,1,1,)aannN的大小。解11nnnnaa，11nnnnaa。因为1101(1)nnnnn n，所以11nnnn。由指数函数单调性，知当1a时，11nnnnaa；当01a时，11nnnnaa。（）对数函数例 1 函数21log32xyx的定义域是 A 、2(,1)(1,)3 B、1(,1)(1,)2 C、2(,)3 D、1(,)2解 A。解不等式210210320 xxx，得213x或1x。例 2函数212log (617)yxx的值域是 A 、RB 、(, 3 C、8,)
38、 D、3,)解 B。22212617(3)88,log (617)3xxxyxx。例 3若( )log |1|af xx在( 1,0)内( )0f x， 则( )f x A 、在(,0)单调递增 B、在(,0)内单调递减C 、在(, 1)内单调递减 D、在(, 1)内单调递增解 D。依题设，( )f x的图象关于直线1x对称，且01a，画出图象 ( 略) 即知D正确。例 4函数1( ),(,32yf x x，则3(log)fx的定义域为。解( 3,27。由题设知31log32x，所以327x。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
39、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 例 5 函数2( )lg(1)f xxx的奇偶性是。解奇函数。2221()lg(1)lglg(1)( )1fxxxxxfxxx，( )f x为奇函数；例 6已知222(3)log(0,1)6axf xaax(1) 判断( )f x的奇偶性；(2) 已知( )f x存在反函数1( )fx，若1( )0fx，求x的取值范围。解 （1）因为222(3)3(3)log3(3)axf xx，所以3( )log(0,1)3axf xaax。由303xx，得( )f x的定义域为( 3,3)
40、。另一方面，有1333()loglog ()log( )333aaaxxxfxf xxxx，所以( )f x是奇函数。（2）设3log3axyx，则33yxax，解得3(1)1yyaxa。所以13(1)( )1xxafxa。由1( )0fx得3(1)01xxaa，而10 xa，故10 xa，所以1xa。故当1a时，0 x；当01a时，0 x。例 7已知常数,a b满足10ab，若( )lg()xxf xab，(1) 求( )yf x的定义域；(2) 证明( )yf x在其定义域内是增函数；(3) 若( )f x恰在(1,)上恒取正值，且(2)lg 2f，求,a b的值。解 （1）由0 xxab
41、，得( )1xab。因为0ab，所以1ab，所以( )xayb是增函数。而由()1xab得0 x，即函数( )f x的定义域是(0,)。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - （2）任取12,(0,)x x，且12xx。因为1a，所以1( )xg xa是增函数，所以120 xxaa，于是1212()()0 xxxxaabb，即112211221122()()00lg()lg()xxxxxxxxxxxxabababab
42、abab，故( )lg()xxf xab在(0,)内是增函数。（3）因为( )f x在(1,)内为增函数，所以对于(1,)x内每一个x值，都有( )(1)f xf。要使( )f x恰在(1,)上恒取正值，即( )0f x，只须(1)0f，于是(1)lg()0fab，得1ab。又(2)lg 2f，所以22lg()lg 2ab，所以222ab，即()()2abab，而1ab，所以2ab。由12abab，解得3212ab。经检验知，31,22ab为所求。例 8 设对所有实数x，不等式2222224(1)2(1)log2 loglog014aaaxxaaa恒成立，求a的取值范围。解根据题意，可知原不等
43、式( 关于x的二次不等式 ) 应满足下列条件：22222220( )14(1)log0( )24(1)(1)(2log)4loglog0()14aiaaiiaaaaiiiaaa由 （）得22222(log)6log011aaaa， 所以22222(log)0,log611aaaa。 又由 （），得222(log)31aa，所以222log)0111aaaa。由01aa及211aa解得01a。例 9设函数22( )log (32 )21f xk xkxk，求使( )f x在(,0)内单调递减，而在(1,)内单调递增的所有实数k组成的集合M。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
44、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 解令2( )(32 )21g xk xkxk。由题意知，在(,0)(1,)上，必须有( )0g x，320k，且( )g x的图象的对称轴与x 轴的交点的横坐标必须属于0,1。于是k确定于不等式组332020101403215(0)104(1)5405xkkkkkkgkgkk所以4|05Mkk。例 14在函数log(01,1)ayxax的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是,2,4m mm。(1) 若ABC面积为S，求()Sf
45、 m；(2) 判断()Sf m的增减性； (3) 求()Sf m的最大值。解 (1) 由 A ，B，C三点分别向x轴作垂线，设垂足依次为123,A AA，则111111AA B BBB C CA C CA22loglog (2)log (2)log (4)loglog (4)244222(4)4loglog 1(1)(2)(2)aaaaaaaaSSSSmmmmmmm mmmm梯形梯形梯形（2）当1m时，24()1(2)g mm递增。又由01a，故()Sf m为减函数。（3）因为1m，所以2(2)9m，即244(2)9m，即2451(2)9m，所以245log 1log(2)9aam，所以所求最大值为5log9a。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -