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1、一、选择题2023 甲卷理科数学 记忆版)91.设集合 A = x x = 3k + 1,k Z,B = x x = 3k + 2,k Z，U 为整数集，U(A B) = ()A. x|x = 3k,k ZB. x x = 3k - 1,k ZC. x x = 3k - 2,k ZD. 【答案】A【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出【详解】因为整数集 Z = x|x = 3k,k Z x|x = 3k + 1,k Z x|x = 3k + 2,k Z，U = Z ，所以，U A B故选：A= x|x = 3k,k Z 2. 若复数a + i1 - ai= 2,a R，则 a
2、 = ()A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出【详解】因为 a + i1 - ai= a - a2i + i + a = 2a + 1 - a2i = 2，所以 2a = 21 - a2= 0故选：C.，解得：a = 13. 执行下面的程序框遇，输出的 B = ()A. 21B. 34C. 55D. 89【答案】B【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出【详解】当 n = 1 时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A = 1 + 2 = 3，B = 3 + 2 = 5，n = 1 + 1 =2；当 n = 2 时，判断框条件满
3、足，第二次执行循环体，A = 3 + 5 = 8，B = 8 + 5 = 13，n = 2 + 1 = 3；当 n = 3 时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A = 8 + 13 = 21，B = 21 + 13 = 34，n = 3 + 1 = 4； 当 n = 4 时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出 B = 34故选：B.4.向量 )，且 )，则2) )|a| = |b| =-1,|c| =A. - 15【答案】D【解析】a + b + c = 0B. - 25cosa - c,b - c = (C. 2 5D. 4 5a + b =-c,【分析】作出图形, 根据几何意义求解.a
4、+ b + c = 0,【详解】因为 ) 所 以 )a +b +2a b = c , 即 1 + 1 + 2a b = 2, 所以 a b = 0.即 )2 )2) )2) ) )OA = a,OB = b,OC = c,如图, 设) ) )由题知,OA = OB = 1,OC = 2,OAB 是等腰直角三角形,AB 边上的高 OD = 2 ,AD = 2 ,22所 以 CD = CO + OD = 2 + 2 = 3 2 ,22tanACD = AD = 1 ,cosACD = 3 ,10CD3) )2cosa - c,b - c = cosACB = cos2ACD = 2cos ACD
5、- 1= 2 31024-1 = 5 .故选:D.5. 已知正项等比数列an中，a1= 1,Sn 为an前 n 项和，S5= 5S3-4，则 S4= ()A. 7B. 9C. 15D. 30【答案】C【解析】【分析】根据题意列出关于 q 的方程, 计算出 q, 即可求出 S4.【详解】由题知 1 + q + q2+q3+q4= 51 + q + q2- 4,即 q3+q4= 4q + 4q2, 即 q3+q2-4q - 4 = 0, 即 (q - 2) (q + 1) (q + 2) = 0.由题知 q 0, 所以 q = 2.所以 S4= 1 + 2 + 4 + 8 = 15.故选:C.6.
6、 有 60 人报名足球俱乐部，60 人报名乒乓球俱乐部，70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为 ()A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.1【答案】A【解析】【分析】先算出报名两个俱乐部的人数, 从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率, 利用条件概率的知识求解.【详解】报名两个俱乐部的人数为 50 + 60 - 70 = 40，记“某人报足球俱乐部” 事件 A, 记“某人报兵乓球俱乐部”为事件 B，则 P(A) = 50 = 5 ,P(AB) = 40 = 4 ，707=P(AB)7074所以 P(B A) = 故选:A.P(A)
7、 7 = 0.8.577. “sin2 + sin2 = 1”是“sin + cos = 0”的 ()A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件 概念及同角三角函数的基本关系得解.2【详解】当 sin2 + sin2 = 1 时，例如 = , = 0 但 sin + cos 0， 即 sin2 + sin2 = 1 推不出 sin + cos = 0；当 sin + cos = 0 时，sin2 + sin2 = (-cos)2+sin2 = 1，即 sin + cos = 0 能推出
8、 sin2 + sin2 = 1.综上可知，sin2 + sin2 = 1 是 sin + cos = 0 成立的必要不充分条件. 故选：B8.x2y222已知双曲线 a2 - b2 = 1(a 0,b 0) 的离心率为 5 ，其中一条渐近线与圆 (x - 2) + (y - 3) = 1 交于A，B 两点，则 |AB| = ()A. 1 5【答案】D【解析】B. 55C. 2 55D. 4 55【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由 e = 5，则 c2 = a2+b2 = 1 + b2 = 5，a解 得 b = 2，a2a2a2所以双曲线的
