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1、1 第六章无穷级数学习目的和要求学习本章，要求读者掌握常数项级数收敛和发散的概念，级数的基本性质及收敛的必要条件，几何级数、p 级数和调和级数的收敛性；正项级数收敛的判别法则及判定交错级数收敛性的莱布尼兹判别法；掌握幂级数的概念和运算， 熟悉常用函数的幂级数展开式， 并会用间接法将一些简单函数展成幂级数，求出其收敛半径和收敛区域第一节常数项级数1常数项级数的定义设已给数列则式子或其简写叫做无穷级数 , 记前无限增大时，若数列具有有限的极限 S.则称无穷级数收敛，其极限值S称为级数的和，并记为若没有极限，就称无穷级数发散. 例如：几何级数则当精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -
2、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 2 无极限 . 从而可得如下结论：若几何级数的公式比时，则级数收敛若，则此级数发散 . 2 无穷级数的基本性质(1)若级数，则每一项乘以一个不为零的常数(2)设有两个收敛级数：则级数收敛于和(3) 在级数的前面部分去掉或加上有限项，不影响级数的敛散性，但是其级数和会发生相应变化(4) 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和S要求读者了解上述基本性质的证明，并熟练运用上述诸性质精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
3、 - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 3 (5) 常数项级数收敛的必要条件：若级数趋于无穷大时，它的一般项必趋近于零因而若级数的一般项不趋于零，则级数一定发散， 但反之不然， 亦即如果级数的一般项趋于零，则级数未必收敛例如：调和级数其一般项但它是发散的 . (6) 级数称为级数收敛。3正项级数收敛的判别法(要求读者能熟练使用下列判别法) 若级数的每一项均为正数(即) 则称为正项级数，有如下收敛判别法：(1) 比较判别法设有两个正项级数若级数也发散(2) 比值判别法设正项级数的后项与前项之比值的极限等于，
4、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 4 则当1 时级数发散，=1 时待定4莱布尼兹判别法若交错级数满足条件： 1)，则交错级数收敛，且其和的近似值时，误差5绝对收敛和条件收敛若级数各项的绝对值所成的级数收敛, 则级数收敛，并称这样的级数叫做绝对收敛级数如果级数收敛， 而它的各项取绝对值所成的级数发散， 则称级数为条件收敛级数 . 第二节幂 级 数形为的级数称为幂级数，而常数叫做幂级数的系数 . 1 幂级数的收敛半径对幂级数，必有数
5、R ，使当时幂级数绝对收敛，而当时，幂级数发散，数 R被称为收敛半径幂级数的收敛半径可如下求得：设极限是幂级数相邻两项的系数 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 5 例 求幂级数的收敛半径解因为则收敛半径2幂级数的运算设已知两幂级数：其收敛区间分别为，则有如下运算法则：(1) 加法运算两个幂级数相加或相减后所得到的幂级数至少在原来两个收敛区间中较小的区间内是收敛的，其和差依次为(2) 乘法运算精品资料 - - - 欢迎下载 -
6、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 6 在区间 ( -R,R) 内成立(3) 微分运算在幂级数收敛区间 ( -A，A)内任意一点 x 处，有也就是说，幂级数在其收敛区间内可逐项微分，且收敛半径不变(4) 积分运算在幂级数收敛区间 (一 A，A)内任意一点 x 处，有也就是说，幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且收敛半径不变.第三节泰勒公式与泰勒级数1泰勒公式如果函数内具有直到 n+1 阶的导数，则当可以表示为次多项式与一个余项的和：精品资料 - - - 欢迎下载 -
7、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 7 其中之间的某个值若取 0，则泰勒公式变为麦克劳林公式: 2泰勒级数设函数具有各阶导数则称级数为函数的泰勒级数若的泰勒公式的余项无限增大时极限为零，则上述的泰勒级数收敛于函数本身3. 常用函数的麦克劳林展开式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 8 4类似地，有上述函数的
8、麦克劳林级数为5用间接法将一些简单函数展成幂级数 例 将数的幂级数 . 解因, 而精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 9 故得第六章无穷级数例 1：例 2：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 10 例 3：例 4：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -
9、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 11 例 5：例 6：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 12 根据极限形式的比较审敛法，可知（B）中级数是收敛的；例 7：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 24 页 -
10、- - - - - - - - - 13 例 8：第一步，根据级数收敛必要性粗略观察是否有若有,则得出级数发散结论，否则进行下一步。例 9：判断交错级数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 14 例 10：例 11：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 24 页 - - -
11、- - - - - - - 15 例 12：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 16 例 13：例 14：第六章无穷级数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 17 单元测试一、选择题1、若已知级数收敛，Sn是它的前 n 项部分和，则它的和是（）2、级数收敛的充分必要条件
12、是（）3、是级数收敛的（）A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件4、级数的和 S=（）5、若正项级数发散，则一定有（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 18 6、若级数发散，则（）7、下列级数中收敛的是（）8、下列级数中收敛的是（）9、在下列级数中发散的是（）10、在下列级数中发散的是（）11、下列级数中，发散的集数是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归
13、纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 19 12、级数满足何条件时，该级数必收敛()13、若级数收敛，则必有下列何式成立（）14、在下面级数中，绝对收敛的级数是（）15、在下面级数中，绝对收敛的级数是（）16、幂级数的收敛区间是（）17、幂级数的收敛区间是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 20 18、的收敛区间是 ()19、幂级数的收敛区间是（）20、幂
14、级数的和函数是（）21、的和函数是（）22、幂级数的和函数是（）23、幂级数，的和函数是（）24、函数在 x=1处展成的泰勒级数是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 21 二、计算题 ( 一）求幂级数的收敛区间解：由得到收敛半径 R=1 当时，级数成为，是发散的当时，级数成为，是发散的 .因此，收敛区间为（ -1，1）三、计算题 ( 二）1、讨论级数解：为正项级数故由比较判别法，收敛、精品资料 - - - 欢迎下载 - - -
15、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 22 2、判别级数的敛散性。解：令级数收敛3、判断级数的敛散性。解：交错级数收敛4、判断任意项级数的敛散性，并指出是否绝对收敛。解：考虑各项的绝对值，对正项级数由比值审敛法精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 23 收敛故原级数收敛且绝对收敛5、求幂函数的收敛区间解：故收敛区间是6、求级数的收敛区间。解：由得收敛半径当时，它成为级数，发散；当时，它成为级数，收敛。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 24 因此，收敛区间为7、将函数展为的幂级数解：收敛域为即因此精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 24 页 - - - - - - - - - -