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1、信号检测与估计习题2-5设%）与卜（。都为平稳随机过程,通过图2.9的调制系统后,输出为 卜卜（1）求上的自相关函数；（2）当凡=号，勺=0时，证 明：& (r) = 7?v(r)coscotIcos cot x(t) X 图2.9解：(1) z) = x(t) cos cot - y sin cotRz&/2)= Ez(Gz2)=(%)cos cotx- yg)sin x(r2)cos cot? - y仁)sin cot2=Rx(4 4) cos cot cos cot2 + %, (4 J2) sin cotx sin cot2-A1V(4 ,Z2) cos cot sin cot2- R
2、xx (t, t2) cos cot2 sin cot因为1,y为平稳随机过程, 上式二R、cos a)t cos cot? + R、(r) sin a)t sin a)t2 - /?n (r) cos cot sin a)t2 - 7?vv(r) cos cot2 sin a)t(2)Rx(r) =号(顼勺=0,则0。)=0可得，凡=7?v(r)cos69?1 cos cot2+ sin cot sin cot2 = & cosgt2-7.假设线性系统如图2.11所示：输入端上与卜（3为联合广义平稳随机 过程，输出分别为%（，）和%（%）。（1）求输出端互相关函数4”（7）与输入端互相关函数
3、4*（7）的关系式；（2）若%）=3（，）+%2（。，作用到冲激响应为W的线性时不变系统，输出为卜，求丁的均值，自相关函数以及功率谱密度。必解：（1）输出端自相关函数：4仍= X &）%。2） = %（G j 尤2。2）zrr （2 + A） 2（2）1二比外!巴工=limA/-0E再 QJ九2（G + A。一%。1）元2（12）=limA/-0dtRxx (r-A?)-Rxv (r)Ai人42 、tdr(2)输出 y=x(0*h(t) = $*h(t) + x2(t)*h(t)均值mv(Z) = Ey(t) = EJ /z(r)x, (t - T)dr + , j /z(r)x2(?-r)t
4、/rr +8, +oo=I /z(r)mVj (? - T)dr + I /z(r)mvs(t - r)dr=/z* %+叫因为石,马为联合广义平稳随机过程，则%=(% + 机 g)dr = (m/ + mQH(0)自相关函数4(讨2)= 处)。2)=门J-00 J-+00h(T)h(T2)Rx(l-T +T2)dTdl2-RX(m) = 8(m) 将 y(n)y(n1)与相乘，石()纱(1) y(n-m)-ayn-m-l) | = Eb2xn)xn-m ,贝!) 可得：(l + “2) (jn) aRY (m1)(m+1) = Z?2(m),则有(1+ 朋)J(0).从+=0(1 + * /
5、 (T) _ aRY (-2)- aRY(0)= 0Ry (m) = Ry (-m)由方程组可求得R(O), R与R(2),并根据这三个值与递推关系得%1%)=V。(这个答案要改)1 (12)对(-1)=灰()两边作 Fourier 变换， 有y(Q)(l-e_7n) = Z?X(Q),可得“(刈=黑=产篦，则匹9)=|”(网的,9)=。X(O) 1-ae JI - aejQ2-12.均值为零、方差为er/的白噪声序列卜()先通过一个平均器，其输出y(冏)与%()的关系为+ %(八T)，b()再通过一个差分器,其输出卜与卜(明的关系为z() = y()-1),求z(叫的 .%2、自相关函目凡(
6、左)以及其功率谱密度工(0。解：由题目中条件可知，两个系统的单位冲激响应分别为口口 4()=!S5) + LS(T)平均器： 22差分器：4伽)=3()-3(-1)故而，整个系统的冲激响应为伽) = %()*%()=+ 必 一 1)卜,-8n -1)=- 2)输出序列的均值为：铛+oomz= (z()= E Z h(k)x(n-kX =映. h(k) = 0 k=sk-az = Ez(n)-mz2 = Ez(n)2 =6(0)H(jw) = -(l-e2jw)-e%”e2 与= ：(i_2cos2w+i)= Li_cos2卬) 输出的功率谱密度函数为：2Sz (卬)=% O) = g (1 一
7、 cos 2 w)cr；自相关函数为：用(扃= Ez(4)z(2)=-W1)-x(1-2)-l x(n2)_*(%_2)N212二)723(左)一况女 + 2)-5(左一2)b； = Rz (0) = cr2-16.线性时不变系统输入x(4 与输出卜何)的关系为 y() = %(n)+4y(_l)+b2y(九2),这是一个二阶 AR 模型，%()是零均值、 方差为巴2的白噪声序列。(1)求使卜()平稳的条件;(2)证明卜(叫的功率谱密度为:l + Z7,2+/?22-2/7j (1-Z?2)cos69-2/72cos2(3)求卜()的自相关函数。解：y()平稳，则需系统为因果稳定的。(z) =系统的传输函数:1-z-1-Z?2z2 (l-zXl-z-1)极点为:%24 土也2 +4打2为使系统平稳，则需I% 00, 0则输出的自相关函数Ry=b)()+b、Ry(n-l)+b2Ry(n - 2)