9、一条渐近线不妨取 y = 2x，则圆心 (2,3) 到渐近线的距离 d = |2 2 - 3| = 5 ，所以弦长 |AB| = 2 r2-d2 = 2故选：D22+151 - 15= 4 5 .59. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为 ()A. 120B. 60C. 40D. 30【答案】B【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为 a,b,c,d,e，假设 a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的 4 人抽取 2 人各参加星期六与星
10、期天的社区服务，共有4A2= 12 种方法，同理：b,c,d,e 连续参加了两天社区服务，也各有 12 种方法，所以恰有 1 人连续参加了两天社区服务的选择种数有 5 12 = 60 种. 故选：B.10. 已知 f x 为函数 y = cos2x + 向左平移 个单位所得函数，则 y = f x 与 y = 1 x - 1 的交点个6622数为 ()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得 f x =-sin2x，再作出 f x 与 y = 1 x - 1的部分大致图22像，考虑特殊点处 f x 与 y = 1 x - 1 的大小关系，从而精确图
11、像，由此得解.22【详解】因为 y = cos2x + 向左平移 个单位所得函数为 y = cos2x + + =cos 2x + 26=-sin2x，所以 f x6=-sin2x，66而 y = 1 x - 1 显然过 0,- 1与 1,0两点，222作出 f x与 y = 1 x - 1 的部分大致图像如下，22考虑 2x =- 3 ,2x = 3 ,2x = 7 ，即 x =- 3 ,x = 3 ,x = 7 处 f x 与 y = 1 x - 1 的大小关系，22244422当 x =- 3 时，f - 3 =-sin- 3 =-1，y = 1 - 3 - 1 =- 3 + 4 -1；
12、4422428当 x = 3 时 ，f 3 =-sin 3 = 1，y = 1 3 - 1 = 3 - 4 1；4422428所以由图可知，f x 与 y = 1 x - 1 的交点个数为 3.22故选：C.22211. 在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，AB = 4,PC = PD = 3,PCA = 45，则 PBC 的面积为 ()2A. 2【答案】C【解析】B. 3C. 4D. 5【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得 PDO PCO，PDB PCA，从而得到 PA= PB，再在 PAC 中利用余弦定理求得 PA =17，从而求得 PB =17，由此在 P
13、BC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在 PAC 中利用余弦定理求得 PA =17，cosPCB = 1 ，从而求得 ，再利用3PA PC =-3空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于 PB,BPD 的方程组，从而求得 PB =17 ，由此在PBC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法一：连结 AC,BD 交于 O，连结 PO，则 O 为 AC,BD 的中点，如图，因为底面 ABCD 为正方形，AB = 4，所以 AC = BD = 4 2，则 DO = CO = 2 2，又 PC = PD = 3，PO = OP，所以 PDO PCO，则 PDO = PCO，又
14、 PC = PD = 3，AC = BD = 4 2，所以 PDB PCA，则 PA = PB，在 PAC 中，PC = 3,AC = 4 2,PCA = 45，2则由余弦定理可得 PA2= AC2+PC2-2AC PCcosPCA = 32 + 9 - 2 4 2 3 2 = 17，故 PA = 17，则 PB = 17，故在 PBC 中，PC = 3,PB = 17,BC = 4，所以 cosPCB = PC2+BC2-PB2 = 9 + 16 - 17 = 1 ，2PC BC2 3 43又 0 PCB ，所以 sinPCB =1 - cos2PCB = 2 32 ，所以 PBC 的面积为
15、 S = 1 PC BCsinPCB = 1 3 4 2 2 = 4 2.223法二：连结 AC,BD 交于 O，连结 PO，则 O 为 AC,BD 的中点，如图，因为底面 ABCD 为正方形，AB = 4，所以 AC = BD = 4 2，在 PAC 中，PC = 3,PCA = 45，= 17，2则由余弦定理可得 PA2= AC2+PC2-2AC PCcosPCA = 32 + 9 - 2 4 2 3 2 = 17，故 PA所以 cosAPC = PA2+PC2-AC2 =- 17 ，则 17 + 9 - 322 17 317 3 - 17172PA PC=-3，17PA PC = PAP
16、C cosAPC =不妨记 PB = m,BPD = ，因为 1 1 2 2PO = 2 PA + PC= 2 PB + PD ，所 以 PA + PC= PB + PD ，PA +PC +2PA PC = PB +PD +2PB PD，即 2222 则 17 + 9 + 2 -3 = m2+9 + 2 3 mcos，整理得 m2+6mcos - 11 = 0 ，又在 PBD 中，BD2= PB2+PD2-2PB PDcosBPD，即 32 = m2+9 - 6mcos，则 m2-6mcos -23 = 0 ，两式相加得 2m2-34 = 0，故 PB = m = 17，故在 PBC 中，PC
17、 = 3,PB = 17,BC = 4，所以 cosPCB = PC2+BC2-PB2 = 9 + 16 - 17 = 1 ，2PC BC2 3 43又 0 PCB ，所以 sinPCB =1 - cos2PCB = 2 32 ，所以 PBC 的面积为 S = 1 PC BCsinPCB = 1 3 4 2 2 = 4 2.12.故选：C.x2 + y2 = 12F ,F23OPcosFPF = 3|PO| =己知椭圆 96()， 1 2 为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，125 ，则A. 2 5【答案】B【解析】B. 302C. 3 5D. 352【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出
18、PF1F2 面积，即可得到点 P 的坐标，从而得出 OP的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 PF1 PF2 ,PF1 2+PF2 2，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 PF1 2+PF2 2，即可根据中线定理求出【详解】方法一：设 F1PF2= 2,0 0，解得：b = 1 + 3，由 SABC= SABD+SACD 可得，1 2 b sin60 = 1 2 AD sin30 + 1 AD b sin30，2解得：AD = 3b21 + b23= 2 3 1 + 33 +2= 2故答案为：2方法二：由余弦定理可得，22+b2-2 2 b
19、cos60 = 6，因为 b 0，解得：b = 1 + 3，由正弦定理可得，6= b= 2，解 得 ：sinB = 6 + 2 ，sinC = 2 ，sin60sinBsinC42因为 1 + 3 6 2，所以 C = 45，B = 180 -60 -45 = 75，又 BAD = 30，所以 ADB = 75，即 AD = AB = 2故答案为：2【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规三、解答题1617. 已知数列an中，a2= 1，设 Sn 为an前 n 项和，2Sn= nan(1) 求an的
20、通项公式；(2) 求数列 an+12n的前 n 项和 Tn【答案】(1)an= n - 1n2(2)Tn= 2 - 2 + n1【解析】n【分析】(1) 根据 a = S1,n = 1 即可求出；Sn-Sn-1, n 2(2) 根据错位相减法即可解出【小问 1 详解】因为 2Sn= nan，当 n = 1 时，2a1= a1，即 a1= 0；当 n = 3 时，21 + a3 = 3a3，即 a3= 2，2当 n 2 时，2Sn-1= n - 1 an-1，所以 2Sn-Sn-1 = nan-n - 1 an-1= 2an，n - 1化简得：n - 2 an= n - 1 an-1，当 n 3
21、 时， an当 n = 1,2,3 时都满足上式，所以 an= n - 1n N *n【小问 2 详解】= an-1n - 2= a3 = 1，即 an= n - 1，因为 an+1 = n ，所以 T = 1 11+2 12+3 13+ +n 1，2n2nn 2 2 2 21 T = 1 1 2+2 1 3+ + (n - 1) 1 n+n 1n+12 n2222，=，两式相减得，1 1 - 1 n1 T = 11+ 12+ 13+ + 1n-n 1n+12 2- n 1n+12n2 n222221 - 12= 1 - 1 + n21，即 Tn= 2 - 2 + n1 n，n N *2218
22、. 在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，AA1= 2，A1C 底面 ABC ，ACB = 90，A1 到平面 BCC1B1 的距离为 1(1) 求证：AC = A1C ；(2) 若直线 AA1 与 BB1 距离为 2，求 AB1 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值【答案】(1) 证明见解析(2) 1313【解析】【分析】(1) 根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得 A1O 平面 BCC1B1，再由勾股定理求出O 为中点，即可得证；(2) 利用直角三角形求出 AB1 的长及点 A 到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.【小问 1 详解】如图， A1C 底面 ABC，BC 面 AB
23、C， A1C BC，又 BC AC，A1C,AC 平面 ACC1A1，A1C AC = C, BC 平面 ACC1A1，又 BC 平面 BCC1B1， 平面 ACC1A1 平面 BCC1B1，过 A1 作 A1O CC1 交 CC1 于 O，又平面 ACC1A1 平面 BCC1B1= CC1，A1O 平面 ACC1A1， A1O 平面 BCC1B1 A1 到平面 BCC1B1 的距离为 1， A1O = 1， 在 RtA1CC1 中，A1C A1C1,CC1= AA1= 2，设 CO = x，则 C1O = 2 - x， A1OC,A1OC1,A1CC1 为直角三角形，且 CC1= 2，111
24、1CO2+A1O2= A1C2，A1O2+OC2= C1A2，A1C2+A C2= C1C2， 1 + x2+1 + (2 - x)2= 4，解得 x = 1， AC = A1C = A1C1= 2， AC = A1C【小问 2 详解】 AC = A1C1,BC A1C,BC AC， RtACB RtA1CB BA = BA1，过 B 作 BD AA1，交 AA1 于 D，则 D 为 AA1 中点，由直线 AA1 与 BB1 距离为 2，所以 BD = 2 A1D = 1，BD = 2， A1B = AB = 5，在 RtABC， BC =AB2-AC2 = 3，延长 AC，使 AC = CM
25、 ，连接 C1M ，由 CM A1C1,CM = A1C1 知四边形 A1CMC1 为平行四边形， C1M A1C， C1M 平面 ABC，又 AM 平面 ABC， C1M AM则在 RtAC1M 中，AM = 2AC,C1M = A1C， AC1=(2AC)2+A1C2， 在 RtAB1C1 中，AC1=(2AC)2+A1C2，B1C1= BC = 3， AB1=(2 2)2+ ( 2)2+ ( 3)2 = 13,又 A 到平面 BCC1B1 距离也为 1，13所以 AB1 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 1= 13 .1319. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均
26、分为两组，分别为对照组 (不加药物) 和实验组(加药物)(1) 设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 X ，求 X 的分布列和数学期望；(2) 测得 40 只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0(i) 求 40 只小鼠体重的中位数 m，并完成下面 2 2 列联表： m m
27、对照组实验组(ii) 根据 2 2 列联表，能否有 95% 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用 参考数据：k00.100.050.010Pk2 k02.7063.8416.635【答案】(1) 分布列见解析，E(X) = 1(2) (i)m = 23.4；列联表见解析，(ii) 能【解析】【分析】(1) 利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；(2) (i) 根所中位数的定义即可求得 m = 23.4，从而求得列联表；(ii) 依用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问 1 详解】依题意，X 的可能取值为 0,1,2，则 P(X = 0) = C0 C2= 19 ，P(X = 1
28、) = C1 C1= 20 ，P(X = 2) = C2 C0= 19 ，7820 20C24020 20C24020 20C3924078所以 X 的分布列为：X012P192019783978故 E(X) = 0 19 + 1 20 + 2 19 = 1.783978【小问 2 详解】(i) 依题意，可知这 40 只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第 20 位与第 21 位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可， 可得第 11 位数据为 14.4，后续依次为 17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,2
29、0.4,21.5,23.2,23.6,，2故第 20 位为 23.2，第 21 位数据为 23.6，所以 m = 23.2 + 23.6 = 23.4，故列联表为： 3.841，20 20 20 20所以能有 95% 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.20. 设抛物线 C:y2= 2px(p 0)，直线 x - 2y + 1 = 0 与 C 交于 A，B 两点，且 |AB| = 4 15(1) 求 p； (2) 设 C 的焦点为 F ，M ，N 为 C 上两点，MF NF = 0，求 MNF 面积的最小值【答案】(1)p = 22(2)12 - 8【解析】【分析】(1) 利用直线与抛物线的位
30、置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出 p； (2) 设直线 MN ：x = my + n，M x1,y1,N x2,y2, 利用 MF NF = 0，找到 m,n 的关系，以及 MNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值【小问 1 详解】设 AxA,yA ,BxB,yB ，由 x - 2y + 1 = 0 可得，y2-4py + 2p = 0，所以 y +yB= 4p,yyB= 2p，y2= 2pxAA所以 AB =xA-xB2+yA-yB2 = 5 yA-yB= 5 yA+yB2-4yAyB = 4 15，即 2p2-p - 6 = 0，因为 p 0，解得：p = 2【小问
31、 2 详解】因为 F 1,0 ，显然直线 MN 的斜率不可能为零，设直线 MN ：x = my + n，M x1,y1 ,N x2,y2 ，由 y2= 4x可得，y2-4my - 4n = 0，所以，y +y = 4m,y y =-4n，x = my + n = 16m2+16n 0 m2+n 0，121 2 因为 MF NF = 0，所以 x1-1x2-1+ y1y2= 0，即 my1+n - 1my2+n - 1+ y1y2= 0，亦即 m2+1y1y2+mn - 1y1+y2+ n - 1 2= 0，将 y1+y2= 4m,y1y2=-4n 代入得，4m2= n2-6n + 1，4m2+n = n - 1 2 0，所以 n 1，且 n2-6n + 1 0，解得 n 3 + 2 2 或 n 3 - 2 2设点 F 到直线 MN 的距离为 d，所以 d =n - 1 ，1 + m21 + m2 16m2+16nMN =x1-x2 2+y1-y2 2 =1 + m2 y1-y2 = 2